probabilities and conditional probabilitiesbencha/886204_58/ch... · 2014-02-06 ·...
TRANSCRIPT
Probabilities and Conditional Probabilities Computer Science, Informatics, Burapha University
การทดลองสม(Random Experiment)
• การทดลองสม คอ การทดลองใดๆทมผลลพธทเปนไปไดมากกวาหนงอยาง ท าใหไมสามารถบอกผลลพธทแนนอนไดลวงหนา แตทราบผลลพธทเปนไปไดทงหมด เชน การสมหยบไพหนงใบจากไพส ารบหนง ถอวาเปนการทดลองสม เพราะเรายงไมทราบวาจะไดไพใด
การวงแขงถอวาเปนการทดลองสม เพราะแตละคนมโอกาสชนะแตเราไมทราบวาเปนใคร
2
แซมเปลสเปซ (Sample Space) แซมเปลสเปซ คอ เซตของผลลพธทอาจเกดขนไดทงหมดจากการทดลองสม และเปนสงทเราสนใจ เขยนแทนดวยสญลกษณ S ซงในการทดลองสมเดยวกน สามารถเขยน แซมเปลสเปซไดมากกวาหนงแบบ ทงนขนอยกบผลลพธทเราสนใจ เชน • แซมเปลสเปซในการโยนเหรยญหนงเหรยญ 1 ครง คอ {หว,กอย} • การทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง
ถาผลลพธทเราสนใจ คอ แตมทได จงเขยนแซมเปลสเปซ ให S1 แทนแซมเปลสเปซ จะได S1 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } แตถาผลลพธทเราสนใจ คอ แตมของลกเตาทได เปนจ านวนค ให S2 แทนแซมเปลสเปซ จะได S2 = { 2 , 4 , 6 } จากตวอยางขางตน จะเหนวา แซมเปลสเปซทเขยนไดไมเหมอนกน
3
แซมเปลสเปซ (Sample Space) • กลองใบหนงมลกบอลสแดง 2 ลก สขาว 1 ลก ถาสมหยบลกบอล 1 ลก จงหา
1. แซมเปลสเปซของสลกบอลทหยบได 2. แซมเปลสเปซของลกบอลทหยบได วธท า 1. เนองจากโจทยสนใจสของลกบอลทหยบได และสของลกบอลม 2 ส คอ สแดงและสขาว ดงนนแซมเปลสเปซของสของลกบอลทหยบไดคอ S = {สแดง,สขาว}
2. เนองจากโจทยสนใจลกบอลทหยบได และลกบอลมทงหมด 3 ลก สมมตใหเปน แดง1 แดง2 ขาว1 ดงนนแซมเปลสเปซของลกบอลทหยบไดคอ S = {แดง1,แดง2, ขาว1}
• จากผลลพธทงหมดทเปนไปได ถาเราสนใจผลลพธเพยงบางตว เราจะเรยก เซตของผลลพธบางตวทเราสนใจนวา เหตการณ
4
เหตการณ (Events)
• ในการทดลองเรามกจะสนใจเกยวกบการเกดขนของเหตการณมากกวาสนใจในสมาชกทงหมดของแซมเปลสเปซ เชน เมอทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง เราสนใจในเหตการณ A เมอเหตการณ A คอการทอดลกเตาแลวไดแตมเปนจ านวนค เหตการณนจะเกดขนเมอผลลพธเปนสมาชกของเซต A = {2, 4, 6} ซงเปนสบเซตของแซมเปลสเปซ S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
• เหตการณ คอ สบเซตของแซมเปลสเปซ นยมใชสญลกษณ E แทนเหตการณ
จะไดวา S และ กเปนเหตการณดวย
5
เหตการณ (Events)
• ในการโยนลกเตา 1 ลก 1 ครง ถาผลลพธทสนใจคอ แตมทได จะได S = { 1,2,3,4,5,6 }
ถาให E1 เปนเหตการณทไดแตมซงหารดวย 3 ลงตว จะได E1 = { 3,6 }
E2 เปนเหตการณทไดแตมมากกวา 2 จะได E2 = { 3,4,5,6 }
ในกรณทวไปเราจะใชสญลกษณ n(S) แทนจ านวนสมาชกในแซมเปลสเปซ S
n(E) แทนจ านวนสมาชกในเหตการณ E
จะไดวา n(S) = 6 , n(E1) = 2 และ n(E2) = 4
6
เหตการณ (Events)
• การโยนเหรยญ 2 เหรยญ 1 ครง ถาผลลพธทสนใจ คอ หนาของเหรยญทขน จงหา ก. เหตการณทไดหวสองเหรยญ ข. เหตการณทเหรยญขนหนาเดยวกน
วธท า จะได S = { HH,HT,TH,TT }
ก. เหตการณทไดหวสองเหรยญ คอ E1 = { HH }
ข. เหตการณทเหรยญขนหนาเดยวกน คอ E2 = { HH , TT }
7
เหตการณ (Events) • การทอดลกเตา 2 ลก 1 ครง ถาผลลพธทสนใจ คอ แตมทได จงหา
ก. เหตการณทผลรวมของแตมเปน 4 ข. เหตการณทลกเตาขนแตมเหมอนกน
วธท า จะได S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4), (6,5),(6,6) } เหตการณทผลรวมของแตมเปน 4 คอ E1 = { (1,3),(2,2),(3,1) } เหตการณทลกเตาขนแตมเหมอนกน E2={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
8
เหตการณ (Events)
• การทอดลกเตา 2 ลก 1 ครง ถาผลลพธทสนใจ คอ ผลรวมของแตมทได เปน 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 และ 12 จงหา ก. เหตการณทผลรวมแตมของลกเตาทงสองลกเปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว ข. เหตการณทไดผลรวมแตมของลกเตาทงสองลกมากกวา 12 ค. เหตการณทไดผลรวมแตมของลกเตาทงสองเปนจ านวนเฉพาะ
วธท า จะได S = { 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 } เหตการณทผลรวมแตมของลกเตาทงสองลกเปนจ านวนทหารดวย 3 ลงตว คอ
E1 = { 3,6,9,12 } เหตการณทไดผลรวมแตมของลกเตาทงสองลกมากกวา 12 คอ E2 = เหตการณทไดผลรวมแตมของลกเตาทงสองเปนจ านวนเฉพาะ คอ E3 = { 2,3,5,7,11}
9
เหตการณ (Events)
ขอสงเกต
1. เพราะวา S ดงนน เปนเหตการณ 2. เพราะวา S S ดงนน S เปนเหตการณ 3. เนองจาก S เปนเซตจ ากด ถา E เปนเหตการณแลว 3.1 E เปนเซตจ ากด
3.2 0 ≤ n(E) ≤ n(S) 3.3 n(E) = 0 กตอเมอ E = 3.4 n(E) = n(S) กตอเมอ E = S
10
การด าเนนการระหวางเหตการณ(Operation of
Events)
เนองจากเหตการณเปนเซตแสดงวาเหตการณสามารถกระท ากนไดดวยตวกระด าเนนการของเซต คอ • ยเนยน(Union) • อนเตอรเซกชน(Intersection) • ผลตาง(Difference) และ • สวนเตมเตม(Complement) แลวท าใหเกดเหตการณใหมขนดงน
11
ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณ แลว ยเนยนของเหตการณ E1 และ E2 เขยนแทนดวย E1 E2 เปนเหตการณซงประกอบดวยสมาชกของเหตการณ E1 หรอสมาชกของเหตการณ E2 หรอทงสองเหตการณ ตวอยาง ในการทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง S = { 1,2,3,4,5,6 } ถา E1 เปนเหตการณทไดแตมซงหารดวย 3 ลงตว E1 = { 3,6 } ถา E2 เปนเหตการณทไดแตมเปนเลขค E2 = { 1,3,5 } ดงนน E1 E2 = { 1,3,5,6 }
ยเนยนของเหตการณ (Union of Events)
12
ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณ แลวอนเตอรเซกชนของเหตการณ E1 และ E2 เขยนแทนดวย E1 E2 เปนเหตการณซงประกอบดวยสมาชกทอยในเหตการณ E1 และเหตการณ E2 ตวอยาง ในการโยนเหรยญ 3 อน 1 ครง S = { HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT } ถา E1 เปนเหตการณทโยนไดหว 2 ครง E1 = { HHT,HTH,THH } ถา E2 เปนเหตการณทไดหวในการโยนครงแรก E2 = { HHH,HHT,HTH,HTT } ดงนน E1 E2 = { HHT,HTH }
อนเตอรเซกชนของเหตการณ (Intersection Events)
13
ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณ แลวผลตางของ E1
และ E2 เขยนแทนดวย E1 - E2 เปนเหตการณทประกอบดวยสมาชกของเหตการณ E1 แตไมเปนสมาชกของเหตการณ E2 ตวอยาง ในการโยนลกเตา 1 ลก 1 ครง S = { 1,2,3,4,5,6 } ถา E1 เปนเหตการณทไดแตมเปนเลขค E1 = { 1,3,5 } ถา E2 เปนเหตการณทไดแตมซงหารดวย 3 ลงตว E2 = { 3,6 } ดงนน E1 - E2 = { 1,5 }
ผลตางของเหตการณ (Difference of Events)
14
ถา E เปนเหตการณซงอยในแซมเปลสเปซ S แลว สวนเตมเตมของเหตการณ E เขยนแทนดวย E เปนเหตการณทประกอบดวยสมาชกทอยในแซมเปลสเปซ S แตไมอยในเหตการณ E ตวอยาง ในการโยนเหรยญ 2 อน 1 ครง S = { HH,HT, TH,TT } ถา E เปนเหตการณทขนหวทงสองอน E = { HH } ดงนน E = { HT, TH,TT }
สวนเตมเตมของเหตการณ (Complement of an Events)
15
ถา E1 และ E2 เปนเหตการณสองเหตการณ ทม E1 E2 = แลวจะเรยกเหตการณ E1 และ E2 วาเหตการณทไมเกดรวมกน ตวอยาง ในการโยนลกเตา 1 ลก 1 ครง S = { 1,2,3,4,5,6 } ถา E1 เปนเหตการณทไดแตมเปนเลขค E1 = { 1,3,5 } ถา E2 เปนเหตการณทไดแตมเปนเลขค E2 = { 2,4,6 } ดงนน E1 E2 =
เหตการณทไมเกดรวมกน (Mutually Exclusive Events)
16
ตวอยาง ในการโยนลกเตา 2 ลก 1 ครง ผลลพธทสนใจ คอ หนาของลกเตาทงสอง ก าหนดให E1 แทนเหตการณทผลบวกของแตมเปน 6 E2 แทนเหตการณทแตมขนเปนจ านวนคทง 2 ลก E3 แทนเหตการณทแตมขนเปนจ านวนคทง 2 ลก จงหา 1. E1 E2 2. E1 E2 3. E1 E2 4. (E2 E3) 5. E1 E2 E3
17
วธท า E1 แทนเหตการณทผลบวกของแตมเปน 6 E1 = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} E2 แทนเหตการณทแตมขนเปนจ านวนคทง 2 ลก E2 = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)} E3 แทนเหตการณทแตมขนเปนจ านวนคทง 2 ลก E3 = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5,3), (5, 5) }
18
จะไดวา 1. E1 E2 = {(2, 4), (4, 2)} 2. E1 E2 = {(1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (6, 2), (6, 4), (6, 6)} 3. E1 E2 = {(1, 5), (3, 3), (5, 1)} 4. (E2 E3) = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5)} 5. E1 E2 E3= (E1 E2 E3) = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2),
(3, 4), (3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5)}
19
ความนาจะเปนของเหตการณ คอ อตราสวนระหวางจ านวนสมาชกของเหตการณทสนใจ กบจ านวนสมาชกของแซมเปลสเปซทมโอกาสเกดขนไดเทาๆ กน ถา E เปนเหตการณทสนใจ และ S เปนแซมเปลสเปซ n(E) แทนจ านวนสมาชกของเหตการณ n(S) แทนจ านวนสมาชกของแซมเปลสเปซ และให P(E) เปนความนาจะเปนของเหตการณ E จะไดวา
n(S)
n(E)P(E)
ความนาจะเปนของเหตการณ
20
สมบตทส าคญของความนาจะเปน
1. 0 P(E) 1 2. P(S) = 1 3. P() = 0
21
ตวอยาง จงหาความนาจะเปนของการทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง ทมแตมมากกวา 3 วธท า ทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง จะได S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ดงนน n(S) = 6 เหตการณทตองการคอ ใหขนแตมมากกวา 3 จะได E = { 4, 5, 6 } ดงนน n(E) = 3 ความนาจะเปนของการทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง ทมแตมมากกวา 3 คอ
n(S)
n(E)P(E)
2
1
6
3
22
ตวอยาง จงหาความนาจะเปนทไดหวสองหวจากการโยนเหรยญสองอนหนงครง วธท า จากโจทย จะได S = { HH , HT , TH , TT } ดงนน n(S) = 4 E = { HH } ดงนน n(E) = 1 จะได การหาความนาจะเปนของเหตการณใด ๆ จะตองหา 2 สวน คอ n(S) และ n(E) ซงไมจ าเปนตองเขยน S และ E แบบแจกแจงสมาชกกอนแตอาจใชความรในเรองเกยวกบวธเรยงสบเปลยน และวธจดหมมาชวยในการหา n(S) และ n(E) ได เมอ n(S) หมายถงจ านวนวธทเปนไปไดทงหมด และ n(E) หมายถงจ านวนวธของเหตการณทตองการหาความนาจะเปน
n(S)
n(E)P(E)
4
1
23
ตวอยาง จงหาความนาจะเปนจากการโยนลกเตาสองลกหนงครง แลวไดผลรวมของแตมบนหนาลกเตาทงสองเปน 2 หรอ 6 วธท า จากกฎการนบ จะได n(S) = 6 x 6 =36 E = { (1,1),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) } ดงนน n(E) = 6 จะได
n(S)
n(E)P(E)
6
1
36
6
24
ตวอยาง จงหาความนาจะเปนจากหยบไดสลากหมายเลข 5 หรอ 6 หรอ 7 หรอ 8 จากการสมหยบสลาก 1 ใบ จากสลาก 10 ใบ ซงเขยนหมายเลข 1 ถง10 ก ากบไว วธท า จากโจทย จะได S = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 } ดงนน n(S) = 10 E = { 5,6,7,8 } ดงนน n(E) = 4 จะได n(S)
n(E)P(E)
5
2
10
4
25
ตวอยาง จงหาความนาจะเปนจากการไดสลากทมรางวลจากการจบสลาก 1 ใบ ทประกอบดวยสลากทมรางวล 3 ใบ และไมมรางวล 7 ใบ วธท า จากโจทย จะได n(S) เปนจ านวนวธทเปนไปไดทงหมดในการหยบสลาก 1 ใบ จากสลาก 10 ใบ n(E) เปนจ านวนวธทหยบไดสลากทมรางวล 1 รางวล จากสลากซงมรางวล 3 ใบ ดงนน n(S) = 10C1 = 10 n(E) = 3C1 = 3 จะได
n(S)
n(E)P(E)
10
3
26
ตวอยาง จงหาความนาจะเปนจากการไดค าตอบจากครอบครว 3 ครอบครววามจกรเยบผาใชทงสามครอบครว วธท า จากโจทย ก าหนดให n(S) เปนค าตอบทงหมดทไดจากครอบครว 3 ครอบครววามจกรเยบผาหรอไม n(E) เปนค าตอบจากครอบครว 3 ครอบครววามจกรเยบผาใชทงสามครอบครว จากกฎการนบ จะได n(S) = 2 x 2 x 2 = 8 E = { ( ม,ม,ม ) } ดงนน n(E) = 1 จะได
n(S)
n(E)P(E)
8
1
27
ตวอยาง จงหาความนาจะเปนจากการไดลกบอลสขาว 2 ลก สด า 1 ลก จากการสมหยบลกบอล 3 ลก จากกลองซงบรรจลกบอลสขาว 3 ลก และสด า 3 ลก วธท า ให n(S) เปนจ านวนวธทเปนไปไดทงหมดในการหยบลกบอล 3 ลก จากลกบอล 6 ลก n(E) เปนจ านวนวธทหยบไดลกบอลสขาว 2 ลก จากลกบอลสขาว 3 ลก และหยบไดสด า 1 ลก จากลกบอลสด า 3 ลก ดงนน n(S) = 6C3 = 20 n(E) = 3C2
3C1 = 9 จะได
n(S)
n(E)P(E)
20
9
28
ตวอยาง จงหาความนาจะเปนจากการไดแตมทเหมอนกนหรอไดแตม 2 จากลกเตาลกใดลกหนงในการทอดลกเตาพรอมกนสองลก วธท า ให n(S) เปนจ านวนเหตการณทเกดขนทงหมดในการทอดลกเตาพรอมกนสองลก n(E) เปนจ านวนเหตการณทลกเตาไดแตมทเหมอนกนหรอไดแตม 2 จากลกเตาลกใดลกหนง จากกฎการนบ จะได n(S) = 6 x 6 =36 E = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,2),(3,2), (4,2),(5,2),(6,2),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)} ดงนน n(E) = 16 จะได
n(S)
n(E)P(E)
9
4
36
16
29
ตวอยาง จงหาความนาจะเปนจากการไดหวและแตมทมากกวา 4 จากการโยนเหรยญหนงเหรยญและทอดลกเตาหนงลกหนงครง พรอมกน วธท า จากโจทย ก าหนดให n(S) เปนจ านวนเหตการณทเกดขนทงหมดในการโยนเหรยญหนงเหรยญและทอดลกเตาหนงลกหนงครงพรอมกน n(E) เปนจ านวนเหตการณทโยนเหรยญหนงเหรยญแลวไดหวและทอดลกเตาไดแตมทมากกวา 4 จากกฎการนบ จะได n(S) = 2 x 6 = 12 E = { (H,5),(H,6) } ดงนน n(E) = 2 จะได
n(S)
n(E)P(E)
6
1
12
2
30
ตวอยาง จงหาความนาจะเปนจากการไดสทชอบคอ สฟาหรอชมพจากการสอบถามนางสาวมาน ถงสของผาเชดหนาทชอบสองสจากสทงหมด 5 ส คอ ฟา ขาว ชมพ เขยว และเหลอง วธท า ให n(S) เปนจ านวนค าตอบทเปนไปไดทงหมดของมานเกยวกบสของผาเชดหนา 2 สจากสทงหมด 5 ส n(E) เปนจ านวนค าตอบทสอบถามนางสาวมานแลวไดสทชอบคอ สฟาหรอชมพ ดงนน n(S) = 5C2 = 10 E = {(ฟา,ขาว) , (ฟา,ชมพ) , (ฟา,เขยว) , (ฟา,เหลอง) , (ชมพ,ขาว) , (ชมพ,เขยว) , (ชมพ,เหลอง)} ดงนน n(E) = 7 จะได n(S)
n(E)P(E)
10
7
31
กฎขอท 1 ถา E1 และ E2 เปนเหตการณใดๆ ทเปนสบเซตของ แซมเปลสเปซ S แลว P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 E2) กฎขอท 2 ถา E1 และ E2 เปนเหตการณทไมเกดรวมกนแลว P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) หาไดจากกฎขอท 1 เนองจาก E1 และ E2 เปนเหตการณทไมเกดรวมกน ดงนน E1 E2 = ซงจะท าให P(E1 E2) = P() = 0 เพราะฉะนน P(E1 E2) = P(E1) + P(E2)
32
กฎทส าคญบางประการของความนาจะเปน
กฎขอท 3 ถา E เปนเหตการณใดๆ ทเปนสบเซตของ แซมเปลสเปซ S แลว P(E) = 1 - P(E) กฎขอท 4 ถา E1 และ E2 และ E3 เปนเหตการณใน แซมเปลสเปซ S แลว P(E1 E2 E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) – P(E1 E2) – P(E2 E3) – P(E1 E3) + P(E1 E2 E3)
33
ตวอยาง หยบไพ 1 ใบจากหนงส ารบจงหาความนาจะเปนทได ไพรป A หรอ โพแดง วธท า จากโจทย ก าหนดให n(S) เปนจ านวนวธทเปนไปไดทงหมดในการหยบไพ 1 ใบ จาก ไพ 52 ใบ n(E1) เปนจ านวนวธทหยบไดไพรป A จากไพ 52 ใบ n(E2) เปนจ านวนวธทหยบไดไพโพแดง จากไพ 52 ใบ จะได n(S) = 52
34
n(E1) = 4 ดงนน P(E1) = n(E2) = 13 ดงนน P(E2) = n(E1 E2) = 1 ดงนน P(E1 E2) = ดงนน P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1 E2) = + - =
52
1
52
1
52
4
52
13
52
16
524
52
13
35
ตวอยาง จากการส ารวจใบลงทะเบยนของนกเรยนชน ม.6 ของโรงเรยนแหงหนง จ านวน 100 คน พบวา มนกเรยน 60 คน เลอกเรยนคณตศาสตร 25 คน เลอกเรยนภาษาองกฤษ 15 คน เลอกเรยนภาษาเยอรมน 15 คน เลอกเรยนทงคณตศาสตร และภาษาองกฤษ 7 คน เลอกเรยนทงคณตศาสตร และภาษาเยอรมน 8 คน เลอกเรยนทงภาษาองกฤษ และภาษาเยอรมน 3 คน เลอกเรยนทง 3 วชา ถาสมใบลงทะเบยนขนมา 1 ใบ จงหาความนาจะเปนทจะไดใบลงทะเบยนของนกเรยนทเลอกเรยนคณตศาสตรหรอภาษาองกฤษ หรอภาษาเยอรมน
36
วธท า ให E1 แทนเหตการณทสมใบทะเบยน 1 ใบ แลวไดเลอกเรยน คณตศาสตร E2 แทนเหตการณทสมใบทะเบยน 1 ใบ แลวไดเลอกเรยนภาษาองกฤษ E3 แทนเหตการณทสมใบทะเบยน 1 ใบ แลวไดเลอกเรยนภาษาเยอรมน จากโจทย จะได n(S) = 100 , n(E1) = 60 , n(E2) = 25 , n(E3) = 15 , n(E1 E2) = 15 , n(E1 E3) = 7 , n(E2 E3) = 8 , n( E1 E2 E3) = 3 P( E1 E2 E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) – P(E1 E2) – P(E2 E3) – P(E1 E3) + P( E1 E2 E3)
= + + - - - +
=
100
60
100
25
100
15
100
15
100
7
100
8
100
3
100
73
37
ตวอยาง มหลอดไฟทงหมด 15 หลอด ในจ านวนนเปนหลอดเสย 5 หลอด ถาสมหยบหลอดไฟออกมา 3 หลอด จงหาความนาจะเปนของเหตการณตอไปน 1) ไดหลอดดอยางนอย 1 หลอด 2) ไดหลอดเสยอยางนอย 1 หลอด วธท า ให S แทนแซมเปลสเปซ ดงนน n(S) = 15C3 = 455
38
1) ให E1 แทนเหตการณทไดหลอดดอยางนอย 1 หลอด ดงนน E1แทนเหตการณทไดหลอดเสยทง 3 หลอด n (E1) = 5C3 = 10 ดงนน P(E1) = 1 - P(E1) = 1 - = =
455
10
455
445
91
89
39
2) ให E2 แทนเหตการณทไดหลอดเสยอยางนอย 1 หลอด ดงนน E2 แทนเหตการณทไดหลอดดทง 3 หลอด n (E2) = 10C3 = 120 ดงนน P(E2) = 1 - P(E2) = 1 - = =
455
120
455
335
91
67
40
กฎของเซต ทจะน ามาประยกตใชกบความนาจะเปนไดมดงน ถา A และ B เปนเซตใดๆ แลว 1. 2. 3. ดงนน น ามาใชในเรองความนาจะเปนจะได 1. 2. 3.
BABA
BABA )(
BABA )(
)()()()( BAPAPBAPBAP
)(1)()( BAPBAPBAP
)(1)()( BAPBAPBAP
41
ตวอยาง ถา A และ B เปนเหตการณทม P(A) = 0.6 , P(B) = 0.7 , P(A B) = 0.4 จงหาคาของ 1.1. P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) = 0.6 + 0.7 - 0.4 = 0.9 1.2. P(B) = 1 – P(B) = 1 - 0.7 = 0.3
42
1.3. P(AB) = P(B A) = P(B - A) = P(B) – P(A B) = 0.7 – 0.4 = 0.3 1.4. P(A B) = P[(A B) ] = 1 – P(A B ) = 1 – 0.9 = 0.1
43
• ในการหาความนาจะเปนของเหตการณ ถาเราก าหนดเงอนไขบางอยางเพมเตม ความนาจะเปนของเหตการณอาจแตกตางกนไปได เชน การทอดลกเตา 1 ลก 1 ครง ถาก าหนดเงอนไขวา “สนใจเหตการณทลกเตาหงายแตม 3 เมอลกเตาหงายแตมค” เปนการก าหนดเงอนไขเพมเตมจากเดม
• การค านวณหาความนาจะเปนของเหตการณ ตองค านวณเทยบกบแซมเปลสเปซใหม คอ เมอลกเตาหงายแตมค ซงแซมเปลสเปซใหม ในทนใหเปน
S = { 1 , 3 , 5 } เรยกแซมเปลสเปซใหมวา แซมเปลสเปซลดรป (reduced sample space)
ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (conditional
probabillity)
44
นนคอ ถาให E แทนเหตการณทลกเตาหงายแตม 3 เมอลกเตาหงายแตมค จะได n(E) = 1 n(S) = 3
• ให A และ B เปนเหตการณสองเหตการณ ความนาจะเปนของเหตการณ B ทเกดขนเมอเหตการณ A เกดขนแลว จะเรยกความนาจะเปนลกษณะนวา ความนาจะเปนแบบมเงอนไข
ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (conditional
probabillity)
จาก P (E) = )(
)(
Sn
En
จะได P(E) = 31
45
•
ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (conditional
probabillity)
)(
)(
BP
BAP
46
• ในการทอดลกเตา 2 ลก จงหาความนาจะเปนทผลรวมของแตมบนหนาลกเตาจะนอยกวา 5 เมอทราบวาลกเตาหงายแตมไมเทากน
วธท า ให A เปนเหตการณทลกเตาหงายแตมไมเทากน จะได
A = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 3) , (2, 4), (2, 5), (2, 6),(3, 1), (3, 2), (3, 4),
(3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (4, 6),(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3),
(6, 4), (6, 5)}
ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (conditional
probabillity)
47
จาก
ให B เปนเหตการณทผลรวมของแตมบนหนาลกเตานอยกวา 5
จะได B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)}
ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (conditional
probabillity)
48
)(
)()(
Sn
AnAP
36
30)( AP
6
5
การหาความนาจะเปนทผลรวมของแตมบนหนาลกเตานอยกวา 5 เมอก าหนดวาลกเตาหงายแตมไมเทากน คอ การหา P (B / A) พจารณาได 2 วธ
ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (conditional
probabillity)
P (B) = )(
)(
Sn
Bn
=366
หรอ 61
49
• วธท 1 พจารณาเทยบกบแซมเปลสเปซใหม คอ เหตการณ A เปนเหตการณทลกเตาหงายแตมไมเทากนซงม 30 วธ เปนแซมเปลสเปซใหม
จากนนพจารณาเหตการณ B จากเหตการณ A จะได
B = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1)}
ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (conditional
probabillity)
ดงนน P (B / A) = )(
)(
An
Bn
= 304
= 152
50
•
ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (conditional
probabillity)
51
ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (conditional
probabillity)
52
ตวอยาง หยบไพ 2 ครง ๆ ละ 1 ใบ จากไพทงส ารบทม 52 ใบ โดยไมใสคนไพใบแรกกลบเขาไปในส ารบกอนหยบไพครงทสอง จงหาความนาจะเปนทจะไดไพโพด าทง 2 ครง วธท า ให A แทนการหยบไพครงแรกไดโพด า จะได P (A) = 13/52
B แทนการหยบไพครงทสองไดโพด าหลงจากหยบครงแรกแลว จะได P (B/A) = 12/51
•
ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (conditional
probabillity)
53
• ทฤษฎกฎการคณ (Law of Multiplication)
ถา A และ B เปนเหตการณใดๆในแซมเปลสเปซ S จะไดวา P(A B) = P(A) P(B / A) เมอ P(A) 0
หมายความวาความนาจะเปนของการเกดขนรวมกนของเหตการณ A และ B จะเปนผลคณของความนาจะเปนของการเกดเหตการณ A และความนาจะเปนแบบมเงอนไขของการเกดเหตการณ B เมอก าหนดวาเหตการณ A ไดเกดขนแลว ในท านองเดยวกน ถา A1, A2 , . . . , An เปนเหตการณใดๆในแซมเปลสเปซ S จะไดวา P(A1A2A3 … An-1 An)
= P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(An/A1A2A3…An-1) เมอ P(A1A2A3…An-1) 0
ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (conditional
probabillity)
54
• ในกลองใบหนงมหลอดไฟอย 30 หลอด และมหลอดเสยปนอยดวย 5 หลอด ถาสมหยบมา 3 หลอด โดยหยบทละหลอดแบบไมใสคน จงหาความนาจะเปนทจะหยบไดหลอดเสยในการหยบครงแรกและครงทสอง และหยบไดหลอดดในครงทสาม
วธท า ให A1 เปนเหตการณทหยบไดหลอดเสยในการหยบครงแรก
A2 เปนเหตการณทหยบไดหลอดเสยในการหยบครงทสอง A3 เปนเหตการณทหยบไดหลอดดในการหยบครงทสาม
ตองการหาความนาจะเปนของเหตการณ A1 A2 A3
P (A1 A2 A3)= P (A1) P (A2 / A1 ) P (A3 / A1 A2)
ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (conditional
probabillity)
55
ความนาจะเปนแบบมเงอนไข (conditional
probabillity)
56
P(A1 A2 A3)= P(A1) P(A2 / A1) P(A3 / A1 A2)
= (5/30 )(4/29 )(25/28 )
= 25/1218
นนคอ ความนาจะเปนของทจะหยบไดหลอดเสยในการหยบครงแรกและครงทสองและหยบไดหลอดดในการหยบครงทสาม เทากบ 25/1218
• ส าหรบเหตการณใด ๆ สองเหตการณ ถาการเกดของเหตการณหนงไมมผลท าใหโอกาสของ การเกดของอกเหตการณหนงเปลยนไป จะกลาววาเหตการณทงสองเปนเหตการณทเปนอสระตอกน เชน การทอดลกเตาสองลก
ให A แทนเหตการณทลกเตาลกทหนงขนแตมตาง ๆ B แทนเหตการณทลกเตาลกทสองขนแตมตาง ๆ จะพบวา การทลกเตาแตละลกจะขนแตมตาง ๆ กนนนไมไดขนอยแกกน เชน การทลกเตาลกแรกขนแตม 5 จะไมมผลตอการทลกเตาลกทสองจะขนแตมใด ๆ เหตการณดงกลาวนถอวา เหตการณ A และ B เปนอสระตอกน ใหความหมายของเหตการณทเปนอสระตอกน ไดดงน
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
57
บทนยาม ถา A และ B เปนเหตการณทเปนอสระตอกน (independent events) จะไดวา P (A B) = P (A) P (B) ในท านองเดยวกน ถา A1, A2 , . . . , An เปนเหตการณทเปนอสระตอกน จะไดวา P(A1A2 … An) = P(A1) P(A2) . . . P(An)
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
58
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
59
•
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
60
• เนองจากตวบทนยามอยในรป pq ซงสมมลกบ qp ดงนนจงสามารถใชพจารณาวา
เมอ P(A) P(B) ≠ P(AB) จงไดวา A และ B ไมเปนอสระตอกน
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
61
•
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
62
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
63
พจารณา แต A B = {(3, 3)}
จะได
เนองจาก P (A B) P (A)P (B)
ดงนน เหตการณ A และ B ไมเปนอสระตอกน
023.01296
30)
36
6)(
36
5()()( BPAP
027.036
1)( BAP
• บทนยาม เหตการณ E1 , E2 และ E3 เปนเหตการณทเปนอสระตอกน (mutually independent events) กตอเมอมสมบต 2 ขอตอไปน
▫ เหตการณ E1 , E2 และ E3 เปนอสระตอกนเปนค ๆ (pairwise independence) นนคอ
P (E1 E2) = P (E1 ) P (E2)
P (E1 E3) = P (E1 ) P (E3)
P (E2 E3) = P (E2) P (E3)
▫ P (E1 E2 E3) = P (E1) P (E2) P (E3)
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
64
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
65
•
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
66
•
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
67
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
68
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
69
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
70
เนองจาก E1 E2 E3 = {HHH}
จะได P( E1 E2 E3) และ
P (E1)P (E2)P (E3)
นนคอ P( E1 E2 E3) = P (E1) P (E2)P (E3)
แสดงวา E1 , E2 และ E3 เปนอสระตอกน
8
1
8
1
2
1
2
1
2
1
• โยนเหรยญ 1 อน 3 ครง โดยก าหนดให A เปนเหตการณทไดหวในการโยน 2 ครงแรก B เปนเหตการณทไดกอยในการโยนครงสดทาย และ C เปนเหตการณทไดกอย 2 ครง จากทงหมด 3 ครง ก. จงแสดงวา A และ B เปนอสระตอกนหรอไม ข. จงแสดงวา B และ C เปนอสระตอกนหรอไม
ค. จงแสดงวา A และ C เปนอสระตอกนหรอไม
ง. จงแสดงวา A, B และ C เปนอสระตอกนหรอไม
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
71
วธท า โยนเหรยญ 1 เหรยญ 3 ครง จะได
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
A = {HHH, HHT}
B = {HHT, HTT, THT, TTT}
C = {HTT, THT, TTH}
AB = {HHT}
BC = {HTT, THT}
AC =
A BC =
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
72
•
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
73
•
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
74
•
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนอสระตอกน
75
B2 B1 S
B3 . . . Bn
นยาม เหตการณ B1 , B2 , B3 , . . . , Bn เปนผลแบงกน (partition) ของแซมเปลสเปซ S ถา 1. B1B2 B3 . . . Bn = S 2. Bi Bj = ส าหรบทกคาของ i j 3. P (Bi ) > 0 ; ส าหรบทกคาของ i = 1 , 2 , 3 , . . . , n
ทฤษฎบทของเบย
76
สมมตให B1 , B2 , B3 , . . . , Bn เปนเหตการณทไมเกดรวมกน (mutually exclusive events) และ B1 B2 B3 . . . Bn = S (S แทนแซมเปลสเปซ) ถา A เปนเหตการณในแซมเปลสเปซทเกดรวมกบเหตการณ B1 , B2 , B3 , . . . , Bn เหตการณใดเหตการณหนงหรอหลายเหตการณ ดงภาพ
B2 B1 S
A
B3 . . . Bn
รปแสดง A เปนเหตการณทเกดรวมกบ B1 , B2 , B3, . . . , Bn ซงไมเกดรวมกน
77
จากรป ถา A เปนเหตการณซงเปนเซตยอยของ S และ B1 , B2 , B3 , . . . , Bn เปนผลแบงกนของ S แลว B1 , B2 , B3 , . . . , Bn เปนผลแบงกนของ A ดวย นนคอ A = (B1A )(B2A )(B3 A )…(Bn A ) และเนองจาก (BiA ) (BjA ) = ส าหรบทกคาของ i j จะไดวา P (A) = P (B1A ) + P (B2A ) + P (B3 A ) + … + P (Bn A ) = P (B1 ) P (A / B1 ) + P (B2 ) P (A / B2 ) + … + P (Bn ) P (A / Bn) = P (Bi ) P (A / Bi)
n
i 1
ทฤษฎบท ทฤษฎบทความนาจะเปนทงหมด (theorem of total probability) ถา A เปนเหตการณซงเปนเซตยอยของแซมเปลสเปซ S และ B1 , B2 , B3 , . . . , Bnเปนผลแบงกนของ S แลว P (A) = P (Bi ) P (A / Bi)
78
n
i 1
ตวอยาง โรงงานผลตยางรถยนตแหงหนง มเครองจกร 3 เครอง ซงสามารถผลตยางรถยนตได 60% 30% และ 10% ของจ านวนยางรถยนตทผลตจากโรงงานแหงน ยางรถยนตทผลตจากเครองจกรทง 3 เครองมขอบกพรอง 2% 3% และ 4% ตามล าดบ ถาเลอกยางรถยนตมาหนงเสนโดยการสมเพอตรวจสภาพ จงหาความนาจะเปนทยางรถยนตเสนนจะมขอบกพรอง วธท า ให A แทนเหตการณทเลอกไดยางรถยนตทบกพรอง B1แทนเหตการณทเลอกไดยางรถยนตทผลตจากเครองจกรเครองท 1 B2 แทนเหตการณทเลอกไดยางรถยนตทผลตจากเครองจกรเครองท 2 B3 แทนเหตการณทเลอกไดยางรถยนตทผลตจากเครองจกรเครองท 3
79
จะได P (A) = P (B1 ) P (A / B1 ) + P (B2 ) P (A / B2 ) + P (B3 ) P (A / B3) = (0.60) (0.02) + (0.30) (0.03) + (0.10) (0.04) = 0.012 + 0.009 + 0.004 = 0.025 นนคอ ความนาจะเปนทยางรถยนตเสนนจะมความบกพรอง เทากบ 0.025
80
ทฤษฎบท ทฤษฎบทของเบย (Bayes’ theorem) เหตการณ B1 , B2, B3, . . . , Bn เปนผลแบงกนของ แซมเปลสเปซ S และ A เปนเหตการณซงเปนเซตยอยของ S โดย P (A) > 0 แลว P (Bk /A) = = ส าหรบทกคาของ k = 1 , 2 , 3 , . . . , n
)(
)/()(
AP
BAPBP kk
n
i
ii
kk
BAPBP
BAPBP
1
)/()(
)/()(
81
ตวอยาง โรงงานแหงหนงมเครองจกรผลตหลอดไฟฟา 3 เครอง เครองท 1 ผลตหลอดไฟฟาได 60% เครองท 2 ผลตหลอดไฟฟาได 25% เครองท 3 ผลตหลอดไฟฟาได 15% ของผลผลตทงหมด และผลผลตของเครองจกรทงสามมหลอดช ารด 2% 3% และ 5% ตามล าดบ ถาสมหลอดไฟฟาทผลตจากโรงงานนมาหนงหลอด ปรากฏวาเปนหลอดช ารด ความนาจะเปนทหลอดช ารดนผลตมาจากเครองจกรท 2 เปนเทาใด วธท า ให A แทนเหตการณทสมแลวไดหลอดไฟฟาช ารด B1 แทนเหตการณทสมแลวไดหลอดไฟฟาจากเครองจกรท 1 B2 แทนเหตการณทสมแลวไดหลอดไฟฟาจากเครองจกรท 2 B3 แทนเหตการณทสมแลวไดหลอดไฟฟาจากเครองจกรท 3
82
ตองการหาความนาจะเปนของการสมไดหลอดไฟฟาทช ารดทผลตมาจากเครองจกรท 2 ตามทฤษฎบทของเบย จะได P (B2 / A) = ในทน P (B1 ) = 0.60 , P (B2 ) = 0.25 , P (B3 ) = 0.15 P (A/ B1 ) = 0.02 , P (A / B2 ) = 0.03 P (A / B3 ) = 0.05 ดงนน P (B2 / A) = = 0.278 นนคอ ความนาจะเปนทหลอดไฟฟาทสมมานนเปนหลอดทช ารดทผลตจากเครองจกรเครองท 2 เทากบ 0.278
)/()()/()()/()(
)/()(
332211
22
BAPBPBAPBPBAPBP
BAPBP
)05.0)(15.0()03.0)(25.0()02.0)(60.0()03.0)(25.0(
83