PROBLEMA 18:

A. Resolver la ecuación: cos (z )=√2 y clasificar los puntos de la adherencia del conjunto de soluciones de dicha ecuación.

Sol:

Para averiguar los valores de z que cumplen con la ecuación del enunciado, primero expresemos cos (z )=√2 en su forma exponencial.

cosz= eiz+e−iz

2=√2

Ahora multiplicando a ambos lados por 2e iz

(e¿¿ iz)2+1=2√2e iz¿

(e¿¿ iz)2−2√2e iz+1=0¿

Realizando el cambio de variable: u=eiz

u2−2√2u+1=0

Recordamos el proceso por el cual podemos obtener las soluciones de la ecuación de segundo grado:

au2+bu+c=0❑⇒u=−b+√b2−4ac

2a

En este caso, para a=1 , b=−2√2 , c=1:

u=−−2√2+√(−2√2)2−4.1 .1

2.1=2√2+√4

2

Distribuyendo el denominador, y considerando que la raíz cuadrada da lugar a dos soluciones:

u=√2+eikrπ=√2+(−1)kr

Donde kr puede tomar 0 y 1.

Recordando que u=eiz

e iz=√2+(−1)kr

Aplicando logaritmo en ambos casos de la igualdad:

iz=ln (√2+(−1 )kr )❑⇒z=−iLn(√2+(−1 )kr )

Expresando (√2+(−1)kr) en coordenadas polares:

z=−iLn ([√2+(−1 )kr ] ei0)

Evaluando la función logaritmo:

Escriba aquí la ecuación.

z=−i [ln (√2+(−1 )kr )+2 iπ k l ]conk l ϵ ΖFinalmente distribuyendo −i y sabiendo que kr=0,1

zo=2 π k l−iLn (√2+1 )

z1=2π k l−iLn (√2−1 )

Clasificación de puntos de adherencia del conjunto solución:

Los puntos del conjunto solución son aislados, ya que para cada uno de los puntos existe un vecinal tal que la intersección con el conjunto, es un conjunto vacío. Esto significa que los puntos de adherencia del conjunto solución son todos puntos aislados.

Conjunto de soluciones para diferentes valores de k l

En estos dos siguientes ejercicios, usaremos este breve marco teórico:

Forma binomial de un número complejo:

z=a+bi

Forma polar de un número complejo:

z=‖z‖cis (θ ) , donde‖z‖=√a2+b2 y θ=arg (z)

Forma exponencial de un número complejo:

z=‖z‖eθi , donde‖z‖=√a2+b2 y θ=arg (z )

Conjugada de un numero complejo:

Si z=a+bi❑⇒z=a−bi

B. Encuentre la parte real y la parte imaginaria de:

M=(1−i)10

(√3 i−1)4

SOL:

Calcularemos primero (1−i)10 . Expresaremos z=(1−i), donde ‖z‖=√2 y arg ( z )=−π4

.Por lo

tanto:

z=√2(cos π4−sin π

4)=√2e

−π4i

Elevamos z a la 10:

z10=25 ¿

Ahora calcularemos (√3 i−1)4. Expresaremos w=√3 i−1 , donde ‖w‖=2, arg (w )=2π3

.

Lo llevamos a su forma polar: w=2(cos 2 π3

+sin 2π3

), donde w4=24(−12

+ √32i).

Ahora procedemos a desarrollar la división:

(1−i)10

(√3 i−1)4= −25i

24(−12

+ √32i)

=−2 i(−1

2−√32i)

1=−√3+i

Por lo tanto :ℜ (M )=−√3 yℑ (M )=1

C. Exprese en la forma a+bi el numero complejo:

w=( 7+i3+4 i

)43

Primero desarrollaremos la parte interna, multiplicando la conjugada a numerador y denominador:

( 7+i3+4 i )=( 7+i3+4 i×3−4 i3−4 i )=25−25 i25

=1−i

Lo pasamos a su forma exponencial:

1−i=√2e−π4i

Entonces

w=(1−i)43=(√2e−π4i)43=2

432 e

−43π4

i=2

432 e

−(10π+3π4

)=2

432 e

−3π4

¿2432 ¿)

¿−221−221 i Que es de la forma a+bi