1

I. DATOS GENERALES

1.1. Título del Proyecto.

Expresión generalizada de las Series de Fourier de funciones no periódicas

en la recta a funciones no periódicas en el espacio euclídeon-dimensional

1.2. Tipo de Investigación

Básica

1.3. Área de Investigación

Análisis funcional

1.4. Responsable del proyecto y miembros del equipo investigador

Equipo

investigador

Docente

Labor a desarrollar

Investigador

principal

Msc. Jhony Alfonso

Chávez Delgado

Transformada de Fourier en L1

Transformada de Fourieren L2

Investigador

colaborador

Lic. Luis Méndez

Avalos

Serie de Fourier reales y

complejos

Investigador

colaborador

Lic. Augusto

Becerra Castañeda

Espacios medibles

Investigador

colaborador

Lic. Eduardo

Rodríguez Delgado

Integración y espacios Lp

2

1.5. Localidad o institución donde se realizará la investigación

Universidad Nacional Jorge Basadre Grohman-Tacna

1.6. Entidades o personas con las que coordina el proyecto

Dr. Milton Cortez Gutiérrez

1.7. Duración del Proyecto

12 meses

II. PLANTEAMIENTO TEORICO DE LA INVESTIGACIÓN

2.1. Planteamiento del problema

2.1.1. Descripción del Problema

Las series e integrales de Fourier constituyen un tema clásico del

análisis matemático. Desde su aparición en el siglo XVIII en el estudio de las

vibraciones de una cuerda, las series de Fourier han sido una piedra de toque

para el desarrollo de los conceptos básicos del análisis (función, integral, serie,

convergencia...), y la evolución de estos conceptos ha ido abriendo a su vez

nuevos rumbos en el análisis de Fourier. Así lo expresa Zygmund en el prólogo

de su famoso libro sobre series trigonométricas (1958): Esta teoría ha sido una

fuente de nuevas ideas para los analistas durante los dos últimos siglos y

probablemente lo será en los próximos años. Muchas nociones y resultados

básicos de la teoría de funciones han sido obtenidos por los matemáticos

trabajando sobre series trigonométricas. Es concebible pensar que estos

descubrimientos podían haber sido realizados en contextos diferentes, pero de

hecho nacieron en conexión con la teoría de las series trigonométricas. No fue

accidental que la noción de función aceptada ahora generalmente fuera

formulada en la celebrada memoria de Dirichlet (1837) que trata de la

3

convergencia de la serie de Fourier, o que la definición de integral de Riemann

en su forma general apareciese en el Habilitationsschrift de Riemann sobre

series trigonométricas, o que la teoría de conjuntos, uno de los desarrollos más

importantes de las matemáticas del siglo XIX, fuera creada por Cantor en su

intento de resolver el problema de los conjuntos de unicidad para series

trigonométricas. En épocas más recientes, la integral de Lebesgue se

desarrolló en estrecha conexión con la teoría de series de Fourier y la teoría de

funciones generalizadas (distribuciones) con la de las integrales de Fourier

(Javier Duoandikoetxea)

El Análisis de Fourier que es el estudio de las series, de las integrales y

de la Transformada de Fourier; se llama así en honor a Joseph Fourier (1768- 1

830), un matemático francés que vivió durante la época napoleónica. Aunque

Fourier ha sido justamente reconocido al darle su nombre a esta importante

rama del análisis, muchos de sus contemporáneos y predecesores inmediatos

contribuyeron a sus logros. Es por ello que podemos encontrar a la

transformada en los primeros escritos de Cauchy y Laplace, a partir de1782.

Para comenzar con su estudio podemos decir que las series de Fourier

representan funciones definidas un intervalo de la recta, o equivalentemente

, funciones periódicas en la recta. Para representar funciones definidas en toda

la recta y no periódicas, se sustituye por la Transformada de Fourier.

Formalmente se puede deducir la expresión de la Transformada de Fourier a

partir de la serie. Supongamos que f es una función periódica de período 2L,

entonces su serie de Fourier en forma compleja se escribe en la forma: Todo lo

que hicimos anteriormente fue puramente formal y con el único objetivo de

sugerir la definición de la Transformada de Fourier. A continuación daremos

4

una definición precisa: Siendo f una función integrable en el sentido de la

integral de Lebesgue definida en ℝ, su Transformada de Fourier será la

función definida ℝ y con valores complejos. Igual que las series de Fourier en

el caso de funciones periódicas, la Transformada de Fourier realiza una

descomposición o análisis de f en componentesahora en lugar de presentar

sólo frecuencias discretas formando una sucesión aparece un rango continuo

de frecuencias (todo ℝ ). A cada frecuencia ξ le corresponde un coeficiente

𝑓 (𝜉)que será, en general, un número complejo. Su módulo es la amplitud y su

argumento es la fase.Sólo para mencionar algunas aplicaciones, digamos que

la Transformada de Fourier se aplica en el estudio de señales ysistemas, así

como en óptica, aparece en los aparatos sofisticados modernos como los que

se usan para tomar una tomografía, también surgen en las técnicas analíticas

como la resonancia magnética nuclear, y en general, en todo tipo de

instrumentación científica que se use para el análisis y la presentación de datos

. También tienemuchas aplicaciones en la teoría de probabilidad, en la teoría

de los números, en la combinatoria, en el estudio de las ecuaciones

diferenciales, en la física y en la propagación de ondas (Mariana Valeria Pérez

[18]).

La transformada de Fourier, denominada así por Joseph Fourier, es una

transformación matemática empleada para transformar señales entre el

dominio del tiempo (o espacial) y el dominio de la frecuencia, que tiene muchas

aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de

transformaciones de cualquiera de los dominios al otro. El propio término se

refiere tanto a la operación de transformación como a la función que

produce.En el caso de una función periódica en el tiempo (por ejemplo, un

5

sonido musical continuo pero no necesariamente sinusoidal), la transformada

de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de

amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos

representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo original.

La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a

una función f de valores complejos y definido en la recta, con otra función g:

donde f es L1, es decir, f tiene que ser una función integrable en el sentido de la

integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el

enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier.

Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más

comúnmente adoptada, no es universal. La transformada de Fourier así

definido goza de una seriede propiedades de continuidad que garantizan que

puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de

funciones generalizadas. Sus aplicaciones son muchas, en áreas de la ciencia

e ingeniería como la física, la teoría de los números, la combinatoria, el

procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la

estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento

de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la

descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es

decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f. (Transformada de

Fourier.pdf)

Las series e integrales de Fourier constituyen un tema clásico del

análisis matemático. Desde su aparición en el siglo XVIII en el estudio de las

vibraciones de una cuerda, las series de Fourier han sido una piedra de toque

6

para el desarrollo de los conceptos básicos del análisis (función, integral, serie,

convergencia...), y la evolución de estos conceptos ha ido abriendo a su vez

nuevos rumbos en el análisis de Fourier.

2.1.2. Delimitación del Problema.

En la facultad de ciencias, específicamente en la escuela de

matemática, se han presentado problemas en cuanto a generalizar la series de

Fourier.Sabemos que las series de Fourier representan funciones definidas en

ℝo, equivalentemente, funciones periódicas en el espacio ℝ .En este proyecto

investigaremos funciones definidas no periódicas en la recta y luego

generalizaremos a todo el espacio ℝ𝑛 que no son necesariamente periódicas

en ℝ𝑛 ; siendo la necesidad de formalizar y ordenando cada uno de los temas

a desarrollarse con la rigurosidad lógica de las definiciones y las propiedades

de la teoría del análisis funcional, asícomo la contrastación mediante las

ejemplificaciones haremos que el presente proyecto sea más atractivo y de fácil

acceso a los docentes universitarios de otras áreas, así como a los mismos

estudiantes de la Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann.

2.1.3. Formulación del Problema.

2.1.3.1. Problema general

a) ¿Es posible conseguir una expresión generalizada de las Series de Fourier

de funciones no periódicas en la recta a funciones no periódicasdefinida en el

espacio euclídeo n- dimensional?

2.1.3.2. Problemas específicos.

a) ¿Es posible conseguir una expresión generalizada de las Series de Fourier

de funciones no periódicas enℝ a funciones no periódicas en el espacio

𝐿1(ℝ𝑛)?

7

b) ¿Es posible conseguir una expresión generalizada de las Series de

Fourierde funciones no periódicas en ℝ a funciones no periódicas en el

espacio 𝐿2(ℝ𝑛) ?

2.2. Justificación o importancia de la investigación.

El siguiente proyecto de investigación es una expresión generalizada de

las Series de Fourier no periódicas definidas en la recta, a funciones no

periódicas definidas en el espacio ℝ𝑛 , la que se justifica porque permite

investigar series de Fourier de funciones no periódicas, sin embargo, si estas

funciones son tratadas como funciones integrables en el sentido de Lebesgue

definidas en ℝ es posible generalizar las series de Fouriera funciones no

periódicas en el espacio en ℝ𝑛Así mismo, se ha aplicado en áreas tales como

conducción de calor, óptica, procesamiento de señales y probabilidad, y recibió

importantes contribuciones de N. Wiener, quien desarrolló lo que hoy en día se

conoce como análisis armónico generalizado. También se ha vuelto más

abstracta , algunas de las principales figuras fueron E. Cartan, H. Weyl, y

Harish-Chandra.Las series de Fourier fueron ideadas para estudiar un

problema físico; no sorprende entonces que hayan encontrado tantas

aplicaciones. Como muestra este breve resumen de los intentos para

comprender el comportamiento de estas series que sentaron las bases del

análisis armónico. A pesar que la expresión generalizada de la serie de Fourier

ha captado la atención de muchos investigadores queremos mostrar una teoría

clara y coherente, para que sea más atractiva y de fácil acceso a los

investigadores de otras áreas, así como a los mismos estudiantes de

matemática.

8

2.3. Objetivos de la investigación.

2.3.1. Objetivo General.

a) Ejemplificar las Series de Fourier de funciones no periódicas en la recta a

funciones no periódicas definidas en el espacio ℝ𝑛 .

2.3.2. Objetivos específicos.

a) Ejemplificar las Series de Fourier de funciones no periódicas en ℝa

funciones no periódicas en espacio 𝐿1(ℝ𝑛)

b) Ejemplificar las Series de Fourier de funciones no periódicas en ℝa

funciones no periódicas en espacio 𝐿2(ℝ𝑛)

2.4. Hipótesis de la investigación

2.4.1. Hipótesis general

a) Una expresión de las Series de Fourier de funciones no periódicas en la

recta a una función no periódica en el espacio ℝ𝑛es posible generalizarla por

medio de funciones integrables en el sentido de Lebesgue definida en ℝ y

luego se extiende esta definición a ℝ𝑛 .

2.4.2. Hipótesis específicas

a)Una expresión de las Series de Fourier de funciones no periódicas en la

recta a una función no periódica en el espacio ℝ𝑛es posible generalizarla por

medio de funciones integrables en el sentido de Lebesgue definida ℝ y luego

se extiende esta definición al espacio L1(ℝn ) por medio de propiedades

algebraicas y analíticas.

b)Una expresión de las Series de Fourier de funciones no periódicas en la

recta a una función no periódica en el espacio ℝ𝑛es posible generalizarlo por

medio de funciones integrables en el sentido de Lebesgue definida ℝ yluego

9

se extiende esta definición al espacio L2(ℝn ) por medio de la isometría sobre

ese espacio.

2.5. Variables de estudio e indicadores.

2.5.1. Variable independiente e indicadores

a) Expresión generalizada de las Series de Fourierde funciones no periódicas

en la recta.

2.5.1.2. Indicadores

A1) Funciones no periódicas en ℝ

A2)Funciones no periódicas en ℝ𝑛

2.5.2. Variable dependiente e indicadores

2.5.2.1.Variable dependiente

b)Funciones no periódicas en el espacio euclídeo n- dimensional

2.5.2.2.Indicadores

B1) Función no periódica definida en el espacio 𝐿1(ℝ𝑛)

B2) Función no periódica definida en el espacio 𝐿2(ℝ𝑛)

III. MARCO TEÓRICO DE LA INVESTIGACIÓN.

3.1. Antecedentes del problema.

Cuando se hace alguna consulta histórica sobre los llamados métodos de

Fourier y su influencia en la historia de la Matemática, un aspecto común suele

ser el comentario que se refiere al procedimiento usado por Fourier en el

cálculo de los coeficientes del desarrollo considerado. Es más o menos, así:

Para calcular los coeficientes, Fourier Jean Baptiste J. Fourier (1768-1830)

usóel desarrollo en serie de potencias de la función dada y de las funciones

trigonométricas consideradas. Reordenó estos desarrollos con objeto de igualar

los términos que multiplican a las respectivas potencias y llegóa un sistema

10

lineal de infinitas ecuaciones con infinitas incógnitas. Entonces consideró un

sistema lineal finito con m ecuaciones y m incógnitas (sistema formado con las

primeras m filas y las primeras m columnas del sistema infinito original).

Resolvió este sistema finito e hizo tender m al infinito. Después de un análisis

largo y complicado, alcanzó su célebre fórmula para los coeficientes.

Uno de los problemas más interesantes del que se ocuparon los cientificos del

siglo XVIII (y que posteriormente motivó el estudio de muchos otros similares)

fue el problema de la cuerda vibrante. Si tomamos como referencia el

estupendo texto de M. Kline ([7]), el primer matemático que elaboró un modelo

apropiado para estudiar este problema fue Jean Le Rond D’Alembert en 1747

(para esta breve sección puede consultarse el texto citado para documentarse

de manera muy precisa sobre fechas, revista científica donde se realizaron las

publicaciones, volumen, páginas, etc. También son útiles [3] y [11]).

En su versión más sencilla, D’Alembert demostró que si la función u(x, t)

representa el desplazamiento vertical de la cuerda, en la coordenada x

(suponemos 0 ≤ x ≤ π por simplicidad) y el tiempo t, entonces, si la posición

inicial de la cuerda viene dada por una función f y la velocidad inicial de la

misma es cero, la función u satisface un problema de tipo mixto de la forma

∂2U x,y

∂t2 =∂2U x,y

∂x2 ; 0 < 𝑥 < 𝜋, 𝑡 > 0, 𝑡 > 0

u x, 0 = f x = ut x, 0 = 0 ,0 ≤ x ≤ π (1)

u 0, t = u π, t = 0 , t ≥ 0

D’Alembert demostró además que la solución de (1) viene dada por

u x, t =1

2 f x + t + f x − t (2)

dondef es la extensión a R, impar y 2π− periódica de la función f.

La fórmula (2) fue también demostrada por Euler en 1749. Euler difería de

11

D’Alembert en el tipo de funciones iniciales f que podían tenerse en cuenta. De

hecho, estas diferencias pueden considerarse como una de las primeras

manifestaciones escritas sobre los problemas que ha llevado consigo la

definición Fourier y sus coeficientes de la noción de “función”, un concepto que

hoy en día presumimos de tener muy claro. Mientras que para D’Alembert, f

debería tener una fórmula concreta (una única expresión analítica), Euler

defendía que no había ninguna razón física para no admitir como posiciones

iniciales f a aquellas que, en diferentes partes de [0, π], tuviesen expresiones

distintas, siempre que al considerarlas unidas la posición inicial resultante

tuviese una apropiada regularidad. Pareceser que tal discusión entre

D’Alembert y Euler provenía del hecho de que en su tiempo se admitía que

cada función daba lugar a una gráfica, pero no recíprocamente (cuando la

gráfica considerada tenía diferentes expresiones en distintos intervalos). En

resumen, Euler defendía que cualquier gráfica podía considerarse como curva

inicial, tesis que no era compartida por D’Alembert. A este respecto puede

consultarse la versión castellana de un interesante artículo de Luzin sobre el

concepto de función ([10]).

Otra manera de obtener la solución del problema (1), completamente distinta

(al menos a primera vista), fue propuesta por Daniel Bernoulli en 1753. La idea

clave es obtener la solución de (1) como superposición de ondas más sencillas,

concretamente aquellas que son de la forma

un x, t = sen nx cos nt ,∀n ∈ ℕ, (3)

donde N es el conjunto de los números naturales. Para cada tiempo t fija, la

anterior función es un múltiplo de la función sen (nx), que se anula

exactamente en n − 1 puntos del intervalo (0, π). Así, si pudiésemos observar

12

la vibración de la cuerda correspondiente a las ondas un, tendríamos n − 1

puntos, llamados nodos, en los que la cuerda se mantendría constantemente

fija en el eje de abscisas (como en los extremos del intervalo [0, π]). Entre

dichos nodos, la cuerda oscilaría de acuerdo con (3).

u x, t = 𝑓𝑛∞𝑛=1 sen nx cos nt , (4)

donde los coeficientes fn han de elegirse adecuadamente para que se

satisfagan todas las relaciones de (1). Si la solución propuesta por Bernoulli

fuese correcta, ello implicaría que

f x = fn∞n=1 sen nx ,∀x ∈ 0 ,π , (5)

para una adecuada elección de los coeficientes fn. Este punto de vista expuesto

por Bernoulli no tuvo aceptación en su tiempo. En particular, recibió´ duras

contestaciones por parte de D’Alembert y Euler quienes no admitían que una

función inicial f, más o menos arbitraria, pudiera representarse en la forma (5).

Representativo de esto que decimos puede ser el artículo de D’Alembert

titulado “Fundamental” contenido en el volumen séptimo de la famosa

“Enciclopedia”. La controversia se prolongódurante años.

Parece ser que las ideas de Bernoulli fueron fuente de inspiración para

Jean Baptiste-Joseph Fourier, matemático y físico francés y profesor de

análisis de la Escuela Politécnica. Fourier se interesó por la teoría de la

conducción del calor en los cuerpos sólidos. En 1807 envió un artículo a la

Academia de Ciencias de Paris (Mémoire sur la propagation de la chaleur), que

trataba sobre dicho tema. En su versión más elemental (véase de nuevo [25]),

Fourier se interesó por un problema de tipo mixto para la ecuación del calor de

la forma

∂2U x, y

∂t2=

∂2U x, y

∂x2 ; 0 < 𝑥 < 𝜋, 0 < 𝑡 < 𝑇,

13

u x, 0 = f x ,0 ≤ x ≤ π, (6)

u 0, t = u π, t = 0 ,0 ≤ t ≥ T.

Como Bernoulli, Fourier buscó las soluciones más sencillas que puede

presentar este problema usando el método de separación de variables y afirmó

que la solución de (6) viene dada como superposición de ellas. Más

precisamente, Fourier propuso como solución de (6) a la función u dada por la

serie

u x, t = 𝑓𝑛∞𝑛=1 exp −𝑛2𝑡 sen nt ,

donde

𝑓𝑛 =2

𝜋 𝑓(𝑥)

𝜋

0

sen nx dx,∀n ∈ ℕ.

Sin duda, el hecho de haber alcanzado la fórmula anterior para los coeficientes

fnes una de las contribuciones fundamentales de Fourier, y marca una

diferencia significativa respecto del trabajo previo de Bernoulli sobre este tema.

El artículo de Fourier fue estudiado por los miembros de la Academia

Francesa y, en términos generales, recibióserias críticas de los mismos, siendo

su principal objeción la falta de rigor. No obstante, los cientificos de tan

prestigiosa institución estaban convencidos de la importancia que tenían los

problemas relacionados con la propagación del calor y, los resultados

teóricospresentados por Fourier tenían una gran concordancia con diversos

experimentos llevados a cabo previamente. Por este motivo, convocaron un

premio sobre el tema. Dicho premio fue otorgado a Fourier en 1812, pero a

pesar de esto se continuo´ criticando su falta de rigor, de tal manera que

aunque obtuvo el citado premio, Fourier no consiguióel propósito de publicar su

trabajo en Fourier y sus coeficientes la célebre serie “Mémoires”de la Academia

Francesa. Fourier público por su cuenta su famoso libro Théorie Analytique de

14

la Chaleur, en 1822 en París, donde incorporo parte de su artículo de 1812

prácticamente sin cambio. Este libro es actualmente una de las obras clásicas

en matemáticas. Dos añosmástarde consiguióel cargo de Secretario de la

Academia Francesa y al fin pudo publicar el mencionado artículo en la serie

“Mémoires”.

Riemann también se interesó por el tema afirmando que era importante,

al menos para los matemáticos aunque no necesariamente para las

aplicaciones físicas, establecer lascondiciones más amplias posibles bajos las

cuales tienen sentido las fórmulas de los coeficientes de Fourier. Introdujo así

lo que llamamos hoy en día integral de Riemann, cuya idea básica es por una

parte no asumir necesariamente que f es continua, y por otra establecer

condiciones lo más generales posibles para que las sumas de Riemann tengan

un único límite cuando las longitudes de todos los subintervalos de la partición

considerada tienden a cero. Esto le permitió integrar funciones con un número

infinito de discontinuidades. No obstante, hubo que esperar a los trabajos de

Lebesgue sobre la medida de un conjunto, para tener una caracterización

precisa de las funciones que pueden integrarse según Riemann. De hecho, la

que se considera actualmente como integral definido en muchos aspectos, es

la introducida por Lebesgue en 1902 en su tesis doctoral: “Intégrale, longueur,

aire”. El punto de partida, respecto de la noción de integral de Cauchy o de

Riemann es completamente diferente, pues lo que se intentaba era medir, de

alguna forma, el conjunto de puntos de discontinuidad de una función dada

(véase [1]). La noción de integral de Lebesgue permitió probar con gran

generalidad muchas conclusiones sobre series de Fourier que, con anterioridad

a Lebesgue, eran conocidas para tipos particulares de funciones (lema de

15

Riemann-Lebesgue, igualdad de Parseval, criterios de convergencia puntual,

etc.). Además, muchos resultados de la teoría de integración de Lebesgue se

expresan con una gran simplicidad y claridad respecto de las teorías de

integración anteriores (teoremas de convergencia, teorema de Fubini, etc.), de

tal forma que el conocimiento de la teoría de la integral de Lebesgue es, hoy en

día, imprescindible, para poder entender y presentar adecuadamente la teoría

de series de Fourier (Antonio Cañada Villa [4]).

3.2.Fundamentos teóricos

3.2.1. Integral de Lebesgue

3.2.1.1. Espacio de Medida

Definición 1. Sea X un conjunto, se dice que A ⊂ P(X) es σ−álgebra si

verifica:1.𝑋 ∈ 𝒜,

2. 𝒜 es cerrada por complementación i.e. 𝐴 ∈ 𝒜⇒𝐴𝑐 ∈ 𝒜 ,

3. A es cerrada por uniones numerables, finitas o no, i.e.

𝐴𝑛 ⇒ 𝐴𝑛𝑛≥1 ∈ 𝐴.

Observación 1.𝒜 = 𝒫 𝑋 ,es siempre σ−álgebra.

Lema 1. Si Aα α∈D es una colección arbitraria de σ−álgebras, entonces

𝐴𝛼𝛼∈𝐷 es σ−álgebra.

Definición 2. σ−álgebra de Borel. En ℝ se define la σ−álgebra de Borel,ℬℜ

como aquella generada por los intervalos abiertos

16

ℬℜ = 𝑎, 𝑏 :𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 < 𝑏

La definiciónℬℜ de también funciona con intervalos cerrados, semi abiertos o

incluso infinito como [a, ∞).

Definición3. (Función medible). Diremos que 𝑓:𝑋 → ℝ, es 𝒜−medible

si ∀𝑎 ∈ ℝ se tiene

𝑓−1 𝑎, ∞ = 𝑥 ∈ 𝑋:𝑓 𝑥 > 𝑎 ∈ 𝒜

Ejemplo1. Veamos unos cuantos ejemplos.

1. f x = const. = c.

f −1 a,∞ = ℝ si a < 𝑐ϕ resto.

2. Las funciones continuas son medibles. Observar que (a, ∞)⊂ R es un

intervalo abierto y por lo tanto f −1 ((a, ∞)) es otro abierto al ser f continua y

como sabemos tales conjuntos son medibles

3. La función indicatriz

χA x = 0 , xϵ A1 , x ∉ A

viéndose que, 𝐴𝜖𝒜 ⟺ 𝜒𝐴 𝑥 es medible,

χA−1 a, ∞ =

ℝ si a < 𝑜A si aϵ [0,1)ϕ si a ≥ 1.

17

3.2. 2.Espacios de Lebesgue

Comenzamos el estudio de los espacios de Lebesgue haciendo un breve

resumen de los espacios de Lp y de algunas de las propiedades que serán

utilizadas más adelante.

Sea Ω un abierto no vacío de ℝ𝑛 . Recordemos que 𝑓:ℝ𝑛 → ℝ𝑛 fes una

función medible si el conjunto 𝑥 𝜖 ℝ𝑛 ∶ 𝑓 𝑥 < 𝑎 es medible (respecto de la

medida de Lebesgue en ℝ𝑛 ) para cualquier valor de ℝ . Como es habitual,

identificaremos funciones que son iguales salvo un conjunto de medida

(Lebesgue) nula (iguales casi por doquier). Para la integral de Lebesgue

usaremos la siguiente notación

dxxff )(

3.2.2.1. Espacios LP.

Definición4. Para p ∈ [1, ∞), Lp (Ω) (abreviatura de Lp (Ω, µ), cuando µ es la

medida de Lebesgue en ℝ𝑛 ) es el espacio de (clases de) funciones u,

medibles en Ω y que son p-integrables en Ω, es decir,

.

pu

En el caso p = ∞, se tiene que L∞ (Ω) es el espacio de (clases de) funciones u,

medibles en que están esencialmente acotadas en Ω, es decir, tales que

existeM > 0 y N ⊂ Ω con medida nula verificando |u(x)| ≤ M para cada x ∈ Ω \

N.

Los espacios vectoriales anteriores son normados para las normas:

18

),,1[

/1

;

pparauuu

p

P

Lp P

𝑢 ∞;Ω = 𝑢 𝐿∞ Ω = 𝑢 =Ω𝑠𝑢𝑝𝑒𝑠

𝑖𝑛𝑓 𝑀 > 0: 𝑢(𝑥) ≤ 𝑝. 𝑐. 𝑡. 𝑥 ∈ Ω

Es conocido que (Lp (Ω), || · ||p;Ω) es un espacio de Banach para cualquier valor

de p ∈ [1, ∞).En el caso particular de p = 2, es decir, (L2 (Ω), || · ||2;Ω) es un

espacio de Hilbert.

3.2.2.2. Desigualdades

Desigualdad de Young. Si p ∈ [1, ∞), denotaremos q al exponente conjugado

de p, es decir, q ∈ [1, ∞) y

1

𝑝+

1

𝑞= 1 𝑆𝑖 𝑝 = 1, 𝑞 = ∞, 𝑞 = 1 .

Sean p ∈ 1,∞ y q ∈ 1, ∞ su exponente conjugado, entonces

ab ≤1

pap +

1

qbq ∀a, b ∈ 0, ∞ .

Desigualdad de Holder.Sean p ∈ [1, ∞) y q ∈ [1, ∞) su exponente conjugado,

entonces

19

)(),(;;

qp

qpLvLuvuuv

para p y q en (1, ∞) la desigualdad del Holder se escribe:

).(),(

/1/1

qp

q

q

p

pLvLuvuuv

En particular si p=q=2 se tiene la desigualdad de Schwartz

).(),( 22

2/12/1

2

LvLuvuuvq

Desigualdad de Minkowsky

).(),(

/1/1/1

pp

p

p

p

p

p

pLvLuvuvu

También se tiene

Teorema 1.

1. Lp (Ω) es un espacio de Banach, ∀p ∈ [1, ∞). Para p = 2 se tiene que L2 (Ω)

es un espacio de Hilbert para el producto

).(,,)()(),( 2;0

Lvudxxvxuvu

2. Lp (Ω) es separable si p ∈ [1, ∞). De hecho, D (Ω) es denso en Lp (Ω) para p

∈ [1, ∞). Por otro lado, L∞(Ω) no es separable.

20

3. Teorema de representación. Sea p ∈ [1, ∞) y L ∈ [Lp (Ω)]’. Entonces, existe v

∈ Lp’ (Ω) tal que

).(,)()()(

pLudxxvxuuL

Además,

𝑣 𝑝′ ;Ω = 𝐿 [𝐿𝑝 (Ω)]´ . De este modo podemos identificar al espacio dual

de 𝐿𝑝 (Ω) con 𝐿𝑝′ (Ω).

4. Lp (Ω) es un espacio reflexivo si p ∈ (1, ∞). Ni L1 (Ω) ni L∞ (Ω) son espacio

reflexivo

Definición5. Denotamos por Lploc (Ω) el espacio vectorial de las funciones

reales medibles y localmente p-integrables en Ω, es decir,

U: Ω ⊂IRn → IR medible tal que u ∈ Lp(Ω’), ∀Ω’⊂⊂ Ω.

Observación.2.1. Cuando escribimos Ω’⊂ Ω queremos decir

Ω′

es un compacto contenido en Ω. Por otro lado, Lploc (Ω) no es un espacio

normado (es lo que se llama un espacio de Fréchet) aunque podemos definir

una noción de convergencia para sucesiones en Lploc (Ω): Dada un n≥1 ⊂

21

Lploc(Ω) y u ∈ Lp

loc (Ω), diremos que un converge hacia u en Lploc (Ω) (un → u en

Lploc (Ω)) si un →u en Lp (Ω’) para cada Ω’⊂⊂ Ω.

Ejemplo 2.2.

𝑓 𝑥 = 1 ,𝑥𝜖 ℚ

0 , 𝑥 ∉ ℚ

Para Riemann no es integrable, pero para Lebesgue si es integrable.

3.3. Marco conceptual

3.3.1. Series trigonométricas y polinomios trigonométricos

Se llama serie trigonométrica de periodo 2π a toda serie de funciones de

la forma

𝑎𝑜

2+ (𝑎𝑘

∞

𝑘=1𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝑏𝑘𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥). (1.1)

Se llama polinomio trigonométrico de grado N y periodo 2π a toda

expresión de la forma

𝑎𝑜

2+ (𝑎𝑘

𝑁

𝑘=1𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 + 𝑏𝑘𝑠𝑒𝑛𝑘𝑥). (1.2)

Si al menos uno de los coeficientes aN y bN es distinto de cero se diceque

elgrado del polinomio es N. Observase que las sumas parciales de las series

trigonométricas (1.1) son polinomios trigonométricos.

3.3.2. Series de Fourier

Dada una función periódica de periodo 2π buscamos una serie trigonométrica

que la represente, es decir, que coincida con ella en algún sentido.

Ortogonalidad del sistema trigonométrico.

22

La familia de funciones 1, cos x, cos 2x,. . ., sen x, sen 2x,. . . que interviene

en la serie (1.1) satisface la siguiente propiedad de ortogonalidad:

φ1

π

−π

x φ2 x dx = 0,

para cualquier par 𝜑1 𝑦 𝜑2 de funciones distintas de la familia. Si𝜑1 = 𝜑2la

integral es π, salvo para la función 1 en cuyo caso es 2π.

Los coeficientes de Fourier.

Los valores de ak, bk que se obtienen son los siguientes:

ak =1

π f x cos kx dxπ

−π , (1.3)

bk =1

π f x sen(kx)dxπ

−π

Definición1.Dada una función integrable f, los números ak, k = 0, 1, 2,. . .y

bk, k = 1, 2,. . . dados por las fórmulas (1.3) se llaman coeficientes de Fourier

de f. La serie trigonométrica (1.1) construida con estos coeficientes se llama

serie de Fourier de f.

Los coeficientes dependen de la función y cuando intervienen simultáneamente

coeficientes de varias funciones distintas, conviene hacer explícita esta

dependencia; en esos casos escribiremos ak (f) y bk (f).

Observemos que si f es un polinomio trigonométrico, el intercambio de sumas e

integrales está perfectamente justificado por la linealidad de la integral y

deducimos que los coeficientes del polinomio trigonométrico (1.2) vienen dados

por las fórmulas (1.3).

3.3.3. Propiedades elementales de los coeficientes

23

1. Las sucesiones ak, k = 0, 1, 2,. . . y bk, k = 1, 2,. . .están acotadas; en

efecto,

ak , bk ≤1

π f(x) dxπ

−π

2. Linealidad:

ak(f + g) = ak(f) + ak(g) , bk(f + g) = bk(f) + bk(g) .

3. Si f’ existe y es continua,

ak f = −bk f ′

k , b f = −

ak f ′

k ,𝐾 = 1,2,…

Aquí la continuidad y la existencia de derivada se entienden referidas a la

función extendida periódicamente. Esta propiedad se demuestra integrando por

partes; en realidad, si f es continua, es suficiente con que sea derivable a

trozos y f’ continua a trozos. Hay otras versiones para cuando f tiene

discontinuidades.

4. Si f es par (es decir, f(−x) = f(x)), se tiene bk(f) = 0 para todo k y la fórmula ak

se puede escribir:

ak =2

π f x cos kx dxπ

0

Cuando f es impar (es decir, f(−x) = −f(x)), tenemos ak(f) = 0

para todo k y la fórmula bkse puede escribir

bk =2

π f x sen(kx)dxπ

0 .

Teorema1. (Desigualdad de Bessel). Si f2 es integrable,

a0

2

2+ (ak

2∞k=1 + bk

2) ≤1

π f 2π

−π.

En particular, para las funciones de cuadrado integrable deducimos que las

sucesiones de sus coeficientes de Fourier ak y bk convergen a cero

(condición necesaria de convergencia de la serie). Obsérvese que aunque no

toda función integrable es de cuadrado integrable, sí lo es si está acotada.

24

3.3.3 ¿Qué son funciones integrables?

Deliberadamente hemos dejado el término integrable sin calificar de modo que

podemos dudar si hablamos de la integral de Riemann o de la de Lebesgue.

Desde la aparición de ésta a principios del siglo XX, es el marco natural para

las series de Fourier. Pero toda la teoría clásica se desarrolló en el siglo XIX en

términos de laintegral de Riemann, así que quien no conozca la teoría de la

integral de Lebesgue puede considerar que en todos los enunciados referidos a

series de Fourier hablamos de funciones integrables Riemann. Sólo hay que

hacer una observación: para la integral de Riemann de funciones no acotadas

se consideran integrales impropias y en ese caso los resultados se limitan a las

que son absolutamente convergentes.

Definición2.Un espacio de Hilbert es un espacio Pre-Hilbert H en el que toda

sucesión de Cauchy converge con respecto a . =<. >1/2.

L2(Ω)es un espacio de Hilbert ,pues con respecto a la norma inducida por el

producto interno,L2(Ω) es un espacio de Banach

Definicion3.Si 𝜑 ∈ 𝐿1(ℝ) , la TRANSFORMADA DE FOURIER de f, denotada

por 𝜑 (𝑜 ℱ𝜑) se define como:

𝜑 𝜉 =1

2𝜋 𝑒−𝑖𝜉𝑥

+∞

−∞

𝜑(𝑥)𝑑𝑥

IV. DISEÑO METODOLÓGICO DE LA INVESTIGACIÓN.

4.1. Tipo de investigación y diseño de investigación.

La investigación corresponde a las ciencias formales del tipo básica y el diseño

es descriptivo que nos lleva a la búsqueda de conocimientos en el análisis

funcional.

25

4.2. Población y Muestra.

Población: Funciones periódicas y no periódicas definidas en el espacio

𝐿𝑃(ℝ𝑛)

Muestra:Funciones integrables en el sentido de Lebesgue definida en el

espacio 𝐿1(ℝ𝑛) y el espacio 𝐿2(ℝ𝑛)

4.3. Material de estudio.

.En el presente informe de investigación nuestro material de estudio son

funciones integrables 𝜑 en el sentido de Lebesgue tal que

𝜑 𝜉 =1

2𝜋 𝑒−𝑖𝜉𝑥+∞

−∞𝜑(𝑥)𝑑𝑥

4.4. Métodos y Técnicas

Se emplearán los métodos lógicos inductivo y deductivo respectivamente. El

método deductivo es utilizado para justificar matemáticamente las condiciones

necesarias o suficientes para la existencia de funciones integrables en el

sentido de Lebesgue el método inductivo es para contrastar el funcionamiento

de dichas condiciones, utilizando ejemplos conocidos de funciones no

periódicas.

4.5. Modelo de contrastación y verificación de hipótesis

Se define la Transformada de Fourier sobre ℝ para funciones integrables en el

sentido de Lebesgue y colocamos algunos ejemplos explícitos. A continuación

se extiende esta definición a ℝ𝑛 con algunas propiedades algebraicas y

analíticas de este operador. A continuación definimos la transformada de

Fourier sobre L2que será una isometría sobre este espacio.

26

V. ASPECTOS ADMINISTRATIVOS DE LA INVESTIGACIÓN.

5.1. Plan de Acciones y Cronograma.

TRIM 1 TRIM 2 TRIM 3 TRIM 4 M 1

M 2

M 3

M 1

M 2

M 3

M 1

M 2

M 3

M 1

M 2

M 3

I Planificación

1.1 Información básica x X

1.2 Información bibliográfica x X

1.3 Elaboración del marco teórico X X

1.4 Formulación del proyecto X X

1.5 Aprobación X

II Instrumentación

2.1 Series de Fourier reales y complejos X

2.2 Espacio medible X x

2.3 Integración y espacios Lp x x

III Ejecución / Trabajo de Campo

3.1 Transformada de Fourier x x

IV Análisis de datos

4.1 Transformada de Fourier en L1 x X

4.2 Transformada de Fourier en L2 X x

V Preparación del Informe Final

5.1 Redacción del borrador de informe x

5.2 Revisión del borrador de informe x

5.3 Aprobación del borrador de informe x

5.4 Edición final x

VI Presentación y/o sustentación

6.1 Presentación de informe final x

6.2 Sustentación x 5.2. Asignación de recursos.

5.2.1. Recursos Humanos.

Investigador responsable e Investigadores miembros.

5.2.2. Recursos Materiales.

Una computadora Pentium IV, una impresora y tinta para la impresión.

Útiles de escritorio-Bibliografía, Fotocopias y USB

5.2.3. Servicios.

Servicio de alquiler de equipos,Gastos de transporte y viáticos, Paquetes de

software y Servicio de apoyo.

27

5.3. Control y Evaluación del ProyectoLos avances parciales del PROIN

serán evaluados por el OGIN/UNJBG

5.4. Presupuesto y Financiamiento del Proyecto.

CUADRO DE FINANCIAMIENTO DEL PROYECTO

DESCRIPCION PRESUPUESTO

TOTAL

FINANCIAMIENTO

R.PROPIOS UNJBG

BIENES S/.1800 S/.900 S/.900

SERVICIOS S/.700 S/.350 S/.350

TOTAL S/.2500 S/.1250 S/.1250

% 100 % 50% 50%

Descripción

clasificador Unidad

de

medida

C aantidad

Valor

Unitar

io

Sub

Total

S/.

TTrim1

S/.

Trim2

S/.

Tri3

S/.

Tri4

S/.

Finan.

%

1

2

Bienes

a) Material de

escritorio

b) Material de

impresión

c) Material

bibliográfico

Servicios

a) Servicio

especializado

b) Servicio de

alquiler de

equipos

c) Gastos de

transporte y

viáticos

d) Paquetes de

y software

e) Servicio de

apoyo

231512

222344

231911

232738

232514

232121

266132

Libros

Asesor

Equipo

Pasajes

software

personal

8

1

1

40

4

1

50

600

300

5

40

250

250

350

400

600

300

200

150

250

75

75

150

150

50

50

36.5

50

75

75

150

150

50

50

36.5

50

75

100

50

150

100

50

36.5

75

75

100

50

150

100

50

36.5

75

Recursos

Propios

50%

UNJBG

50%

Total

S/.

2500

28

VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] J. Alaminos, C. Aparicio, P. Muñoz y A.R. Villena. Un recorrido histórico

del teorema fundamental del cálculo. Sometido a publicación.

[2]Ayant, Borg. M. (1974). Funciones especial. Editorial Alhambra, S.A.

[3] Cañada. A. (2000) Una perspectiva histórica de las series de Fourier: de las

ecuaciones de ondas y del calor a los operadores compactos y autoadjuntos.

Relime, Revista Latinoamericana de investigación en Matemática educativa,

3, 293-320.

[4] Cañada Villar Antonio. (2006). Fourier y sus coeficientes .Universidad de

Granda España.

[5] EidelmanYuli.(2004). Functional Analysis and Introduction. Editorial

American Mathematical Society. New York.

[6] Kesavan, S. (2009).Nonlinear Functional Analysis. Edit. Hindustan Book

Agency. London.

[7]Kline.M (1972).Mathematical thought from ancient to modern times. Oxford

University Press.New York. . Versión española en Alianza Editorial,

Madrid, 1992.

[8] Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications .Edit.

Wiley.Toronto.

[9]Kolmogorov a. and Fomin s.(1972).Elementos de la Teoría de funciones y

del Análisis Funcional .Editorial Mir. Moscú.

29

[10] Luzin.N.N. (2003).Función. Gac. R. Soc. Mat. Esp., 6, 201-225.

[11] M. de Guzmán. Impactos del análisis armónico. Discurso de ingreso en

la Real Académica de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid.

http://www.mat.ucm.es/deptos/am/guzman/impactoanalisisarmonico.htm,

1983.

[12] Rudin, W,(2002),Análisis funcional.Edit. Reverte S. A. España.

[13]Rudin, W. (1986).Real and Complex Analysis.Terceraedition McGraw-Hill.

New York.

[14]Rudin W. (1976).Principles of Mathematical Analysis.Terceraedition

McGraw-Hill. New York.

[15] Siu Ah Ng N. (2010).Onstandard Methods in functional Analysis, Edit.

World ScientificPublishing Co. Pte.Ltd.Singapur.

[16]Stein E. and Shakarchi R. (2003).Complex Analysis, Princeton University

Press.

[17] Zeidler, Eberhar. (1995). Applied Functional Analysis, Edit. Springer. New

York

[18] Valeria Pérez Mariana, (2009), La definición de la transformada de Fourier

y sus desigualdades en norma de pesos .Universidad de Buenos Aires.

Argentina

30

VII. ANEXOS

MATRIZ DE CONSISTENCIA

TITULO: Expresión generalizada de las Series de Fourier de funciones no periódicas en la recta a funciones no periódicas en el espacio

euclidiano n- dimensional

PROBLEMA OBJETIVO HIPÓTESIS VARIABLES INDICADORES MUESTRA DISEÑO INSTRUMENTO

GENERAL: a)¿Es posible

conseguir una

expresión

generalizada de las

Series de Fourier

de funciones no

periódicas a

funciones no

periódicas definida

en el espacio

euclidiano n-

dimensional?

GENERAL: a) Ejemplificar las

Series de Fourier

de funciones no

periódicas en la

recta a funciones

no periódicas y

definidas en el

espacio ℝ𝑛 .

GENERAL: a) Una expresión de

las Series de Fourier

de funciones no

periódicas en la recta

a una función no

periódica en el

espacio ℝ𝑛es posible

generalizarla por

medio de funciones

integrables en el

sentido de Lebesgue

definida en ℝ y luego

se extiende esta

definición a ℝ𝑛 .

Variable

independiente

a) Expresión

generalizada

de las Series

de Fourier

de funciones

no periódicas

en la recta.

Variable

dependiente

b) Funciones

no periódicas

definida en el

espacio

euclídeo n-

dimensional

a1) Funciones no

periódicas en ℝ

a2) Funciones no

periódicas en ℝ𝑛

b.1) Función no periódica definida en el espacio 𝐿1(ℝ𝑛) b.2) Función no periódica definida en el espacio 𝐿2(ℝ𝑛)

POBLACIÓN: Funciones periódicas y

no periódicas definidas

en el espacio 𝐿𝑃(ℝ𝑛)

MÉTODO LÓGICOS: Inductivo y deductivo

Análisis funcional

MUESTRA : Funciones integrables

en el sentido de

Lebesgue definida en

el espacio 𝐿1(ℝ𝑛) y el

espacio 𝐿2(ℝ𝑛)

DISEÑO: Descriptivo

ESPECIFICOS: a) ¿Es posible

conseguir una

expresión generalizada

de las Series de

Fourier definidas en ℝ𝑛

a funciones no

periódicas en el

espacio 𝐿1(ℝ𝑛)?

b) ¿Es posible

conseguir una

expresión generalizada

de las Series de

Fourier definidas en ℝ𝑛

a funciones no

periódicas en el

espacio 𝐿2(ℝ𝑛) ?

ESPECIFICOS: a) Ejemplificar las

Series de Fourier de

funciones no periódicas

en ℝ a funciones no

periódicas en espacio

𝐿1(ℝ𝑛)

b) Ejemplificar las

Series de Fourier de

funciones no periódicas

en ℝ a funciones no

periódicas en espacio

𝐿2(ℝ𝑛)

ESPECIFICOS: a)Una expresión de las Series de

Fourier de funciones no

periódicas en la recta a una

función no periódica en el

espacio ℝ𝑛es posible

generalizarla por medio de

funciones integrables en el

sentido de Lebesgue definida ℝ

y luego se extiende esta

definición al espacio L1(ℝn ) por

medio de propiedades

algebraicas y analíticas.

b) Una expresión de las Series

de Fourier de funciones no

periódicas en la recta a una

función no periódica en el

espacio ℝ𝑛es posible

generalizarlo por medio de

funciones integrables en el

sentido de Lebesgue definida ℝ

y luego se extiende esta

definición al espacio L2(ℝn) por

medio de la isometría sobre ese

espacio.