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Probabilités

Table des matières

1 Mots clés - Notations - Formules 31.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 q.c.m préliminaire 62.1 énoncé 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 énoncé 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 petite évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 loi des grands nombres 153.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 probabilité 184.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 probabilités et opérations sur les événements 325.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1.3 activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.1.4 activité 4 : tables de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


5.2.1 corrigé activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36



5.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


6 probabilités et expériences aléatoires composées 436.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.3 activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.1.4 activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


6.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


1

7 exercices 50

8 devoir maison 578.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8.2 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

9 évaluations 609.1 évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

9.2 corrigé évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

10 révision 70

1 Mots clés - Notations - Formules

1.1 Vocabulaire

Il faut connaître la signification des mots ou expressions suivantes :

1. une expérience aléatoire

2. l’univers d’une expérience aléatoire

3. les issues d’une expérience aléatoire

4. les événements élémentaires d’une expérience aléatoire

5. les événements éventualités d’une expérience aléatoire

6. probabilité d’un événement élémentaire

7. probabilité d’un événement quelconque

8. cas de l’équiprobabilité

9. événement favorable

10. sous ensemble d’un ensemble

11. sous ensemble inclu dans un ensemble

12. événement contraire d’un événement

13. intersection d’événements

14. ensembles disjoints

15. événement incompatibles

16. événement impossible

17. événement certain

18. réunion d’événements

19. expérience aléatoire composée

20. arbre de dénombrement

1.2 Notations

Il faut connaître la signification des notations mathématiques suivantes :

1. p

2. p(A)

3. p(xi)

4. U

5. Ω

6. xi ∈ Ω

7. A ⊂ Ω

8. A ∪B

9. A ∩B

10. A

11. ∅

1.3 Formules

Il faut connaître par coeur les résultats suivants :

1. U = x1;x2; ...;xnUne probabilité p définie sur U est une fonction de U vers [0; 1]qui à chaque xi associe un nombre p(xi) compris entre 0 et 1 et telle que :

p(x1) + p(x2) + ...+ p(xn) = 1 (la somme des probabilités des issues vaut 1)

2. Soit un l’univers U = x1;x2; ...;xn sur lequel est défini une probabilité p

Soit A une partie de U

• Si A 6= ∅ est constituée des issues xi1 ; ...;xik (A = xi1 ; ...;xik)

alors la probabilité de A est le nombre noté p(A) avec :

p(A) = p(xi1) + ...+ p(xik)

(p(A) est la somme des issues qui constituent A)

• Si

A = ∅ alors

p(A) = 0 on dit que A est un événement "impossible"

• si

p(A) = 1 on dit que A est un événement "certain"

3. Soit l’univers U = x1;x2; ...;xn constitué de n > 0 issues et p une probabilité

(1) Si

p(x1) = p(x2) = ... = p(xn) =

1

nalors on dit qu’il y a "équiprobabilité"

(toutes les éventualités ont la même probabilité)

(2) Soit A une partie de U constituée des k événements élémentaires xi1 ; ...;xik

S’il y a équiprobabilité alors

p(A) =

k

nou encore

p(A) =

nombre de cas favorables pour A

nombre de cas au total

4. Soit un univers U = x1; x2; ...; xnSoient A ⊂ U un sous ensemble de U

Soient B ⊂ U un sous ensemble de U

(1) pour

A le contraire de A on a :

p(A) = 1− p(A)

(2) pour

A ∪B la réunion de A et B on a :

p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B)

(3) si

A ∩B = ∅ (A et B incompatibles) on a :

p(A ∪B) = p(A) + p(B)

2 q.c.m préliminaire

2.1 énoncé 1

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2.2 énoncé 2

Questionnaire de probabilités

1. On joue à "pile ou face" avec une pièce de monnaie équilibréeQuelle est la probabilité de faire "Pile" ?

2. On lance un dé usuel équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6Quelle est la probabilité de faire 1 point ?

3. On dispose d’un dé non équilibré pour lequel on a les informations suivantesrésultat 1 2 3 4 5 6 total

probabilité 0, 1 0, 05 0, 2 0, 03 0, 02 0, 6 1On lance ce dé, quelle est la probabilité d’obtenir un score "Pair" ?

4. On choisit une carte dans un jeu usuel de 32 cartes (8 coeurs, 8 carreaux, 8 trèfles, 8 piques)(4 rois, 4 reines, ... ) (16 rouges, 16 noires)

(a) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Roi" ?

(b) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Coeur" ?

(c) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Roi et Coeur " ?

(d) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Roi ou Coeur " ?

(e) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Non Roi " ?

5. On dispose du tableau suivant concernant une classeOn choisit au hasard un élève de cette classe

Garçon Fille TotalGauchers 3 2 5

Droitiers 10 15 25

total 13 17 30

(a) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Fille" ?

(b) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Droitier" ?

(c) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Fille ET Droitier " ?

(d) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Fille OU Droitier " ?

(e) On choisit au hasard un élève de cette classe parmi les GauchersQuelle est la probabilité que l’élève soit "Fille" ?

(f) On choisit au hasard un élève de cette classe parmi les Filles Quelle est la probabilité quel’élève soit "Gaucher" ?

6. Une urne contient 2 billes vertes et 1 bille rouge (V1, V2 et R1)On choisit une bille au hasard,ON LA REMET dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urne

(a) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes vertes" ?

(b) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes rouges " ?

7. Une urne contient 2 billes vertes et 1 bille rouge (V1, V2 et R1)On choisit une bille au hasard,ON NE LA REMET PAS dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urne


(b) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes rouges " ?

8. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6Quelle est la probabilité d’obtenir un "double 6" ?

2.3 réponses

question résultat méthode

1 p(pile) =1

2

nombre de cas favorables

nombre de cas total

2 p(1) =1

6


nombre de cas total

3 p(2) =1

6


nombre de cas total

4 p(Pair) = p(2) + p(4) + p(6) = 0, 95

somme des probabilites des cas favorables

5 p(Roi) =4

32


nombre de cas total

6 p(Coeur) =8

32


nombre de cas total

7 p(Roi et coeur) =1

32


nombre de cas total

8 p(Roi ou coeur) =4

32+

8

32−

1

32=

11

32

p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B)

9 p(Roi) = 1−4

32=

32

32−

4

32=

28

32

p(A = 1− p(A)

10 p(Fille) =17

30


nombre de cas total

11 p(Droitier) =25

30


nombre de cas total

12 p(FilleetDroitier) =15

30


nombre de cas total

13 p(FilleouDroitier) =17

30+

25

30−

15

30=

27

30p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B)

14 pGaucher(Fille) =2

5


nombre de cas total

15 pF ille(Gaucher) =2

17


nombre de cas total

16 p(2 vertes) =4

9

arbre1 et


nombre de cas total

17 p(2 rouges) =1

9arbre1 et


nombre de cas total

18 p(2 vertes) =2

6arbre2 et


nombre de cas total

19 p(2 rouges) = 0 arbre2 etnombre de cas favorables

nombre de cas total

20 p(2 six) =1

36arbre3 et


nombre de cas total

arbre 1

V1

V2

R1

V1

V2

R1

V1

V2

R1

V1

V2

R1

V1V1

V1V2

V1R1

V2V1

V2V2

V2R1

R1V1

R1V2

R1R1

b

b

b

b

4 cas pour 2 vertes

9 cas au total

1 cas pour 2 rouges

arbre 2

V1

V2

R1

V2

R1

V1

R1

V1

V2

V1V2

V1R1

V2V1

V2R1

R1V1

R1V2

b

b

2 cas pour 2 vertes

6 cas au total

0 cas pour 2 rouges

arbre 3

1

2345

6

1

23456

b b b

1

23456 1 cas pour 2 six

6× 6 = 36 cas au total

2.4 petite évaluation

petite évaluation de probabilités

1. On joue à "pile ou face" avec une pièce de monnaie équilibréeQuelle est la probabilité de faire "Pile" ?

2. On joue à "pile ou face" avec une pièce de monnaie non équilibrée avec laquelle la probabilitéde faire "pile" est de 20%Quelle est la probabilité de faire "Face" ?

3. On lance un dé usuel équilibré à 8 faces numérotées de 1 à 8Quelle est la probabilité de faire 1 point ?

4. On dispose d’un dé non équilibré pour lequel on a les informations suivantesrésultat 1 2 3 4 5 6 total

probabilité 0, 05 0, 1 0, 2 0, 03 0, 6 0, 02 1On lance ce dé, quelle est la probabilité d’obtenir un score "Pair" ?

5. On choisit une carte dans un jeu usuel de 32 cartes (8 coeurs, 8 carreaux, 8 trèfles, 8 piques)(4 rois, 4 reines, ... ) (16 rouges, 16 noires)

(a) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Reine" ?

(b) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Rouge" ?

(c) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Reine et Rouge " ?

(d) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Reine ou Rouge" ?

(e) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Non Carreau " ?

6. On dispose du tableau suivant concernant une classe

On choisit au hasard un élève de cette classe

Garçon Fille TotalGauchers 6 4 10

Droitiers 20 30 50

total 26 34 60

(a) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Garçon" ?

(b) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Gaucher" ?

(c) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Garçon ET Gaucher" ?

(d) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Garçon OU Gaucher" ?

(e) On choisit au hasard un élève de cette classe parmi les DroitierQuelle est la probabilité que l’élève soit "Garçon" ?

(f) On choisit au hasard un élève de cette classe parmi les Garçon Quelle est la probabilitéque l’élève soit "Droitier" ?

7. Une urne contient 1 bille Blanche et 2 bille Noire (B1 , N1 et N2)On choisit une bille au hasard,ON LA REMET dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urne

(a) faire un arbre au verso

(b) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes blanches" ?

(c) Quelle est la probabilité d’obtenir "1 bille blanche " ?

8. Une urne contient 1 bille Blanche et 2 bille Noire (B1 , N1 et N2)On choisit une bille au hasard,ON NE LA REMET PAS dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urne

(a) faire un arbre au verso

(b) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes blanches" ?

(c) Quelle est la probabilité d’obtenir "1 bille blanche " ?

9. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 8 faces numérotées de 1 à 8Quelle est la probabilité d’obtenir un "double 8" ?

3 loi des grands nombres

3.1 activité

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3.2 à retenir

définition 1 : (expérience aléatoire et univers)

(1) Une expérience est aléatoire si :

on connaît tous les résultats qui peuvent arriveron ne connaît pas le résultat qui va arriver

(2) L’ensemble U des "résultats" possibles est appelé "l’univers" de l’expérience aléatoire

Exemples :

a. lancer d’une pièce : U = P ;F

b. lancer d’une dé à six faces : U = 1; 2; 3; 4; 5; 6

c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = as de coeur; ...; 7 de pique

d. jouer au loto (7 nombres différents de 1 à 49) :U = (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7); (1; 2; 3; 4; 5; 6; 8); ...; (43; 44; 45; 46; 47; 48; 49)

Remarques :

a. chaque résultat est aussi appelé "issue", "événement élémentaire" ou "éventualité"

b. l’univers est aussi noté Ω (grand oméga)

c. à notre niveau, l’univers U aura toujours un nombre n entier et fini d’élémentson pourra alors noter U = x1;x2; ...;xn

propriété 1 : (loi des grands nombres)

Etant donnée une expérience aléatoire d’univers U = x1;x2; ...xnOn répète k fois cette expérience aléatoireSoit fk(xi) la proportion de fois où l’on obtient le résultat xi ∈ U parmi les k expériences

c’est à dire :

fk(xi) =

nombre de fois ou on obtient xi

nombre d´experiences

Quel que soit xi ∈ U :

plus k est grand et

(1) plus fk(xi) se rapproche d’une certaine valeur pi

(2) plus les "fluctuations" des valeurs de fk(xi) sont petites

Remarques :

a. Plus on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois et plus la fréquenced’apparition du résultat auquel on s’intéresse se rapproche d’une certaine valeur

Exemples :

a. pièce équilibrée : fk(P ) se rapproche de 0,5 = 50% quand k grandit

b. dé à six faces équilibré : fk(1) se rapproche de1

6≃ 16, 7% quand k grandit

c. jeu de 32 cartes : fk(Roi) se rapproche de4

32≃ 12, 5% quand k grandit

4 probabilité

4.1 activité

activité 1

1. le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibréequi se stabilise sur un des 12 petits secteurs

5

1

2

a

b

cd

e

fg

h

ij

k

l

(a) donner l’univers U des résultats possibles

(b) donner la valeur de la probabilité de chacundes résultats possibles (p(a) = ...)

(c) on reçoit le nombre R d’euros indiqué selon legrand secteur

i. donner la probabilité p(R = 5) de recevoir 5 euros puis p(R = 1) et p(R = 2)

ii. déterminer les probabilités p(R ≥ 2) et p(R < 2) et interpréter les résultats

2. on fait tourner deux fois la roue qui se stabilise consécutivement sur deux petits secteurs

(a) combien y a t-il de résultats possibles ? (penser à un arbre de dénombrement)

(b) combien y a t-il de cas où l’on reçoit 10 euros au total ?

(c) en déduire la probabilité de recevoir 10 euros au total

(d) quelle est la probabilité de recevoir 2 euros au total ?

(e) quelle est la probabilité de recevoir 4 euros au total ?

3. en fait, pour jouer à ce jeu (1 lancer de roue), il faut payer au préalable la somme de 2euros, le "gain" du jeu est alors X = R− 2 ( par exemple : X = 5− 2 = 3)

(a) compléter le tableau suivantsomme reçu : R 5 totalgain du jeu : X 3 total

probabilité

(b) quelle est la probabilité p(X > 0) de gagner de l’argent à ce jeu ?

(c) quelle est la probabilité p(X < 0) de perdre de l’argent ?

(d) calculer le gain moyen de faisant la moyenne des gains avec pour coefficients les pro-babilités

(e) ce jeu est-il à l’avantage du joueur ou de l’organisateur ?

4. dans le cas où l’on fait tourner la roue 2 fois de suite

(a) quelle est la probabilité d’avoir un gain total nul

(b) quelle est la probabilité d’avoir un gain total strictement négatif ?

activité 2

pour ce dé à 6 faces non équilibré :

résultat : X 1 2 3 4 5 6 totalprobabilité 0, 1 0, 1 0, 2 0, 3 0, 25 0, 05 1

calculer :

i. p(Xpair)

ii. p(X ≥ 3)

iii. p(X < 3)

4.2 corrigé activité

corrigé activité 1

1. le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibréequi se stabilise sur un des 12 petits secteurs

5

1

2

a

b

cd

e

fg

h

ij

k

l

(a)

U = a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l

(b)

p(a) = p(b) = p(c) = ... = p(k) = p(l) =

1

12

(c) on reçoit le nombre R d’euros indiqué selon legrand secteur

i.

p(R = 5) =

3

12=

1

4

p(R = 1) =

4

12=

1

3

p(R = 2) =

5

12

ii.

p(R ≥ 2) =

8

12=

2

3la probabilité de gagner au moins 2 euros est de ≃ 67%

p(R < 2) = p(R = 1) =

1

3la probabilité de gagner strictement moins de 2 euros est de ≃ 33%

2. on fait tourner deux fois la roue qui se stabilise consécutivement sur deux petits secteurs

(a)

il y a 12× 12 = 144 résultats possibles (voir l’arbre partiel ci dessous)

b

b

a

b ab bb cb d(5)b e(5)b f(5)b gb hb ib jb kb l

b bb cb d(5)b e(5)b f(5)b gb hb ib jb kb l

(b) nombre de cas où l’on reçoit 10 euros (5 puis 5) au total :

3× 3 = 9 cas

(c) probabilité de recevoir 10 euros au total :

9

144= 6, 25%

(d) probabilité de recevoir 2 euros (1 puis 1) au total :

4× 4

144=

16

144≃ 11, 1%

(e) probabilité de recevoir 4 euros (2 puis 2) au total :

5× 5

144=

25

144≃ 17, 4%

3. en fait, pour jouer à ce jeu (1 lancer de roue), il faut payer au préalable la somme de 2euros, le "gain" du jeu est alors X = R− 2 ( par exemple : X = 5− 2 = 3)

(a)

somme reçu : R 1 2 5 totalgain du jeu : X −1 0 3 total

probabilité4

12

5

12

3

12

12

12

(b)

p(X > 0) = p(X = 3) =

3

12

(c)

p(X < 0) = p(X = 1) =

4

12

(d) gain moyen =4

12× (−1) +

5

12× 0 +

3

12× 3 =

5

12≃

0, 42 euros

(e)

ce jeu est à l’avantage du joueur car le gain moyen est positif. (0,42 > 0)

4. dans le cas où l’on fait tourner la roue 2 fois de suite

(a) probabilité d’avoir un gain total nul :

p(double 2) =

5× 5

144=

25

144≃ 17, 3%

(b) probabilité d’avoir un gain total strictement négatif :

p(”double 1” ou ”1 puis 2”ou ”2 puis 1”) =

4× 4 + 4× 5 + 5× 4

144=

56

144≃ 39%

corrigé activité 2

pour ce dé à 6 faces non équilibré :

résultat : X 1 2 3 4 5 6 totalprobabilité 0, 1 0, 1 0, 2 0, 3 0, 25 0, 05 1

calculer :

i. p(Xpair) = p(X = 2) + p(X = 4) + p(X = 6) = 0, 1 + 0, 3 + 0, 05 = 0, 45 =

45%

ii. p(X ≥ 3) = p(X = 3) + p(X = 4) + p(X = 5) + p(X = 6)

p(X ≥ 3) = 0, 2 + 0, 3 + 0, 25 + 0, 05 = 0, 8 =

80%

iii. p(X < 3) = p(X = 1) + p(X = 2) = 0, 1 + 0, 1 = 0, 2 =

20%

4.3 à retenir

définition 2 : (expérience aléatoire et univers)

(1) Une expérience est aléatoire si :

on connaît tous les résultats qui peuvent arriveron ne connaît pas le résultat qui va arriver

(2) L’ensemble U des "résultats" possibles est appelé "l’univers" de l’expérience aléatoire

Exemples :

a. lancer d’une pièce : U = P ;F b.lancer d’un dé à six faces : U = 1; 2; 3; 4; 5; 6

c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = as de coeur; ...; 7 de pique

d. jouer au loto (7 nombres différents de 1 à 49) :U = (1; 2; 3; 4; 5; 6; 7); (1; 2; 3; 4; 5; 6; 8); ...; (43; 44; 45; 46; 47; 48; 49)

Remarques :

a. chaque résultat est aussi appelé "issue", "événement élémentaire" ou "éventualité"

b. l’univers est aussi noté Ω (grand oméga)

c. à notre niveau, l’univers U aura toujours un nombre n entier et fini d’élémentson pourra alors noter U = x1;x2; ...;xn

définition 3 : (probabilité et événement élémentaire )

Soit un univers U = x1;x2; ...;xnUne probabilité p définie sur U est une fonction de U vers [0; 1]qui à chaque xi associe un nombre p(xi) compris entre 0 et 1 et telle que :

p(x1) + p(x2) + ...+ p(xn) = 1 (la somme des probabilités des issues vaut 1)

Remarques :

a. le nombre p(xi) compris entre 0 et 1 est appelé la "probabilité" de xi

b. La somme des probabilités des éléments de U est égale à 1

Exemples :

a. dé à 6 faces équilibré :résultat 1 2 3 4 5 6 total

probabilité1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

61

b. dé à 6 faces non équilibré :résultat 1 2 3 4 5 6 total

probabilité 0, 1 0, 1 0, 2 0, 3 0, 25 0, 05 1

définition 4 : (probabilité et événement quelconque )

Soit un l’univers U = x1;x2; ...;xn sur lequel est défini une probabilité p

Soit A une partie de U

• Si A 6= ∅ est constituée des issues xi1 ; ...;xik (A = xi1 ; ...;xik)

alors la probabilité de A est le nombre noté p(A) avec :

p(A) = p(xi1) + ...+ p(xik)

(p(A) est la somme des issues qui constituent A)

• Si

A = ∅ alors

p(A) = 0 on dit que A est un événement "impossible"

• si

p(A) = 1 on dit que A est un événement "certain"

propriété 2 : (cas de l’équiprobabilité)

Soit l’univers U = x1;x2; ...;xn constitué de n > 0 issues et p une probabilité

(1) Si

p(x1) = p(x2) = ... = p(xn) =

1

nalors on dit qu’il y a "équiprobabilité"

(toutes les éventualités ont la même probabilité)

(2) Soit A une partie de U constituée des k événements élémentaires xi1 ; ...;xik

S’il y a équiprobabilité alors

p(A) =

k

nou encore

p(A) =

nombre de cas favorables pour A

nombre de cas au total

Exemples :

i. dé à 6 faces équilibré :résultat : X 1 2 3 4 5 6 total

probabilité1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

61

p(Xpair) = ... p(X ≥ 3) = ... p(X < 3) = ...

ii. dé à 6 faces non équilibré :résultat : X 1 2 3 4 5 6 totalprobabilité 0, 1 0, 1 0, 2 0, 3 0, 25 0, 05 1

p(Xpair) = ... p(X ≥ 3) = ... p(X < 3) = ...

4.4 exercices

exercice 1 :

le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibréequi se stabilise sur un des 12 petits secteurs

5e2e

0e

on reçoit le nombre d’euros indiqué

(a) donner les probabilités suivantes

i. p(R = 0), p(R = 2) et p(R = 5)de recevoir respectivement 0e, 2e et 5e,

ii. p(R > 0) (interpréter le résultat par une phrase)

iii. p(R < 5) (interpréter le résultat par une phrase)

(b) combien reçoit-on en moyenne si on prend pour coefficients les probabilités ?

(c) sachant qu’il faut payer 2 euros pour jouer, ce jeu est-il à l’avantage du joueur ou del’organisateur ?

exercice 2 :

une pièce de monnaie est truquée

la probabilité de faire pile avec cette pièce est estimée à p(pile) =3

21donner la valeur exacte de p(face) ainsi que cette valeur en % à 1% près par excès si 5

exercice 3 :

un dé à 6 faces est tel quescore S : 1 2 3 4 5 6 total

probabilité 0,1 0,05 0,15 0,02 0,28

i. compléter les deux cases vides et préciser si le dé est truqué ou non

ii. calculer les probabilités suivantes

A. p(Pair) (probabilité que le score S soit Pair)

B. p(S ≥ 3)

C. p(S > 3)

exercice 4 :

Trois personnes, Ali, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes.

Chacune tire au hasard une bille de son sac.

i. Le contenu des sacs est le suivant :

Sac d’Ali : Sac de Bernard : Sac de Claude :

5 billes rouges10 billes rouges

et30 billes noires

100 billes rougeset

3 billes noires

Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ?

ii. On souhaite qu’Ali ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge.

Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d’Ali ?

exercice 5 :

on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée

Garçon Fille TotalSeconde 140 20 160

Première 410 90 500

Terminale 150 190 340

total 700 300 1000

(a) on choisit au hasard un des élèvescalculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près.

i. A : l’élève est une fille

ii. B : l’élève est en première

iii. C : l’élève est un garçon et est en terminale

iv. E : l’élève n’est pas en première

(b) i. on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité qu’elle soit en première ?

ii. on choisit un élève de première, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

exercice 6 :

Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées :Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et2.

1 2

1

31

2

Question A B C

Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?2

3

6

44

Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 ?1

4

1

6

1

3

Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 ?1

3

2

4

3

6

Quelle est la probabilité d’obtenir au moins deux point ?2

6

1

2

2

3

Quelle est la probabilité d’obtenir au plus deux point ?5

6

1

6

3

6

exercice 7 :

Au stand d’une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans unsac contenant exactement 180 billets.— 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3.— 12 permettent de gagner une grosse peluche.— 36 permettent de gagner une petite peluche.— 68 permettent de gagner un porte-clés.— Les autres billets sont des billets perdants.Quelle est la probabilité pour un participant :

(a) de gagner un lecteur MP3 ?

(b) de gagner une peluche (grande ou petite) ?

(c) de gagner quelque chose ?

(d) de ne rien gagner ?

exercice 8 :

Pierre a lancé dix fois un dé cubique (non truqué). À chaque fois, il a obtenu 6.Il lance ce dé une 11e fois.

Quelle est la probabilité d’obtenir 6 au 11e lancer ?

exercice 9 :

Dans une classe, un sondage a été fait auprès des élèves pour connaître leur animal préféré.Les résultats sont illustrés dans le graphique ci-dessous.

0

1

2

3

4

5

6

7

chien chat dauphin perroquet araignée lion

On tire au hasard un élève de cette classe,calculer les probabilités suivantes :

(a) p(chat) (la probabilité que l’élève ait un chat pour animal préféré)

(b) p(félin)

(c) p(4 pattes)

exercice 10 :

On lance une fléchette dans le rectangle ABCD ci dessous où chacun des rectangles hachuréen bleu ( dans le rectangle P1P2P3P4) a une probabilité deux fois plus grande d’être atteintque chacun des rectangles hachuré en vert (ceux en dehors du rectangle P1P2P3P4 ) .Quelle est la probabilité d’atteindre la cible rouge (rectangle de diagonale C1C2) ( arrondirà 1% par excès si 5 )(Aide : Poser et résoudre une équation avec x = probabilité d’ une case verte, trouver ainsila probabilité d’une case verte puis d’une bleue puis ...)

4.5 corrigés exercices

corrigé exercice 1 :


5e2e

0e


(a) probabilités suivantes

i. p(R = 0) =nb cas favorables

nb cas total=

7

12≃ 0, 58 ≃ 58%

p(R = 2) =2

12=

1

6≃ 0, 17 ≃ 17%

p(R = 5) =3

12=

1

4= 25% de chances de recevoir 5 e

ii. p(R > 0) = p(R = 2) + p(R = 5) =2

12+

3

12=

5

12≃ 42%

soit ≃ 42% de chances de recevoir un nombre d’euros positif strict

iii. p(R < 5) = p(R = 0) ≃ 58% de chances de recevoir strictement moins de 5 e


moyenne = E(R) =∑

pixi = 0×7

12+ 2×

2

12+ 5×

5

12=

29

12≃ 2, 42 e

(c) sachant qu’il faut payer 2 euros pour jouer, ce jeu est-il à l’avantage du joueur ou del’organisateur ?le jeu est à l’avantage du joueur car il reçoit en moyenne plus qu’il ne dépense pour jouer( 2, 42 > 2)




21

p(face) = 1− p(face) = 1− p(pile) = 1−3

21=

21

21−

3

21=

18

21=

6

7≃ 0, 86 ≃ 86%



probabilité 0,1 0,05 0,15 0,02 0,28 x y

i. y = 1

x = 1− (0, 1 + 0, 05 + 0, 15 + 0, 02 + 0, 28) = 0, 4

le dé est truqué car les 6 faces n’ont pas pour probabilités respectives1

6


A. p(Pair) = p(S = 2) + p(S = 4) + p(S = 6) = 0, 05 + 0, 02 + 0, 4 = 0, 47

B. p(S ≥ 3) = p(S = 3) + p(S = 4) + p(S = 5) + p(S = 6) = 0, 15 + 0, 02 + 0, 28 + 0, 4 = 0, 85

C. p(S > 3) = p(S = 4) + p(S = 5) + p(S = 6) = 0, 02 + 0, 28 + 0, 4 = 0, 7







et30 billes noires

100 billes rougeset

3 billes noires


pAli(Rouge) =5

5= 1 = 100%

pBernard(Rouge) =10

10 + 30=

10

40= 25%

pClaude(Rouge) =100

100 + 3=

100

103≃ 97%

c’est donc Ali avec 100% de chances de tomber sur une rouge

ii. On souhaite qu’Ali ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge.soit x le nombre de billes noires à ajouter dans le sac d’Ali, on a donc :

5

5 + x=

10

10 + 30

⇐⇒5

5 + x=

10

40

⇐⇒ 10(5 + x) = 5× 40

⇐⇒ 50 + 10x = 200

⇐⇒ x =200 − 50

10=

150

10= 15

Avant le tirage, il faut ajouter 15 billes noires dans le sac d’Ali






total 700 300 1000



p(A) =300

1000= 30%


p(B) =500

1000= 50%


p(C) =150

1000= 15%

iv. E : l’élève n’est pas en premièrep(E) = 1− p(E) = 1− p(B) = 1− 0, 5 = 50%


pfille(1) =90

300= 30%


p1(fille) =90

500= 18%


Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées :

Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et2.

1 2

1

31

2

Question A B C

Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?

2

3

6

44


4

1

6

1

3

Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 ?

1

3

2

4

3

6


6

1

2

2

3

Quelle est la probabilité d’obtenir au plus deux point ?

5

6

1

6

3

6


Au stand d’une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans unsac contenant exactement 180 billets.

— 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3.— 12 permettent de gagner une grosse peluche.— 36 permettent de gagner une petite peluche.— 68 permettent de gagner un porte-clés.— Les autres billets sont des billets perdants.

on a pour probabilités pour un participant :

(a) p(MP3) =4

180≃ 2%

(b) p(peluche) =12

180+

36

180=

48

180≃ 27%

(c) p(gagner) =4 + 12 + 36 + 68

180=

120

180≃ 67%

(d) p(perdre) = 1− p(perdre) = 1− p(gagner) =180

180−

120

180=

60

180≃ 33%




p(6) =1

6≃ 17%



0

1

2

3

4

5

6

7



(a) p(chat) =5

6 + 5 + 3 + 2 + 1 + 3=

5

20= 25%

(b) p(f elin) = p(chat) + p(lion) =5

20+

3

20=

8

20= 40%

(c) p(4pattes) = p(chien) + p(chat) + p(lion) =14

20= 70%


On lance une fléchette dans le rectangle ABCD ci dessous où chacun des rectangles hachuréen bleu ( dans le rectangle P1P2P3P4) a une probabilité deux fois plus grande d’être atteintque chacun des rectangles hachuré en vert (ceux en dehors du rectangle P1P2P3P4 ) .Quelle est la probabilité d’atteindre la cible rouge (rectangle de diagonale C1C2) ( arrondirà 1% par excès si 5 )(Aide : Poser et résoudre une équation avec x = probabilité d’ une case verte, trouver ainsila probabilité d’une case verte puis d’une bleue puis ...)

Posons : p(petit rectangle vert) = x

donc : p(petit rectangle bleu) = 2xde plus : p(Zone rouge de diagonale C1C2) = p(carrés bleus de la zone rouge) +p(carrés verts de la zone rouge)ainsi : p(Zone rouge de diagonale C1C2) = 10× 2x+ 26 × x

soit : p(Zone rouge de diagonale C1C2) = 46x

il reste à trouver la valeur de x

or : p(rectangle bleu) + p(tout sauf le rectangle bleu) = 1par conséquent : 20× 2x+ 80 × x = 1ce qui donne : 120x = 1

d’où : x =1

120

conclusion : p(Zone rouge de diagonale C1C2) = 46x = 46×1

120=

46

120≃ 0, 383 ≃ 38%

5 probabilités et opérations sur les événements

5.1 activité

5.1.1 activité 1

Un groupe A de 10 amis dont on ne connaît que lesinitiales des prénoms est tel que :

A

S

M

• d et e pratiquent un sport et d’un instrument de musique• a, b, c pratiquent un sport uniquement• f et g jouent d’un instrument de musique uniquement• h , i et j ne font ni l’un ni l’autre

1. compléter le schéma à bulle donné

appeler M l’ensemble des "musiciens", S celui des "sportifs"

2. on choisit une de ces personnes au hasard

(a) quelle est la probabilité p(M) qu’elle soit musicienne ?

(b) quelle est la probabilité p(S) qu’elle soit sportive ?

(c) quelle est la probabilité p(S ∩M) qu’elle soit sportive et musicienne ?

(d) quelle est la probabilité p(S ∪M) qu’elle soit sportive ou musicienne ?(donner 2 méthodes dont une à partir des trois résultats précédents )

(e) quelle est la probabilité p(S) qu’elle ne soit pas sportive ? (donner deux méthodes)

(f) quelle est la probabilité p(M) qu’elle ne soit pas musicienne ? (donner deux méthodes)

(g) quelle est la probabilité p(S ∩M) ? (donner la phrase d’interprétation)

(h) quelle est la probabilité p(S ∪M) ? (donner la phrase d’interprétation)

5.1.2 activité 2

on dispose du tableau ci dessous concernant un lycéeGarçon Fille Total

Seconde 280 40 320

Première 820 180 1000


total 1400 600 2000

1. on choisit au hasard un des 2000 élèvescalculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près.

(a) F : l’élève est une fille

(b) P : l’élève est en première

(c) G ∩ T : l’élève est un garçon et est en terminale

(d) G ∪ T : l’élève est un garçon ou est en terminale

(e) P : l’élève n’est pas en première

2.(a) définir l’événement F ∩ P par une phrase et donner sa probabilité à 1% près

(b) définir l’événement S ∩ T par une phrase et donner sa probabilitéque dire de l’événement S ∩ T ? que dire des événements S et T ?

(c) définir l’événement S ∪ T par une phrase et donner sa probabilité

(d) définir l’événement F ∪ P par une phrase et donner sa probabilité à 1% près

(e) définir l’événement F par une phrase et donner sa probabilité

3.(a) on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité qu’elle soit en première ?

(b) on choisit un élève de première, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

5.1.3 activité 3

R1

R2

R3

R4

B1

B2

B3 V1

V2

V3

On tire au hasard une bille avec équiprobabilitéDéterminer quel est l’événement le plus probable parmi les événements suivants et justifier

1. rouge

2. non rouge

3. impair

4. rouge et impair

5. rouge ou impair

6. rouge et vert

7. rouge ou vert

5.1.4 activité 4 : tables de vérité

1. Table de vérité pour la négation (NON)

x ∈ A x ∈ A

V

FA A U

2. Table de vérité pour l’intersection (ET)

x ∈ A x ∈ B x ∈ A ∩B

F F

V F

F V

V V

A

B

U

A ∩B

A

B

U

A ∩B = ∅

A

B

U

A ∩B

3. Table de vérité pour la réunion (OU)

x ∈ A x ∈ B x ∈ A ∪B

F F

V F

F V

V V

A

B

U

A ∪B A ∪B

A ∪B

U

A

B

U

A ∪B

4. Contraire du OU

A B A B A ∪B A ∪B A ∩B

F F

F V

V F

V V

comparer les deux dernières colonnes, qu’en déduire pour A ∪B et A ∩B ? : ...

5. Contraire du ET

A B A B A ∩B A ∩B A ∪B

F F

F V

V F

V V

comparer les deux dernières colonnes, qu’en déduire pour A ∩B et A ∪B ? : ...


5.2.1 corrigé activité 1

1. schéma

A

S

M

•a

•b

•c •d

•e

•f

•g

•h

•i

•j

2. on choisit une de ces personnes au hasard

(a)

p(M) =

4

10= 40%

(b)

p(S) =

5

10= 50%

(c)

p(S ∩M) =

2

10= 20%

(d)

p(S ∪M) =

7

10= 70%

p(S ∪M) = p(S) + p(M)− p(S ∩M) = 50% + 40% − 20% = 70%

(e)

p(S) =

5

10= 50%

p(S) = 1− p(S) = 1− 0, 5 = 0, 5 = 50%

(f)

p(M) =

6

10= 60%

p(M) = 1− p(M) = 1− 0, 4 = 0, 6 = 60%

(g)

p(S ∩M) =

3

10= 30%

(h)

p(S ∪M) = p(S) + p(M)− p(S ∩M) = 50% + 60% − 30% = 80%


on dispose du tableau ci dessous concernant un lycéeGarçon Fille Total

Seconde 280 40 320

Première 820 180 1000


total 1400 600 20001.(a) p(Fille) = p(F ) =

600

2000=

0, 3

(b) p(Première) = p(P ) =1000

2000=

0, 5

(c) p(Garçon et terminale) =p(G ∩ T ) =300

2000=

0, 15

(d) p(Garçon ou terminale) =p(G ∪ T ) =1400 + 680 − 300

2000=

1780

2000=

0, 89

autre méthode avec la "formule du ou"

p(G ∪ T ) = p(G) + p(T )− p(G ∩ T ) =

1400

2000+

680

2000−

300

2000=

1780

2000=

0, 89

(e) p(pas en première) =

p(P ) = 1− p(P ) = 1− 0, 5 =

0, 5

2.(a) F ∩ P :

l’élève est une fille et est en première ; p(F ∩ P ) =

180

2000=

0, 09

(b) S ∩ T :

l’élève est en seconde et est en terminale ; p(S ∩ T ) =

0

2000=

0

(c) S ∪ T :

l’élève est en seconde ou est en terminale ;

p(S ∪ T ) =320 + 680

2000=

1000

2000=

0, 5

autre méthode avec la "formule du ou"

p(S ∪ T ) = p(S) + p(T )− p(S ∩ T ) =

320

2000+

680

2000−

0

2000=

320 + 680

2000=

1000

2000=

0, 5

(d) F ∪ P :

l’élève est une fille ou est en première ; p(F ∪ P ) =

1000 + 600 − 180

2000=

0, 71

(e) F :

l’élève n’est pas une fille ;

p(F ) = 1− p(F ) = 1− 0, 3 =

0, 7

3.(a) pfille(premiere) =180

600=

0, 3

(b) ppremiere(fille) =180

1000=

0, 18


R1

R2

R3

R4

B1

B2

B3 V1

V2

V3

On tire au hasard une bille avec équiprobabilitéDéterminer quel est l’événement le plus probable parmi les événements suivants et justifier

1. p(rouge) =4

10= 0,4 =

40%

2. p(non rouge) = 1 - p(rouge) = 1 - 0,4 = 0,6 =

60%

3. p(impair) =6

10= 0,6 =

60%

4. p(rouge et impair) =2

10= 0,2 =

20%

5. p(rouge ou impair) = p(rouge) + p(impair) - p(rouge et impair)

p(rouge ou impair) = 40% + 60% - 20% =

80%

6. p(rouge et vert) =0

10= 0 =

0%

7. p(rouge ou vert)= p(rouge) + p(vert) - p(rouge et vert) = 40% +3

10- 0% = 0,7 =

70%

l’événement

le plus probable est

"rouge ou impair" avec une probabilité de 80%

5.3 à retenir

définition 5 : (événement contraire)

Soit un univers U = x1;x2; ...;xnSoit A ⊂ U un sous ensemble de U (un "événement")

A A

U

"L’événement contraire" de A est noté

A où

A est le sous ensemble de U constitué de tous les éléments de U qui ne sont pas dans A

Remarques :

a. U = ∅, ∅ = U , U = U

Exemples :

a. lancer d’une pièce : U = P ; F , le contraire de "pile" est "face"

b. lancer d’une dé à six faces : U = 1; 2; 3; 4; 5; 6le contraire de "six"= 6 est "tout sauf six"= 1; 2; 3; 4; 5le contraire de "pair"= 2; 4; 6 est "impair"= 1; 3; 5le contraire de "Score > 3"= 4; 5; 6 est "Score ≤ 3"= 1; 2; 3

c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = as de coeur; ...; 7 de piquele contraire de "roi" est "tout sauf roi"

définition 6 : (intersection d’événements)

Soit un univers U = x1; x2; ...; xnSoient A ⊂ U un sous ensemble de U

Soient B ⊂ U un sous ensemble de UA

B

U

A ∩B

A

B

U

A ∩B = ∅

A

B

U

A ∩B

"L’intersection de A avec B est notée

A ∩B ("A inter B")

où

A ∩B est constitué de tous les éléments de U qui sont à la fois dans A et dans B

si A etB n’ont

aucun éléments en commun on note alors :

A ∩B = ∅

et on dit que A et B sont

"disjoints" ou encore

"incompatibles" (cas 2 ci dessus)

Remarques :

a. A ∩B se lit aussi "A et B"

Exemples :

a. lancer d’une pièce : U = P ; F :pile ∩ face = ∅, "pile" et "face" sont incompatibles

b. lancer d’une dé à six faces : U = 1; 2; 3; 4; 5; 6[Score > 3] ∩ [Score pair] = 4; 6[Score ≤ 3] ∩ [Score impair] = 1; 3

c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = as de coeur; ...; 7 de piqueroi ∩ as = ∅roi ∩ coeur = roi de coeur

définition 7 : (réunion d’événements)


Soient B ⊂ U un sous ensemble de UA

B

U

A ∪B A ∪B

A ∪B

U

A

B

U

A ∪B

"la réunion " des ensembles A et B est notée

A ∪B ("A union B")

où

A ∪B est constitué des éléments de U qui sont dans au moins un des ensembles A ou B

Remarques :a. A ∪B se lit aussi "A ou B"

Exemples :a. lancer d’une pièce : U = P ; F

pile ∪ face = P ; F = U

b. lancer d’une dé à six faces : U = 1; 2; 3; 4; 5; 6[Score > 3] ∪ [Score pair] = 2; 4; 5; 6[Score ≤ 3] ∪ [Score impair] = 1; 2; 3; 5

c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = As♥; ...; 7♠roi ∪ as = R♠; R♣; R♥; R♦; As♠; As♣; As♥; As♦

propriété 3 :


Soient B ⊂ U un sous ensemble de U

(1) pour

A le contraire de A on a :

p(A) = 1− p(A)

(2) pour

A ∪B la réunion de A et B on a :

p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B)

(3) si

A ∩B = ∅ (A et B incompatibles) on a :

p(A ∪B) = p(A) + p(B)

Exemples :a. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = As♥; ...; 7♠

p(Roi ∪ ♥) = p(Roi) + p(♥)− p(Roi ∩ ♥)

p(Roi ∪ ♥) =4

32+

8

32−

1

32=

11

32

b. lancer d’une dé à six faces : U = 1; 2; 3; 4; 5; 6

p([Score > 3] ∪ [Score pair]) = p(Score > 3) + p(Score pair)− p([Score > 3] ∩ [Score pair])

p([Score > 3] ∪ [Score pair]) =3

6+

3

6−

2

6=

4

6

5.4 exercices

exercice 11 :


1

2

34

5

67

8

910

11

12

1. calculer les probabilités suivantes

(a) p(pair), p(gris)

(b) p(gris)

(c) p(pair et gris)

(d) p(pair ou gris)

(e) p(pair et gris)

(f) p(pair ou gris)

(g) p(pair et gris)

(h) p(pair ou gris)

2. pair et gris sont-ils incompatibles ? 3. gris et S ≥ 9 sont-ils incompatibles ?

exercice 12 :

dans une classe de terminale, pour l’année suivante :

— 80% ont fait un dossier de B.T.S— 60% ont fait un dossier d’ I.U.T

— 50% ont fait les deux

donner ou calculer les probabilités et interpréter chaque valeur par une phrase

1. p(IUT ), p(BTS)

2. p(IUT ∩ BTS)

3. p(IUT ∪ BTS)

4. IUT et BTS sont-ils incompatibles ?

exercice 13 :


probabilité 0,2 0,15 0,05 0,1 0,3 0,2 1


(a) p(impair), p(S > 3)

(b) p(impair), p(S > 3)

(c) p(S > 3 et impair)

(d) p(S > 3 ou impair)

(e) p(S ≥ 3 ou impair)

(f) S > 3 et impair sont-ils incompatibles ?

exercice 14 :

1. concernant un lycée "ci dessous", on choisit au hasard un des 2000 élèvescalculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près et donner unephrase d’interprétation.

Garçon : G Fille : F TotalSeconde : S 280 40 320

Première : P 820 180 1000

Terminale : T 300 380 680

total 1400 600 2000

(a) p(G)

(b) p(S)

(c) p(S)

(d) p(G)

(e) p(G ∩ S)

(f) p(T ∩ S)

(g) p(G ∪ S)

(h) p(T ∪ S)

(i) p(G ∪ F )

2. G et S sont-ils incompatibles ?

3. T et S sont-ils incompatibles ?

6 probabilités et expériences aléatoires composées

6.1 activité

6.1.1 activité 1

on joue à pile ou face avec une pièce de monnaie équilibrée

1. on lance la pièce deux foissoit X le nombre de fois où l’on a obtenu "pile"

(a) combien y a t-il de résultats possibles ? lesquels ? : ...

(b) proposer une valeur pour la probabilité d’obtenir deux fois pile p(X = 2) = ...

(c) utiliser l’arbre de dénombrement suivantpour déterminer p(X = 1) = ...

(d) déterminer p(X = 0) = ...

(e) en déduire p(X > 0) =...et interpréter cette valeur: ...

b

b

Pb P − (P ;P ) : X = 2

b F − (P ;F ) : X = 1

b

Fb P − (F ;P ) : X = 1

b F − (F ;F ) : X = 0

2. on lance la pièce trois fois

(a) construire un arbre de dénombrrement

(b) déterminer la probabilité p(X = 3) = ...

(c) déterminer la probabilité p(X = 2) = ...

(d) déterminer la probabilité p(X = 1) = ...

(e) déterminer la probabilité p(X = 0) = ...

(f) en déduire la probabilité p(X > 0) = ...

et interpréter le résultat : ...

3. on lance la pièce n fois où n > 0

(a) esquisser un arbre de dénombrrement

(b) exprimer p(X = 0) en fonction de n : ...

(c) en déduire p(X > 0) en fonction de n : ...

(d) déterminer le plus petit nombre de lancer à effectuer pour que la probabilité d’obtenir"au moins une fois pile" soit de 99%...

6.1.2 activité 2

une personne choisit au hasard un pantalon parmi trois pantalons (un blanc, un rouge et unnoir) puis choisit une chemise au hasard (blanche, jaune ou rouge)

1. combien y a t-il de cas au total ? : ...


(a) p(elle est tout de blanc vêtue) = ...

(b) p(elle porte du blanc) : ...

(c) p(elle porte du blanc et du rouge)= ...

(d) p(elle porte du blanc ou du rouge)= ...

(e) p(elle n’est pas tout de blanc vêtue)= ...

b

b

pant Bb chem Bb chem Rb chem J

b

pant Rb chem Bb chem Rb chem J

b

pant Nb chem Bb chem Rb chem J

6.1.3 activité 3

on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce groupe d’élèvesGarçon Fille Total

Seconde 2 1 3

Première 1 1 2

Terminale 1 2 3

total 4 4 8

1. combien y a t-il de cas possibles au total ? : ...

2. déterminer les nombres de cas possibles et probabilités suivantes

(a) nombre de cas où l’on obtient 2 filles = ...

(b) p(les deux élèves sont des filles) = ...

(c) nombre de cas où l’on obtient 2 premières = ...

(d) p(les deux élèves sont des premières) = ...

(e) nombre de cas où l’on obtient un garçon puis une fille = ...

(f) p( un garçon puis une fille) = ...

(g) nombre de cas où l’on obtient deux élèves de genres différents = ...

(h) p( 2 genres différents) = ...

6.1.4 activité 4

on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycéeGarçon Fille Total

Seconde 280 40 320

Première 820 180 1000


total 1400 600 2000

1. combien y a t-il de cas possibles au total ? : ...

2. déterminer les nombres de cas possibles et probabilités suivantes

(a) nombre de cas où l’on obtient 2 filles = ...

(b) p(les deux élèves sont des filles) = ...

(c) nombre de cas où l’on obtient 2 premières = ...

(d) p(les deux élèves sont des premières) = ...

(e) nombre de cas où l’on un garçon puis une fille = ...

(f) p(il y a un garçon puis une fille) : ...


activité 1on joue à pile ou face avec une pièce de monnaie équilibrée

(a) on lance la pièce deux foissoit X le nombre de fois où l’on a obtenu "pile"

i.

p(X = 2) =

1

4= 25% d’obtenir deux fois pile

ii.

p(X = 1) =

2

4= 50%

iii.

p(X = 0) =

1

4= 25%

iv. p(X > 0) = 1− p(X = 0)

p(X > 0) = 1− 0, 25 = 0, 75 =

75%

Il y a 75% de chance de faire au moins unefois "pile"

b

b

Pb P : X = 2

b F : X = 1

b

Fb P : X = 1

b F : X = 0

(b) on lance la pièce trois foissoit X le nombre de fois où l’on a obtenu "pile"

i.

p(X = 0) =

1

8= 12, 5%

ii.

p(X > 0) = 1−

1

8= 87, 5%

b

b

P

b

P b P

b F

b

F b P

b F

b

F

b

P b P

b F

b

F b P

b F

(c) on lance la pièce n fois où n > 0

i.

p(X = 0) =

1

2n= (

1

2)n = 0, 5n

ii.

p(X > 0) = 1− 0, 5n

iii. le plus petit nombre de lancer à effectuer pour que la probabilité d’obtenir "au moinsune fois pile" soit de 99% est n = 7 car :un = 1− 0, 5n défini une suite numérique strictement croissante (admis)

n 6 71− 0, 5n ≃ 0, 98 ≃ 0, 992

activité 2

une personne choisit au hasard un pantalon parmi trois pantalons (un blanc, un rouge etun noir) puis une chemise au hasard (blanche, jaune ou rouge)calculer les probabilités suivantes :

(a)

p(elle est tout de blanc vêtue) =

1

9

(b)

p(elle porte du blanc) =

5

9

(c)

p(elle porte du blanc et du rouge) =

2

9

(d)

p(elle porte du blanc ou du rouge) =

8

9

(e)

p(pas tout de blanc vêtue) = 1−

1

9=

8

9

b

b

Bb Bb Rb J

b

Rb Bb Rb J

b

Nb Bb Rb J

activité 3on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycée


Première 820 180 1000


total 1400 600 2000déterminer les probabilités suivantes

(a)

p(2 filles ) =

600 × 599

2000 × 1999=

359400

3998000≃ 9%

(b)

p(2 premières) =

1000 × 999

2000 × 1999=

999000

3998000≃ 25%

(c)

p(un garçon et une fille) =

1400 × 600 + 600 × 1400

2000 × 1999=

1680000

3998000≃ 42%

6.3 à retenir

définition 8 : (expérience aléatoire composée)

(1) une expérience est

composée si elle est constituée

d’ au moins deux expériences aléatoires consécutives

(2) pour

dénombrer l’univers U d’une expérience aléatoire composée

(calculer les nombre de cas possibles) ou tout autre événement A

on peut utiliser un

arbre de dénombrement

Exemples :

a. série de deux lancers d’une pièce équilibréedonc 2× 2 = 4 cas au total

b. série de trois lancers d’un dé à six faces équilibrédonc 6× 6× 6 = 196 cas au total

c. série de trois cartes distinctes dans un jeu usuel de 32 cartesdonc 32× 31× 30 = 29760 cas au total

d. série de 7 numéros distincts parmi 49donc 49× 48× 47× 46× 45× 44× 43 = 432938943360 cas au total

6.4 exercices

exercice 15 :

on lance deux fois un dé équilibré à 8 faces

(a) calculer les probabilités suivantes

i. on obtient un double huit

ii. on obtient aucune fois 8

iii. on obtient au moins une fois 8

(b) combien de fois lancer le dé pour que la probabilité d’avoir au moins une fois 8 soit d’aumoins 99 %

(c) calculer la probabilité que la somme des deux scores soit égale à 12

exercice 16 : on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycéedéterminer les probabilités suivantes

(a) les deux élèves sont des garçons

(b) les deux élèves sont des terminales

(c) il y a un première et un terminale


Première 820 180 1000


total 1400 600 2000

exercice 17 :

une urne contient 4 billes rouges et 8 verteson choisit au hasard et avec remises deux billes dans l’urnecalculer les probabilités suivantes

A. les deux billes sont vertes

B. les deux billes sont rouges

C. les deux billes sont de couleurs différentes

exercice 18 :

une urne contient 4 billes rouges et 8 verteson choisit au hasard et sans remises deux billes dans l’urnecalculer les probabilités suivantes




7 exercices

exercice 1 :

dans le Q.C.M. suivant, il n’y a q’une seule bonne réponse par question, une bonne réponserapporte 1 point, une mauvaise enlève 0, 5 points, aucune réponse n’enlève ni ne rapporteaucun point (un score négatif est ramené à 0)

1. avec une pièce de monnaie équilibrée,

p(pile) =? réponse A : 0 réponse B :1

3réponse C :

1

2réponse D : autre

2. avec un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6,

p(2 points) =? réponse A : 1 réponse B :2

6réponse C :

1

6réponse D : 6

3. avec le dé suivant,score 1 2 3 4 5 6 total

probabilités 0, 1 0, 05 0, 2 0, 03 0, 02 ? ?

p(pair) =? réponse A : 0, 05 réponse B : 0, 08 réponse C : 0, 68 réponse D :3

6

4. pour un jeu de 32 cartes (8 ♥, 8 ♦, 8 ♣, 8 ♠), (4 rois, 4 reines, ... ),(16 rouges, 16 noires)dans lequel on choisit une carte au hasard

(a) p(roi) =? réponse A :1

4réponse B :

4

32réponse C :

4

8réponse D : 4

(b) p(coeur) =? réponse A :1

8réponse B :

1

4réponse C :

32

8réponse D : 8

(c) p(roi et coeur) =? réponse A :1

32réponse B :

12

32réponse C :

11

32réponse D : 11

(d) p(roi ou coeur) =? réponse A :1

32réponse B :

12

32réponse C :

11

32réponse D : 11

(e) p(Roi) =? réponse A :4

32réponse B :

32

28réponse C : 87, 5% réponse D : 28%

5. on choisit au hasard un élève dans la classe suivante

garçons filles totalgaucher 3 2 5

droitier 10 15 25

total 13 17 30

(a) p(fille) =? réponse A :2

30réponse B :

17

30réponse C :

2

5réponse D : 17

(b) p(droitier) =? réponse A :17

30réponse B :

15

30réponse C :

25

30réponse D :

10

30

(c) p(fille et droitier) =? réponse A :42

30réponse B :

27

30réponse C :

15

30réponse D :

15

25

(d) p(fille ou droitier) =? réponse A :15

30réponse B :

42

30réponse C :

27

30réponse D : 15

(e) l’élève est choisit parmi les gauchers, quelle est la probabilité qu’il soit une "fille" ?

pG(fille) =? réponse A :2

30réponse B :

3

30réponse C :

2

17réponse D :

2

5

(f) l’élève est choisit parmi les filles, quelle est la probabilité qu’il soit " gaucher" ?

pfille(gaucher) =? réponse A :5

17réponse B :

2

30réponse C :

2

17réponse D :

15

17

6. Une urne contient 2 billes vertes V1 et V2 ainsi qu’une rouge R1

On choisit une bille au hasard, ON LA REMET dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urneOn pourra s’aider d’un des arbres de dénombrement donnés ci dessous

(a) p(2vertes) =? réponse A :1

4réponse B :

2

6réponse C :

1

2réponse D :

4

9

(b) p(2rouges) =? réponse A :1

4réponse B : 0 réponse C :

1

9réponse D :

2

4


On choisit une bille au hasard,ON NE LA REMET PAS dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urneOn pourra s’aider d’un des arbres de dénombrement donnés ci dessous


réponse A :1

4réponse B :

2

9réponse C :

1

2réponse D :

2

6

(b) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes rouges" ?

réponse A :1


1

9réponse D :

2

4

8. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6On pourra s’aider d’un des arbres de dénombrement donnés ci dessous

p(double 6) =? réponse A :1


1

6réponse D :

2

6

arbres pour les trois dernières questions

arbre 1

V1

V2

R1

V1

V2

R1

V1

V2

R1

V1

V2

R1

arbre 2

V1

V2

R1

V2

R1

V1

R1

V1

V2

arbre 3

1

23456

1

23456

b b b

exercice 2 :


5e2e

0e


(a) donner les probabilités suivantes

i. p(R = 0), p(R = 2) et p(R = 5)de recevoir respectivement 0e, 2e et 5e,

ii. p(R > 0) (interpréter le résultat par une phrase)

iii. p(R < 5) (interpréter le résultat par une phrase)


(c) sachant qu’il faut payer 2 euros pour jouer, ce jeu est-il à l’avantage du joueur ou del’organisateur ?

exercice 3 :



21donner la valeur exacte de p(face) ainsi que cette valeur en % à 1% près par excès si 5

exercice 4 :


probabilité 0,1 0,05 0,15 0,02 0,28

i. compléter les deux cases vides et préciser si le dé est truqué ou non


A. p(Pair) (probabilité que le score S soit Pair)

B. p(S ≥ 3)

C. p(S > 3)

exercice 5 :






et30 billes noires

100 billes rougeset

3 billes noires


ii. On souhaite qu’Ali ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge.

Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d’Ali ?

exercice 6 :





total 700 300 1000





iv. E : l’élève n’est pas en première



exercice 7 :

Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées :

Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et2.

1 2

1

31

2

Question A B C

Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?2

3

6

44


4

1

6

1

3

Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 ?1

3

2

4

3

6


6

1

2

2

3

Quelle est la probabilité d’obtenir au plus deux point ?5

6

1

6

3

6

exercice 8 :

Au stand d’une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans unsac contenant exactement 180 billets.

— 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3.— 12 permettent de gagner une grosse peluche.— 36 permettent de gagner une petite peluche.— 68 permettent de gagner un porte-clés.— Les autres billets sont des billets perdants.

Quelle est la probabilité pour un participant :

(a) de gagner un lecteur MP3 ?

(b) de gagner une peluche (grande ou petite) ?

(c) de gagner quelque chose ?

(d) de ne rien gagner ?

exercice 9 :



exercice 10 :


0

1

2

3

4

5

6

7



(a) p(chat) (la probabilité que l’élève ait un chat pour animal préféré)

(b) p(félin)

(c) p(4 pattes)

exercice 11 :


1

2

34

5

67

8

910

11

12


i. p(pair), p(gris)

ii. p(gris)

iii. p(pair et gris)

iv. p(pair ou gris)

v. p(pair et gris)

vi. p(pair ou gris)

vii. p(pair et gris)

viii. p(pair ou gris)

(b) pair et gris sont-ils incompatibles ?

(c) gris et S ≥ 9 sont-ils incompatibles ?

exercice 12 :

dans une classe de terminale, pour l’année suivante :— 80% ont fait un dossier de B.T.S— 60% ont fait un dossier d’ I.U.T— 50% ont fait les deux

calculer les probabilités suivantes et interpréter chaque valeur par une phrase

i. p(IUT ), p(BTS)

ii. p(IUT ∪ BTS)

iii. IUT et BTS sont-ils incompatibles ?

exercice 13 :


probabilité 0,2 0,15 0,05 0,1 0,3 0,2 1

i. calculer les probabilités suivantes

A. p(impair), p(S > 3)

B. p(impair), p(S > 3)

C. p(S > 3 et impair)

D. p(S > 3 ou impair)

E. S > 3 et impair sont-ils incompatibles ?

exercice 14 :


Garçon : G Fille :F TotalSeconde : S 280 40 320

Première : P 820 180 1000

Terminale : T 300 380 680

total 1400 600 2000

(a) on choisit au hasard un des 2000 élèvescalculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près et donner unephrase d’interprétation.

i. p(G)

ii. p(S)

iii. p(S)

iv. p(G ∩ S)

v. p(T ∩ S)

vi. p(G ∪ S)

vii. p(T ∪ S)

viii. p(G ∪ F )

(b) G et S sont-ils incompatibles ?

(c) T et S sont-ils incompatibles ?

exercice 15 :

on lance deux fois un dé équilibré à 8 faces


i. on obtient un double huit

ii. on obtient aucune fois 8

iii. on obtient au moins une fois 8

(b) combien de fois lancer le dé pour que la probabilité d’avoir au moins une fois 8 soit d’aumoins 99 %

(c) calculer la probabilité que la somme des deux scores soit égale à 12

exercice 16 : on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycéedéterminer les probabilités suivantes

(a) les deux élèves sont des garçons

(b) les deux élèves sont des terminales

(c) il y a un première et un terminale


Première 820 180 1000


total 1400 600 2000

exercice 17 :

une urne contient 4 billes rouges et 8 verteson choisit au hasard et avec remises deux billes dans l’urnecalculer les probabilités suivantes




exercice 18 :

une urne contient 4 billes rouges et 8 verteson choisit au hasard et sans remises deux billes dans l’urnecalculer les probabilités suivantes




8 devoir maison

8.1 corrigé devoir maison 1

corrigé devoir maison

exercice 1 : 1 page 149

1. probabilité qu’il n’y ait pas de soleil :

p(pas de soleil) = 1− p(soleil) = 1− 0, 05 =

0, 95

2. probabilité qu’il y ait neige, pluie ou verglas :

p(neige ou pluie ou verglas) = 0, 5 + 0, 3 =

0, 8


1. tableau de probabilités :

zone 1 2 3 4 5 6 total

probabilité3

24

8

24

4

24

2

24

3

24

4

24

24

24

2. a. probabilité que le numéro soit impair

p(impair) = p(1) + p(3) + p(5) =3

24+

4

24+

3

24=

10

24=

5

12

b. probabilité que le numéro soit un multiple de 3

p(multiple de 3) = p(3) + p(6) =4

24+

4

24=

8

24=

1

3

c. probabilité que le numéro soit inférieur ou égal à 4

p(score ≤ 4) = p(1) + p(2) + p(3) + p(4) =3

24+

8

24+

4

24+

2

24=

17

24


1. population totale : 202714 + 215740 =

418454 personnes

2. a. p(A) = p(femme) =215740

418454≃

0, 52

b. p(B) = p(homme entre 30 et 44 ans) =40230

418454≃

0, 1

c. p(C) = p(femme de 60 ans ou plus) =29843 + 21499 + 3297

418454=

54639

418454≃

0, 12

d. p(D) = p(moins de 29 ans) =35620 + 34152 + 42547 + 43116

418454=

155435

418454≃

0, 37

3. C :

la personne n’est pas une femme de 60 ans ou plus

p(C) = 1− p(C) ≃ 1− 0, 12 ≃

0, 88


1. a. p(E) = p(externe) =128

749≃

0, 17

b. p(F ) = p(fille) =393

749≃

0, 52

c. p(M) = p(homme et interne) =42

749≃

0, 06

2. pF (D) = p(D.P. sachant fille) =70 + 26

393=

96

393≃

0, 24

3. pD(G) = p(homme sachant D.P.) =256

553≃

0, 46


1. tableau

mode de paiement montantM ≤ 200 M > 200 total

espèce 20% × 70% = 14% 2% 16%

chèque 70% − 15%− 14% = 41% 50% − 41% = 9% 50%

carte 15% 34%− 15% = 19% 100% − 16% − 50% = 34%

total 70% 100% − 70% = 30% 100%

2. a. p(A) = p(plus de 200 euros) =

0, 3

b. p(B) = p(carte ou cheque) = 0, 5 + 0, 34 =

0, 84

c. p(C) = p(carte) =

0, 34

3. a. A ∩ C :

l’achat est dépasse 200 et est payé par carte

b. A ∪ C :

l’achat est dépasse 200 ou est payé par carte

4. a. p(A ∩ C) =

0, 19

b. p(A ∪ C) = 0, 3 + 0, 34 − 0, 19 =

0, 45


1. p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1

p(6) = 1− (p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6))

p(6) = 1− (0, 2 + 0, 2 + 0, 1 + 0, 1 + 0, 1) =

0, 3

2. a. A et B

ne sont pas incompatibles car un numéro peut-être un diviseur de 15 et ne

pas être un multiple de 3 en même temps, par exemple : 1

b. Les diviseurs de 15 en question sont : 1, 3 et 5p(A) = p(1) + p(3) + p(5) = 0, 2 + 0, 1 + 0, 1 =

0, 4

c. Les scores en question qui ne sont pas des multiples de 3 sont : 1, 2 , 4 et 5p(B) = p(1) + p(2) + p(4) + p(5) = 0, 2 + 0, 2 + 0, 1 + 0, 1 =

0, 6

8.2 corrigé devoir maison 2


(a) Au total, il y a 4× 4 =

16 issues

(b) p(V1) =

7

16= 43, 75%

(c) p(2) =

8

16= 50%

(d) p(2 couleurs) =

8

16= 50%

b

b

V1

b V1

b V2

b R1

b R2

b

V2

b V1

b V2

b R1

b R2

b

R1

b V1

b V2

b R1

b R2

b

R2

b V1

b V2

b R1

b R2


(a) Au total, il y a 3× 3 =

9 issues

(b) p(JR) =

1

9≃ 11, 1%

(c) p(1 bleu) =

4

9≃ 44, 4%

(d) p(2 couleurs identiques) =

2

9≃ 22, 2%

b

b

Bb Bb Rb N

b

Rb Bb Rb N

b

Jb Bb Rb N


1. Au total, il y a 15× 15× 15 =

3375 issues

2. a. nombre d’issues favorables à A : 7× 15 × 7 =

735 issues

b. p(A) =

735

3375≃ 22%

9 évaluations

9.1 évaluation 1

nom, prénom : ... évaluation probabilités

exercice 1 :dans le Q.C.M. suivant, il n’y a q’une seule bonne réponse par question, une bonne réponserapporte 1 point, une mauvaise enlève 0, 5 points, aucune réponse n’enlève ni ne rapporteaucun point (un score négatif est ramené à 0)



3réponse C :

1

2réponse D : autre



6réponse C :

1

6réponse D : 6


probabilités 0, 1 0, 05 0, 2 0, 03 0, 02 ? ?

p(pair) =? réponse A : 0, 05 réponse B : 0, 08 réponse C : 0, 68 réponse D :3

6



4réponse B :

4

32réponse C :

4

8réponse D : 4


8réponse B :

1

4réponse C :

32

8réponse D : 8

(c) p(roi et coeur) =? réponse A :1

32réponse B :

12

32réponse C :

11

32réponse D : 11


32réponse B :

12

32réponse C :

11

32réponse D : 11


32réponse B :

32

28réponse C : 87, 5% réponse D : 28%



droitier 10 15 25

total 13 17 30


30réponse B :

17

30réponse C :

2

5réponse D : 17


30réponse B :

15

30réponse C :

25

30réponse D :

10

30


30réponse B :

27

30réponse C :

15

30réponse D :

15

25


30réponse B :

42

30réponse C :

27

30réponse D : 15



30réponse B :

3

30réponse C :

2

17réponse D :

2

5



17réponse B :

2

30réponse C :

2

17réponse D :

15

17




4réponse B :

2

6réponse C :

1

2réponse D :

4

9



1

9réponse D :

2

4




réponse A :1

4réponse B :

2

9réponse C :

1

2réponse D :

2

6


réponse A :1


1

9réponse D :

2

4


p(double 6) =? réponse A :1


1

6réponse D :

2

6


arbre 1

V1

V2

R1

V1

V2

R1

V1

V2

R1

V1

V2

R1

arbre 2

V1

V2

R1

V2

R1

V1

R1

V1

V2

arbre 3

1

23456

1

23456

b b b

exercice 2 :



Première 820 180 1000


total 1400 600 2000

1. on choisit au hasard un des 2000 élèveson considère les événements suivants :

A : l’élève est une fille B : l’élève est en première

(a) calculer p(A) à 1% près et donner une phrase d’interprétation

(b) calculer p(B)

(c) définir l’événement A ∩B par une phrase et donner la probabilité p(A ∩B) à 1% près

(d) définir l’événement A ∪B par une phrase et donner la probabilité p(A ∪B)

(e) définir l’événement A par une phrase et donner la probabilité p(A)

(f) les événements A et B sont-ils incompatibles ? (justifier)

(g) donner deux événements incompatibles pour l’énoncé de cet exercice

exercice 3 :le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibréequi se stabilise sur un des 12 petits secteurs

5

1

2

1. on reçoit le nombre R d’euros indiqué selon le grand secteur

(a) quelles sont les valeurs possibles pour R en euros ?

(b) donner la probabilité p(R = 5) de recevoir 5 e puisdonner p(R = 1) et p(R = 2) à 1% près

(c) déterminer les probabilités p(R ≥ 2) et p(R < 2)

(d) i. compléter le tableau ci dessoussomme reçu : R 5 total

probabilité

ii. calculer la moyenne des valeurs de R en prenantpour coefficients les probabilités (arrondir à 0,1 e)

(e) pour jouer à ce jeu (1 lancer de roue), il faut payer au préalable la somme de 2 e

i. est-il plus probable de gagner de l’argent ou est-il plus probable de ne pas gagnerd’argent en jouant une fois à ce jeu ? ( justifier)

ii. combien gagne t-on en moyenne si on joue un grand nombre de fois à ce jeu ?

9.2 corrigé évaluation 1

nom, prénom : ... évaluation probabilités

exercice 1 :dans le Q.C.M. suivant, il n’y a q’une seule bonne réponse par question, une bonne réponserapporte 1 point, une mauvaise enlève 0, 5 points, aucune réponse n’enlève ni ne rapporteaucun point (un score négatif est ramené à 0)



3

réponse C :

1

2réponse D : autre



6

réponse C :

1

6réponse D : 6


probabilités 0, 1 0, 05 0, 2 0, 03 0, 02 ? ?

p(pair) =? réponse A : 0, 05 réponse B : 0, 08

réponse C : 0, 68 réponse D :

3

6



4

réponse B :

4

32réponse C :

4

8réponse D : 4


8

réponse B :

1

4réponse C :

32

8réponse D : 8

(c) p(roi et coeur) =?

réponse A :

1

32réponse B :

12

32réponse C :

11

32réponse D : 11


32réponse B :

12

32

réponse C :

11

32réponse D : 11


32réponse B :

32

28

réponse C : 87, 5% réponse D : 28%



droitier 10 15 25

total 13 17 30


30

réponse B :

17

30réponse C :

2

5réponse D : 17


30réponse B :

15

30

réponse C :

25

30réponse D :

10

30


30réponse B :

27

30

réponse C :

15

30réponse D :

15

25


30réponse B :

42

30

réponse C :

27

30réponse D : 15



30réponse B :

3

30réponse C :

2

17

réponse D :

2

5



17réponse B :

2

30

réponse C :

2

17réponse D :

15

17




4réponse B :

2

6réponse C :

1

2

réponse D :

4

9


4réponse B : 0

réponse C :

1

9réponse D :

2

4




réponse A :1

4réponse B :

2

9réponse C :

1

2

réponse D :

2

6


réponse A :1

4

réponse B : 0 réponse C :

1

9réponse D :

2

4


p(double 6) =?

réponse A :

1


1

6réponse D :

2

6


arbre 1

V1

V2

R1

V1

V2

R1

V1

V2

R1

V1

V2

R1

arbre 2

V1

V2

R1

V2

R1

V1

R1

V1

V2

arbre 3

1

23456

1

23456

b b b

exercice 2 :


Première 820 180 1000


total 1400 600 2000

1. on choisit au hasard un des 2000 élèveson considère les événements suivants :

A : l’élève est une fille B : l’élève est en première

(a) probabilité que l’élève soit une fille = p(A) =600

2000=

0, 3

(b) p(B) =1000

2000=

0, 5

(c) probabilité que l’élève soit "Garçon et terminal" = p(A ∩B) =300

2000=

0, 15

(d) probabilité que l’élève soit "Garçon ou terminal"

p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B) =1400

2000+

680

2000−

300

2000=

1780

2000=

0, 89

(e) probabilité que l’élève ne soit pas une fille = p(A) = 1− p(A) = 1− 0, 3 =

0, 7

2. les événements A et B ne sont pas incompatibles car A ∩B 6= ∅( un élève peut-être une fille et en première en même temps )

3. "Garçons" et "filles" sont des événements incompatibles( un élève ne peut-être une fille et un garçon en même temps )

exercice 3 :

5

1

2

1.(a) R ∈ 1; 2; 5

(b) p(R = 5) =3

12= 25% p(R = 1) =

4

12≃ 33%

p(R = 2) =5

12≃ 42%

(c) p(R ≥ 2) = p(R = 1) + p(R = 2) =9

12= 75%

p(R < 2) = p(R = 1) = 25%

(d) i.somme reçu : R 1 2 5 total

probabilité4

12

5

12

3

121

ii. moyenne des valeurs de R :4

12× 1 +

5

12× 2 +

3

12× 5 =

29

12≃

2, 42 euros

(e) pour jouer à ce jeu (1 lancer de roue), il faut payer au préalable la somme de 2 e

i. il est plus probable de ne pas gagner d’argent en jouant une fois à ce jeu car onne gagne pas d’argent si on fait 1 ou 2 , ce qui se produit avec une probabilité de9

12= 75%

ii. on gagne en moyenne 2, 42 e si on joue un grand nombre de fois à ce jeu

b

b

P

b

P b P

b F

b

F b P

b F

b

Fb

P b P

b F

b

F b P

b F

b

b

P

b

Pb

P b Pb F

b

F b P

b F

b

Fb

P b P

b F

b

F b P

b F

b

F

b

Pb

P b P

b F

b

F b P

b F

b

Fb

P b P

b F

b

F b P

b F

10 révision

exercice :



Première 820 180 1000


total 1400 600 2000

1. on choisit au hasard un des 2000 élèves

(a) calculer les probabilités des événements suivants :F : l’élève est une fille G : l’élève est un garçon S : l’élève est en secondeP : l’élève est en première T : l’élève est en terminale

(b) définir les événements suivants par une phrase et donner leur probabilitéF ∩ S

F ∪ S

S

2. on choisit au hasard un des garçonsquelle est la probabilité qu’il soit en seconde ?

3. on choisit au hasard un des secondesquelle est la probabilité qu’il soit un garçon ?

4. on choisit au hasard deux élèves (on peut retomber sur le même)

(a) quelle est la probabilité de tomber sur deux secondes ?

(b) quelle est la probabilité de tomber sur deux garçons ?

quelle est la probabilité de tomber sur deux secondes ?

probabilités - site.math.free.frsite.math.free.fr/seconde/cours_secondes/probabilites.pdf · 1...

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