probabilidade - prof.dr. nilo sampaio
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Elaborado pelo Doutor Nilo SampaioTRANSCRIPT
Prof.Dr. Nilo Sampaio
Exemplos:
1. Resultado no lançamento de um dado;
2. Hábito de fumar de um estudante sorteado
em sala de aula;
3. Condições climáticas do próximo domingo;
4. Taxa de inflação do próximo mês;
5. Tipo sangüíneo de um habitante escolhido ao
acaso.
Experimento Aleatório: procedimento que, ao
ser repetido sob as mesmas condições, pode
fornecer resultados diferentes
Espaço Amostral (): conjunto de todos os
resultados possíveis de um experimento aleatório.
4. Tempo de duração de uma lâmpada.
= {t: t 0}
1. Lançamento de um dado.
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Exame de sangue (tipo sangüíneo) .
= {A, B, AB, O}
3. Hábito de fumar.
= {Fumante, Não fumante}
Exemplos:
Notação: A, B, C ...
(conjunto vazio): evento impossível
: evento certo
Alguns eventos:
A: sair face par A = {2, 4, 6}
B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6}
C: sair face 1 C = {1}
Eventos: subconjuntos do espaço amostral
Exemplo: Lançamento de um dado.
Espaço amostral: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A B: interseção dos eventos A e B.
Representa a ocorrência simultânea dos eventos A
e B.
Operações com eventos
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral.
A B: união dos eventos A e B.
Representa a ocorrência de pelo menos um dos
eventos, A ou B.
O complementar de A é representado por Ac.
• A e B são disjuntos ou mutuamente exclusivos
quando não têm elementos em comum, isto é,
A B =
• A e B são complementares se sua interseção é
vazia e sua união é o espaço amostral, isto é,
A B = e A B =
•sair uma face par ou face 1A C = {2, 4, 6} {1} = {1, 2, 4, 6}
• sair uma face par e face 1A C = {2, 4, 6} {1} =
• sair uma face par e maior que 3A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {4, 6}
• sair uma face par ou maior que 3A B = {2, 4, 6} {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1}
Exemplo: Lançamento de um dado
• não sair face parAC = {1, 3, 5}
Probabilidade
• Medida da incerteza associada aos resultados
do experimento aleatório
• Deve fornecer a informação de quão verossímil
é a ocorrência de um particular evento
Como atribuir probabilidade aos
elementos do espaço amostral?
Duas abordagens possíveis:
1. Freqüências de ocorrências
2. Suposições teóricas.
Exemplo: Lançamento de um dado
Admite-se que o dado é perfeitamente equilibrado
P(face 1) = ... = P(face 6) = 1/6.
Probabilidade
Atribuição da probabilidade:
1. Através das freqüências de ocorrências.• O experimento aleatório é repetido n vezes
• Calcula-se a freqüência relativa com que cada
resultado ocorre.
Para um número grande de realizações, a
freqüência relativa aproxima-se da probabilidade.
2. Através de suposições teóricas.
•A probabilidade P(w) para cada ponto amostral
de tal forma que:
.
1ii21
i
1 )P(w ...}) , w,({w P )( P
e 1 )P(w 0
No caso discreto, todo experimento aleatório
tem seu modelo probabilístico especificado
quando estabelecemos:
•O espaço amostral = {w1,w2, ... }
Ainda no caso discreto,
• Se A é um evento, então
Aw
j
j
)(w P (A) P
Ω de elementos de nº.
Ade elementos de nº. (A) P
• Se } w..., , w,{w Ω N21
e
N
1 )(w P
i (pontos equiprováveis), então
Um jovem entre 20 e 24 anos é escolhido ao acaso
em Sergipe.
Exemplo: A tabela a seguir apresenta dados
relativos à distribuição de sexo e alfabetização em
habitantes de Sergipe com idade entre 20 e 24 anos.
SexoAlfabetizado
TotalSim Não
Masc. 39.577 8.672 48.249
Fem. 46.304 7.297 56.601
Total 85.881 15.969 101.850Fonte: IBGE- Censo 1991
: conjunto de 101.850 jovens de Sergipe, com
idade entre 20 e 24 anos.
Definimos os eventos
M: jovem sorteado é do sexo masculino;
F : jovem sorteado é do sexo feminino;
S : jovem sorteado é alfabetizado;
N : jovem sorteado não é alfabetizado.
Temos ir para a tabela
0,157101.850
15.969P(N)0,843
101.850
85.881P(S)
0,526101.850
56.601P(F)0,474
101.850
48.249P(M)
• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser
alfabetizado ou ser do sexo masculino?
M S : jovem é alfabetizado ou é do sexo masculino
• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser
alfabetizado e ser do sexo masculino?
0,928 101850
39577 - 48249 85881
em elementos de nº.
LM em elementos de nº. L)P(M
S)
S
389,0101850
39577
em elementos de nº.
LM em elementos de nº. L)P(M
S)
S
• Para qualquer evento A de ,
P(A) = 1 - P(Ac).
Regra da adição de probabilidades
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
Conseqüências:
• Se A e B forem eventos disjuntos, então
P(A B) = P(A) + P(B).
. 0 P(B) ,P(B)
B)P(A B)|P(A
PROBABILIDADE CONDICIONAL E
INDEPENDÊNCIA
Da definição de probabilidade condicional,
obtemos a regra do produto de probabilidades
B).|P(A P(B) B)P(A
Analogamente, se P(A) >0,
. A)|P(B P(A) B)P(A
0,82.
101.850
48.249101.850
39.577
39.577 / 48.249 = 0,82.
Diretamente da tabela
temos P(S | M) =
• Qual é a probabilidade do jovem escolhido ser
alfabetizado sabendo-se que é do sexo masculino?
P(M)
M)P(SM)|P(S
definição,Pela
SexoAlfabetizada
TotalSim Não
Masc. 39.577 8.672 48.249
Fem. 46.304 7.297 56.601
Total 85.881 15.969 101.850
A: 2ª bola sorteada é branca
C: 1ª bola sorteada é branca
P(A) = ???
Para representar todas as possibilidades,
utilizamos, um diagrama conhecido como
diagrama de árvores ou árvore de
probabilidades.
Exemplo: Em uma urna, há 5 bolas: 2
brancas e 3 vermelhas. Duas bolas são
sorteadas sucessivamente, sem reposição.
53
52 B
V
42
42
V
B
43
41
V
B
1Total
V V
VB
BV
BB
ProbabilidadesResultados
20
2
4
1
5
2
20
6
4
3
5
2
20
6
4
2
5
3
20
6
4
2
5
3
e 5
2
20
6
20
2)A(P
Temos
. 4
1)C|A(P
1Total
VV
VB
BV
BB
ProbabilidadeResultados
25
4
5
2
5
2
25
6
5
3
5
2
25
6
5
2
5
3
25
9
5
3
5
3
Considere agora que as extrações são feitas
com reposição, ou seja, a 1a bola sorteada é
reposta na urna antes da 2a extração. Nesta
situação, temos
53
52 B
V
53
52
V
B
V
B
53
52
ou seja, o resultado na 2a extração independe
do que ocorre na 1a extração.
e 5
2
25
6
25
4P(A) = P(branca na 2ª) =
Neste caso,
P(A | C) = P( branca na 2ª | branca na 1ª) = )A(P5
2
)A(P5
2P(A | C
c) = P(branca na 2ª | vermelha na 1ª) =
Independência de eventos: Dois eventos A e
B são independentes se a informação da
ocorrência (ou não) de B não altera a
probabilidade de ocorrência de A, isto é,
P(B). P(A) B)P(A
Temos a seguinte forma equivalente:
P(A), B)|P(A 0. P(B)
Exemplo: A probabilidade de Jonas ser
aprovado no vestibular é 1/3 e a de Madalena
é 2/3. Qual é a probabilidade de ambos
serem aprovados?
A: Jonas é aprovado
B: Madalena é aprovada
P(A B) = P(A) x P(B) = 1/3 x 2/3 = 2/9
Qual foi a suposição feita?
Prof. Dr. Nilo Sampaio
É distribuição discreta de probabilidade. Ela está associada a um experimento de múltiplas etapas.
O experimento consiste de uma seqüência de n ensaios idênticos;
Dois resultados são possíveis em cada ensaio: sucesso e fracasso;
P(sucesso)=p P(fracasso)= 1-p = q
p+ q=1
Os ensaios são independentes.
O experimento consiste em 8 jogadas do dado (ensaios idênticos);
Cada ensaio resulta em sucesso (sair 6) ou fracasso(não sair 6);
P(sucesso)= P(sair 6)=1/6
P(fracasso)= P(não sair 6)=5/6
Os ensaios são independentes.
Ensaios 1 2 3 4 5 6 7 8
Resultados s s s s f f f f f
Probabilidade 1/6 1/6 1/6 5/6 5/6 5/6 5/6 5/6
0019,03939,0.0049,0
83,0.17,06
5.
6
1 53
53
Se os 3 sucessos cairem em qualquer um dos 8 ensaios, deve-se calcular tadas as combinações possíveis de se obter 3 faces 6, em 8 jogadas.
Ensaios 1 2 3 4 5 6 7 8
Resultados s f s f s f f f
Resultados s f f f s s f f
O que resulta em uma Combinação de 8, 3 a 3;
561.2.3
6.7.8
1.2.3.4.5.1.2.3
1.2.3.4.5.6.7.8
)!38!.(3
!88
3
E unindo as duas partes da fórmula teremos:
1064,00019,0.566
5.
6
1.
538
3
Probabilidade de x sucessos em n ensaios é
)!!.(
!
1..
xnx
n
onde
pp
n
x
xnxn
x
E(X)= n.p
Variância da Binomial
•Var(X)= n.p.(1-p)
Principais Modelos Discretos
AULA:
Principais modelos probabilísticos discretos
1. Modelo BernoulliNa prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados
Exemplo:
1. Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
2. O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo
ou negativa.
3. Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
4. No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;
5. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.
Situações com alternativos dicotômicas, podem ser representadas
genericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso.
Esses experimentos recebem o nome de Ensaio de Bernoulli e originam uma
v.a. com distribuição de Bernoulli.
1.2 Aleatória De Bernoulli
É uma variável aleatória X que apenas assume
apenas dois valores 1 se ocorrer sucesso (S) e 0 se
ocorrer fracasso (F), e, sendo p a probabilidade de
sucesso, 0 < p <1. Isto é, se X(S)=1 e X(F)=0. Logo a
distribuição de probabilidade é dado por:x
P(X=x)
0 1
1-p p
Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli.
Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:
E(X)=p
Var(X)=p(1-p).
Repetições independentes de um ensaio de
Bernoulli dão origem ao modelo Binomial.
cc
xppxXPxf
xx
.;0
1,0;)1()()(
1
2. Modelo BinomialExemplo 1: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e probabilidade de
cara seja p em cada lançamento. Determinar a distribuição de probabilidade
da variável X, número de caras nos 3 lançamentos.
Denotemos, S: sucesso, ocorrer cara (c) e F:fracasso, ocorrer coroa(k).
O espaço amostral para o experimento de lançar um moeda 3 vezes é:
={FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS}
Seja, Xi é uma variável aleatória Bernoulli (i=1,2,3). Então a variável
X=X1+X2+X3, representa o número de caras nos 3 lançamentos.
Probabilidade X1 X2 X3 X=X1+X2+X3
FFF (1-p)3
0 0 0 0
FFS (1-p)2p 0 0 1 1
FSF (1-p)2p 0 1 0 1
SFF (1-p)2p 1 0 0 1
FSS (1-p)p2
0 1 1 2
SFS (1-p)p2 1 0 1 2
SSF (1-p)p2 1 1 0 2
SSS P3
1 1 1 3
3
2
2
3
})({)3(
)1(3}),,({)2(
)1(3}),,({)1(
)1(})({)0(
pSSSPXP
ppSSFSFSFSSPXP
ppSFFFSFFFSPXP
pFFFPXP
Daí temos que:
A distribuição de probabilidade da v.a. X é dada por:
3223 )1(3)1(3)1()()(
3210
ppppppxXPxf
x
O comportamento de X , pode ser representado pela seguinte função:
)!3(!
!33
.,0
3,2,1,0,)1(3
)(3
xxxonde
cc
xppxxf
xx
Definição[Distribuição Binomial]
Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos com
a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta o
número total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de
variável aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de
probabilidade é dado por:
Binomial. ecoeficient o representa,)!(!
!
.,0
,,1,0,)1()(
xnx
n
x
nonde
cc
nxppx
n
xfxnx
Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial com
parâmetros n e p.
Se X~B(n,p) pode-se mostrar que:
E(X)=np
Var(X)=np(1-p).
0 2 4 6 8
0.0
0.2
0.4
x
P(X
=x)
p=0,1
0 2 4 6 8
0.0
00.2
0
x
P(X
=x)
p=0,3
0 2 4 6 8
0.0
00.1
5
x
P(X
=x)
p=0,5
0 2 4 6 8
0.0
00.2
0
x
P(X
=x)
p=0,8
Distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p
0 5 10 15 20
0.0
00.2
0
x
P(X
=x)
p=0,1
0 5 10 15 20
0.0
00.1
5
x
P(X
=x)
p=0,3
0 5 10 15 20
0.0
00.1
0
x
P(X
=x)
p=0,5
0 5 10 15 20
0.0
00.1
5
x
P(X
=x)
p=0,8
Distribuição Binomial com parâmetros n=20 e p
0 10 20 30
0.0
00.1
5
x
P(X
=x)
p=0,1
0 10 20 30
0.0
00.1
0
x
P(X
=x)
p=0,3
0 10 20 30
0.0
00.1
0
x
P(X
=x)
p=0,5
0 10 20 30
0.0
00.1
5
x
P(X
=x)
p=0,8
Distribuição Binomial com parâmetros n=30 e p
O professor da disciplina de Estatística elaborou um prova de múltipla
escolha, consistente em 10 questões cada uma com 5 alternativas cada
questão. Suponha que nenhum dos estudantes que vão a fazer a prova
não vão as aulas e não estudaram para a prova (o que é muito freqüente).
O professor estabeleceu que para aprovar deve contestar corretamente ao
menos 6 questões. Se 200 alunos se apresentaram, quantos alunos
aprovaram a disciplina?.
Solução:Seja a v.a. X: número de questões respondidas corretamente nas 10
questões. Então o evento de interesse é:
S: “questão respondida corretamente”
F:”questão respondida incorretamente”
P(S)=1/5 e P(F)=4/5. Logo, X~B(10,p).
cc
xxxf
xx
.,0
10,,1,0,5
4
5
110
)(
10
A probabilidade de aprovar a prova um aluno
é:000637,00,99363061)5(1)6(1)6( FXPXP
Portanto, dos 200 alunos que fizeram a prova aprovariam:200(0,00637)2, alunos
Exemplo 2.
x f(x) F(x)
0 0,107374 0,10737
1 0,268435 0,37581
2 0,301990 0,67780
3 0,201327 0,87913
4 0,088080 0,96721
5 0,026424 0,99363
6 0,005505 0,99914
7 0,000786 0,99992
8 0,000074 1,00000
9 0,000004 1,00000
10 0,000000 1,00000
0 2 4 6 8 10
0.0
00
.10
0.2
00
.30
x
P(X
=x)
B(10,p=0,20)
Na prática muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de
eventos discretos em um intervalo contínuo (unidade de medida)
Exemplo:
1. Número de consultas a uma base de dados em um
minuto.
2. Número de acidentes de trabalho por semana em
uma empresa industrial.
3. Número de machas (falhas) por metro quadrado no esmaltado de uma
geladeira.
4. Número de chamadas que chegam a uma central telefônica de uma
empresa num intervalo de tempo (digamos de 8,0 a 12,0).
5. Número de autos que chegam ao Campus entre 7,0 a.m. a 10,0 a.m.
6. Número de microorganismos por cm cúbico de água contaminada.
Distribuição de Poisson
Suposições básicas:
Considere que o intervalo pode ser dividido em
subintervalos com comprimento suficientemente
pequeno tal
• a probabilidade de mais uma contagem em um
subintervalo seja zero,
• a probabilidade de uma contagem em um
subintervalo seja a mesma para todos os
subintervalos e proporcional ao comprimento de
subintervalo e
• a contagem em cada subintervalo seja
independente de outros subintervalos.
Onde: X: número de eventos discretos em t unidades de medida,
: media de eventos discretos em uma unidade de medida,
t: unidade de medida
= t: media de eventos discretos em t unidades de medida
Notação: X~P(), para indicar que a v.a. X tem distribuição de Poisson com
parâmetro .
Definição[Distribuição de Poisson] Uma variável discreta X tem distribuição
de Poisson com parâmetro se sua função de probabilidade é dada por:
..;0
,2,1,0!)(
cc
xx
exf
x
0 5 10 15 20 25 30
0.0
0.1
0.2
0.3
x
P(X
=x)
P(1)
0 5 10 15 20 25 30
0.0
00.1
00.2
0
x
P(X
=x)
P(2)
0 5 10 15 20 25 30
0.0
00.1
00.2
0
x
P(X
=x)
P(4)
0 5 10 15 20 25 30
0.0
00.0
40.0
80.1
2
x
P(X
=x)
P(8)
0 5 10 15 20 25 30
0.0
0.1
0.2
0.3
x
P(X
=x)
P(1)
0 5 10 15 20 25 30
0.0
00.1
00.2
0
x
P(X
=x)
P(2)
0 5 10 15 20 25 30
0.0
00.1
00.2
0
x
P(X
=x)
P(4)
0 5 10 15 20 25 30
0.0
00.0
40.0
80.1
2
x
P(X
=x)
P(8)
Exemplo 1. As consultas num banco de dados ocorrem de forma
independente e aleatório seguindo a distribuição de Poisson. Suponha que a
média de consultas é 3 a cada 4 minutos. Qual é a probabilidade que banco
de dados seja consultado no máximo 2 em um intervalo de 2 minutos?
Se X: número de consultas num banco de dados em 2 minutos,
então, X ~P(). Aqui t=2 e =3/4=0,75, então =(0,75)(2)=1,5. Ou seja
X~P(1,5)
....3,2,1,0,!
5,1)(
5,1
xx
exf
x
.808847,0]2
5,15,11[)2()1()0()2(
....3,2,1,0,!
5,1)(
25,1
5,1
eXPXPXPXP
xx
exf
x
Exemplo 2: O número de pedidos de empréstimos
que um banco recebe por dia é uma variável
aleatória com distribuição de Poisson com
=7,5. Determine as probabilidades de que, em
um dia qualquer, o banco receba
(a) Exatamente 2 pedidos de empréstimo;
(b)No máximo 4 pedidos de empréstimo;
(c) No mínimo oito pedidos de empréstimo.
X: número de pedidos de empréstimos que um
banco recebe por dia
X~P(7,5)
,2,1,0,!
5,7)(
5,7
xx
exf
x
0 5 10 15 20 25 30
0.0
00
.05
0.1
00
.15
x
P(X
=x)
P(7,5)
x f(x)=P(X=x)
0 0,000553
1 0,004148
2 0,015555
3 0,038889
4 0,072916
5 0,109375
6 0,136718
7 0,146484
8 0,137329
9 0,114440
10 0,085830
11 0,058521
12 0,036575
13 0,021101
14 0,011304
15 0,005652
16 0,002649
17 0,001169
18 0,000487
19 0,000192
20 0,000072
21 0,000026
22 0,000009
23 0,000003
24 0,000001
25 0,000000
26 0,000000
27 0,000000
0,0155552
)5,7()2()(
25,7
e
XPa
0,0202567 0,0155550,0041480,000553
)2()1()0()2()(
XPXPXPXPb
0,62185.0,37815 -1
0,136718]0,000553[1
)(1)8(1)8()(7
0
x
xXPXPXPd
PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO DE
POISSON
Se X ~P(), então.
(i) A função de distribuição acumulada é
dada por:
0!
00
)()(
0
xx
e
x
xXPxFx
k
x
(ii) E(X)=, Var(X)= .
x P(X=x) P(Xx)
0 0,000553 0,00055
1 0,004148 0,00470
2 0,015555 0,02026
3 0,038889 0,05915
4 0,072916 0,13206
5 0,109375 0,24144
7 0,136718 0,37815
8 0,146484 0,52464
9 0,137329 0,66197
10 0,114440 0,77641
11 0,085830 0,86224
12 0,058521 0,92076
13 0,036575 0,95733
14 0,021101 0,97844
15 0,011304 0,98974
16 0,005652 0,99539
17 0,002649 0,99804
18 0,001169 0,99921
19 0,000487 0,99970
20 0,000192 0,99989
21 0,000072 0,99996
22 0,000026 0,99999
23 0,000009 1,00000
24 0,000003 1,00000
25 0,000001 1,00000
26 0,000000 1,00000
27 0,000000 1,00000
28 0,000000 1,00000
29 0,000000 1,00000
30 0,000000 1,00000
X~P(7,5)
Exemplo 3: Consideremos o exemplo 2,
0,15560,00470-0,02026)2()3()2()( FFXPa
0!
5,7
00
)()(
0
5,7
xx
e
x
xXPxFx
k
x
0,02026)2()2()( FXPb
0,62185.0,378151)7(1
)7(1)8(1)8()(
F
XPXPXPc
Exemplo 3. Contaminação é um problema de fabricação de discos
ópticos de armazenagem. O número de partículas de contaminação que
ocorrem em um disco óptico tem uma distribuição de Poisson e o número
médio de partículas por centímetro quadrado da superfície é 0,1. A área do
disco em estudo é 100 centímetros quadrados. Encontre a probabilidade de
que 12 partículas ocorram na área de um disco sob estudo.
Se X: número de partículas na área de um disco sob estudo,
então, X ~P(). Aqui t=100 e =0,1, então =(100)(0,1)=10. Ou seja
X~P(10)
,2,1,0,!
10)(
10
xx
exf
x
0,09512
)10()12(
1210
e
XP
A Distribuição Poisson Como Aproximação da
Distribuição BinomialA distribuição Binomial para x sucessos em n
ensaios de Bernoulli ´e dada por:
.,,0,)1()( nxppx
nxXP xnx
Se =np, p=/n, substituindo p na função
probabilidade temos
x
n
xxnx
n
n
xn
x
nnnnx
nxXP
1
1
!
11
21
111)(
!)(,
x
exXPtemosnFazendo
x
Exemplo 5. 5. A probabilidade de um rebite particular
na superfície da asa de uma aeronave seja
defeituosa é 0,001. Há 4000 rebites na asa. Qual é a
probabilidade de que seja instalados não mais de
seis rebites defeituosos?
6
0
400
.8894,0999,0001,04000
)6(x
xx
xXP
Usando a aproximação de Poisson, =4000(0,001)=4 X~P(4)
6
0
4
.889,0!
4)6(
x
x
x
eXP
Se X: número de rebites defeituosos na asa da aeronave. Então,X~B(400,0,001)
Teorema: Se n
XX ,,1 são variáveis aleatórias independentes, com
distribuição de Poisson com parâmetros, n
,,1 , spectivamente,
então a variável aleatória,
nXXY
1
tem distribuição de Poisson com parâmetro, n
1
.
Exemplo 6. Em uma fabrica foram registradas em três semanas a média
de acidentes: 2,5 na primeira semana, 2 na segunda semana e 1,5 na terceira
semana. Suponha que o número de acidentes por semana segue um
processo de Poisson. Qual é a probabilidade de que haja 4 acidentes nas
três semanas?
Seja a variável aleatória, i
X : número de acidentes na i-ésima
semana, i=1,2,3. )(~ii
PX , então, a v.a. ,321
XXXY tem
distribuição de Poisson com parâmetro, 65,125,2 .
1339,0!4
6)4(
64
e
XP
O modelo multinomial é uma generalização do binomial:
São efetuados n experimentos iguais e independentes.
Cada um dos experimentos tem mais de 2 resultados possíveis e excludentes (k resultados).
A probabilidade de sim para o resultado “k” (pk) (i=1, 2, ...) em todos os experimentos é constante.
A variável aleatória de interesse é o número de sim em cada categoria.
P(X=x1, x2, ..., xk) = p1x1 p2
x2 ...pkxk
n!
x1! x2!... xk!
n = x1 + x2 + ... + xk
Considere o experimento: retiram-se bolasda urna (com reposição), até que se consigauma bola vermelha. Define-se uma v.a. X
cujos valores representam o número total debolas azuis (fracassos) retiradas da urna atéobter uma bola vermelha (sucesso).
O experimento envolve de 1 a infinitos eventos
independentes.
Para cada evento:
P(vermelha) = 5/7
P(azul) = 2/7
Considere o experimento: retiram-se bolas
da urna (com reposição), até que se
consiga uma bola vermelha. Define-se
Define-se uma v.a. X cujos valores
representam o número total de bolas
azuis (fracassos) retiradas da urna até
obter uma bola vermelha (sucesso).
50,714
7( 0)P X
( 1)P X 2 5
7 7
100,204
49
( 2)P X 2 2 5
7 7 7
22 5 20
0,0587 7 343
xpq
( 3)P X 2 2 2 5
7 7 7 7
32 5 40
0,0177 7 2401
( ) xf x pq
( ) ?
( ) ?
E X
Var X
0
( ) ( )x
E X xP X x
0
( ) x
x
E X xpq
1
1
( ) x
x
E X pq xq
xdq
dq
1
( )x
x
dqE X pq
dq
1
( ) x
x
dE X pq q
dq
1
q
q
( )1
d qE X pq
dq q
2
1
p
2
1( )E X pq
p
( )q
E Xp
X: {0, 1, 2,
..., }
( ) xf x pq
( )q
E Xp
2 2( ) ( ) [ ( )]Var X E X E X
2 2
0
( ) ( )x
E X x P X x
2 2
0
( ) x
x
E X x pq
22
2( )
q qE X
p
Considere o experimento: retiram-se
bolas da urna (com reposição), até que
se consiga uma bola vermelha. Define-
se uma v.a. X cujos valores
representam o número total de bolas
azuis (fracassos) retiradas da urna até
obter uma bola vermelha (sucesso).
X: {0, 1, 2,
..., }
( ) xf x pq
( )q
E Xp
2 2( ) ( ) [ ( )]Var X E X E X
2 2
2 2( )
q q qVar X
p p
2( )
qVar X
p
( ) xf x pq
( )q
E Xp
2( )
qVar X
p
p =
5/7
q =
2/7
5 2
7 7
x
2 7 20,4
7 5 5
2 49 140,56
7 25 25
As probabilidades não podem mais ser
calculadas através de equações do tipo
P(X=k) = FÓRMULA.
Para identificar uma distribuição contínua,
existe a função densidade de probabilidade,
que é uma equação do tipo y=f(x).
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem reposição). Define-se uma v.a.X cujos valores representam o número total de bolas vermelhas dentre as 3 escolhidas.
X: {1, 2, 3}
( 0)P X 2 1 0
7 6 5 0
( 1)P X 5 2 1
7 6 5
3!
1!2!
2 13
42 7
( 2)P X 5 4 2
7 6 5
3!
2!1!
8 43
42 7
( 3)P X 5 4 3
7 6 5
12 2
42 7
! ( )!
( )! [( ) ( )]!
!
( )!
K M K
K x M K n x
M
M n
!
!( )!
n
x n x
( )
K M K
x n xf x
M
n
número de bolas retiradas da urna
número total de bolas na urna
número de bolas vermelhas na urna
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem
reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores
representam o número total de bolas vermelhas dentre as
3 escolhidas.
X: {1, 2, 3}
( )
K M K
x n xf x
M
n
( ) ?
( ) ?
E X
Var X
( )K
E X nM
( )1
K M K M nVar X n
M M M
OBS: se M for muito grande:
Kp
M (probabilidade de sucesso)
M Kq
M
(probabilidade de fracasso)
11
M n
M
Hipergeométrica Binomial
( ) ( )E X np Var X npq
Considere o experimento: retiram-se 3 bolas da urna (sem
reposição). Define-se uma v.a. X cujos valores
representam o número total de bolas vermelhas dentre as
3 escolhidas.
( )
K M K
x n xf x
M
n
( )K
E X nM
( )1
K M K M nVar X n
M M M
M =
7
K =
5
n = 3
5 2
3
7
3
x x
53 2,143
7
5 2 4 1203 0,408
7 7 6 294
X: {?, ..., ?}:{max(0, ),...,min( , )}X n M K n K X: {1, 2, 3}
f x e
x
( )( )
1
2
1
2
2
- média
- desvio padrão
f(x)
X
f x e
x
( )( )
1
2
1
2
2
Variável identificada pela média e pelo desvio padrão.
X
Média e Desvio Padrão
= 1
= 2
= 3
= 4
X
Média e
Desvio Padrão
X
= 3
1 32
Simetria em relação à média.
X
50%
A área sob a curva entre a média e um ponto qualquer é função da distância padronizada entre a média e aquele ponto.
Distância padronizada - distância expressa em função do número de desvios padrões (distância dividida pelo desvio padrão).
+-
área = 68,3%
+2-2
área = 95,4%
+3-3
área = 99,7%
X a
P ( X < a )
As áreas referem-se a probabilidades.
O cálculo de áreas sob a curva normal é consideravelmente complexo.
Por isso, é conveniente trabalhar com valores padronizados.
Para padronizar uma variável normal, toma-se a média como ponto de referência e o desvio padrão como medida de afastamento.
Z =
X -
Z - variável normal padronizada
X - variável normal
- média
- desvio padrão
= 0
= 1
Z
X- +-2 +2
0Z
-1 1-2 2
O peso de uma peça é normalmente
distribuído com média de 500 gramas e
desvio padrão de 5 gramas.
Encontrar os valores padronizados relativos
aos pesos: 485g, 490g, 495g, 500g, 505g,
510g e 515g.
X = 510 g
Z =
X -
510 - 500
5= = 2=
10
5
Z
495
-1
505
1
485 515
-3 3
510490
2-2 0
= 5
X500
Z
510
20
= 5
X500
P(X<510) = P(Z<2)
Com base na tabela da normal padronizada, calcular:
a) P(Z < -1)
Z0-1
0,158655
b) P(Z > 1)
Z0 +1
0,158655
c) P(Z < 1)
Z0 1
0,841345
c) P(-1 < Z < 1)
1- 0, 158655 - 0,158655 = 0,68269
Z0 1-1
c) P(-2 < Z < 2)
1 - 0, 022750 - 0,022750 = 0,9545
Z0 2-2
c) P(-3 < Z < 3)
1- 0,001350 - 0,001350 = 0,9973
Z0 3-3
Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de:
a) menos de 49.000 Km?
0,158655
Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é a probabilidade de um pneu, escolhido
ao acaso, apresentar vida útil de:
b) mais de 51.000 Km?
0,158655
Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é a probabilidade de um pneu, escolhido
ao acaso, apresentar vida útil de:
c) entre 49.000 Km e 51.000 Km?
0,68269
Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é a probabilidade de um pneu, escolhido
ao acaso, apresentar vida útil de:
d) entre 48.000 Km e 52.000 Km?
0,9545
Supondo que a vida útil dos pneus de
caminhões seja normal, com média de
50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km,
qual é a probabilidade de um pneu, escolhido
ao acaso, apresentar vida útil de:
e) entre 47.000 Km e 53.000 Km?
0,9973