prima settimana

18042005 C Barbieri Astronomia I AA2004-05

1

Prima SettimanaElementi di trigonometria PianaAlcuni sviluppi in serieUnequazione trascendenteLa serie binomialeI triangoli pianiElementi di trigonometria sfericaCoordinate polari sferiche e cartesianeVettoriAlcuni esercizi


2

Elementi di trigonometria piana1 radiante asymp 57deg2957795 asymp 3437rsquo74677 asymp 206264rdquo806 (= R)

1rdquo asymp 0000004848 radianti 1rsquo asymp 0000290888 radianti 1deg asymp 0017453292 radianti

angolo θ (rad) = θ rdquo206264806 = θ rdquoR θ rdquo = 206264806 θ (rad)=Rθ

11

)(8206264

)()()(

n

nn

La ragione della differenza tra unitagrave teoriche e pratiche egrave la seguente per definizione il radiante egrave lrsquoarco uguale al raggio ed egrave lunitagrave da usarsi in tutte le formule teoriche Tuttavia la circonferenza non egrave un multiplo razionale dellrsquoarco e per eseguire misure con cerchi graduati o con encoders digitali ci vorranno sempre unitagrave razionali per cui conviene suddividere il cerchio in 360deg di 60 di 60 ciascuno


3

Ore minuti e secondi come angoli

Si faccia attenzione alluso astronomico ma anche geografico di utilizzare unitagrave di angolo che hanno lo stesso nome di unitagrave di tempo

24h = 360deg = 2π rad 1h = 15deg asymp 026179935 radianti 4m = 1deg asymp 0017453292 radianti1s = 15rdquoasymp 0000072722 radianti

Egrave solo grazie alla (quasi) regolare rotazione della Terra che gli angoli dei corpi celesti rispetto al meridiano possono essere usati anche per misurare il passare del tempo

ma i due concetti non devono essere confusi


4

Alcune formule trigonometriche

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

tan tantan( )

1 tan tan

(da cui seguono in particolare le formule di duplicazione e quelle di bisezione che si lasciano per esercizio)


5

Alcuni sviluppi in serie2 1

3 51 1sin ( 1) + ( )

2 3 5 (2 1)

i i kke e

si k

22 41 1

cos 1 ( 1) + ( )2 2 4 (2 )

i i kke e

sk

2n 2 123 5 1 2

2

21 1 1 2tan ( 1) + (- 2lt 2)

1 3 15 (2n)

nin n

i

Be

i e

sin 2 41 11

2 6e

(dove i B2n sono i numeri di Bernoulli e i egrave lrsquounitagrave immaginaria)


6

Sviluppi inversi

a b c d2 3 4 5

2 3 4 5

a b a2 2

c a ab5 53

d a b a b ac14 3 18 42 2 2

Qualunque serie convergente del tipo

si puograve invertire come

dove


7

Sviluppi inversi di sin e tan

sin sin sin sin1

6

3

40

5

1123 5 7

tan tan tan tan1

3

1

5

1

73 5 7

Da queste formula vediamo che le differenze prime tra le funzioni sin tan e larco sono quantitagrave del terzo grado (e segno opposto) mentre la funzione cos differisce da 1 per un termine del secondo grado Dunque quando gli angoli sono molto piccoli egrave legittimo confondere larco con sin oppure con tan e con minor precisione porre cos = 1 Quando poi approssimiamo larco con sin (oppure con tan ) la funzione restituisce il valore dellarco in radianti Per ottenere secondi darco moltiplichiamo il valore in radianti per R = 20620648 Ad es se sin = 000141 allora 000141x2062648 = 29083


8

Esempi pratici - 1Esempio si voglia determinare il massimo valore di per cui

tan 1

Si scriva tan

3

3

1

206264 8

3 3 2062648 002441 R 5034 9 1 24

Oppure se il limite delle misure o dei calcoli fosse 001 saragrave lecito porre = Rsin nella condizione (valida per la tangente e a fortiori per il seno)

2

0013

32( )

001( )3

R

1000


9

Esempi pratici - 2

Si supponga di usare come minimo incremento il valore = 50rdquo = 000024 rad Il quadrato dellrsquoincremento egrave 2 = 000024x50rdquo = 0rdquo012 (nota arcsec non arcsec quadrati) Tenendo in considerazione lrsquoampiezza delle derivate vediamo che se ci arrestiamo al primo termine otteniamo la funzione con una precisione di pochi centesimi di secondo drsquoarco se ci bastasse una precisione di pochi decimi di arcsec allora potremmo aumentare lrsquoincremento a 150rdquo e cosigrave via Queste considerazioni sono importanti quando si derivano i valori degli angoli dagli sviluppi in serie delle funzioni trigonometriche Per esempio vicino a 0deg lrsquoerrore sullrsquoangolo puograve essere molto maggiore dellrsquoerrore sul cos mentre vicino a 90deg lrsquoerrore sullrsquoangolo puograve essere molto maggiore dellrsquoerrore sul sin

Un altro esempio importante egrave il calcolo di uno sviluppo in serie di Taylor usando piccoli incrementi finiti

22

2

d 1 d( )

d 2 d

f ff


10

Unrsquoimportante equazione trascendente

Lagrange usando appunto le espressioni complesse dimostrograve che

tan tanx m y

1

1

m

mq

x y q yq

yq

yq

y sin sin sin sin22

43

64

82 3 4

Mediante le espressioni complesse delle funzioni trigonometriche possiamo risolvere limportante equazione trascendente

Poniamo

(m gt 0)

(|q| lt 1)


11

Lo sviluppo in serie binomiale - 1Dato un numero reale qualunque m si ha

2 3

2

0

( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1

2 3

1 ( 1)1 2

m

n

m m m m mx mx x x

m m mx x x x

n

( 1) ( 1)

m m m m m k

k m k k

in cui si egrave usata la notazione abbreviata

e in cui 10

m m

m

1 2 2 31 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x

In particolare

2 1 2 2 4 61 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x


12

I triangoli piani - 1Consideriamo ora un triangolo piano avente vertici A B C lati a b c (perimetro 2s = a+b+c) e angoli opposti ai lati Ersquo ben noto che

In generale la conoscenza di 3 elementi egrave sufficiente per trovare gli altri 3 con la notevole eccezione

dati i 3 angoli i 3 lati non sono univocamente determinati (mentre dati i 3 lati i 3 angoli sono univocamente determinati)

Cioegrave la conoscenza di due angoli egrave sufficiente per determinare il terzo


13

I triangoli piani - 2

sin sin sin a b c R

1

2

Utili relazioni sono

(Legge dei seni in cui R egrave il raggio del cerchio circoscritto)

a b c bc2 2 2 2 cos (Legge del coseno)

tan2

tan2

a b

a b

(legge delle tangenti)tan tan tan tan tan tan

1 1 1sin sin sin 4cos cos cos

2 2 21 1 1

cos cos cos 4sin sin sin 12 2 2

sin 2 sin 2 sin 2 4sin sin sin

1 1 1 1 1 1tan tan tan tan tan tan 1

2 2 2 2 2 2a


14


K sr bc cabc

R

1

2 2 22sin

sin sin

sin

egrave lrsquoarea

sin( )( )

2

s b s c

bccos

( )2

s s a

bc

( )( )tan

2 ( )

s b s c r

s s a s a

(note come formule di Brigg) in cui

( )( )( )s a s b s cr

s

egrave il raggio del cerchio inscritto


15

Una applicazione dello sviluppo in serie binomiale al triangolo piano

Riprendiamo la formula del coseno a b c bc2 2 2 2 cos

che scriviamo come2

2 22

2 cos1

b bca c

c

Supponiamo che sia bc ltlt 1 per cui possiamo trascurare (bc)2

Poniamo allora bcos = x Siccome sia a che c sono quantitagrave positive avremo dallo sviluppo in serie binomiale

2 2 3 2

2 3

1 1 1 1 (3 ) (5 3 )1

2 221

x x b x xb

a c c c c cxc

che useremo varie volte nel seguito


16

Elementi di trigonometria sferica La trigonometria sferica trova le sue origini nel mondo greco con Ipparco di Nicea (circa 180 BC) and poi con Claudio Tolomeo (II secolo DC) Nel XIX secolo Carl F Gauss mise in forma sistematica le relazioni che verranno qui usate - La sfera egrave il luogo nello spazio 3D cartesiano dei punti che hanno la stessa distanza R da un dato centro O - La sua superficie egrave dunque finita ma illimitata - Ogni piano passante per il centro definisce sulla sfera un cerchio massimo di raggio R consideriamo uno di questi come piano equatoriale La retta passante per O e perpendicolare al piano equatoriale definisce sulla sfera due punti che sono i poli del cerchio massimo - Poniamo ora R = 1 in modo che lrsquoarea sulla superficie si possa esprimere in steradianti o in unitagrave pratiche gradi quadrati - Lrsquoarea di tutta la sfera egrave allora

4 sr = 4 (3602) 2 = 129600 asymp 4125296125 gradi quadrati


17

I triangoli sferici -1

Tre cerchi massimi dividono la sfera in 8 porzioni chiameremo triangolo sferico quella parte i cui lati sono tutti minori di cioegrave quella parte contenuta tutta in un emisfero (NB tra 0 e lrsquoarccos egrave a

valore singolo lrsquoarcsin no)

Si usa indicare i vertici con le lettere maiuscole ABC e i lati con le lettere minuscole a b c corrispondenti al vertice opposto Langolo nel vertice A o B o C si indica con la stessa lettera del vertice ma in corsivo A B C


18


1 Sulla sfera di raggio unitario larco di cerchio massimo KH ha lunghezza pari allangolo al centro KOH oppure allangolo al polo KPH = KPH

2 Il triangolo sferico egrave fatto dunque di 3 archi massimi ad es HK non egrave lato di un triangolo sferico e anzi la distanza tra H e K misurata sul parallelo egrave sempre maggiore di quella misurata sul cerchio massimo

3 Un triangolo sferico puograve avere tutti e tre gli angoli retti

4 In generale 0 lt a + b + c lt 2 lt A + B + C lt3


19

Geodesica sulla sferaSi noti che crsquoegrave un solo circolo massimo che colleghi due punti sulla sfera (a meno che i punti non siano diametralmente opposti) ma infiniti cerchi minori la distanza angolare tra i due punti egrave allora univocamente definita solo lungo il cerchio massimo e si puograve dimostrare che egrave anzi il percorso di lunghezza minima che li colleghi Si usa dire allora che lrsquoarco di cerchio massimo egrave la geodesica tra i due punti sulla sfera cosigrave come la linea retta lo egrave per due punti nello spazio euclideo


20

Relazioni di Gausscos cos cos sin sin cosa b c b c A

sin cos cos sin sin cos cosa B b c b c A

sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c

cos cos sin cot sin cota C a b C B cos cos cos sin sin cosA B C B C a

e simili permutando le lettere Dunque in un triangolo sferico i 3 lati sono determinati univocamente dai 3 angoli una proprietagrave non presente nei triangoli piani Un altro modo di esprimere lo stesso concetto non crsquoegrave bisogno di uscire dalla superficie della Terra per misurarne la curvatura (e con le opportune modifiche dallrsquoUniverso)

(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21

Eccesso sferico e area del triangolo

In un triangolo sferico si dice eccesso sferico la quantitagrave

A B C

In un generico triangolo sferico si ha la relazione

sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C

Lrsquoarea del triangolo sulla sfera di raggio unitario vale proprio sr e quella sulla sfera di raggio R vale

2 ( )K R A B C

e simili per b and c

nelle stesse unitagrave di R2


22

Triangoli sferici quasi-piani Intuitivamente quando i lati del triangolo sferico sono molto piccoli in confronto con il raggio della sfera si puograve ricorrere alla approssimazione di un triangolo piano sul piano tangente alla sfera Per una migliore approssimazione Legendre ha dimostrato che un piccolissimo triangolo sferico egrave equivalente a un triangolo piano avente gli stessi lati a b c e angoli

A 3 B 3 C 3


23

Coordinate cartesiane e polariNelle applicazioni astronomiche in cui siano note le distanze allastro useremo sia sistemi di riferimento cartesiani (x y z) che sistemi di riferimento polari sferici (r ) a seconda della convenienza

x r

y r

z r

RS|T|

cos cos

cos sin

sin

d d d d

d d d

d d d

xx

rr z y

yy

rr z

zz

rr r

R

S|||

T|||

cos

sin

cos

Le trasformazioni da polari a cartesiane sono


24

Da cartesiane a polari

2 2 2

arctan

arcsin

yr

xz

rr

r x y z

d cos cos d cos sin d sin d

d sin cos d sin sin d cos d

cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y

Le trasformazioni inverse sono

Abbiamo dato anche lespressioni dei differenziali che sono utili per valutare sia leffetto di piccoli incrementi che di errori di misure (e in tal caso conviene usare i moduli per massimizzare la stima dellerrore)


25

VettoriIl calcolo vettoriale egrave utilissimo nel caso del Sistema Solare percheacute le distanze possono essere accuratamente determinate ma trova impiego anche in problemi legati alla sfera celeste in generale Siano ijk i vettori unitari lungo (xyz) la posizione del punto H sulla sfera unitaria

puograve essere rappresentata dal vettore unitario rH

( ) ( )x y z x y z H Hr r i j k

e con riferimento alle coordinate angolari ( ) saragrave cos cosx

sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26

Operazioni sui vettori - 1

( ) ( ) ( )x x y y z za b a b a b c a b i j k

( ) d a b a b

c a b b a a b c a b c ( ) ( )Proprietagrave associativa e commutativa della somma

cos x x y y z zc ab a b a b a b a b b a

Il prodotto scalare tra due vettori egrave il numero c dato da

Dati due vettori a b la loro somma egrave il vettore c dato da

Il vettore differenza d egrave


27


( )

sin

y z z y z x x z x y y xa b a b a b a b a b a b

ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z

Il prodotto vettoriale egrave il vettore

c a b b a a (b c) a b a c

Il prodotto vettoriale gode della proprietagrave associativa ma non di quella commutativa

Il prodotto vettoriale si usa anche per definire il momento di una forza F consideriamo un punto qualunque O e una forza F la cui direzione non passi per O Si conduca da O un vettore r a un punto qualunque lungo la direzione di F Il momento di F rispetto a O egrave il vettore K

( sin )rF K r F k


28


In Dinamica e in Meccanica Celeste si usa spesso (ma non sempre) indicare le derivate prime e seconde di un vettore nella seguente maniera

d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t

Un vettore puograve essere derivato e integrato

d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b

a i j k( ) ( ) ( ) ( )t t a t t a t t a t tx y xd d d dz z z z


29

Operazioni sui vettori - 4E importante ricordare che non tutte le entitagrave specificate da un modulo e da una direzione sono vettori bona fide La legge di composizione e la proprietagrave commutativa sono anche elementi essenziali per la definizione di vettore In particolare rotazioni angolari finite di un corpo rigido non sono vettori percheacute non obbediscono alla proprietagrave commutativa Tuttavia rotazioni infinitesime e dunque anche le velocitagrave angolari sono davvero vettori Incontreremo poi vettori r riferiti a un sistema di coordinate ruotante con velocitagrave angolare rispetto a un riferimento inerziale La derivata totale di r rispetto agli assi inerziali saragrave

inerziale relativa r r ω r


30

Esempio il movimento del centro del Sole rispetto al baricentro B del sistema solare

Dunque allrsquoepoca presente il baricentro B del sistema solare egrave apprezzabilmente esterno al disco del Sole Il pianeta di gran lunga dominante in queste considerazioni egrave Giove la cui massa egrave circa 11000 della massa del Sole Intervengono poi Saturno Venere la Terra e gli altri pianeti

Questo esempio verragrave illustrato con maggior dettaglio in seguito ma qui si vuole dare unidea delle distanze coinvolte Si ricordino i seguenti valori approssimati - il raggio del Sole egrave 7x105 km- 1 Unitagrave Astronomica egrave pari a 15x108 km = 200 raggi solari


31

Che trasformazioni applicare

Come si egrave accennato le trasformazioni tra i vari sistemi di riferimento che tra poco introdurremo sono delle roto-traslazioni rigide Ne vedremo vari esempi

Tuttavia nelle trasformazioni tra riferimenti in moto relativo puograve intervenire la velocitagrave finita della luce a alterare le direzioni apparenti degli astri

Quando poi dovremo trasformare sistemi di riferimento di velocitagrave e di accelerazione (derivate prime e seconde delle posizioni rispetto al tempo) sorgeragrave una ulteriore difficoltagrave- le derivate vanno fatte rispetto al tempo e allora quale tempo si deve usare Ne daremo varie definizioni operative

Approfondiremo questi concetti dopo aver trattato i vari sistemi di riferimento


32

Esercizio svolto nr 1Area del triangolo sferico per 3 stelleLe coordinate di 3 stelle in un generico riferimento sferico sono ()A = (0deg 0deg) ()B = (1deg 0deg) ()C = (1deg 1deg)

Ricavare gli elementi e lrsquoarea del triangolo Ripetere lrsquoesercizio se le coordinate sono ()A = (0deg 0deg) ()B = (15deg 0deg) ()C = (15deg 45deg)

Nel primo caso il triangolo ha lati sufficientemente piccoli da potersi considerare piano con angolo retto nel secondo vertice Pertanto lrsquoarea saragrave A = frac12 gradi quadrati = 12x10 -5 srNel secondo caso invece il triangolo deve essere considerato completamente sferico Due lati valgono rispettivamente a = 15deg e b = 45deg mentre lrsquoangolo in B egrave retto Ricaviamo il lato c che passa per A e per C c = 46deg9205 sin c = 0703406Dalla formula dei seni

sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c

Vediamo facilmente che lrsquoeccesso sferico egrave pari a = 6deg24 cioegrave lrsquoarea egrave pari a 180 = 0109 sr


33

Esercizio svolto nr 2Completiamo lrsquoesercizio calcolando lrsquoarea del triangolo sferico per A B e il polo In tal caso il lato b e il lato c divengono di 90deg come pure gli angoli A e B Lrsquoangolo al polo egrave 15deg per cui lrsquoarea del triangolo sferico sta allrsquoarea della semi-volta celeste come 15360 = 004 e dunque lrsquoarea vale 004x2 = 0262 srDa un altro punto di vista se dividiamo la sfera in 24 fusi orari ciascun fuso ha unrsquoarea di 424 = 0524 sr e dunque il triangolo dallrsquoequatore verso il Polo ha metagrave di questo Per differenza ricaviamo anche che lrsquoarea PAC vale 0262 ndash 0109 = 0153 srLo si dimostri direttamente


34

Esercizio svolto nr 3ricordiamo gli sviluppi in serie di sen e tan

)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa

Quando lrsquoarco a e piccolo lerrore commesso confondendo il seno con larco e inferiore al primo termine trascurato cioegrave a quello in a3 nel caso della tangente e un po superiore al doppio di quello commesso per il seno e in senso contrario (il termine in a5 supera 001 solo a circa 5deg) Calcoliamo il valore massimo che si puograve dare ad a affincheacute lerrore sia inferiore a un limite prefissato mettiamo 1 Si avragrave

532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a

Quando si puograve confondere larco con il suo seno questultima funzione restituisce il valore dellangolo in radianti Per convertirlo in secondi darco lo si moltiplica per 20620648 Se ad es sena = 000141 se ne conclude che a = 000141x2062648 = 29083 Dunque si ha

8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35

Alcuni esercizi per casa

1 la Luna ha parallasse media di 342270 si esprima il seno della parallasse in secondi darco arrestandosi al secondo termine

2 sia sulla superficie terrestre a = 5000 m b = 3000 m = 40deg5 Si trovino gli altri elementi del triangolo

3 Dato il rettangolo piano con vertici A B sulla superficie della terra di lato c = 1000 km e angoli ad esso adiacenti = 87deg = 88deg si vogliano gli altri elementi del triangolo in questo caso il lato c e da intendersi come corda passante per i due vertici di base mentre il vertice C puo essere un satellite

4 Discutiamo in 2) gli effetti degli errori di misura supponendo che lerrore su c sia di 01 km e quelli sugli angoli di 1

5 Si discuta la propagazione degli errori con il tendere di entrambi verso 90deg

Prima Settimana

Elementi di trigonometria piana



Alcuni sviluppi in serie

Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2


Lo sviluppo in serie binomiale - 1





Elementi di trigonometria sferica



Geodesica sulla sfera

Relazioni di Gauss


Triangoli sferici quasi-piani

Coordinate cartesiane e polari


Vettori







Esercizio svolto nr 1





2

Elementi di trigonometria piana1 radiante asymp 57deg2957795 asymp 3437rsquo74677 asymp 206264rdquo806 (= R)

1rdquo asymp 0000004848 radianti 1rsquo asymp 0000290888 radianti 1deg asymp 0017453292 radianti

angolo θ (rad) = θ rdquo206264806 = θ rdquoR θ rdquo = 206264806 θ (rad)=Rθ

11

)(8206264

)()()(

n

nn

La ragione della differenza tra unitagrave teoriche e pratiche egrave la seguente per definizione il radiante egrave lrsquoarco uguale al raggio ed egrave lunitagrave da usarsi in tutte le formule teoriche Tuttavia la circonferenza non egrave un multiplo razionale dellrsquoarco e per eseguire misure con cerchi graduati o con encoders digitali ci vorranno sempre unitagrave razionali per cui conviene suddividere il cerchio in 360deg di 60 di 60 ciascuno


3







4




tan tantan( )

1 tan tan



5


3 51 1sin ( 1) + ( )

2 3 5 (2 1)

i i kke e

si k

22 41 1

cos 1 ( 1) + ( )2 2 4 (2 )

i i kke e

sk

2n 2 123 5 1 2

2

21 1 1 2tan ( 1) + (- 2lt 2)

1 3 15 (2n)

nin n

i

Be

i e

sin 2 41 11

2 6e



6

Sviluppi inversi

a b c d2 3 4 5

2 3 4 5

a b a2 2

c a ab5 53

d a b a b ac14 3 18 42 2 2



dove


7


sin sin sin sin1

6

3

40

5

1123 5 7

tan tan tan tan1

3

1

5

1

73 5 7



8


tan 1

Si scriva tan

3

3

1

206264 8

3 3 2062648 002441 R 5034 9 1 24


2

0013

32( )

001( )3

R

1000


9

Esempi pratici - 2



22

2

d 1 d( )

d 2 d

f ff


10



tan tanx m y

1

1

m

mq

x y q yq

yq

yq

y sin sin sin sin22

43

64

82 3 4


Poniamo

(m gt 0)

(|q| lt 1)


11


2 3

2

0

( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1

2 3

1 ( 1)1 2

m

n

m m m m mx mx x x

m m mx x x x

n

( 1) ( 1)

m m m m m k

k m k k


e in cui 10

m m

m

1 2 2 31 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x

In particolare

2 1 2 2 4 61 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x


12






13


sin sin sin a b c R

1

2




tan2

tan2

a b

a b



2 2 21 1 1




2 2 2 2 2 2a


14


K sr bc cabc

R

1

2 2 22sin

sin sin

sin

egrave lrsquoarea

sin( )( )

2

s b s c

bccos

( )2

s s a

bc

( )( )tan

2 ( )

s b s c r

s s a s a


( )( )( )s a s b s cr

s



15



che scriviamo come2

2 22

2 cos1

b bca c

c



2 2 3 2

2 3

1 1 1 1 (3 ) (5 3 )1

2 221

x x b x xb

a c c c c cxc



16




17






18







19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

z r

RS|T|

cos cos

cos sin

sin

d d d d

d d d

d d d

xx

rr z y

yy

rr z

zz

rr r

R

S|||

T|||

cos

sin

cos



24


2 2 2

arctan

arcsin

yr

xz

rr

r x y z



cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y




25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












3







4




tan tantan( )

1 tan tan



5


3 51 1sin ( 1) + ( )

2 3 5 (2 1)

i i kke e

si k

22 41 1

cos 1 ( 1) + ( )2 2 4 (2 )

i i kke e

sk

2n 2 123 5 1 2

2

21 1 1 2tan ( 1) + (- 2lt 2)

1 3 15 (2n)

nin n

i

Be

i e

sin 2 41 11

2 6e



6

Sviluppi inversi

a b c d2 3 4 5

2 3 4 5

a b a2 2

c a ab5 53

d a b a b ac14 3 18 42 2 2



dove


7


sin sin sin sin1

6

3

40

5

1123 5 7

tan tan tan tan1

3

1

5

1

73 5 7



8


tan 1

Si scriva tan

3

3

1

206264 8

3 3 2062648 002441 R 5034 9 1 24


2

0013

32( )

001( )3

R

1000


9

Esempi pratici - 2



22

2

d 1 d( )

d 2 d

f ff


10



tan tanx m y

1

1

m

mq

x y q yq

yq

yq

y sin sin sin sin22

43

64

82 3 4


Poniamo

(m gt 0)

(|q| lt 1)


11


2 3

2

0

( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1

2 3

1 ( 1)1 2

m

n

m m m m mx mx x x

m m mx x x x

n

( 1) ( 1)

m m m m m k

k m k k


e in cui 10

m m

m

1 2 2 31 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x

In particolare

2 1 2 2 4 61 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x


12






13


sin sin sin a b c R

1

2




tan2

tan2

a b

a b



2 2 21 1 1




2 2 2 2 2 2a


14


K sr bc cabc

R

1

2 2 22sin

sin sin

sin

egrave lrsquoarea

sin( )( )

2

s b s c

bccos

( )2

s s a

bc

( )( )tan

2 ( )

s b s c r

s s a s a


( )( )( )s a s b s cr

s



15



che scriviamo come2

2 22

2 cos1

b bca c

c



2 2 3 2

2 3

1 1 1 1 (3 ) (5 3 )1

2 221

x x b x xb

a c c c c cxc



16




17






18







19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

z r

RS|T|

cos cos

cos sin

sin

d d d d

d d d

d d d

xx

rr z y

yy

rr z

zz

rr r

R

S|||

T|||

cos

sin

cos



24


2 2 2

arctan

arcsin

yr

xz

rr

r x y z



cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y




25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












4




tan tantan( )

1 tan tan



5


3 51 1sin ( 1) + ( )

2 3 5 (2 1)

i i kke e

si k

22 41 1

cos 1 ( 1) + ( )2 2 4 (2 )

i i kke e

sk

2n 2 123 5 1 2

2

21 1 1 2tan ( 1) + (- 2lt 2)

1 3 15 (2n)

nin n

i

Be

i e

sin 2 41 11

2 6e



6

Sviluppi inversi

a b c d2 3 4 5

2 3 4 5

a b a2 2

c a ab5 53

d a b a b ac14 3 18 42 2 2



dove


7


sin sin sin sin1

6

3

40

5

1123 5 7

tan tan tan tan1

3

1

5

1

73 5 7



8


tan 1

Si scriva tan

3

3

1

206264 8

3 3 2062648 002441 R 5034 9 1 24


2

0013

32( )

001( )3

R

1000


9

Esempi pratici - 2



22

2

d 1 d( )

d 2 d

f ff


10



tan tanx m y

1

1

m

mq

x y q yq

yq

yq

y sin sin sin sin22

43

64

82 3 4


Poniamo

(m gt 0)

(|q| lt 1)


11


2 3

2

0

( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1

2 3

1 ( 1)1 2

m

n

m m m m mx mx x x

m m mx x x x

n

( 1) ( 1)

m m m m m k

k m k k


e in cui 10

m m

m

1 2 2 31 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x

In particolare

2 1 2 2 4 61 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x


12






13


sin sin sin a b c R

1

2




tan2

tan2

a b

a b



2 2 21 1 1




2 2 2 2 2 2a


14


K sr bc cabc

R

1

2 2 22sin

sin sin

sin

egrave lrsquoarea

sin( )( )

2

s b s c

bccos

( )2

s s a

bc

( )( )tan

2 ( )

s b s c r

s s a s a


( )( )( )s a s b s cr

s



15



che scriviamo come2

2 22

2 cos1

b bca c

c



2 2 3 2

2 3

1 1 1 1 (3 ) (5 3 )1

2 221

x x b x xb

a c c c c cxc



16




17






18







19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

z r

RS|T|

cos cos

cos sin

sin

d d d d

d d d

d d d

xx

rr z y

yy

rr z

zz

rr r

R

S|||

T|||

cos

sin

cos



24


2 2 2

arctan

arcsin

yr

xz

rr

r x y z



cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y




25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

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t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

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t

a

t

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d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












5


3 51 1sin ( 1) + ( )

2 3 5 (2 1)

i i kke e

si k

22 41 1

cos 1 ( 1) + ( )2 2 4 (2 )

i i kke e

sk

2n 2 123 5 1 2

2

21 1 1 2tan ( 1) + (- 2lt 2)

1 3 15 (2n)

nin n

i

Be

i e

sin 2 41 11

2 6e



6

Sviluppi inversi

a b c d2 3 4 5

2 3 4 5

a b a2 2

c a ab5 53

d a b a b ac14 3 18 42 2 2



dove


7


sin sin sin sin1

6

3

40

5

1123 5 7

tan tan tan tan1

3

1

5

1

73 5 7



8


tan 1

Si scriva tan

3

3

1

206264 8

3 3 2062648 002441 R 5034 9 1 24


2

0013

32( )

001( )3

R

1000


9

Esempi pratici - 2



22

2

d 1 d( )

d 2 d

f ff


10



tan tanx m y

1

1

m

mq

x y q yq

yq

yq

y sin sin sin sin22

43

64

82 3 4


Poniamo

(m gt 0)

(|q| lt 1)


11


2 3

2

0

( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1

2 3

1 ( 1)1 2

m

n

m m m m mx mx x x

m m mx x x x

n

( 1) ( 1)

m m m m m k

k m k k


e in cui 10

m m

m

1 2 2 31 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x

In particolare

2 1 2 2 4 61 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x


12






13


sin sin sin a b c R

1

2




tan2

tan2

a b

a b



2 2 21 1 1




2 2 2 2 2 2a


14


K sr bc cabc

R

1

2 2 22sin

sin sin

sin

egrave lrsquoarea

sin( )( )

2

s b s c

bccos

( )2

s s a

bc

( )( )tan

2 ( )

s b s c r

s s a s a


( )( )( )s a s b s cr

s



15



che scriviamo come2

2 22

2 cos1

b bca c

c



2 2 3 2

2 3

1 1 1 1 (3 ) (5 3 )1

2 221

x x b x xb

a c c c c cxc



16




17






18







19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

z r

RS|T|

cos cos

cos sin

sin

d d d d

d d d

d d d

xx

rr z y

yy

rr z

zz

rr r

R

S|||

T|||

cos

sin

cos



24


2 2 2

arctan

arcsin

yr

xz

rr

r x y z



cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y




25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

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t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

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d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












6

Sviluppi inversi

a b c d2 3 4 5

2 3 4 5

a b a2 2

c a ab5 53

d a b a b ac14 3 18 42 2 2



dove


7


sin sin sin sin1

6

3

40

5

1123 5 7

tan tan tan tan1

3

1

5

1

73 5 7



8


tan 1

Si scriva tan

3

3

1

206264 8

3 3 2062648 002441 R 5034 9 1 24


2

0013

32( )

001( )3

R

1000


9

Esempi pratici - 2



22

2

d 1 d( )

d 2 d

f ff


10



tan tanx m y

1

1

m

mq

x y q yq

yq

yq

y sin sin sin sin22

43

64

82 3 4


Poniamo

(m gt 0)

(|q| lt 1)


11


2 3

2

0

( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1

2 3

1 ( 1)1 2

m

n

m m m m mx mx x x

m m mx x x x

n

( 1) ( 1)

m m m m m k

k m k k


e in cui 10

m m

m

1 2 2 31 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x

In particolare

2 1 2 2 4 61 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x


12






13


sin sin sin a b c R

1

2




tan2

tan2

a b

a b



2 2 21 1 1




2 2 2 2 2 2a


14


K sr bc cabc

R

1

2 2 22sin

sin sin

sin

egrave lrsquoarea

sin( )( )

2

s b s c

bccos

( )2

s s a

bc

( )( )tan

2 ( )

s b s c r

s s a s a


( )( )( )s a s b s cr

s



15



che scriviamo come2

2 22

2 cos1

b bca c

c



2 2 3 2

2 3

1 1 1 1 (3 ) (5 3 )1

2 221

x x b x xb

a c c c c cxc



16




17






18







19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

z r

RS|T|

cos cos

cos sin

sin

d d d d

d d d

d d d

xx

rr z y

yy

rr z

zz

rr r

R

S|||

T|||

cos

sin

cos



24


2 2 2

arctan

arcsin

yr

xz

rr

r x y z



cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y




25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












7


sin sin sin sin1

6

3

40

5

1123 5 7

tan tan tan tan1

3

1

5

1

73 5 7



8


tan 1

Si scriva tan

3

3

1

206264 8

3 3 2062648 002441 R 5034 9 1 24


2

0013

32( )

001( )3

R

1000


9

Esempi pratici - 2



22

2

d 1 d( )

d 2 d

f ff


10



tan tanx m y

1

1

m

mq

x y q yq

yq

yq

y sin sin sin sin22

43

64

82 3 4


Poniamo

(m gt 0)

(|q| lt 1)


11


2 3

2

0

( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1

2 3

1 ( 1)1 2

m

n

m m m m mx mx x x

m m mx x x x

n

( 1) ( 1)

m m m m m k

k m k k


e in cui 10

m m

m

1 2 2 31 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x

In particolare

2 1 2 2 4 61 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x


12






13


sin sin sin a b c R

1

2




tan2

tan2

a b

a b



2 2 21 1 1




2 2 2 2 2 2a


14


K sr bc cabc

R

1

2 2 22sin

sin sin

sin

egrave lrsquoarea

sin( )( )

2

s b s c

bccos

( )2

s s a

bc

( )( )tan

2 ( )

s b s c r

s s a s a


( )( )( )s a s b s cr

s



15



che scriviamo come2

2 22

2 cos1

b bca c

c



2 2 3 2

2 3

1 1 1 1 (3 ) (5 3 )1

2 221

x x b x xb

a c c c c cxc



16




17






18







19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

z r

RS|T|

cos cos

cos sin

sin

d d d d

d d d

d d d

xx

rr z y

yy

rr z

zz

rr r

R

S|||

T|||

cos

sin

cos



24


2 2 2

arctan

arcsin

yr

xz

rr

r x y z



cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y




25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












8


tan 1

Si scriva tan

3

3

1

206264 8

3 3 2062648 002441 R 5034 9 1 24


2

0013

32( )

001( )3

R

1000


9

Esempi pratici - 2



22

2

d 1 d( )

d 2 d

f ff


10



tan tanx m y

1

1

m

mq

x y q yq

yq

yq

y sin sin sin sin22

43

64

82 3 4


Poniamo

(m gt 0)

(|q| lt 1)


11


2 3

2

0

( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1

2 3

1 ( 1)1 2

m

n

m m m m mx mx x x

m m mx x x x

n

( 1) ( 1)

m m m m m k

k m k k


e in cui 10

m m

m

1 2 2 31 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x

In particolare

2 1 2 2 4 61 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x


12






13


sin sin sin a b c R

1

2




tan2

tan2

a b

a b



2 2 21 1 1




2 2 2 2 2 2a


14


K sr bc cabc

R

1

2 2 22sin

sin sin

sin

egrave lrsquoarea

sin( )( )

2

s b s c

bccos

( )2

s s a

bc

( )( )tan

2 ( )

s b s c r

s s a s a


( )( )( )s a s b s cr

s



15



che scriviamo come2

2 22

2 cos1

b bca c

c



2 2 3 2

2 3

1 1 1 1 (3 ) (5 3 )1

2 221

x x b x xb

a c c c c cxc



16




17






18







19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

z r

RS|T|

cos cos

cos sin

sin

d d d d

d d d

d d d

xx

rr z y

yy

rr z

zz

rr r

R

S|||

T|||

cos

sin

cos



24


2 2 2

arctan

arcsin

yr

xz

rr

r x y z



cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y




25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












9

Esempi pratici - 2



22

2

d 1 d( )

d 2 d

f ff


10



tan tanx m y

1

1

m

mq

x y q yq

yq

yq

y sin sin sin sin22

43

64

82 3 4


Poniamo

(m gt 0)

(|q| lt 1)


11


2 3

2

0

( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1

2 3

1 ( 1)1 2

m

n

m m m m mx mx x x

m m mx x x x

n

( 1) ( 1)

m m m m m k

k m k k


e in cui 10

m m

m

1 2 2 31 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x

In particolare

2 1 2 2 4 61 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x


12






13


sin sin sin a b c R

1

2




tan2

tan2

a b

a b



2 2 21 1 1




2 2 2 2 2 2a


14


K sr bc cabc

R

1

2 2 22sin

sin sin

sin

egrave lrsquoarea

sin( )( )

2

s b s c

bccos

( )2

s s a

bc

( )( )tan

2 ( )

s b s c r

s s a s a


( )( )( )s a s b s cr

s



15



che scriviamo come2

2 22

2 cos1

b bca c

c



2 2 3 2

2 3

1 1 1 1 (3 ) (5 3 )1

2 221

x x b x xb

a c c c c cxc



16




17






18







19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

z r

RS|T|

cos cos

cos sin

sin

d d d d

d d d

d d d

xx

rr z y

yy

rr z

zz

rr r

R

S|||

T|||

cos

sin

cos



24


2 2 2

arctan

arcsin

yr

xz

rr

r x y z



cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y




25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












10



tan tanx m y

1

1

m

mq

x y q yq

yq

yq

y sin sin sin sin22

43

64

82 3 4


Poniamo

(m gt 0)

(|q| lt 1)


11


2 3

2

0

( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1

2 3

1 ( 1)1 2

m

n

m m m m mx mx x x

m m mx x x x

n

( 1) ( 1)

m m m m m k

k m k k


e in cui 10

m m

m

1 2 2 31 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x

In particolare

2 1 2 2 4 61 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x


12






13


sin sin sin a b c R

1

2




tan2

tan2

a b

a b



2 2 21 1 1




2 2 2 2 2 2a


14


K sr bc cabc

R

1

2 2 22sin

sin sin

sin

egrave lrsquoarea

sin( )( )

2

s b s c

bccos

( )2

s s a

bc

( )( )tan

2 ( )

s b s c r

s s a s a


( )( )( )s a s b s cr

s



15



che scriviamo come2

2 22

2 cos1

b bca c

c



2 2 3 2

2 3

1 1 1 1 (3 ) (5 3 )1

2 221

x x b x xb

a c c c c cxc



16




17






18







19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

z r

RS|T|

cos cos

cos sin

sin

d d d d

d d d

d d d

xx

rr z y

yy

rr z

zz

rr r

R

S|||

T|||

cos

sin

cos



24


2 2 2

arctan

arcsin

yr

xz

rr

r x y z



cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y




25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












11


2 3

2

0

( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1

2 3

1 ( 1)1 2

m

n

m m m m mx mx x x

m m mx x x x

n

( 1) ( 1)

m m m m m k

k m k k


e in cui 10

m m

m

1 2 2 31 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x

In particolare

2 1 2 2 4 61 1 3 1 3 5(1 ) 1

2 2 4 2 4 6x x x x


12






13


sin sin sin a b c R

1

2




tan2

tan2

a b

a b



2 2 21 1 1




2 2 2 2 2 2a


14


K sr bc cabc

R

1

2 2 22sin

sin sin

sin

egrave lrsquoarea

sin( )( )

2

s b s c

bccos

( )2

s s a

bc

( )( )tan

2 ( )

s b s c r

s s a s a


( )( )( )s a s b s cr

s



15



che scriviamo come2

2 22

2 cos1

b bca c

c



2 2 3 2

2 3

1 1 1 1 (3 ) (5 3 )1

2 221

x x b x xb

a c c c c cxc



16




17






18







19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

z r

RS|T|

cos cos

cos sin

sin

d d d d

d d d

d d d

xx

rr z y

yy

rr z

zz

rr r

R

S|||

T|||

cos

sin

cos



24


2 2 2

arctan

arcsin

yr

xz

rr

r x y z



cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y




25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












12






13


sin sin sin a b c R

1

2




tan2

tan2

a b

a b



2 2 21 1 1




2 2 2 2 2 2a


14


K sr bc cabc

R

1

2 2 22sin

sin sin

sin

egrave lrsquoarea

sin( )( )

2

s b s c

bccos

( )2

s s a

bc

( )( )tan

2 ( )

s b s c r

s s a s a


( )( )( )s a s b s cr

s



15



che scriviamo come2

2 22

2 cos1

b bca c

c



2 2 3 2

2 3

1 1 1 1 (3 ) (5 3 )1

2 221

x x b x xb

a c c c c cxc



16




17






18







19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

z r

RS|T|

cos cos

cos sin

sin

d d d d

d d d

d d d

xx

rr z y

yy

rr z

zz

rr r

R

S|||

T|||

cos

sin

cos



24


2 2 2

arctan

arcsin

yr

xz

rr

r x y z



cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y




25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

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tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












13


sin sin sin a b c R

1

2




tan2

tan2

a b

a b



2 2 21 1 1




2 2 2 2 2 2a


14


K sr bc cabc

R

1

2 2 22sin

sin sin

sin

egrave lrsquoarea

sin( )( )

2

s b s c

bccos

( )2

s s a

bc

( )( )tan

2 ( )

s b s c r

s s a s a


( )( )( )s a s b s cr

s



15



che scriviamo come2

2 22

2 cos1

b bca c

c



2 2 3 2

2 3

1 1 1 1 (3 ) (5 3 )1

2 221

x x b x xb

a c c c c cxc



16




17






18







19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

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RS|T|

cos cos

cos sin

sin

d d d d

d d d

d d d

xx

rr z y

yy

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R

S|||

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cos

sin

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24


2 2 2

arctan

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rr

r x y z



cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y




25





sin cosy sinz

H

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26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

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( sin )rF K r F k


28



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d

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2

2

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d

d

d

d

d

d

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d

d

d

dt t t( )a b b

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d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

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35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












14


K sr bc cabc

R

1

2 2 22sin

sin sin

sin

egrave lrsquoarea

sin( )( )

2

s b s c

bccos

( )2

s s a

bc

( )( )tan

2 ( )

s b s c r

s s a s a


( )( )( )s a s b s cr

s



15



che scriviamo come2

2 22

2 cos1

b bca c

c



2 2 3 2

2 3

1 1 1 1 (3 ) (5 3 )1

2 221

x x b x xb

a c c c c cxc



16




17






18







19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

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RS|T|

cos cos

cos sin

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xx

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S|||

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24


2 2 2

arctan

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r x y z



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r x y z

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25





sin cosy sinz

H

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26



( ) d a b a b







27


( )

sin


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c a b a b

uc a b

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( sin )rF K r F k


28



d

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2

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29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

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33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

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11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

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n

nn aa

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35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












15



che scriviamo come2

2 22

2 cos1

b bca c

c



2 2 3 2

2 3

1 1 1 1 (3 ) (5 3 )1

2 221

x x b x xb

a c c c c cxc



16




17






18







19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

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(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

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RS|T|

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S|||

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24


2 2 2

arctan

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r x y z



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25





sin cosy sinz

H

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26



( ) d a b a b







27


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sin


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dt t t( )a b

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29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

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33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

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n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












16




17






18







19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

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RS|T|

cos cos

cos sin

sin

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xx

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S|||

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24


2 2 2

arctan

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yr

xz

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r x y z



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r x y z

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25





sin cosy sinz

H

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26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

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28



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d

dt t t( )a b b

aa

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d

d

d

d

d

dt t t( )a b

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b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












17






18







19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

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RS|T|

cos cos

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sin

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xx

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R

S|||

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24


2 2 2

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arcsin

yr

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rr

r x y z



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25





sin cosy sinz

H

cos cos

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26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

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28



d

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2

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d

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d

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d

d

d

d

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d

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d

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b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

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11

15

2

3

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532

1

206265

1

6

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a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

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35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












18







19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

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RS|T|

cos cos

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xx

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24


2 2 2

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r x y z



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25





sin cosy sinz

H

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r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

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28



d

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2

2

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d

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d

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dt t t( )a b b

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d

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d

dt t t( )a b

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b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












19



20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

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RS|T|

cos cos

cos sin

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d d d d

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xx

rr z y

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S|||

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24


2 2 2

arctan

arcsin

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rr

r x y z



cos d sin d cos d

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25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

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r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

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( sin )rF K r F k


28



d

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aa

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2

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d

d

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d

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d

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d

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d

dt t t( )a b b

aa

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b



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31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












20



sin

sin

sin

sin

sin

sin

A

a

B

b

C

c



(legge dei seni)

(legge dei coseni)


21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

z r

RS|T|

cos cos

cos sin

sin

d d d d

d d d

d d d

xx

rr z y

yy

rr z

zz

rr r

R

S|||

T|||

cos

sin

cos



24


2 2 2

arctan

arcsin

yr

xz

rr

r x y z



cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y




25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












21



A B C


sin sin2 2

tan2

sin sin2 2

Aa

B C


2 ( )K R A B C




22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

z r

RS|T|

cos cos

cos sin

sin

d d d d

d d d

d d d

xx

rr z y

yy

rr z

zz

rr r

R

S|||

T|||

cos

sin

cos



24


2 2 2

arctan

arcsin

yr

xz

rr

r x y z



cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y




25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












22


A 3 B 3 C 3


23


x r

y r

z r

RS|T|

cos cos

cos sin

sin

d d d d

d d d

d d d

xx

rr z y

yy

rr z

zz

rr r

R

S|||

T|||

cos

sin

cos



24


2 2 2

arctan

arcsin

yr

xz

rr

r x y z



cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y




25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












23


x r

y r

z r

RS|T|

cos cos

cos sin

sin

d d d d

d d d

d d d

xx

rr z y

yy

rr z

zz

rr r

R

S|||

T|||

cos

sin

cos



24


2 2 2

arctan

arcsin

yr

xz

rr

r x y z



cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y




25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












24


2 2 2

arctan

arcsin

yr

xz

rr

r x y z



cos d sin d cos d

r x y z

r x y z

r x y




25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












25





sin cosy sinz

H

cos cos

ˆ ( ) sin cos

sin

x y z

r


26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












26



( ) d a b a b







27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












27


( )

sin


ab

c a b a b

uc a b

i j k

a a a

b b bx y z

x y z





( sin )rF K r F k


28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












28



d

d

aa

t d

d

d

d

2

2

a aa

t t


d

d

d

d

d

d

d

d

ai j k

t

a

t

a

t

a

tx j z

d

d

d

d

d

dt t t( )a b b

aa

b

d

d

d

d

d

dt t t( )a b

ab a

b



29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












29




30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












30





31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












31







32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


35







Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












32




sin 0707107sin 0968100

sin 0730406

bB

c

B = 75deg489 A = 20deg754

sin 0258819sin 0354352

sin 0730406

aA

c



33



34


)

6

11

5

1

3

1sen 253 aaaaaa

233

3

11

15

2

3

1tan aaaaaa


532

1

206265

1

6

3

a

461532

357

532

1max

a


8206264

aa n

nn a

a)8206264(

)( 1

1

)(8206264

)()()(

n

nn aa

aaa


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Prima Settimana





Sviluppi inversi


Esempi pratici - 1

Esempi pratici - 2











Relazioni di Gauss





Vettori












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34


)

6

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532

1

206265

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461532

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