EXAME UNIFICADO DAS POS-GRADUACOES EM FISICA DO RIO DE JANEIROEDITAL 2017-1

Primeiro Semestre de 2017 - 25 de Novembro de 2016

LEIA COM ATENCAO.(IF YOU WANT THE ENGLISH VERSION OF THE QUESTIONS, PLEASE ASK THE EXAMINER.)

A PROVA E COMPOSTA DE 5 BLOCOS:Bloco 1: Mecanica ClassicaBloco 2: Ondas, Fluidos e TermodinamicaBloco 3: EletromagnetismoBloco 4: Ondas Eletromagneticas, Otica e Fısica ModernaBloco 5: Mecanica Quantica

• Todos os candidatos devem escolher 4 dos 5 blocos para resolver. Os candidatos ao doutoradodevem OBRIGATORIAMENTE escolher o bloco 5 (Mecanica Quantica).

• A escolha do bloco que NAO sera corrigido deve estar claramente registrada na folha de rosto docaderno de respostas.

• Cada bloco contem 3 questoes de multipla escolha (45% da nota) e uma questao discursiva (55%da nota).

• Duas respostas erradas a questoes de multipla escolha cancelam uma resposta correta a outraquestao de multipla escolha, dentro do universo de 12 questoes de multipla escolha dos 4 blocosescolhidos.

• Respostas em branco nao tem nenhum efeito sobre a correcao das outras questoes.

A PROVA TEM DURACAO MAXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.

1

BLOCO 1: Mecanica Classica

Multipla escolha

Problema 1: Dois blocos identicos sao conectados com uma mola. Um deles e fixado ao teto com umfio. Inicialmente, o sistema esta em equilıbrio. Imediatamente depois de cortar o fio, qual e o moduloda aceleracao do bloco superior?

g

a) 0

b)√

2g

c) g

d) 2g

2

Problema 2: Um pendulo, composto de uma massa puntiforme presa na extremidade de um fio ideal,e solto no ponto A e balanca ate o ponto E. Qual dos seguintes diagramas ilustra a aceleracao da massana extremidade do pendulo?

A

BCD

E A

BCD

E

A

BCD

EA

BC

D

E

c) d)

a) b)

Problema 3: Dois projeteis sao disparados como na figura. O modulo da velocidade inicial e o mesmopara os dois casos (o angulo θ e em relacao a horizontal). Se o projetil do caso A cai no chao a umadistancia horizontal x1, entao

h h

v0

v0

θ

A B

a) independentemente do valor de θ, o projetil do caso B cai no chao a uma distancia horizontal menorque x1.

b) independentemente do valor de θ, o projetil do caso B cai no chao a uma distancia horizontal iguala x1.

3

c) independentemente do valor de θ, o projetil do caso B cai no chao a uma distancia horizontal maiorque x1.

d) a relacao entre as distancias nos dois casos depende do angulo θ.

Discursiva

Problema 4: Uma haste, rıgida e uniforme, de comprimento L e massa M e colocada verticalmentenuma superficie. A haste so pode girar em torno do ponto de contato com a superfıcie, mas nao podese mover horizontalmente. Despreze qualquer atrito.

a) Mostre que o momento de inercia para rotacoes em torno do ponto do contato e I = 13ML2.

b) Calcule a energia potencial em funcao do angulo θ entre a haste e a vertical.

c) Obtenha a energia cinetica da haste em funcao de ω ≡ ddtθ.

d) Quando a haste cai, a extremidade livre dela bate no chao com que velocidade? Suponha que avelocidade inicial seja zero.

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BLOCO 2: Ondas, Fluidos e Termodinamica

Multipla escolha

Problema 5: Um bloco de massa M oscila sob a acao de uma mola ideal, de massa desprezıvel, emum plano sem atrito. No momento de maior amplitude do movimento um outro bloco de massa m ecolado instantaneamente em cima do bloco maior, sem que haja qualquer transferencia de momento.Veja a figura abaixo. Podemos afirmar que:

a) A amplitude do movimento diminui e a frequencia nao se altera.

b) A amplitude do movimento diminui e a frequencia aumenta.

c) A amplitude do movimento e a frequencia nao sao alterados.

d) A amplitude do movimento nao e alterada e a frequencia diminui.

Problema 6: A agua e fundamental para a existencia da vida na Terra. Essa importancia da aguadeve-se, entre outros fatores, a comportamentos anomalos dessa substancia quando comparada comoutras. Na Figura 1 abaixo vemos como a densidade da agua varia em funcao da temperatura. Qualdos itens abaixo esta errado?

a) Em um dia quente, quando a temperatura das aguas de um lago esta na faixa de 15oC a 20oC deacordo com a profundidade, temos que a agua na superfıcie do lago e mais quente do que a agua nofundo do lago;

b) Em um dia frio, quando a temperatura das aguas de um lago esta na faixa de 1oC a 3oC de acordocom a profundidade, temos que a agua na superfıcie do lago e mais fria do que a agua no fundo dolago;

c) Quando uma massa de agua inicialmente a 1oC e aquecida sofrendo uma variacao de 5oC, seu volumediminui e depois aumenta;

d) A dilatacao volumetrica da agua lıquida e descrita pela formula ∆V/V = β∆T para qualquer intervalode temperatura ∆T , onde β e o coeficiente de dilatacao volumetrica que independe da temperatura.

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Figura 1: Os graficos mostram como a densidade da agua varia em funcao da temperatura. O painel da esquerda mostraa variacao da densidade da agua para o intervalo de temperatura [−200oC, 100oC], que inclui as fases solida e lıquidada agua. O grafico da direita mostra com detalhe a variacao da densidade da agua lıquida no intervalo de temperatura[0oC, 10oC].

Problema 7: Dois lıquidos identicos (mesma densidade) sao colocados em recipientes com formasdistintas, porem com mesma area A da superfıcie inferior. Nos dois recipientes o lıquido e colocado ateatingir uma altura h. Veja a figura abaixo. Qual das afirmacoes abaixo e incorreta?

a) O volume de lıquido no recipiente II e maior do que no recipiente I;

b) O peso do lıquido no recipiente II e maior do que o do recipiente I;

c) A forca exercida pelo lıquido na superfıcie inferior do recipiente II e maior do que no recipiente I;

d) A pressao exercida pelo lıquido na superfıcie inferior do recipiente II e a mesma que no recipiente I.

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Discursiva

Problema 8: O motor de um carro transforma uma mistura de gasolina e ar em movimento mecanico.Esse motor de combustao interna funciona, usualmente, em 4 tempos que podem ser idealizados comomostrado na figura abaixo.

2 Questão Discursiva1. O motor de um carro transforma uma mistura de gasolina e ar em movimento mecânico. Esse motor de com-

bustão interna funciona, usualmente, em 4 tempos que podem ser idealizados como mostrado na figura abaixo.

Esse ciclo, conhecido como ciclo de Otto, pode ser descrito como segue:

0-1 Injeção de combustível: nessa parte a válvula da esquerda é aberta e uma mistura de ar e gasolina éinserida no reservatório, com o pistão expandindo livremente;

1-2 Compressão: o pistão é comprimido adiabaticamente;

2-3 Ignição: uma faísca é produzida dentro do compartimento. A mistura de gasolina e ar entra em combustãocom o volume mantido constante;

3-4 Expansão: devido ao aumento de pressão o pistão expande adiabaticamente;

4-1 Exaustão: a válvula de escape é aberta e o gás é liberado com volume mantido fixo;

1-0 Exaustão final: ainda com a válvula de escape aberta, o pistão é comprimido e todo o gás dentro docompartimento é expelido, voltando assim a condição inicial.

(a) Desenhe os diagramas de pressão por volume (p-V) para o ciclo descrito acima;

(b) O ciclo de Otto é uma idealização do ciclo do motor de 4 tempos. Quais são os pontos onde o motor realdeve diferir do ideal? Esboce o gráfico p-V nessas condições mais realistas.

(c) Mostre que a eficiência do ciclo ideal é dada por

h = 1�✓

1r

◆g�1

onde r é a taxa de compressão volumétrica, e g é a constante adiabática da mistura de gasolina e ar quepode ser aproximada por um gás ideal.

Solução:

(a) Para o ciclo de Otto ideal temos:

(b) No caso real a compressão e expansão não serão adiabáticas, devido ao inevitável atrito do pistão coma parede do cilindro, que acaba por aquecer. Mais ainda, durante a ignição e exaustão o volume não émantido constante. Por fim, quando a mistura de combustível e ar é colocada no cilíndro, o movimento dopistão para baixo faz com que a pressão seja um pouco abaixo da atmosférica; equivalentemente, quandoda exaustão final, o movimento para cima do pistão faz com que a pressão seja um pouco maior que aatmosférica. Um esboço do gráfico p-V é como segue:

3

Esse ciclo, conhecido como ciclo de Otto, pode ser descrito como segue:

0-1 Injecao de combustıvel: com o compartimento completamente vazio (volume nulo) a valvulada esquerda e aberta e uma mistura de ar e gasolina e inserida no reservatorio, com o pistaoexpandindo sem variar a pressao;

1-2 Compressao: a valvula da esquerda e fechada, e o pistao e comprimido adiabaticamente;

2-3 Ignicao: uma faısca e produzida dentro do compartimento. A mistura de gasolina e ar entra emcombustao, transformando-se completamente em gas, com o volume mantido constante;

3-4 Expansao: o pistao expande adiabaticamente;

4-1 Exaustao: a valvula da direita (escape) e aberta e todo o gas e liberado com volume mantidofixo;

1-0 Exaustao final: ainda com a valvula de escape aberta, o pistao e comprimido e todo o gas dentrodo compartimento e expelido, voltando assim a condicao inicial.

a) Considerando que a mistura de ar e gasolina se comporta como um gas ideal, desenhe o diagrama depressao por volume (PV) para o ciclo descrito acima;

b) Quando um gas ideal sofre um processo adiabatico observamos que a quantidade PV γ e conservada.Essa lei de conservacao e denominada Lei de Poisson-Laplace, e o expoente γ e dado pela razao entre

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os calores especıficos (γ ≡ cP/cV , onde cP e o calor especıfico a pressao constante, e cV e o calorespecıfico a volume constante). Mostre que nesse processo a quantidade TV γ−1 tambem e conservada,onde T e a temperatura.

c) Mostre que a eficiencia η ≡ Trabalho fornecidoCalor consumido

do ciclo ideal e dada por

η = 1−(

1

r

)γ−1

onde r e a razao de compressao volumetrica (entre o volume ao final do estagio 0-1 e o volume aofinal do estagio 1-2).

d) O ciclo de Otto e uma idealizacao do ciclo do motor de 4 tempos. Enumere algumas caracterısticasonde o motor real difere do ideal.

8

BLOCO 3: Eletromagnetismo

Multipla escolha

Problema 9: Considere duas distribuicoes lineares, conforme mostra a figura, com a mesma carga totalQ: (I) um anel circular uniformemente carregado, de raio R, e (II) um anel semi-circular uniformementecarregado, de raio tambem R. Supondo que o potencial e tomado como zero no infinito, assinale a opcaoque indica corretamente o campo eletrico e o potencial eletrostatico, de cada distribuicao, no centro P .

a) ~EI = ~EII ; VI = VII .

b) ~EI = −1

2~EII ; VI = 0 ; VII 6= 0 .

c) ~EI = 0 ; ~EII 6= 0 ; VI = 0 ; VII 6= 0 .

d) ~EI = 0 ; ~EII 6= 0 ; VI = VII 6= 0 .

Problema 10: Um eletron (carga −e ) penetra na regiao entre as duas placas de um capacitor deplacas paralelas com uma velocidade inicial ~v0 = v0x paralela as placas. Considere as placas comoinfinitas. Qual o campo magnetico externo que deve ser produzido nesta regiao para que o eletron semova em linha reta, sabendo que a distancia entre as placas e d e a diferenca de potencial entre elas eV ?

9

a) ~B = −Vdy

b) ~B = − Vdv0

y

c) ~B = −Vdz

d) ~B = − Vdv0

z

Problema 11: Uma casca esferica espessa, condutora, descarregada, tem raios interno a e externo b,estando situada no vacuo. No centro de tal casca, e colocada uma partıcula de carga q > 0. Considerandoque o potencial eletrostatico V e zero no infinito, qual dos diagramas abaixo melhor representa o graficode V em funcao da distancia r em relacao ao centro da casca?

10

Discursiva

Problema 12: Em uma casca cilındrica circular, espessa, condutora, muito longa, de raios interno ae externo b (b > a), esta definida uma densidade de corrente

J = Cr2z ,

onde C e uma constante, r e a distancia ate o eixo da casca e z e um vetor unitario (versor) na direcaodesse eixo.

a) Determine a corrente eletrica total, Itot, que passa atraves de uma secao transversal da casca.

Nos proximos tres itens, deduza uma expressao para o vetor campo magnetico B (modulo, direcao esentido) em um ponto generico, a uma distancia r do eixo tal que:

b) 0 ≤ r ≤ a

c) b ≤ r <∞

d) a ≤ r ≤ b

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BLOCO 4: Ondas Eletromagneticas, Otica e Fısica Moderna

Multipla escolha

Problema 13: Uma lampada de xenonio e coberta com um filtro de interferencia que deixa passarsomente luz de comprimento de onda de 400 nm. Quando a luz transmitida atinge uma superfıcie demetal, eletrons sao ejetados. Se a intensidade da luz atingindo o metal e duplicada,

a) mais eletrons sao ejetados em um dado intervalo de tempo.

b) os eletrons ejetados sao mais energeticos.

c) ambas situacoes acima ocorrem.

d) nenhuma das situacoes acima ocorre.

Problema 14: O experimento de fenda dupla de Young consiste na iluminacao de duas pequenasfendas paralelas e horizontais por uma luz monocromatica e coerente. Identifique entre as figuras abaixoo padrao que melhor representa o que e observado neste experimento:

Problema 15: Em um ambiente contendo ar (ındice de refracao n ≈ 1) um feixe de luz monocromaticaincide paralelamente a uma lente convergente de vidro (n ≈ 1, 50) fazendo com que o feixe convirja auma distancia f do centro da lente (veja Fig. 2). Ao repetir o processo com a lente submersa em agua(n ≈ 1, 3) dentro de um aquario, conforme Fig. 3, o feixe ira:

a) convergir a uma distancia f ′ > f .

b) divergir.

c) convergir a uma distancia f ′ < f .

d) convergir a uma distancia f ′ = f .

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Figura 2: Lente de vidro em ar.

Figura 3: Lente de vidro em agua.

Discursiva

Problema 16: Considere uma rede undimensional de lampadas igualmente espacadas de uma distanciaL em um certo referencial inercial (Veja Figs. 4 e 5). A distancia L e grande o suficiente para que efeitosrelativısticos sejam perceptıveis ao olho humano.

Figura 4: Rede de lampadas unidimensional e observador em repouso na origem. Figura relativa aositens a e b.

a) Se as lampadas piscarem, nesse referencial, no mesmo instante de tempo T , explique qualitativamenteporque um observador na origem deste mesmo referencial nao ve duas lampadas consecutivas piscaremao mesmo tempo.

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b) Determine o intervalo de tempo τ que uma lampada na posicao 1 deve piscar com relacao a lampadana posicao 2 para que um observador em repouso na origem observe ambas piscarem simultaneamente.

Figura 5: Rede de lampadas unidimensional e observador em movimento. Figura relativa aos itens c, de e.

c) Considere agora que o observador comeca a se mover com uma certa velocidade constante v = 35c

no sentido positivo do referencial (como ilustrado na Fig. 5). Qual a distancia L′ entre as lampadasmedida pelo observador nessa nova situacao?

d) Considere que cada lampada emite luz na faixa do vermelho visıvel (λ = 700 nm), no referencial derepouso das lampadas. Calcule os comprimentos de onda no referencial do observador em movimentopara a luz que se move nos dois sentidos (positivo e negativo).

e) Baseado em seu resultado do item (d) e no espectro eletromagnetico (Fig. 6), o observador emmovimento vera as luzes a sua frente ou nao? E quanto as luzes de tras? Explique.

Figura 6: Espectro eletromagnetico. O comprimento de onda do espectro visıvel varia na faixa de400− 750 nm.

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BLOCO 5: Mecanica Quantica(OBRIGATORIO PARA CANDIDATOS A DOUTORADO)

Multipla escolha

Problema 17: Uma partıcula encontra-se confinada dentro de uma caixa cubica de aresta L. Dadoisto, qual das afirmacoes abaixo e verdadeira?

a) A energia da partıcula apresenta um espectro contınuo.

b) A incerteza de uma componente do momento e ∆p ≥ ~2L

.

c) Uma partıcula como a descrita tem incerteza de posicao infinita.

d) A partıcula encontra-se necessariamente em um auto-estado do operador momento.

Problema 18: A medida de uma grandeza fısica Q e feita 1000 vezes em um certo sistema e osresultados observados sao, em unidades arbitrarias (u.a.): Q = 10 u.a., obtido 334 vezes; Q = 5 u.a.,obtido 165 vezes e Q = 7 u.a., obtido em todo o restante das medidas. Sendo {|10〉, |7〉, |5〉, |1〉} uma baseortonormal de autovetores do operador Q com autovalores 10 u.a., 7 u.a., 5 u.a. e 1 u.a., respectivamente,qual dos estados quanticos abaixo mais provavelmente descreve o sistema?

a) |ψ〉 = |10〉+ |7〉+ |5〉

b) |ψ〉 = 13

[|10〉+ 3

2|7〉+ 1

2|5〉+ 10−4|1〉

]

c) |ψ〉 = 1√3

[|10〉+

√32|7〉+ 1√

2|5〉+ 10−3

√2|1〉]

d) |ψ〉 = 13

[|10〉+ 3

2|7〉+ 1

2|5〉]

Problema 19: Considere duas partıculas independentes em 3 dimensoes e os operadores de mo-mento angular associados a cada uma delas, ~L1 = (Lx1 , L

y1, L

z1) e ~L2 = (Lx2 , L

y2, L

z2). Qual das seguintes

afirmacoes e verdadeira?

a) Podemos medir simultaneamente Lz1 e Lz2, mas Ly1 e Ly2 nao podem ser medidas simultaneamente.

b) Podemos medir simultaneamente Lz1 e Ly1, mas Lz1 e Ly2 nao podem ser medidas simultaneamente.

c) Podemos medir simultaneamente apenas Lz e ~L2 associados a uma unica partıcula.

d) Podemos medir simultaneamente Lz1, Lz2, ~L

21.

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Discursiva

Problema 20: Considere um sistema quantico de dois nıveis de energia, E+ = π~ e E− = π~/2. Emum instante de tempo inicial (t = 0) o sistema encontra-se em um estado |a〉. Sabendo que o operadorHamiltoniano total do sistema, H, e independente do tempo e possui autovetores normalizados |E±〉tais que H|E±〉 = E±|E±〉, 〈E+|E−〉 = 0 e

|E±〉 =|a〉 ± |b〉√

2, (1)

a) Escreva o estado inicial do sistema na base de autovetores de energia.

b) Obtenha o estado do sistema em um instante de tempo t > 0.

c) E possıvel que a partıcula seja medida no estado |b〉 em t = 0? E em t > 0? Justifique e discutafisicamente a evolucao temporal do sistema.

d) Calcule a probabilidade mınima de o sistema estar no estado |a〉 e em qual(quais) instante(s) detempo ela acontece.

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