7/25/2019 Problema - 4.02-14

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ELECTROSTTICAPRINCIPIO DE SUPERPOSICIN

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Contacto: aletos@telefonica.net

Un hilo de longitud infinita, situado a lo largo del eje OY, que tieneun tramo en forma de semicircunferencia de centro Oy radio a, como

muestra la figura, tiene una densidad lineal de carga uniforme +!.Calclese el campo elctrico en un punto de coordenadas (0, 0, z).

SOLUCIN:El campo en el punto P, aplicando el principio de superposicin, es la suma vectorial de los campos crea-

dos por los dos tramos rectilneos semiinfinitos y el creado por la semicircunferencia de radio a.

CLCULO DEL CAMPO CREADO POR LOS DOS TRAMOS RECTILNEOS SEMIINFINITOS:

X

Y

Z

P

z

O

a

z

a

s

" "

""

dEdE

dE cos "dE cos "

dE sen "

dq dq

s

La carga dqque contiene cada elemento de longituddyde cualquier de los dos tramos rectilneos puede con-siderarse una carga puntual, ya que su longitud es tanpequea como queramos imaginar.

El campo creado en el punto Ppor el elemento decarga que se encuentra a la distancia ydel origen O, esun vector cuya direccin es la de la recta que lo une conel punto P, y cuyo sentido es tal, que se aleja de la cargapor ser sta positiva.

yO

dE = 14#$

0

dqs2

= 14#$

0

!dys2

El campo total creado por los tramos rectilneos es la suma vectorial de los campos creados por todos suselementos de carga dq. El problema se reduce, pues, a una integracin.

Ahora bien, los campos que debemos sumar son vectores de diferentes direcciones y una integral es unasuma algebrica, pero no una suma vectorial.

Una integral suma vectores si son todos de igual direccin y sentido. Si son de diferentes sentidos bastaestablecer un convenio de signos.

Si consideramos el elemento de carga simtrico del anterior respecto del origen de coordenadas, el campoque crea en el punto Pes un vector simtrico respecto del eje OZ, y de igual mdulo.

Si descomponemos los dos vectores en las direcciones del eje OZy de una paralela al eje OX, las compo-nentes horizontales se anulan por simetra, y la suma vectorial se reduce a la suma de las componentes a lolargo del eje OZ, que son todas de igual direccin y sentido.

Puesto que las dos porciones de hilo rectilneas son indefinidas y simtricas respecto de O, el razonamien-to anterior se puede repetir para todas las parejas de elementos de longitud dy. Por tanto, el mdulo del campoEL

creado en el punto Ppor los dos tramos rectilneos es dos veces el campo creado por uno de ellos.Por tanto, considerando el tramo rectilneo del semieje OYpositivo,

El mdulo del campo es

[1]

E1 = 2 dEcos" =% 2

1

4#$0

!dy

s2z

s=%

!z

2#$0

dy

s3%

Se debe tener en cuenta que zes un parmetro que fija la posicin del punto P, y no una variable; por lotanto puede salir fuera de la integral.

Las dos variables que quedan en el integrando se deben sustituir en funcin de una sola. De la figura sededuce:

s = (y2 + z2)

1

2

Sustituyendo en la integral

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ELECTROSTTICA

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN2

EL =

!z

2#$0

dy

(y2 +z2)3

2

%

Efectuando el cambio de variable y= ztg "diferenciando los dos miembros,

dy = z(1+ tg2 ")d"

y sustituyendo en la integral

EL =

!z

2#$0

dy

(y2 + z2)3

2

% =!z

2#$0

z(1+ tg2 ")d"

(z2 tg2 "+ z2)3

2

% =!z

2

2#$0

(1+ tg2 ")d"

z3(tg2 "+1)3

2

% =!

2#$0z

d"

(tg2 "+ 1)1

2

% =!

2#$0z

cos"d"% =

=

!

2#$0z

sen" =!

2#$0z

y

s=

!

2#$0z

y

(y2 + z2)1

2

Los lmites de integracin para el tramo elegido son desde y= a, hasta y= +&:

Se debe tener en cuenta que para y= +&:

EL =

!

2#$0z

y

(y2 + z2)1

2

'

(

)))

*

+

,,,a

&

=

!

2#$0z

1-a

(a2 +z2)1

2

'

(

)))

*

+

,,,

[2]

[3]

limy.&

y

(y2 + z2)1

2

=limy.&

1

(1+z2

y2)1

2

= 1

La expresin vectorial del campo EL

es

EL

! "!

=

!

2#$0z

1-a

(a2 + z2)1

2

'

(

)))

*

+

,,,k

"

CLCULO DEL CAMPO CREADO POR LA SEMICIRCUNFERENCIA DE RADIO a:Por un razonamiento anlogo al seguido en el clculo del campo creado por los tramos rectilneos, pode-

mos asociar las parejas de elementos infinitesimales de carga, simtricos respecto del eje OX.

/

/

/

0

dE1dE2

X

YO

z

dE cos 0

dE cos 0 cos /

dE sen 0

a

r

El campo dE1 creado en el punto Ppor el elemento decarga dq1, es un vector cuya direccin es la de la recta quelo une con el punto P, y cuyo sentido es tal, que se aleja de

la carga por ser sta positiva.El elemento de carga dq2, simtrico de dq1 respecto deleje OXcrea un campo dE2 que es un vector simtrico de dE1respecto del plano XZ.

Descomponiendo estos vectores en la direccin del ejeOZ, y en la de la proyeccin sobre el plano paralelo al planoXYque pasa por el puno P, se obtienen respectivamente,las componentes

dEsen 0 y dEcos 0

Y descomponiendo a su vez, las componentes dEcos 0en las direcciones paralelas a los ejes OXy OYse obtienen

dE cos 0 sen / y dE cos 0 cos /.

Las componentes en la direccin paralela al eje OY,dE cos 0 cos /

se anulan, y quedan, por tanto, las siguientes componentes

dEx

= 2dE cos 0 sen / y dEz= 2dEsen 0

dq1dq2

dE cos 0 cos/

0

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Las componentes dExdebidas a todas las parejas de elementos de carga dqsimtricos respecto del eje OX,

son todas de igual direccin y sentido, y otro tanto ocurre con las componentes dEz.

Por tanto, la componente ECxdel campo creado por la semicircunferencia es

ECx

= -2dEcos0sen/= -2cos0'( *

+1

4#$0

dq

r2%% sen/= - !

2#$0r2

cos0 dl% sen/

El elemento de longitud dlabarca un ngulo infinitesimal d/ relacionado con dlpor medio de

dl= ad/

si el ngulo se mide en radianes. Sustituyendo en la integral,

ECx

= - !

2#$0r2

cos0 asen /d/% = -a!

2#$0r2

cos0 -cos/'( *

+

Los lmites de la integral para que quede comprendido el campo creado por toda la circunferencia, puestoque hemos incluido en el clculo anterior las componentes de cada pareja de cargas infinitesimales, son 0 y#/2:

ECx

= -a!

2#$0r2

cos0 -cos/'( *

+0

#

2= -

a!

2#$0r2

cos0 -cos#

2+ cos0

'

()

*

+, = -

a!

2#$0r2

cos0 = -a!

2#$0r2

a

r= -

a2!

2#$0(a2 + z2)

3

2

[4]

[6]

La componente Ezdel campo creado por la semicircunferencia es

Ez = 2dEsen0% = 2 sen0

1

4#$0

!dl

r2% =

!

2#$0r2

sen0 dl0

#a

2% =!

2#$0r2

#a

2sen0 =

!a

4$0r2

z

r=

!a

4$0r3

z =!az

4$0(a2 + z2)

3

2

El campo total es la suma vectorial de [3], [5] y [7]:

Su expresin vectorial es

EC1

! "!!

=ECx

i"

= -a

2!

2#$0(a2 + z2)

3

2

i"

[5]

[7]

Su expresin vectorial es

EC2

! "!!

=ECz

k"

=!az

4$0(a2 + z2)

3

2

k"

[8]

E!"

=

!

2#$0z

1-a

(a2 + z2)1

2

'

(

)))

*

+

,,,k

"

-a

2!

2#$0(a2 +z2)

3

2

i"

+

!az

4$0(a2 + z2)

3

2

k"

E!"

= -a

2!

2#$0(a2 + z2)

3

2

i"

+

!

2#$0z

1-a

(a2 + z2)1

2

'

(

)))

*

+

,,,+

1

23

43

!az

4$0(a2 + z2)

3

2

5

63

73k

"