probabilidad teoremas y tipos

8/6/2019 Probabilidad Teoremas y Tipos

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TEMA 2

EXPERIMENTOS ALEATORIOSY CLCULO DE PROBABILIDADES


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EXPERIMENTOS: EJEMPLO

DeterministasCalentar agua a100C

Soltar objeto

AleatoriosLanzar un dado

Resultado ftbol

Llegada del bus

a la parada

puntos

quiniela

vapor

cae

lneas


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EXPERIMENTO ALEATORIO

Definicin 1.- Decimos que un experimento esaleatorio si no podemos predecir su resultado.

Nota: A veces el no conocer en profundidad las

leyes del fenmeno, lo hacen aleatorio.


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ESPACIO MUESTRAL.

SUCESOS

EJEMPLOS:

Dado

Quiniela

Lnea del bus

{ }1,2,3,4,5,6 ={ }1, , 2X =

{ }34,6=


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SUCESO ALEATORIO.

EJEMPLOSEJEMPLOS:

Dado:

A=Obtener puntuacin par

B=Obtener mltiplo de 3

C=Obtener mltiplo de 5

Quiniela:A=Empatar

B=No ganar encasaC=Ningn equipo

obtenga puntos


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SUCESOS ELEMENTALES.

SUCESOS COMPUESTOS (I)

Definicin 3.-Un suceso es elemental cuandoconsta de un slo elemento del espacio

muestral. En caso contrario se llama sucesocompuesto.


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SUCESOS ELEMENTALES

Y COMPUESTOS (II)EJEMPLOS:

Dado:

A=Obtener puntuacin par

B=Obtener mltiplo de 3

C=Obtener mltiplo de 5

Quiniela:A=Empatar

B=No ganar encasaC=Ningn equipo

obtenga puntosElemental

Compuesto

C

A,BElemental

Compuesto

A

B


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SUCESOS COMPATIBLES E

INCOMPATIBLES

Definicin 4.- Dados dos sucesos de unexperimento aleatorio, diremos que soncompatibles si se pueden dar los dos al mismo

tiempo, y diremos que son incompatibles encaso contrario.

Dado:A=Obtener puntuacin par

B=Obtener mltiplo de 3C=Obtener mltiplo de 5

A y C son incompatibl

A y B son compatibles


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SUCESOS SEGURO E

IMPOSIBLE (I)

Definicin 5.- El suceso seguro es aquelsuceso aleatorio de un experimento quese da siempre. Se denota por

Definicin 6.- Decimos que un suceso esimposible cuando no puede darse en el

experimento. Se denota por


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SUCESOS SEGURO E

IMPOSIBLE (II)Dado:

A=Obtener puntuacin menor que 7B=Obtener mltiplo de 7

A es suceso seguro, B es suceso imposibleQuiniela:

A=Algn equipo obtenga puntosB=Ningn equipo obtenga puntos

A es suceso seguro, B es suceso imposible


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SUCESO COMPLEMENTARIODefinicin 7.- Dos sucesos soncomplementarios si siempre que ocurrauno, no se da el otro y al revs. Sidenotamos por A a un suceso, su

complementario ser denotado por o cAQuiniela:

A=Algn equipo obtenga puntosB=Ningn equipo obtenga puntos

A y B son sucesos complementarios


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OPERACIONES CON

SUCESOS: DEFINICIONES


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OPERACIONES CON

SUCESOS: PROPIEDADES


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SISTEMA COMPLETO DE

SUCESOSDefinicin 11.- Si tenemos un conjuntoA1, A2,... An de sucesos incompatibles dos ados cumpliendo que

le llamamossistema completo de sucesos (particinde )

( )i j A A i j =

1 2 n A A A =

Encuesta:A=ningn hermanoB=un hermanoC=dos hermanosD=ms de dos hermanos

Los sucesos A, B, C y Dforman un sistema

completo de sucesos

(s.c.s.)


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CLCULO DE

PROBABILIDADES


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INTRODUCCIN

La idea de probabilidad surge por la necesidad

de medir la incertidumbre o verosimilitud queposee cada suceso asociado a un experimento

aleatorio.


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DEFINICIN EMPRICA (I)

Interpretacin frecuentista de la

probabilidad

0

0,5

1

111

21

31

41

51

61

71

81

91

N

fre

cuencia

relativa

EJEMPLO:Anotamos el nmero de caras en N lanzamientosde una moneda y calculamos su frecuencia relativa


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DEFINICIN EMPRICA (II)

Definicin.- Cuando se repite un experimento n vecey se observa el nmero de ocurrencias, k, de undeterminado suceso A ; llamaremos probabilidad de

ste a su frecuencia relativa

nkAP /)( =

Ley de los grandes nmeros (Bernouilli)


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PROPIEDADES DE LA

DEFINICIN EMPRICA.

La frecuencia relativa del suceso seguro es 1.

La frecuencia relativa de cualquier suceso es

no negativaLa frecuencia relativa de la unin de dossucesos incompatibles es la suma de las

frecuencias de ambos.


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REGLA DE LAPLACE

Dado: A=par, B=mltiplo de 5, entonces3 1

( ) y ( )6 6

P A P B= =

Nota: Es la primera definicin formal que se

dio, pero tiene muchas limitaciones.


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TCNICAS PARA CONTAR.

Exhaustivas: Escribir todos los resultados posibles.A veces son tiles los diagramas de rbol.

No exhaustivas: Contar los resultados sabiendo la

caracterstica que cumplen. A veces es muy til laCombinatoria: permutaciones, variaciones,...


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TCNICAS PARA CONTAR.

EJEMPLOS.Exhaustivo: Suma de los puntos obtenidos allanzar dos dados. En particular, 10 puntos.

No exhaustivo:

Parte numrica de la matrcula de un coche. Enparticular, las que empiezan y terminan en 2

Posibles fechas de cumpleaos en una clase den personas.


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DEFINICIN AXIOMTICA

DE PROBABILIDAD (I).

Esta definicin fue dada por Kolmogorov en elsiglo XX.Enuncia tres axiomas que se basan en propiedades

de la probabilidad emprica (frecuencia relativa).

Axioma 1.- Para cada suceso A, su

probabilidad es un nmero entre 0 y 10 ( ) 1P A


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DEFINICIN AXIOMTICA

DE PROBABILIDAD (II).Axioma 2.- La probabilidad del sucesoseguro es 1

( ) 1P =

Axioma 3.- Si A y B son dos sucesosincompatibles, la probabilidad de la unin

( ) ( ) ( )P A B P A P B = +


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PROPIEDADES DE LA

PROBABILIDAD.A partir de la definicin axiomtica de probabilidad

se pueden demostrar propiedades de sucesos, como:

Probabilidad del suceso complementario.Probabilidad de la unin finita de incompatibleJustificacin de la regla de Laplace.

Probabilidad de la unin de dos sucesos.Probabilidad de la diferencia de sucesos


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PROBABILIDAD DEL

SUCESO COMPLEMENTARIOEjemplo: Probabilidad de que en una clase de npersonas haya al menos 2 con la misma fecha decumpleaos.

.994.970.891.706.411.117p

605040302010n

Para n=22, p=0.476, para n=23, p=0.507


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PROBABILIDAD

CONDICIONADA (I)Probabilidad de un suceso, sabiendo que otroha ocurrido.

Ejemplo: DadoCalcular la probabilidad de que haya salido el 3, sinos dicen que el nmero obtenido es mltiplo de 3.

Qu ocurre si repetimos el experimento nveces y usamos la definicin frecuentista de

probabilidad?


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PROBABILIDAD

CONDICIONADA (II)Definicin 12.- La probabilidad de que

ocurra un suceso A condicionado a que otrosuceso B con probabilidad no nula hayaocurrido es

( )( / )

( )

P A B P A B

P B

=

La probabilidad de la interseccin de sucesos es:( ) ( / ) ( )P A B P A B P B =


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PROBABILIDAD

CONDICIONADA. EJEMPLOSorteo no equitativo: En una clase de 27

alumnos, el AMPA sortea un premio en la fiestade fin de curso. Cada alumno tiene un nmeroasignado.

Se coge una bolsa con 27 bolas y se extraeuna al azar.

Se cogen bolas numeradas del 0 al 9 y se

realiza una extraccin en dos pasos. En elprimero se extraen una de las bolas 0, 1 y2. En el segundo se extrae una de entre

todas las bolas.

INDEPENDENCIA DE


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INDEPENDENCIA DE

SUCESOSDefinicin 13.- Dados dos sucesos A y B

con probabilidades no nulas, decimos queson independientes si

( / ) ( ) y ( / ) ( )P A B P A P B A P B= =

En estos sucesos se puede calcular cmodamente

la probabilidad de la interseccin.

( ) ( ) ( )P A B P A P B =

INDEPENDENCIA DE


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INDEPENDENCIA DE

SUCESOS. EJEMPLOS

Ejemplo: Calcular la probabilidad de que alsumar la puntuacin obtenida en el lanzamientode dos dados, obtengamos un 10.

INTERSECCIN DE MS DE


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INTERSECCIN DE MS DE

DOS SUCESOSSucesos no independientes:

1 2

1 2 1 2 1 1

( )

( / ) ( / ) ( )

n

n n

P A A A

P A A A A P A A P A

=

=

Regla de la multiplicacin.

Sucesos independientes:

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nP A A A P A P A P A =


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PROBABILIDAD TOTAL (I)

Teorema 1.- Dado un sistema completo desucesos A1, A2,...,An la probabilidad de unsuceso S es

1 1 2 2( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( /n nP S P A P S A P A P S A P A P S A= + + +


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PROBABILIDAD TOTAL (II)Ejemplo: Supongamos que en un centro educativo laaltura del 4% de alumnos y del 1% de las alumnases superior a 1.80 metros. Adems el 60% deestudiantes es mujer. Encontrar la probabilidad decoger a un estudiante de altura superior a 1.80

metros.P(S/M)=0.01P(S/H)=0.04

P(M)=0.6

S=altura superior a 1.80M=ser mujer

H=ser hombre

P(S)=P(S/M)P(M)+P(S/H)P(H)=0.022


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TEOREMA DE BAYES (I)Teorema 2.- Dado un sistema completo de

sucesos A1, A2,...,An y un suceso cualquiera Scon probabilidad no nula

1

( ) ( / ) ( )

( / ) ( )( / ) ( )

i i i

i n

j

j

P A S P S A P A

P A S P SP S A P A

=

= =

con P(Ai) la probabilidad a priori de AiyP(Ai/S) la probabilidad a posteriori de Ai.


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TEOREMA DE BAYES (II)

Ejemplo 1: En el ejemplo anterior, calcular laprobabilidad de que el estudiante escogido fueramujer sabiendo que meda ms de 1.80.

( / ) ( ) 3( / ) 0.27

( ) 11

P S M P M P M S

P S

= = =


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TEOREMA DE BAYES (III) Ejemplo 2:

Se administra una prueba para detectar usuariode drogas. Prevalencia en la poblacin: 3% Detecta el 95% de los usuarios (sensitividad) Cuando se administra a alguien que no la usa,

da negativa en el 98% de los casos(especificidad).

La prueba di positiva, cul es la probabilidadde que la persona use drogas?


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TEOREMA DE BAYES (V)

Selecciono una personaDiagrama de rbol

Usa

.03

No Usa

.97

.95

Prueba+

.02

Prueba+

.05

Prueba-

.98

Prueba-

Si estoy aqu o aqu,cul es la probabilidad de

haber pasado por aqu?


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TEOREMA DE BAYES (VI)+

+ = =+

+=

+ + +

=

+

i

i i

( Pr )( /Pr ) (Pr )

(Pr / ) ( )(Pr / ) ( ) (Pr / ) (

0.03 0.950.03 0.95 0.97 0.02

P Usa y uebaP Usa ueba P ueba

P ueba Usa P Usa

P ueba Usa P Usa P ueba No Usa P No Us

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