4. Prikupljanje podloga 4.1 Izvori podataka 2

4.1.1 Literatura 8 4.1.2 Konzultacije 8 4.1.3 Internet 3 4.1.4 Eksperiment 9

4.2 Vjerojatnost 13 4.2.1 Prostor uzorka i vjerojatnost slučajnog događaja 13 4.2.2 Razdiobe vjerojatnosti diskretnih slučajnih varijabli 15 4.2.3 Razdiobe vjerojatnosti kontinuiranih slučajnih varijabli 15 4.2.4 Razdiobe vjerojatnosti više slučajnih varijabli 15

4.3 Statistika 15 4.3.1 Pregled definicija i formula 16 4.3.2 Testiranje hipoteze 17 4.3.3 Analiza varijanse 18 4.3.4 Neparametarski testovi 18 4.3.5 Regresijska analiza 18 4.3.6 Spektrogrami frekvencija 20

Prikupljanje podloga: • podataka – sirovih činjenica kojima se opisuju stanja i procesi, • informacija – opisa stanja i procesa dobivenih obradom podataka i • znanja – cjelovitih skupina informacija,

najtegobniji je dio pripreme inženjerskog pothvata. Ponekad, na početku rješavanja problema inženjer ni ne zna točno što tražiti, a pri kraju sakupi hrpu manje ili više pouzdanih podataka s kojima ne zna što raditi. Na samom početku prikupljanja podloga je osobito važan jasno odre-đen cilj pothvata.

Podloge obuhvaćaju:

Priprema inženjerskog pothvata često počinje sa skicama i shemama te završava s tehničkim nacrtima. Tijekom pripreme usvajaju se pogodne kvantitativne metode za rješavanje problema i određuju:

1. konstante (vrijednosti se ne mijenjaju), 2. neovisne projektne varijable (vrijednosti se mijenjaju) i 3. ovisne projektne varijable (vrijednosti se izračunavaju).

2 Kvantitativne metode

Na primjer, potrebni se volumen spremnika za skladištenje idealnog plina (kisik, dušik, zrak) izračunava po poznatoj formuli:

p V = n R T ⇒ V = R T p n (vrijedi samo za idealni plin)

gdje je: R = 8,314 kJ/(kmol K) (iz: Kraut B.: Strojarski priručnik, 6. izdanje. Tehnička knji-ga, Zagreb, 1976. 576 s, 145. s) – univerzalna molska konstanta idealnog plina (vrijednost se nalazi u udžbenicima te priručnicima iz topline i kemijskog inženjerstva), usvajaju se kao konstante: temperatura (maksimalna moguća temperatura okoline – podaci se dobivaju iz Hr-vatskog meteorološkog zavoda, ili, pregledati Web stranicu http://crometeo.info) i tlak (maksimalno dozvoljeni tlak, s kojim se određuju debljine zidova spremnika i usvaja sigurno-sni ventil). Projektne su varijable broj molova plina n – neovisna (koliko je plina potrebno us-kladištiti) i volumen spremnika V – ovisna (izračunava se iz jednadžbe).

Za rješavanje problema često je potrebno prikupiti brojne dopunske informacije, na prim-jer: adrese proizvođača materijala i opreme (čelični limovi, profili, prirubnice, termometri, si-gurnosni ventili), mogućnosti nabavke (dimenzije limova, profila i prirubnica, karakteristike termometara i ventila sigurnosti, te cijene), relevantne norme (proračun spremnika stlačenog plina) i zakonski propisi (mjere sigurnosti i zaštite na radu).

Potrebno je odlučiti hoće li se samo provesti proračun (normirani proračun spremnika stla-čenog plina: HRN EN 286-1:2001 Jednostavne neložene tlačne posude za zrak ili dušik – 1. dio: Konstrukcija, izradba i ispitivanje – EN 286-1:1998) ili sustav modelirati (spremnik stlačenog plina) te potom simulirati njegovo ponašanje u izvanrednim uvjetima (požar) ili op-timirati (izbor optimalnog oblika – pravokutni ili kvadrat, cilindar ili sfera). U svakom sluča-ju, za dobivanje uporabne dozvole, izvedeni spremnik mora biti u skladu s hrvatskim norma-ma (HRN EN 286-1:2001).

Tijekom prikupljanja podloga odlučuje se i o mjeri u kojoj treba uključiti računalnu podrš-ku – od korištenja računala kao digitrona i pisaćeg stroja do korištenja računala s instaliranim ekspertnim sustavom.

4.1 Izvori podataka Za inženjere su izvori podloga:

Internet je naveden na prvom mjestu jer se danas preko njega najlakše dolazi do praktično be-splatnih početnih informacija o aktualnom problemu, odnosno do usmjeravanja daljeg prikup-ljanja podataka. Eksperiment je naveden na zadnjem mjestu jer je to u pravilu najteži način prikupljanja podataka, čija se provedba često značajno podcijeni i u pogledu potrebnog vre-mena i u pogledu visine troškova.

Proizvođači od kojih se dobavljaju oprema ili materijali opskrbljuju direktne ili indirektne kupce (konstruktori/projektanti) često i s izuzetno kvalitetnim podlogama:

o brošure sa stručnim obradama tema, o podloge za konstruiranje/projektiranje, o upute za izradu/izgradnju, pogon i održavanje i o upute za zaštitu na radu.

04. Prikupljanje podloga 3

Ponekad se od proizvođača opreme/materijala mogu očekivati i besplatni projekti sustava, odnosno nacrti konstruiranih dijelova i tehnološke liste za njihovu izradu. Naravno, od proiz-vođača s inženjerskom pothvatu sličnom proizvodnom programu ne treba ni očekivati pomoć, a u njihovim podlogama (koje se ipak mogu relativno lako dobaviti) mogu se kriti zamke.

Propisi obuhvaćaju norme (koje su relativno skupe i mogu se nabaviti preko Hrvatskog za-voda za norme) i zakonske akte (koji se objavljuju u Narodnim novinama – službenom listu Republike Hrvatske, a do kojih se može doći besplatno, preko Interneta).

4.1.1 Internet Na samom početku prikupljanja podataka Internet je osobito dragocjen izvor informacija.

Lako se dolazi do stručnjaka i znanstvenika koji se bave aktualnim problemom (u industriji, na fakultetima, u institutima), literature, te proizvođača potrebnih materijala i opreme (tehnič-ke podloge i cijene), normativa i zakona (http://www.nn.hr/).

Spajanjem s Internetom ulazi se u globalnu mrežu koja obuhvaća milijune manjih ili većih kompjutora (ogroman broj različitih, velikim dijelom i besplatnih, baza podataka i programa) i njihovih korisnika. Svaki element Interneta ima svoj URL (Uniform Resource Locator – je-dinstveni pronalazač elementa) preko koga mu se pristupa, pod pretpostavkom da je: (a) akti-van i (b) pristup slobodan.

U pravilu URL obuhvaća: (a) tip protokola (postupak komunikacije – kompjutor korisnika automatski uspostavlja odgovarajući protokolu), (b) ime domene (dio računalne mreže Inter-neta na kome se nalazi stranica – od dijela prostora raspoloživog na jednom serveru do gru-pe servera) i (c) put do aktualne stranice. Dva su najčešće korištena protokola:

1. http (HyperText Transfer Protocol) – pregled Internet stranica (uz pomoć pogodnog programa, npr. Internet Explorer, tvrtke Microsoft ili Firefox, tvrtke Charlton) i

2. ftp (File Transfer Protocol) – razmjena datoteka (uz pomoć pogodnog programa, npr. WS-FTP, tvrtke Ipswitch ili Internet Explorer, tvrtke Microsoft)

Na primjer, glavnoj se stranici Strojarskog fakulteta u Slavonskom Brodu jednostavno pristu-pa sa:

dok je mogućnost pristupa ftp://www.sfsb.hr ograničena na registrirane članove (User name i Password).

Internet omogućava niz načina razmjene informacija, od kojih treba posebno spomenuti:

Čavrljanje se odvija uz korištenje odgovarajućih programa (npr. Skype – besplatan je, la-

ko se skida s adrese http://www.skype.com/download/ i instalira). S programom za čavr-ljanje, uz uvjet da je sugovornik uključen, moguće je paralelno razmjenjivati informacija na četiri načina:

4 Kvantitativne metode

a) glasovno – govori se u mikrofon i sugovornik sluša preko zvučnika/slušalica (koriš-tenje zvučnika pričinjava poteškoće jer govornik čuje zbunjujući odjek svog glasa preko zvučnika/mikrofona sugovornika)

b) tekstualno – tekst se piše u jednom od dva dijela dvodijelnog prozora (drugi dio pri-pada drugom korisniku)

c) vizualno – kamera se usmjerava u željenom smjeru (rezolucija je jeftinih kamera mala te se ne vide sitniji detalji)

d) slanjem/primanjem datoteka – po aktiviranju opcije označava se i šalje datoteka (primalac mora odobriti prijem), ali je brzina prijenosa mala.

Na ovaj se način informacije razmjenjuju s poznatim korisnicima, a nalaženje korisnika koji je zainteresiran za neki inženjerski problem (opcija <Search> Skypea) praktično je nemogu-će. Početnička greška je uspostavljanje brojnih kontakata koji se kasnije zbog nedostatka vremena ne mogu pristojno održavati.

Usenet (USEer NETwork – mreža korisnika) predstavlja sustav servera namijenjenih ra-zmjeni poruka. Do brojnih grupa, na kojima se raspravlja o različitim temama (postavljanje pitanja i davanje odgovora), može se doći preko polazne adrese http://groups.google.com/. S te se adrese, na primjer, preko linkova Browse all group categories... (otvara se moguć-nost pristupa nekoj od preko 10000 grupa) ⇒ Science and Technology otvara strana s grupama iz oblasti znanost i tehnologija, sistematiziranim u tablicu po temama, geografskim područjima, jezicima, aktivnosti i broju članova. Ispod tablice se nalazi popis linkova s krat-kim opisima tema te podacima o oblasti, jeziku, aktivnosti i broju članova . Iznad tablice se nalazi prozor za pretragu (Search for a group).

Prva je grupa u popisu: sci.math (link grupe) Mathematical discussions and pursuits. Category: Science and Technology > Math, Language: English High activity, 6509 subscribers, Usenet

Aktiviranjem ovog linka se otvara grupa s preko 150 000 postavljenih problema. Dalje je mo-guće po ključnim riječima pretražiti ovu grupu (Search this group) ili potražiti druge grupe (Search groups). Na primjer, pretraga ove grupe s "cubic spline" (kubični splajn – dvije riječi zajedno) rezultira s mogućnosti uključivanja u raspravu o preko 90 postavljenih problema u kojima se spominje kubični splajn. Pretraga ove grupe s "quantitative methods" (kvantitativne metode) rezultira sa samo desetak postavljenih problema, ali pretraga po drugim grupama re-zultira s preko 7 700 postavljenih problema.

Pretragom stranice http://groups.google.com/ po ključnim riječima "mechanical engine-ering" (strojarsko inženjerstvo) po grupama (Search for a group) se dolazi do prve grupe na popisu (ispod tablice):

sci.engr.mech - Show matching messages from this group The field of mechanical engineering. Category: Science and Technology, Language: English Low activity, 942 subscribers, Usenet

Aktiviranjem ovog linka se otvara grupa s preko 28 000 postavljenih problema. Pretraga ove grupe s machining (strojna obrada) rezultira s mogućnosti uključivanja u raspravu o preko 480 postavljenih problema o strojnim obradama.

Ako se problem jasno formulira na odgovarajućoj Usenet grupi, velika je vjerojatnost da se za dan-dva (osobito brzim odgovorima se ne treba nadati) nađe netko tko zna rješenje i ima vremena opisati ga. U raspravi o postavljenim problemima u pravilu sudjeluju učesnici koji se

04. Prikupljanje podloga 5

uzajamno ne poznaju – oni iznose i brane svoja stajališta te pobijaju suprotna. Međutim, kako je Usenet vrlo slabo nadzirana mreža (sve je na Internetu ipak pod manjom ili većom kontro-lom), u raspravama se mogu očekivati i grube uvrede.

Internet stranice Već s malo iskustva u korištenju kompjutora veoma se lako povezuje na Internet te počinje

pretraga i preuzimanje aktualnih sadržaja. Za učinkovitu pretragu je ipak potrebno znatno is-kustvo – danas se na Internetu nalazi ogroman broj stranica s različitim informacijama i veo-ma se lako zaluta u pogrešnom pravcu. Prije početka pretrage treba se dobro pripremiti – u protivnom, na Internetu vrijeme proleti, a na kraju se često zaključi kako nije urađeno baš niš-ta korisno. Na žalost, bez relativno dobrog poznavanja engleskog jezika se na Internetu vrlo teško mogu prikupiti potrebni podaci (ali, pretragu treba uvijek započeti s hrvatskih strani-cama).

Pored toga, pristup vrlo vrijednim stranicama Interneta, koje sadrže pouzdane podatke, skupo se plaća. Pristup većem broju vrijednih stranica je ipak moguć preko mreže Strojarskog fakulteta u Slavonskom Brodu. Na primjer, omogućeni su pristupi bazama podataka s cjelovi-tim tekstovima u pdf formatu iz stručnih i znanstvenih časopisa:

1. časopisi izdavača Elsevier – http://www.sciencedirect.com/ 2. časopisi izdavača Wiley – http://www3.interscience.wiley.com/ 3. časopisi izdavača Springer – http://www.springer.com/

i knjiga: 4. knjige izdavača CRC – http://www.engnetbase.com/

Troškove snosi Ministarstvo znanosti obrazovanja i športa (http://www.mzos.hr/). U pretrazi Interneta pomaže više tražilica, a danas se najčešće koristi tražilica Google

(http://www.google.com/).

Tražilica Google pretražuju Internet po zadatim ključnim riječima (koje često korisnik ne

odredi dovoljno precizno), te naslove i izvode iz sadržaja nađenih stranica ispisuju po logič-nom slijedu (koji se ne mora slagati s logičnim slijednom koji želi korisnik).

Na primjer, želi se detaljnije informirati o planiranju eksperimenata. Treba prvo pokušati pronaći informacije na hrvatskom jeziku – na stranici Googla se bira opcija <Napredno pret-raživanje> ⇒ "Jezik" [hrvatski] i "Domena" [.hr] i u traku "Nađi rezultate sa svim riječima" unosi [planiranje exsperimenata]. Google nalazi 395 stranica te pretragu treba suziti. Sa suže-nom pretragom <Napredno pretraživanje> ⇒ "Nađi rezultate s točnim izrazom" [planiranje exsperimenata] i "Format datoteke" [pdf] nalazi se 9 stranica. Brzim pregledom stranica u html formatu (u html formatu se ne vidi niz detalja prikazanih na stranici ali otvaranje strani-ca u pdf formatu traje često i neusporedivo duže od otvaranja stranica u html formata) nađe-na je jedna interesantna stranica:

[PDF] Microsoft PowerPoint - Simundic-predavanje1.ppt Format datoteke: PDF/Adobe Acrobat - Prikaži kao HTML praćenje literature. 2. deskripcija i analiza rezultata. 3. zaključivanje iz konkretnog slučaja na opći zakon. 4. planiranje eks-perimenata i istraživanje ... www.kbsm.hr/klinkemija/lectures/Statistika2006/PDF-predavanja/Simundic-predavanje1.pdf -

6 Kvantitativne metode

Po kliku desne tipke miša na naslov stranice otvara se prozor za skidanje datoteka i bira opcija <Save Target as …>. Pohranjena datoteka (u pdf formatu) se pregleda (uz korištenje programa Adobe Reader ili Adobe Acrobat) i zaključuje kako nisu sadržane očekivane infor-macije. Rezultati pretrage s [planiranje pokusa] su također nezadovoljavajući i mora se preći na engleski jezik.

Pretraga započinje s [experiment planning] (planiranje eksperimenata) i nalazi 20 800 000 stranica. Pretraga se sužava opcijom <Napredno pretraživanje> ⇒ "Nađi rezultate sa svim ri-ječima" [experiment-planning number-of-experiments] (broj eksperimenta), [engleski], [pdf] (format) i [.edu] (domena stranica fakulteta u SAD) te nalazi 57 stranica. Na 17. mjestu se na-lazi i skida s Interneta vrlo interesantna knjiga: Walters F.H. et al, Sequential simplex optimi-zation – a technique for improving quality and productivity in research, development, and manufacturing, CRC Press 1991, 0849358949. Knjiga sadrži očekivane informacije o planira-nju eksperimenta (Chapter 9 Experimental Design), a još i dosta drugih interesantnih detalja o kvantitativnim metodama. Nije potpuno jasno je li po međunarodnim kriterijima skidanje ove knjige legalno – predviđena je za on-line čitanje na stranici http://www.chem.sc.edu/ (The University of South Carolina Department of Chemistry & Biochemistry).

Na Internet stranicama, u pravilu, nalaze se i linkovi (veze koje se mogu aktivirati) s dru-gim Internet stranicama. Link se aktivira dovođenjem pokazivača miša na odgovarajući tekst (u pravilu podvučen) ili ikonu (uokvirenu sličicu) i klikom na lijevu tipku miša. Na primjer, stranica Strojarskog fakulteta u Slavonskom Brodu – http://www.sfsb.hr/ sadrži link <Linkovi> koje otvara stranicu s popisom grupiranih linkova. S ove se stranice može aktivira-ti link Centar za on-line baze podataka čime se otvara stranica za pretrage: baza podataka, e-časopisa, otvorenih arhiva, kataloga knjižnica, e-učila, referenci i tražilica. Glavnina strani-ca do kojih se može s ove stanice doći pretragama su dostupne preko računala uključenih u fakultetsku mrežu. Kompjutorima van fakultetske mreže je pristup u velikoj mjeri ograničen. Treba napomenuti da su linkovi nekad slabo uočljivi i jedini pouzdan način provjere je li dio otvorene stranice link je dovođenje pokazivača miša na taj dio stranice – ako se radi o linku pokazivač miša mijenja oblik, najčešće u šaku s ispruženim prstom.

Elektronska pošta Elektronska pošta – e-pošta (e-mail), izuzetno je koristan način razmjene informacija u fazi

prikupljanja podloga. Bez veće muke se počinju razmjenjivati poruke e-poštom preko Interne-ta, sa ili bez dodataka – dokumenata ili programa koji se šalju kao prilog osnovnoj tekstualnoj poruci. Za razmjenu poruka e-pošte najčešće se koristi program Outlook Express, tvrtke Mic-rosoft.

Pri razmjeni poste treba se svakako pridržavati pravila lijepog ponašanja. Međutim, pri-kupljanje podloga e-poštom ne spada u osobnu (predstavlja pošiljaoca) nego u poslovnu ko-munikaciju – predstavlja pošiljaoca i tvrtku u kojoj on radi.

Poslovnom se poštom razmjenjuju informacije s jednim ili s grupom korisnika (i kada se razmjenjuju informacije s grupom korisnika, u pravilu se bolji rezultat može očekivati ako se poruka uputi svakom primaocu ponaosob). Pri tom treba imati u vidu:

o e-pošta nije siguran način komunikacije (moguće su greške pošiljaoca i zlou-potrebe primaoca),

o moguće su kontrole (državni organi i uprava tvrtke),

04. Prikupljanje podloga 7

o moguće su zaraze virusima – ne otvarati sumnjiv priloge (po potrebi uputiti poruku pošiljatelju s upitom je li neki prilog namjerno ili slučajno priložen),

o zlouporaba je kažnjiva (isključenje adrese, otkaz, odšteta).

Koristiti e-mail za: Ne koristiti e-mail za: 1. komunikaciju sa suradnicima, 2. brzo informiranje, 3. slanje poruka na više adresa, 4. kontakt s donosiocem odluke, 5. poruke u nezgodno vrijeme, 6. smanjenje troškova komunikacije, 7. osiguranje trajnog zapisa.

1. osobito važne ili povjerljive poruke, 2. neugodne novosti, 3. poruke koje se mogu pogrešno protumačiti, 4. hitan odgovor, 5. dogovaranje i pregovaranje, 6. diskusije s više učesnika.

Poslovnu e-poštu treba pažljivo pripremiti, s "5w": o who (tko) – tko je primalac (uzeti u obzir: odnos s primaocem, njegovu infor-

miranost, eventualne predrasude, što bi ga potaklo da odgovori na e-poštu, eventualno s njim stečena iskustva u razmjeni e-pošte),

o what (što) – cilj upućene poruke (razmjena informacija ili dogovor), o when (kada) – rok u kome je neophodno razmijeniti informacije ili predloženi

termin sastanka, o where (gdje) – adresa mjesta na kome se predlaže sastanak, o why (zašto) – koje su pogodnosti/posljedice razmjene informacija ili sastanka

za pošiljaoca i primaoca. Nakon odgovora na sva ova pitanja poruku treba napisati ⇒ provjeriti informacije, gramatiku i stil ⇒ korigirati ⇒ poslati.

Dijelovi su poslovne poruke:

Subject obavezni kratak opis biti poruke (vidi se po otvaranju Inbox-a i navodi na zaključak primaoca da se ne radi o masovnoj neželjenoj poruci – spamu)

Pozdrav poštovani s titulom i prezimenom (ako se želi naglasiti poštovanje) ili zdravo s imenom ili prezimenom (ako se želi naglasiti bliskost)

Tekst • sažet, jasan, interesantan tekst – osobito su važne prve tri rečenice • u slijedu od najvažnije k najmanje važnoj informaciji • jednostavne riječi, kratke rečenice i pasusi; jedna stranica

Zaključak željena akcija i rok ili ljubazan zaključak ili zahvala

Potpis titula + ime i prezime + radno mjesto + tvrtka + poštanska adresa + broj telefona/mobitela/faksa + e-mail adresa + adresa Web stranice (sve nije obavezno te treba napraviti pogodan izbor)

Kod poslovnih poruka se treba pridržavati i savjeta za pisanje teksta: • bez znakova emocija [:) = ☺, :( = ] i kratica (LOL – smijem se glasno), • bez uvredljivih i svađalačkih izraza, uz poželjnu ali opreznu duhovitost, • tekst pisan velikim slovima se tumači kao vikanje a i teško čita, • izbjegavati pitanja na koja nije moguć sažet odgovor. • ne prilagati velike fajlove i obavezno napisati što se prilaže.

8 Kvantitativne metode

Izvori podloga na Internetu Na Internetu je prisutan moglo bi se reći i ogroman broj izvora podloga. Primjeri su koris-

nih stranica za oblasti obuhvaćene predmetom Kvantitativne metode: o Michael Trick's Operations Research Page – http://mat.gsia.cmu.edu/ o Statistics Links – http://www.stat.washington.edu/www/links/

4.1.2 Konzultacije Dio potrebnih informacija o aktualnom problemu može se prikupiti konzultacijama s kom-

petentnim stručnjacima i znanstvenicima.

Ovisno o okolnostima, može se razgovor obaviti na dogovorenom sastanku i/ili telefonom

i/ili razmijeniti e-maile dopise i/ili faksove. Pri tome se uvijek treba unaprijed raspitati o cijeni informiranja (čak i iza jednog kratkog odgovora s "da" ili "ne" često stoji veliko znanje i du-gogodišnje iskustvo) te treba imati u vidu:

o proizvođače interesira prodaja proizvoda i vrlo će rado besplatno informirati (reklama) ako im se time potencijalno povećava prodaja

o konzultantskim je tvrtkama informiranje osnovni izvor zarade o instituti informiraju besplatno ako se to uklapa u njihove specifične ciljeve (in-

stituti proizvođača i državni instituti), u protivnom se informiranje naplaćuje o fakulteti nisu obvezni ali će često rado besplatno informirati u cilju širenja

znanja i/ili iskustava, u protivnom se informiranje naplaćuje o institucije državne uprave su obvezne besplatno informirati u okvirima njiho-

vih nadležnosti S informacijama prikupljenim konzultacijama treba biti oprezan – na kraju, iza pothvata ipak stoji inženjer koji ga provodi. Odgovornost za posljedice izazvane pogrešnim informacijama rijetko se mogu prebaciti na nekog drugog pokazivanjem nekog dopisa, faksa ili e-maila.

4.1.3 Literatura U literaturi se danas mogu naći skoro svi potrebni podaci, međutim, zbog obima literature

se često konkretni podaci teško nalaze.

Udžbenici su namijenjeni prije svega učenju, dok monografije obrađuju određenu temu i

mogu biti stručno ili znanstveno orijentirani. Iz časopisa, zbornika radova i disertacija (dip-lomski radovi, magisteriji i doktorati) mogu se prikupiti najnovije informacije, pod pretpos-tavkom dovoljnog znanja za razumijevanje njihovih sadržaja.

Potrebna se literatura može posuditi u fakultetskim, sveučilišnim i gradskim knjižnicama, preko kojih se mogu posuditi knjige i iz inozemnih knjižnica (http://www.nsk.hr/opac-crolist/crolist.html).

04. Prikupljanje podloga 9

4.1.4 Eksperiment Kada se podaci ne mogu na drugi način prikupiti pristupa se provedbi eksperimenta, što je

u pravilu najmukotrpniji i najskuplji način prikupljanja podataka. Vrste su eksperimenata:

Planiranje eksperimenta Zbog velike različitosti potreba i uvjeta ne može se postaviti generalizirani pristup proved-

bi eksperimenta. Međutim, za dobivanje kvalitetnih rezultata potrebno je provesti detaljnu pripremu koja obuhvaća sljedeće korake:

1. Formuliranje problema

Prije svega se mora jasno formulirati problem koji se rješava provedbom eksperimenta, pri čemu se odgovara na sljedeća pitanja:

(a) zašto je problem postavljen – analiza motiva često daje inženjeru daje poticaj bitan za obavljanje eksperimentalnog rada,

(b) koji su polazni uvjeti – tko? kada? što? što je već poznato? što je obvezno? … (c) koji je tip problema – određivanje svojstava tvari ili stanja sustava, određivanje kon-

stanti analitičkog izraza, istraživanje nedovoljno poznatog, optimalizacija … (d) kakav je značaj rezultata – analiza značaja također često daje poticaj bitan za pro-

vedbu eksperimenta 2. Provjera izvora informacija

Analizom sličnih radova se često dolazi do korisnih podataka o korištenim metodologija-ma, poteškoćama pri radu, dobivenim rezultatima …. Ponekad se korisni podaci dobivaju i analizom ekvivalentnih radova iz drugih oblasti.

3. Postavljanje fizikalnog modela

Prije svega se definiraju rezultati. Problem izbora rezultata dolazi do izražaja kod složenih eksperimenata, osobito u radu na optimalizaciji. Kod optimalizacije treba imati u vidu i cijenu proizvoda, odnosno, moguć je slučaj postizanja izvrsnih svojstava proizvoda uz njegovu nera-cionalno visoku cijenu.

Sljedeći je zadatak izbor faktora, od čega ovisi kvaliteta rezultata i cijena provedbe ekspe-rimenta. Pravilo je minimalizacija broja bez ispuštanja značajnih faktora. Pri minimalizaciji broja faktora se koristi dimenzijska analiza i provođenje probnog eksperimenta.

Na osnovu usvojenih rezultata i faktora se razrađuje idejno rješenje fizikalnog modela u obliku laboratorijskog modela, pogonskog modela ili modela u pogonskim uvjetima. Ukoliko je to moguće treba postaviti i analogni matematski model.

Ovisno o rezultatima, faktorima i uvjetima postavlja se plan eksperimenta i definira statis-tička hipoteza. Nakon toga se razrađuje projekt eksperimenta koji obuhvaća sustav za mjere-nje.

4. Provedba i korekcije

Na početku je pogodno provesti probni eksperiment za provjeru funkiconiranja mjernog sustava i toka eksperimenta.

10 Kvantitativne metode

Nakon kritičke analize probnog eksperimenta, provodi se cio eksperiment po postavljenom planu, bez ikakvih izmjena.

5. Zaključak

Obavlja se provjera izračunavanja.

Pri interpretaciji rezultata se ukazuje na njihov značaj, mogućnosti provjere i ograničenja važenja. Rezultat provjere hipoteze treba kritički analizirati i usporediti s rezultatima drugih autora. Na kraju treba ukazati na pravac daljeg rada na obradi problema.

Izvještaj o eksperimentu obuhvaća sve bitne elemente navedenih točaka.

Obrada rezultata eksperimenta obuhvaća provjeru podataka, određivanje greške, provjeru hipoteze i sređivanje rezultata prema načinu na koji će biti prikazani. Eksperimentalni rezulta-ti se prikazuju kao pojedinačne vrijednosti veličine, u obliku tabela, dijagrami ili jednadžbi.

Potrebne analitičke jednadžbe se izvode matematskom obradom skupa izraza prirodnih za-konitosti, a najčešće korištene analitičke jednadžbe se mogu naći u različitim priručnicima. Prije izračunavanja nije neophodno izvođenje i sređivanje analitičke jednadžbe, na što se čes-to gubi vrijeme, ali se moraju provjeriti sva ograničenja važenja korištenih izraza, što se često propušta.

Iskustvene jednadžbe, ukoliko već nisu objavljene u literaturi, izvode se statističkom obra-dom rezultata vlastitih ili u literaturi objavljenih eksperimenata. U nekim slučajevima je za iz-računavanje vrijednosti neke veličine u širem opsegu pogodnije korištenje više iskustvenih je-dnadžbi (veća točnost) od jedne koja važi u cijelom opsegu (jednostavnije izračunavanje). Prije korištenja iskustvenih jednadžbi također treba provjeriti sva ograničenja, odnosno, od-govaraju li eksperimenti aktualnim uvjetima.

Dimenzijska analiza Dimenzijska analiza se koristi:

• kao pomoć za iznalaženje zaboravljenih formula • u otkrivanju grešaka uzrokovanih dimenzijskom nehomogenošću formula • pri usmjeravanju istraživanja na modelima i uopćavanju dobivenih rezultata • u planiranju eksperimenata

Fizički (kemijski, fizičko-kemijski) zakoni opisuju uzajamne ovisnosti veličina i mogu se izra-ziti formulama:

PRIMJER P-4.1 Srednja putna brzina gibanja tijela razmjerna je prijeđenom putu i obrnuto razmjerna protek-lom vremenu. Napisati veličinsku i demenzijsku formulu.

veličinska: v = s/t dimenzijska: [v] = L τ–1

Veličinske formule obuhvaćaju veličine (fizikalne, kemijske, ekonomske). Dimenzijske for-mule – obuhvaćaju generalizirane jedinice, odnosno dimenzije veličina: M – masa, L – dulji-na, τ – vrijeme, s odgovarajućim eksponentima. Izbor dimenzija fizičkih veličina koje se ko-

04. Prikupljanje podloga 11

riste u dimenzijskoj analizi nije opće usvojen i prilagođava se potrebama konkretne analize – često se koriste dimenzije: e – modul elastičnosti (materijali), T – temperatura, E – energija (toplina), q – električni naboj (elektrotehnika).

Osnovna je pretpostavka dimenzijske analize dimenzijska homogenost formula. Na prim-jer, formula koja povezuje četiri veličine:

f(P, Q, R, S) = 0

može se izraziti i kao:

P = = + … + C i i

ma b c

ii 1

C iQ R S=∑ 1 1a b

1C Q R S 1c m m ma b cm Q R S

Dimenzijska homogenost podrazumijeva jednakost dimenzija svakog člana desne strane jed-nadžbe s dimenzijama člana s lijeve strane znaka jednakosti. Prema tome, dovoljno je provje-riti dimenzijsku homogenost člana s lijeve strane znaka jednakosti sa samo jednim članom s desne strane znaka jednakosti:

P = C a b cQ R SUvođenjem dimenzija dobiva se:

0 0M LM L ττ 0 = C ( )1 1 1aM LM L ττ ( )2 2 2

bM LM L ττ ( )3 3 3cM LM L ττ

odakle slijedi: po M M0 = M1 a + M2 b + M3 c

po L L0 = L1 a + L2 b + L3 c

po τ τ0 = τ1 a + τ2 b + τ3 c

Konstanta C se ne može odrediti dimenzijskom analizom nego treba provesti dodatnu teorij-sku ili eksperimentalnu analizu.

Broj potrebnih eksperimenata za utvrđivanje zakonitosti može se smanjiti uvođenjem bez-dimenzijskih faktora πj koji uključuju više promjenljivih veličina Ai:

f(A1 , A2 , … , Am) = 0 f(π1 , π2 , … , πn ) = 0 gdje je: m > n.

(a) Ako je broj jednadžbi veći ili jednak broju nepoznatih eksponenata dobiva se rješenje za sve eksponente:

a = α b = β c = γ P = C Q R Sα β γ

(b) Ako je broj jednadžbi manji od broja nepoznatih eksponenata, odabrani eks-ponenti se izražavaju s nepoznatim:

a = α1 + β1 c b = α2 + β2 c

P = 1 1 2 2c c cC Q R Sα +β α +β

PRIMJER P-5.2

Izvesti formulu kojom se opisuje pad tlaka fluida koji struji kroz cijev i utvrditi bezdimenzij-ske faktore.

12 Kvantitativne metode

Δp = f(L, D, v, η, ρ, e, g) Δp = C La Db vc ηd ρe ef gg – pad tlaka ovisi o 7 veličina

p = FA

F = m a p = m aA

M L τ–2 L–2 = M L–1 τ–2

τ = η dd

xvy

η = τ dd x

y M L–1 τ–2 L L–1 τ1 = M L–1 τ–1 v

Veličina Oznaka Jedinica Dimjenzija pad tlaka Δp Pa = N/m2 = (kg (m s-2))/m2 = kg/(m s2) M L–1 τ–2 duljina cijevi L m L promjer cijevi D m L brzina fluida v m/s L τ–1

viskoznost η Pa s = (kg/(m s2)) s = kg/(m s) M L–1 τ–1

gustoća fluida ρ kg/m3 M L–3

hrapavost stjenka cijevi e m L ubrzanje zemljine teže g m/s2

L τ–2

M L–1 τ–2 = C La Lb (L τ–1)c (M L–1 τ–1)d (M L–3)e Lf (L τ–2)g

po M 1 = d + e po L – 1 = a + b + c – d – 3 e + f + g

po τ – 2 = – c – d – 2 g

Isključivanjem nepoznatih d, b i c dobiva se: e = 1 – d

b = – a – d – f + g c = 2 – d – 2 g

Δp = C La D– a – e – f + g v2 – e – 2 g ηd ρ1–d ef gg

Uređenjem formule po eksponentima se dobiva:

Δp = C v2 ρaL

D⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

dv D

−⎛ ⎞ρ⎜ ⎟μ⎝ ⎠

feD

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

g

2

D gv

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2p

vΔ

ρ = C

aLD

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

dv D

−⎛ ⎞ρ⎜ ⎟μ⎝ ⎠

feD

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

g

2

D gv

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Dobiveni bezdimenzijski faktori su poznati u mehanici fluida pod nazivima:

Eulerov broj: Eu = 2p

vΔ

ρ

Reynoldsov broj: Re = v D ρμ

04. Prikupljanje podloga 13

Froudeov broj: Fr = 2

D gv

Eu= CaL

D⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Re–dfe

D⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Frg

Provedbom eksperimenata se za laminarno strujanje dobiva: C = 32, a = 1, d = 1, f = 0 i g = 1

Eu = 32 LD

Re–1 Fr

Δp = 32 v2 ρ LD

Re–1 Fr – pad tlaka ovisi o 6 veličina

Obrada eksperimentalnih rezultata Rezultati eksperimenta se obrađuju statističkim metodama.

4.2 Vjerojatnost

4.2.1 Prostor uzorka i vjerojatnost slučajnog događaja Slučajni eksperiment – usprkos ponavljanja pokusa svaki put na isti način, zbog djelova-

nja nekontroliranih vanjskih utjecaja – poremećaja, ne dobivaju se isti rezultati (mjerenje ot-pora bakarnog vodiča, ili temperature klimatiziranog prostora). Prevelik intenzitet poremeća-ja može onemogućiti izvođenje zaključka iz eksperimentalno dobivenih rezultata.

Rezultat slučajnog eksperimenta naziva se ishodom.

S – prostor uzorka – skup svih mogućih različitih ishoda

S = {oznaka ishoda(: granice ishoda)} A – slučajni događaj („povoljan“ ishod) –

jednočlani ili višečlani podskup skupa S Prostor uzorka ovisi o cilju analize:

o ako se ispituje debljina komada od polimera: S = {δ: δ > 0}, [δ] = mm o ako se zna da je debljina čeličnog lima između 1 i 2 mm: S = {δ: 1 < δ < 2},

[δ] = mm o kada se sortiraju noževi za tokarenje: S = {m, s, v} (mali, srednji, veliki) o kada se ispituje ispravnost senzora: S = {d, n} (da – ispravan, ne – neispravan)

14 Kvantitativne metode

o ako se ispituje ispravnost dvodijelnog sklopa: S = {dd, dn, nd, nn} o kada se za dvobojnu oznaku biraju trake u tri boje (crveno, bijelo, plavo):

• bez zamjene, redoslijed važan: S = {ab, ac, ba, bc, ca, cb} • bez zamjene, redoslijed nije važan: S = {ab, ac, bc} • sa zamjenom, redoslijed važan: S = {aa, ab, ac, bb, ba, bc, cc, ca, cb} • sa zamjenom, redoslijed nije važan: S = {aa, ab, ac, bb, bc, cc}

"Sa zamjenom" podrazumijeva ponavljanja jednakih ishoda (aa, bb, cc), a "re-doslijed važan" podrazumijeva ponavljanje istog ishoda u drugom redoslijedu elemenata (ab, ac, ba, bc, ca, cb).

U složenijim slučajevima se formira stablo izbora. Na primjer, bira se vozilo: 1. s motorom od 60 ili 77 KW 2. sa i bez ABS-a (anti-lock braking system – sustav za sprječavanje blokiranja

kotača pri kočnicama) 3. sa ili bez klimatizacije 4. s crvenim, sivim ili plavim sjedalima 5. u srebrnoj, bijeloj ili crnoj boji karoserije.

Pravilo množenja: ako se postupak izbora odvija u k koraka, uz oi opcija u svakom kora-

ku, broj je mogućih ishoda (n):

k

ii=1

n = o∏

Za prethodni je primjer izbora vozila: n = 2 2 2 2 = 36.

Permutacije: broj mogućih ishoda za: (a) broj elemenata slučajnog događaja jednak je broju različitih elemenata uzorka, (b) bez zamjene, (c) redoslijed važan:

( ) ( )nP = n! = n n -1 n - 2 2 1… gdje je: n – broj elemenata u uzorku. Ako je u uzorku zastupljeno više jednakih elemenata a, b, c, …, u količinama α, β, γ, …:

nn!P =

! ! !α β γ …

Kombinacije: broj mogućih ishoda za: (a) broj elemenata slučajnog događaja je manji od broja elemenata uzorka, (b) bez zamjene, (c) redoslijed važan:

( )

nr

n n!C = =r r! n - r

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ !

gdje je: r – broj elemenata u slučajnom događaju.

04. Prikupljanje podloga 15

Subjektivna vjerojatnost jednog od mogućih ishoda (A) je:

0 ≤ P(A) ≤ 1 (jedinična) 0 ≤ P(A) ≤ 100 (postotna) i određuje se na temelju prosudbe. Ako je:

6. P(A) = 0 – ishod A se ne može pojaviti, 7. 0 < P(A) < 1 – ishod A se može ali neće uvijek pojaviti i 8. P(A) = 1 – ishod A će uvijek pojaviti.

Ako je P(A) = 0,5 ista je mogućnost pojavljivanja i nepojavljivanja ishoda A. Umjesto jedini-čnih vjerojatnosti: 0 ≤ {P(A)} ≤ 1, [P(A)] = –, često se navode i postotne: 0 ≤ {Pp(A)} ≤ 100, [Pp(A)] = % ⇒ Pp(A) = 100 P(A).

Klasična vjerojatnost:

mP( )n

A =

gdje je: m – broj povoljnih ishoda, n – broj svih mogućih ishoda.

Statistička vjerojatnost:

n

mP( ) limn

A→∞

=

Ova se vjerojatnost praktično aproksimira relativnom frekvencijom:

AMP( )N

A =

gdje je: MA – broj elemenata skupa s obilježjem A (u statističkom skupu elemenata) ili broj obi-lježja A (u statističkom skupu obilježja):

N – ukupni broj elemenata skupa ili obilježja.

4.2.2 Razdiobe vjerojatnosti diskretnih slučajnih varijabli

4.2.3 Razdiobe vjerojatnosti kontinuiranih slučajnih varijabli

4.2.4 Razdiobe vjerojatnosti više slučajnih varijabli

4.3 Statistika Namjena je statistike:

Statistika pomaže inženjerima u prikupljanju podataka te modeliranju, simuliranju i optimira-nju sustava/procesa.

16 Kvantitativne metode

Radi cjelovitosti je izložen pregled temeljnih definicija i formula statistike. Detaljnije se informacije mogu naći u literaturi.

4.3.1 Pregled definicija i formula Statistika utvrđuje i u rješavanju različitih inženjerskih problema primjenjuje postupke:

Statistički su podaci: (a) primarni, ako su dobiveni provedbama eksperimenata (promatranjima) i (b) sekundarni, ako su prikupljeni iz ostalih izvora podloga.

Statistika obrađuje statističke skupove:

Statistički skupovi jedinki obuhvaćaju aktualne istovrsne jedinke (zaposlenici tvornice, vagon-ske osovine, aparati za zavarivanje, proizvedene pare), određene:

a statistički skupovi vrijednosti obilježja obuhvaćaju podatke o statističkim skupovima jedinki (plaće zaposlenika tvornice, hrapavosti vagonske osovine, struja zavarivanja, tlak pare). Populacija obuhvaća cijeli skupa, a uzorak njegov odabrani dio.

Statističko obilježje (skraćeno, obilježje) je promatrano svojstvo jedinki skupa koje varira od jedinke do jedinke (prostorno i vremenski).

Vrijednosti se obilježja određuju mjerenjima – usporedbama s odgovarajućim mjernim ska-lama. Redoslijed nominalnih obilježja je proizvoljan, a redoslijednim se obilježjima mogu se pridružiti redni brojevi (matematičke operacije besmislene). Diskretno obilježje može poprimiti konačan broj vrijednosti a kontinuirano obilježje beskonačan.

Frekvencije opisuje brojeve jednakih vrijednosti obilježja skupa – jedne ili više jedinki.

Apsolutna pojedinačna frekvencija jednaka je broju jednakih vrijednosti obilježja (fj),

relativna pojedinačna jedinična: relativna pojedinačna postotna:

jj

fp

n= j

j

fp 100

n=

gdje je: n – broj jedinki Kumulativne su frekvencije:

04. Prikupljanje podloga 17

apsolutna: relativna jedinična: relativna postotna:

j jF f= ∑ j jP p= ∑ j jP p 100= ∑

Za kompjutorsku su podršku u nastavi Kvantitativnih metoda odabrani programi Excel tvrtke Microsoft i Statistica tvrtke StastSoft. PRIMJER P-2.3 U industrijskom pogonu radi velik broj istovrsnih strojeva. Bilježenjem broja kvarova po danu tijekom 200 dana formirana je tablica:

Redni broj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 UkupnoBroj kvarova Xj 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Frekvencija fj 1 2 8 13 20 18 27 34 28 12 13 10 7 1 1 2 1 0 0 2 200

Jedinke su dani, uzorak obuhvaća 200 dana. Obilježje je broj kvarova, mjerna je skala diskre-tna (vrijednosti obilježja su potpune – točne).

PRIMJER P-2.4 Mjerenjem zatezne čvrstoće čelika (Rm) dobivene su vrijednosti.

285 341 323 300 313 294 305 317 286 312 267 316 300 298 312 319 296284 293 298 322 292 267 305 299 275 318 304 298 301 282 309 297 313m

2N/mmR

296 323 305 307 289 307 396 342 310 336 286 320 290 323 288 306

Jedinke su eksperimentalne normirane epruvete izrađene od ispitivanog čelika, uzorak obuh-vaća 50 epruveta. Obilježje je zatezna čvrstoća, mjerna je skala kontinuirana (vrijednosti obi-lježja nisu potpune – tri značajne znamenke).

Srednja vrijednost mjerene veličine xsr (najbliža istinitoj vrijednosti): Standardno odstupanje (devijacija) mjerene veličine x (pokazatelj raspršenja rezultata mje-renja):

Korelacijska jednadžba (korelacijska uzajamna ovisnost mjerenih veličina): Koeficijent korelacija (pokazatelj relativne raspršenosti rezultata mjerenja – raspršenja oko korelacijske krivulje, yk u odnosu na raspršenja oko srednje vrijednosti ysr):

4.3.2 Testiranje hipoteze Statistička hipoteza – tvrdnja o svojstvu ili svojstvima jedne ili više populacija.

18 Kvantitativne metode

Testiranje statističke hipoteze – postupak donošenja odluke o prihvaćanju ili odbacivanju statističke hipoteze na temelju uzroka.

4.3.3 Analiza varijanse

4.3.4 Neparametarski testovi

4.3.5 Regresijska analiza Odrediti jednadžbu krivulje kojom se optimalno opisuje funkcionalna ovis-

nost dvije veličine y = y(x) na osnovu raspoložive skupine podataka: (x1,y1), (x2,y2), ..., (xm,ym).

Skupina podataka može biti dana u obliku tablice ili se pak definira premjeravanjem raspo-loživog dijagrama.

Parametri funkcionalne ovisnosti: y = y(x) (F-2.1) određuju se na osnovu uvjeta najmanjih kvadrata odstupanja:

( )m 2

i ii 1

y x y min=

⎡ ⎤− =⎣ ⎦∑ (F-2.2)

Osnovni problem regresijske analize je izbor tipa jednadžbe (linearna, kvadratna, polinom, eksponencijalna, …), koji znatno olakšava poznavanje prirode problema.

Za m raspoloživih podataka: (x1,y1), (x2,y2), ..., (xm,ym) i pretpostavljenu jednadžbu tipa: 2y a b x b x= + +

treba pogodnim izborom parametara: a, b i c ispuniti uvjet I-3.3.12 {Σ[y(xi)-yi]2 = min}:

( ) ( )m m 22 2

i i i i i1 1 1 1

y x y a b x c x y min= =

⎡ ⎤− = + + − =⎣ ⎦∑ ∑

Diferenciranjem se dobiva sustav od tri linearne jednadžbe po parametrima:

( )( )

2m

i i m21 1

i i i1 1

y x y2 a b x c x y 0

a=

=

⎡ ⎤∂ −⎣ ⎦= + + − =

∂

∑∑

( )( )

2m

i i m21 1

i i i i1 1

y x y2 a b x c x y x 0

b=

=

⎡ ⎤∂ −⎣ ⎦= + + − =

∂

∑∑

odakle slijede tri linearne jednadžbe, prikazane u matričnom obliku: 2

i i i2 3i i i i2 3 4 2

i ii i i

m x x yax x x b x y

c x yx x x

⎡ ⎤

i

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

∑∑ ∑ ∑

Skup postavljenih linearnih jednadžbi se lako i brzo rješava uz korištenje računala i pogo-dnog programa.

04. Prikupljanje podloga 19

Mjeru odstupanja raspoložive skupine podataka od izvedene krivulje se može izrazardnom greškom procjene:

iti stan-d

ry / x

Ss =

m 2− (F-2.3)

gdje je: Sr suma kvadrata odstupanja raspoložive skupine podataka od izvedene krivulje:

( )2m

r i1 1

S y x y=

i⎡ ⎤= −⎣ ⎦∑

ili koeficijentom korelacije:

t rS Sr

S−

= t

gdje je: St suma kvadrata odstupanja raspoložive skupine podataka od srednje vrijednosti neovisno promjenljive yi:

( )2m

t i1 1

S y x y=

i⎡ ⎤= −⎣ ⎦∑

m

i1 1

yy

m==∑

( ) ( ) ( ) ( )

i i i i

2 22 2

m x y x y−

i i i i

rm x x m y y

=− −

∑ ∑ ∑

očevši od specijaliziranih programa,

jer, STATISTICA (kojim se mogu rješavati i vrlo složeni problemi).

nt e o na in ta je pk

Q, m3/h 0.00 5.40 10.80 14.40 21.60 25.20 28.80 32.40 34.92

∑ ∑ ∑ ∑ (F-2.4)

Za regresijsku analizu krivulja stoji nam na raspolaganju niz različitih programa, p EXCEL-a (kojim se mogu rješavati jednostavniji problemi) do

kao što je, na prim

Eksperime alno j dređe skup a poda ka za dnu cr u:

18.00 H, m VS 7.55 6.63 5.81 5.30 4.69 4.08 3.47 2.55 1.63 0.91

EXCEL

Ovisnost H=H(Q) y = -1E-04x3 + 0.0033x2 - 0.184x + 7.5477R2 = 0.9998

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

0.00 10.00 20.00 30.00 40.00

H, m

VS

Series1Poly. (Series1)

Q, m3/h STATISTICA

Model: H=a+b*Q+c*Q**2+d*Q**3 (new.sta) Dep va

F = ia ed A B C D

. r: H Loss: (OBS-PRED)**2 inal loss: .008884938 R .99989 Var nce explain : 99.979%

20 Kvantitativne metode

Estimate 7.547746 -.183970 .003251 -.000099 Model: H=a+b*Q+c*Q**2+d*Q**3

y=(7.547746)+(-0.1839699)*x+(0.003250581)*x**2+(-9.852378e-005)*x**3

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

C:1

C:2

C:3C:4

C:5

Q

H C:6

C:7

C:8

C:9

C:

0 5 10 15 20 25 30

ograničava – različite funkcije se jednostavno upisu-

a: a2 ⇒ a**2)

•

ju zatvorenih) Pi = 3.14..., Eulerov broj: (e) = 2.71...

•

,

ucijske funkcije i njihovi integrali), detaljno

4.3.6 Spektrogrami frekvencija

Probability for Engineers 3rd

bility for Engineers 3rd Edition; 706 p; John Wiley & Sons 2002; ISBN 0471204544.

Za inženjere je ovaj program posebno koristan u istraživanju korelacijskih veza različitih

veličina (fizičke, fizičkokemijske, biološke, ekonomske). U WS Excelu je izbor funkcija ogra-ničen, dok se u STATISTICI taj izbor ne ju u tekstualnom prozoru, uz korištenje:

• aritmetičkh operatora: +, –, * (množenje: 2 a ⇒ 2*a), /, ** (potencij

logičkih operatora: =, <, >, >= (veće ili jednako: a ≥ 2 ⇒ a >= 2), <= (manje ili jednako: a ≥ 2 ⇒ a >= 2), <> (različito: a ≠ 2 ⇒ a <> 2)

• zagrada: (, ) (broj otvorenih («malih») zagrada mora biti jednak bro• konstante: Ludolfov broj:

funkcije: abs(x) – apsolutna vrijednost, log(x) – prirodni logaritam od x, log10(x) – logaritam od x za bazu 10, log2(x) – binarni logaritam od x, sin(x), cos(x), tan(x), sinh(x) –sinus x, kosinus x, tangens x, sunus hiperbolikum xarcsin(x), arccos(x), arctan(x) – arkus sinus x, arkus kosinus x, arkus tangens x, sign(x) – za x>0 → sign(x)=+1, za x<0 → sign(x)=–1, za x = 0 → sign(x)=–1,

ali i brojne druge funkcije (uključivo distribopisane u opciji Help programa STATISTICA.

Literatura 1. Šošić I., Primijenjena statistika, 781 s, Školska knjiga 2004, 9530303378.

2. Montgomery D.C. Runger G.C., Applied Statistics and Edition, 706 p, John Wiley & Sons 2002, 0471204544.

3. Pauše Ž., Uvod u matematičku statistiku, 450 s, Školska knjiga 1993, 930331034.

4. Montgomery D.C., Runger G.C.; Applied Statistics and Proba