priority search queues: loser trees advanced algorithms & data structures lecture theme 06...
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Priority search queues: Loser trees
Advanced Algorithms & Data Structures
Lecture Theme 06
Tobias Lauer
Summer Semester 2006
2
Intro 2
• Recap
• Begriffe: Pennant, Top node
• Linien gestrichelt vs. durchgezogen
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Special cases of insertion
1. The tree is empty. (trivial)
2. The key of the inserted node is larger than all other keys in the tree. Exercise 1
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18, 918
4, 153
13, 610
16, 1115
3, 71
9, 127
14, 813
15, 516
5, 104
10, 414
20, 39
1, 220
7, 135
Priority search pennant: example
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Deletion of a point with key x
Again, we must ensure that search-tree condition, semi-heap condition, and split-key condition are still fulfilled after the deletion.
• Follow the search path for x until the end. On the way down, remember… the node N containing x as its key the node S containing x as its split key
• If x is not contained in the tree, we are done.
• Otherwise, consider the last node E on the search path. Observe that… E has at most one child (otherwise, we could proceed further down). The split key of E is either x itself or the symmetric predecessor of x.
(The symmetric predecessor of x is the largest key in the tree that is smaller than x.)
• Exchange the split keys of E and S (if E ≠ S) and remove E from the tree (replace it by its child if it has one).
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Deletion of a point with key x
• Walk back the search path until N. At each node C on the way up: If the priority of C is smaller than that in E, exchange the points in E
and C (but leave the split keys).Note that this may flip the dominated subtree of C but never destroys the semi-heap condition!
Continue by the same method up the tree.
• If we arrive at N, exchange the points of N and E.
• Now E can be completely deleted.
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18, 918
4, 153
13, 610
16, 1115
3, 71
9, 127
14, 813
15, 516
5, 104
10, 414
20, 39
1, 220
7, 135
Example: delete(20)
8
18, 918
4, 153
13, 610
16, 1115
3, 71
9, 127
14, 813
15, 516
5, 104
10, 414
20, 39
1, 220
7, 135
Example: delete(20)
S
N
E
9
18, 920
4, 153
13, 610
16, 1115
3, 71
9, 127
14, 813
15, 516
5, 104
10, 414
20, 39
1, 218
7, 135
Example: delete(20)
S
N
E
10
18, 920
4, 153
13, 610
16, 1115
3, 71
9, 127
14, 813
15, 516
5, 104
10, 414
20, 39
1, 218
7, 135
Example: delete(20)
S
N
E
11
15, 520
4, 153
13, 610
16, 1115
3, 71
9, 127
14, 813
18, 916
5, 104
10, 414
20, 39
1, 218
7, 135
Example: delete(20)
S
N
E
12
10, 420
4, 153
13, 610
16, 1115
3, 71
9, 127
14, 813
18, 916
5, 104
15, 514
20, 39
1, 218
7, 135
Example: delete(20)
S
N E
13
20, 320
4, 153
13, 610
16, 1115
3, 71
9, 127
14, 813
18, 916
5, 104
15, 514
10, 49
1, 218
7, 135
Example: delete(20)
S
N E
14
4, 153
13, 610
16, 1115
3, 71
9, 127
14, 813
18, 916
5, 104
15, 514
10, 49
1, 218
7, 135
Example: delete(20)
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Analysis of delete
• We require one complete walk down the search path. Find N, S and E
• Then we walk up the same search path again (until N) Swap points if necessary.
Running time:
If the tree is balanced:
How can we keep a priority search pennant balanced?
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Balancing
• We always leave the top node as it is and only balance the loser tree.
• The loser tree is a standard binary tree.
• Binary trees can be balanced with different schemes Information for balancing must be kept in the nodes, e.g.
• height difference of subtrees (AVL trees)
• weight (#nodes) of the subtree (BB[α] trees, IPR balancing)
• color (red-black trees) If the tree is out of balance after an insertion or deletion, the balance is
restored by restructuring the tree using rotations.
• Rotations preserve the search-tree property!
• But what about the semi-heap property?
17
5, 64
7, 39
Rotation
t1 t2
t3
5, 64
7, 39
t1
t2 t3
Bad news: Rotation can destroy the semi-heap property!
Good news: We can repair it!
18
2, 64
7, 39
1st case: xA ≤ sA and xB ≤ sB
t1 t2
t3
2, 64
7, 39
t1
t2 t3
A
B
No repair needed!
19
5, 64
7, 39
2nd case: xA ≤ sA and xB > sB
t1 t2
t3
7, 34
5, 69
t1
t2 t3
A
B
Swap!
20
3rd case: xA > sA and xB ≤ sB
2, 64
10, 39
t1 t2
t3
2, 64
10, 39
t1
t2 t3
2, 34
10, 69
t1 t2
t3
2, 34
10, 69
t1
t2 t3
Case 3ayA ≤ yB
Case 3byA > yB
A
B
A
B
No repair needed!
21
4th case: xA > sA and xB > sB
7, 64
10, 39
t1 t2
t3
10, 34
7, 69
t1
t2 t3
7, 34
10, 69
t1 t2
t3
7, 34
10, 69
t1
t2 t3
A
B
A
B
Case 4ayA ≤ yB
Case 4byA > yB
No repair needed!
Swap!
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Rotations
• Right rotation: Condition for swapping: xB > sB and yA ≤ yB
Only one additional “match” is required Repair takes constant time!
• Left rotation: Symmetric condition
• Double rotations (left-right and right-left) Either: like two single rotations Or: Exercise 3
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South-grounded range queries
• enumerateRectangle: Report all points of S inside the rectangle
• minXinRectangle: Find the leftmost point of S inside the rectangle
• maxXinRectangle: Find the rightmost point of S inside the rectangle
• minYinXRange: Find the bottommost point of S in a given x-range
xleft xright
ytop
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MinXinRectangle
Sei Min ein Zeiger auf den besten bisher gefundenen Knoten (zu Beginn setze Min auf einen Dummyknoten D mit xD = xmax).
Beim Besuch von Knoten N:
1) Falls N der Suchbedingung genügt (x ≤ xN < xMin AND yN ≤ y),setze Min = N.
2) Besuche den linken Teilbaum, falls nötig, d.h. falls dieser existiert UND
a) gültige x-Werte enthalten kann: sN ≥ x UND
b) gültige y-Werte enthalten kann:
yN ≤ y ODER N stammt aus seinem rechten Teilbaum (xN > sN)
3) Besuche den rechten Teilbaum, falls nötig, d.h. falls dieser existiert UND
d) gültige x-Werte enthalten kann: sN < xMin UND
e) gültige y-Werte enthalten kann:
yN ≤ y ODER N stammt aus seinem linken Teilbaum (xN ≤ sN)
Depth-first search (in preorder) with pruning
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Analyse
Definition: Ein bei minXinRectangle(x, x‘, y) inspizierter innerer Knoten N heißt potentiell verzweigend, wenn N bei seinem ersten Besuch alle der Bedingungen a-d erfüllt.
N heißt (tatsächlich) verzweigend für minXinRectangle(x, x’, y), wenn bei der Suche beide seiner Söhne inspiziert werden.
Bemerkungen: (1) Für potentiell verzweigende Knoten N gilt immer yN ≤ y. (2) Jeder tatsächliche verzweigende Knoten ist auch potentiell verzweigend. (3) Umgekehrt muss jedoch nicht jeder potentiell verzweigende Knoten auch tatsächlich verzweigend sein.
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Analyse
Beobachtung 1: Wenn während minXinRectangle (x, x’, y) im linken Teilbaum eines potentiell verzweigenden Knotens N ein neuer Knoten L mit yL ≤ y und x ≤ xL ≤ xMin gefunden wird, so ist N nicht tatsächlich verzweigend.
Beobachtung 2: Für den Splitwert sN eines Knotens N, der bei einer Suchanfrage (x, x’, y) potentiell verzweigend ist, gilt beim ersten Besuch von N: x ≤ sN < kMin.
[Die Aussage ist die Zusammenfassung von (a) und (d).]
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Verteilung verzweigender Knoten
Lemma 1: Sei N ein verzweigender Knoten für minXinRectangle(x, x’, y). Dann gibt es im rechten Teilbaum von N keine potentiell verzweigenden Knoten.
Beweis: Da N verzweigend, ist x ≤ sN < xMin (s. Beobachtung 2).Annahme: R im rechten Teilbaum ist potentiell verzweigend,d.h. x ≤ sR < xMin
xN
sN
xR
sR
sN sR
x xMin
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Beweis
Lemma 1: Sei N ein verzweigender Knoten für minXinRectangle(x, x’, y). Dann gibt es im rechten Teilbaum von N keine potentiell verzweigenden Knoten.
1. Fall: R stammt aus seinem linken Teilbaum (xR ≤ sR)
xN
sN
xR
sR
sN sR
x xMin
xR
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Beweis
xN
sN
xR
sR
sN sR
x xMin
xR
xW
xW
Lemma 1: Sei N ein verzweigender Knoten für minXinRectangle(x, x’, y). Dann gibt es im rechten Teilbaum von N keine potentiell verzweigenden Knoten.
2. Fall: R stammt aus seinem rechten Teilbaum (xR > sR)
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Verteilung verzweigender Knoten
Lemma 2: Trifft man bei minXinRectangle (x, x’, y) im linken Teilbaum eines potentiell verzweigenden Knotens N auf einen weiteren potentiell verzweigenden Knoten L, so ist N nicht tatsächlich verzweigend.
Beweis: Da N potentiell verzweigend ist, gilt x ≤ sN < xMin.Sei L im linken Teilbaum potentiell verzweigend,d.h. x ≤ sL < xMin
xN
sN
xL
sL
sNsLxL
x xMin
xW
xW
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Verzweigende Knoten
Lemma 1: Sei N verzweigender Knoten für minXinRectangle(x, x’, y). Dann gibt es im rechten Teilbaum von N keine potentiell verzweigenden Knoten.
Lemma 2: Trifft man bei minXinRectangle(x, x’, y) im linken Teilbaum eines potentiell verzweigenden Knotens N auf einen weiteren potentiell verzweigenden Knoten L, so ist N nicht tatsächlich verzweigend.
Satz 1: Bei einer MinXinRectangle-Suche (x, x’, y) in einem Priority Search Pennant gibt es höchstens einen verzweigenden Knoten.
(Formaler Beweis per Induktion über den Suchpfad)
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Ergebnis
Satz 2: Die Laufzeit der Min-X-in-Rectangle-Suche in einem Priority Search Pennant P der Höhe h ist durch O(h) beschränkt.
Genauer gilt: Es werden höchstens 2 • (h – 1) Knoten besucht.
Ist P ein balancierter Priority Search Pennant mit n Elementen, so ist die Laufzeit der Min-X-in-Rectangle-Suche durch O(log n) beschränkt.
Bemerkung: Priority Search Pennants sind also für die MinXinRectangle-Suche (asymptotisch) worst-case-optimal. (Denn schon die einfache Suche nach einem Schlüssel erfordert ja im worst case O(log n) Schritte.)
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Andere Rechteckanfragen
• maxXinRectangle Analoger Beweis: O(log n)
• minYinXRange Ähnliche Argumentation über Verzweigung: O(log n)
• enumerateRectangle Beweis in Hinze (2001): O(r · (log n – log r +1))
wobei r die Anzahl der Punkte im Rechteck ist Bemerkung:
Hier sind Priority Search Trees (McCreight, 1985) besser: O(log n + r)
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References
• R. Hinze. A simply implementation technique for priority search queues. In Proceedings of the International Conference on Functional Programming (ACM ICFP’01), pages 110-121. Florence, Italy: ACM Press, 2001.
• E. M. McCreight. Priority search trees. In SIAM Journal on Computing, 14(2):257-276. May 1985.