Probabilidad

PROBABILIDAD:

Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un nmero indefinido de veces.

Experimento Aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir, habiendo un conjunto de resultados posibles.

Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Si se representa el espacio muestral por E, cada elemento de l es llamado punto muestral.

Evento o Suceso: Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En otras palabras, es un subconjunto del espacio muestral.

Observacin: En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados, cartas, bolitas, etc..., se supondr que no estn cargados o trucados, a no ser que se indique otra cosa.

TIPOS DE EVENTOS

Evento o suceso cierto: Es el propio Espacio Muestral.

Evento o Suceso Imposible: Es aquel que no tiene elementos. Es decir, es el subconjunto vaco () del espacio muestral.

Eventos Mutuamente: Son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia de los otros (no pueden ocurrir simultneamente). En otras palabras, cuando dos o ms eventos no tienen elementos comunes.

Eventos Complementarios: Cuando los eventos no tienen puntos o elementos comunes y la unin de ellos es el espacio muestral.

PROBABILIDAD CLSICALa probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el nmero de casos favorables al evento A por el nmero total de casos posibles.

La probabilidad de A se denotar por P(A).

Observacin:

1) La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que no ocurra. P(A) = 1 P(A); A = A no ocurre

2) 0 P(A) 1 o bien 0% P(A) 100%

PROBABILIDADES DE EVENTOS Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos est dada por:

Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B est dada por:

Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.

Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la suposicin de que el suceso B ha ocurrido.

Probabilidad y tringulo de Pascal

Caras y sellos

El tringulo de Pascal te dice cuntas combinaciones de caras y sellos te pueden salir tirando monedas. As puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinacin.

Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, slo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y un sello (CCS, CSC, SCC), tambin tres de sacar una cara y dos sellos (CSS, SCS, CSS) y slo una de sacar tres sellos (SSS). Esta es la pauta "1, 3, 3, 1" en el tringulo de Pascal.

TiradasResultados posibles (agrupados)Tringulo de Pascal

1CS1, 1

2CCCS SCSS1, 2, 1

3CCCCCS, CSC, SCCCSS, SCS, SSCSSS1, 3, 3, 1

4CCCCCCCS, CCSC, CSCC, SCCCCCSS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC, SSCCCSSS, SCSS, SSCS, SSSCSSSS1, 4, 6, 4, 1

... etc ...

Cul es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?Hay 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (o 4 4 =16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. As que la probabilidad es , o 37.5%

Tringulo de Pascal

DIAGRAMA DEL ARBOL:

Representa de manera grafica todos los resultados posibles.

Ej: calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar tres veces seguidas una moneda.

Resultados favorables: 8 (CCC CCS CSC CSS SCC SCS SSC SSS)

Casos favorables: 3

(CCS CSC SCC)

Probabilidad =

EJEMPLO PSU-1: La probabilidad de extraer una bola roja de una caja es . Cul es la probabilidad de sacar una bola que no sea roja? A)

B) 1

C)

D)

E) Falta InformacinEJEMPLO PSU-2: Se lanzan dos dados de distinto color. Cul es la probabilidad de que sumen 3 4?A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-3: Una rueda est dividida en 8 sectores iguales, numeradas del 1 al 8. Cul es la probabilidad de obtener un nmero impar y mayor que 3?

A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-4: Se tienen 10 fichas con los nmeros 44, 44, 45, 46, 46, 46, 47, 48, 48, 49. Cul es la probabilidad de sacar una ficha con un nmero mayor que 46?

A) 0,4

B) 0,41

C) 0,42

D) 0,5

E) N.AEJEMPLO PSU-5: En una caja hay 50 fichas de igual peso y tamao. 12 son rojas, 20 son cafs y 18 son amarillas. Cul es la probabilidad de sacar una roja, una caf, una amarilla y nuevamente una roja, en ese orden y sin reposicin?A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-6: La tabla adjunta muestra el nivel educacional que tienen los postulantes a un cargo administrativo

NIVEL EDUCACIONAL

SexoUniversitariaMediaBsica

Masculino25010040

Femenino22511025

Si de este grupo se elige una persona al azar, cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad que sea varn es de

II) La probabilidad que sea mujer es de

III) La probabilidad que tenga estudios universitarios es de

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III E) Solo II y IIIEJEMPLO PSU-7: Se depositan en una caja tarjetas del mismo tipo con las letras de la palabra HERMANITOS, luego se saca de la caja una tarjeta al azar, la probabilidad de que en sta est escrita una vocal es:A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-8: En la figura, se tiene una ruleta en que la flecha puede indicar cualquiera de los 4 sectores y ella nunca cae en los lmites de dichos sectores. Cul(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s) ?

I) La probabilidad de que la flecha caiga en el nmero 1 es de

II) La probabilidad de que la flecha caiga en el nmero 2 es de

III) La probabilidad de que la flecha caiga en el nmero 2 en el 3 es de

A) Slo I

B) Slo II

C) Slo III

D) Slo I y II E) I, II y III

EJEMPLO PSU-9: En una urna hay 4 fichas de colores diferentes: roja, azul, verde y amarilla. Una persona saca una a una las 4 fichas, cul es la probabilidad de sacar la ficha verde antes de la roja?A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-10: En la caja de la figura hay fichas negras(N) y blancas (B) de igual tamao y peso. Cuntas fichas hay que agregar para que la probabilidad de extraer una ficha negra sea ?

A) 1N y 0B

B) 1N y 3B

C) 1N y 4B

D) 1N y 1B

E) 0N y 1B

EJEMPLO PSU-11: Se lanza una vez un dado comn, cul es la probabilidad de obtener un nmero par menor que 5?A)

B)

C)

D)

E) N.AEJEMPLO PSU-12: Si se elige al azar un nmero natural del 1 al 30, cul es la probabilidad de que ese nmero sea mltiplo de 4?A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-13: Alberto, Bastin y Carlos juegan a lanzar un dado 2 veces y gana el que obtiene una suma par. En el primer lanzamiento Alberto obtiene un 2, Bastin un 3 y Carlos un 6. Cul de las afirmaciones siguientes es verdadera?

A) Todos tienen probabilidad de ganar.

B) Todos tienen probabilidad de ganar.

C) El que tiene ms probabilidad de ganar es Carlos.

D) Carlos tiene ms probabilidad de ganar que Alberto.

E) Bastin tiene menos probabilidad de ganar que Alberto y Carlos.EJEMPLO PSU-14: Cul es la probabilidad que al lanzar 3 monedas, simultneamente, 2 sean caras y 1 sea sello?A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-15: Cul es la probabilidad de obtener tres nmeros unos al lanzar tres dados?A)

B)

C)

D)

E) N.AEJEMPLO PSU-16: En una tmbola hay 11 pelotitas de igual tamao y peso numeradas del 1 al 11. Las primeras 5 son rojas y las otras pelotitas restantes son negras. La probabilidad de que al sacar una pelotita al azar, sta sea roja y par es:A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU- 17: En un pueblo hay 1.200 habitantes. Si la probabilidad de que un habitante sea una mujer es , cuntas mujeres hay en el pueblo?

A) 200

B) 300

C) 400

D) 600

E) 800

EJEMPLO PSU-18: Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45, cul es la probabilidad de que el suceso no ocurra?

A) 0,45

B) 0,55

C) 0,65

D) -0,45

E) -0,55

EJEMPLO PSU-19: Al lanzar un dado comn de 6 caras, cul es la probabilidad de obtener un nmero impar o un nmero menor que 4?A)

B)

C)

D)

E) 1EJEMPLO PSU-20: En cul de los siguientes eventos la probabilidad de ocurrencia es igual a 1?

A) Nacer en un ao bisiesto

B) Que al tirar una moneda salga cara

C) Que al sacar 10 cartas de un naipe, ninguna sea trbol

D) Que un mes tenga 30 das

E) Que al tirar un dado, el nmero obtenido sea igual o inferior a 6 EJEMPLO PSU-21: Un dado se lanza 100 veces y se obtienen los siguientes resultadosCara123456

Frecuencia131517162019

Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de obtener par es de un 50%

II) La probabilidad de obtener las caras 1 3 es de 30%

III) La probabilidad de obtener la cara 5 es de 20%

A) Slo II B) Slo III

C) Slo I y II

D) Slo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-22: Al lanzar un dado comn, cul(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) ?

I) Que salga un 2 es ms probable que salga un 6.

II) La probabilidad de obtener un nmero impar es .

III) La probabilidad de obtener un nmero mltiplo de 3 es .

A) Slo I B) Slo II

C) Slo I y II

D) Slo II y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-23: En la lista de un curso de 40 alumnos hay 17 nias. Si se escoge un nmero al azar del 1 al 40, cul es la probabilidad de que ese nmero corresponda al de una nia en la lista del curso?A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-24: Una caja tiene 12 esferas de igual tamao y peso. Cada una de ellas contiene una letra de la palabra DEPARTAMENTO. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) La probabilidad de sacar una M es .

II) La probabilidad de no sacar una vocal es .

III) La probabilidad de sacar una A es igual a la probabilidad de sacar una T

A) Slo I B) Slo III

C) Slo I y II

D) Slo I y III

E) I, II y III

EJEMPLO PSU-25: En un liceo hay 180 estudiantes repartidos por nivel de la siguiente forma:

PRIMEROSEGUNDOTERCEROCUARTO

NIOS15201812

NIAS30252733

Si se elige un estudiante al azar, cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I) La probabilidad de que sea un nio es .

II) La probabilidad de que sea un estudiante de tercero es .

III) La probabilidad de que sea una nia y de segundo es .

A) Slo I

B) Slo II

C) Slo I y II

D) Slo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-26: Se lanza una vez un dado comn, cul es la probabilidad de que salga un nmero menor que 2 o mayor que 4?A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-27: Un competidor debe partir desde M, como se muestra en la figura, y recorrer distintos caminos para llegar a P, Q, R, S o T, sin retroceder. A cul(es) de los puntos tiene mayor probabilidad de llegar el competidor?

A) P

B) Q

C) R

D) S

E) TEJEMPLO PSU-28: En una caja hay 8 bolitas negras y 4 blancas, todas del mismo tipo. Cul es la menor cantidad de bolitas de cada color que se pueden eliminar de la caja, para que al sacar una bolita al azar la probabilidad de que sta sea negra, sea ?

A) 1 blanca y 0 negra

B) 0 blanca y 1 negra

C) 0 blanca y 5 negras

D) 3 blancas y 5 negras

E) 2 blancas y 2 negrasEJEMPLO PSU-29: Se tienen nueve fichas del mismo tipo, numeradas del 1 al 9. Si se eligen al azar dos fichas, cul es la probabilidad de que la suma de los nmeros de ellas sea diferente de 10?A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-30: Si se ha lanzado 3 veces un dado comn y en las tres ocasiones ha salido un 4, cul es la probabilidad de que en el prximo lanzamiento salga un 4?A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-31: La ruleta de la figura se ha dividido en 4 sectores circulares numerados del 1 al 4. Si L1 y L2 son lneas que pasan por el centro, cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I. La probabilidad de que salga un nmero impar es igual a la probabilidad de que salga par.

II. La probabilidad de que salga el 1 es igual a la probabilidad de que salga un 4.

III. La probabilidad de que salga un nmero mayor que 1 es 0,75.

A) Slo I.

B) Slo II.

C) Slo I y II.

D) Slo II y III.

E) I, II y III.

34. Si se lanza una moneda y un dado, culEJEMPLO PSU-32: Un club de golf tiene 1.000 socios, entre hombres y mujeres, que participan en las categoras A (adultos) y B (juveniles). Se sabe que 220 hombres juegan en B, 180 hombres en A y 250 mujeres en B. Si se elige un socio del club, cul es la probabilidad de que sea mujer y juegue en la categora A?A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-33: Si Se lanzan dos dados comunes, cul es la suma de puntos que tiene mayor probabilidad de salir en los dos dados?

A) 12

B) 10

C) 9

D) 7

E) 6

EJEMPLO PSU-34: Se tienen tres cajas, A, B y C. La caja A contiene 4 fichas blancas y 6 rojas, la caja B contiene 5 fichas blancas y 7 rojas y la caja C contiene 9 fichas blancas y 6 rojas. Si se saca al azar una ficha de cada caja, la probabilidad de que las tres fichas sean rojas es:A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-35: Se lanzan 5 monedas simultneamente. Cul es la probabilidad de obtener al menos una cara?A)

B)

C)

D)

E)

EJEMPLO PSU-36: En la figura, la ruleta se ha dividido en ocho partes congruentes entre s, donde la flecha no puede caer en los lmites. La probabilidad de que la flecha caiga en alguna de las regiones de nmeros impares y, al mismo tiempo, se obtenga un nmero mayor que 3 es de:

EJEMPLO PSU-37: Al lanzar dos dados comunes, cul es la probabilidad de que la suma de los puntos sea 3 o 4?A)

B)

C)

D)

E)

UNIDAD: PROBABILIDAD1234567891011121314151617181920

CDBAEDBDCABCAAADCBCE

2122232425262728293031323334353637

EBAECBCEABAEDAEBA

C

S

C

C

S

S

C

C

S

S

C

C

S

S

C C S

C S C

C S S

S C C

S C S

S S C

S S S

C C S

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