Olimpia Lombardi

Prigogine y el azar de las bifurcacio.nes

Summary: In this paper we analyze Prigo-gine's arguments concerning the relationshipbetween randomness and bifurcations, in thecontext of his thermodynamics of irreversibleprocesses. We argue that, in this context, bifurca-tions 'are not time bifurcations and, therefore,they do not provide a good foundation of ontolo-gical indeterminism.

Resumen: En este artículo se analizan losargumentos de Prigogine respecto de la relaciónentre aleatoriedad y bifurcaciones, en el contex-to de su termodinámica de los procesos irreversi-bles. Se muestra que, en este contexto, las bifur-caciones no son fenómenos temporales y, portanto, no proveen una adecuadafundamentaciónpara el indeterminismo ontológico.

Introducción

A pesar del amplio espectro de temáticasque Prigogine desarrolla en sus obras, no resultadifícil identificar la tesis central que brinda uni-dad al conjunto. El ser humano estructura su ex-periencia según el antes y el después, según laevidencia íntima e intuitiva de la duración ins-cripta en un tiempo que fluye en un único senti-do. Por el contrario, la mayor parte de la físicaactual postula teorías que no distinguen entre pa-sado y futuro, en la medida en que conciben untiempo estático y espacializado, carente de unsentido privilegiado capaz de expresar el devenir.El objetivo último de Prigogine consiste en supe-rar esta ruptura entre evidencia intuitiva y formu-lación científica, tendiendo "el puente entre el

ser yel devenir" c(Prigt>gine, 1980, p.-151). Lanueva síntesis permitirá, .sin renegar de la tradi-ción científica de la-cual se nutre, dar sentido tan-toa la experiencia íntima del fluir temporal, co-mo a las relaciones. siempre irreversibles delhombre con su entorno. . .

En el ámbito científico, el programa de Pri-gogine adopta como punto de 'partida el rechazode toda interpretación gnoseológica de la irrever-sibilidad temporal: su meta consiste en funda-mentar el carácter objetivo e "intrínseco" de laflecha del tiempo, A fin de alcanzar' esta rnetaPrigogine intenta demostrar que, en presencia dealta inestabilidad, 'los sistemas dinámicos mani-fiestan una aleatoriedad irreductible-Ia cual, a suvez, da lugar al carácter intrínsecamente irrever-sible de los procesos involucrados. Este progra- ~ma se desarrolla en dosplanosdiferentes:

• En el plano fenomenológico, Prigogine con-centra su atención en' el estudio de las varia-bles macroscópicas dé los sistemas termodi-námicos abiertos en estados alejados delequilibrio. Aquí la aleatoriedad ingresa a tra-vés dejos fenómenos de bifurcación.

.• .En el planoIIi.icroscópico, Prigógine intentabrindar un.a,interpretación dinámica del se-gundo principio de la termodinámica, lo-grando así la 'Compatibilidad entre termodi-námica irreversible y Tecánica reversible':

En el presente trabajo se analizarán los ele-mentos centrales del trabajo de 'Prigogine en elprimero de los planesmencionados, en relacióncon el problema del determinismo. El objetivoconsiste en poner-de manifiesto que, pese a los

Rev, Filosofía Univ. Costa Rica, XXXVIII (94), 53-63,. Enero-Junio 2000,

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esfuerzos teóricos de Prigogine por brindar unafundamentación objetiva de la aleatoriedad, el fe-nómeno de bifurcación no permite aún asegurarel carácter anta lógicamente indeterminista delsistema. Los argumentos en favor de esta tesis re-quieren, en primer lugar, la comprensión de loselementos teóricos básicos de la propuesta cien-tífica de Prigogine.

Termodinámica de los sistemas abiertos

La termodinámica tradicional, con sus dosprincipios, estudia el comportamiento de los sis-temas aislados, es decir, sistemas que no inter-cambian materia ni energía con su entorno-: enellos la energía total se conserva -primer princi-pio- y la entropía se mantiene constante (si el sis-tema ya estaba en equilibrio) o aumenta hasta suvalor máximo correspondiente al estado de equi-librio -segundo principio-. El objetivo explícitode Prigogine consiste en ampliar los alcances dela termodinámica a fin de incorporar a su ámbitoel estudio de los sistemas abiertos, superando asílas limitaciones del enfoque tradicional (cfr. Pri-gogine, 1967, p. 3). Con este fin, Prigogine co-mienza por representar un sistema termodinámi-co sumergido en su entorno:

donde el sistema se encuentra confinado en unvolumen bien definido, y las variables YSi e yEi,

variables de estado, representan las propiedadesmacroscópicas del sistema y del entorno respec-tivamente; en particular las YSi definen el estadomacroscópico del sistema. La diferencia entre elvalor de las YSi Y el valor de la YEi se relacionacon los intercambios entre el sistema y su entor-no. Por ejemplo, en un sistema contenido dentrode un recipiente de paredes rígidas permeables alcalor pero no a la materia, las variables YS e yErepresentan las temperaturas del sistema y del en-

torno respectivamente; la diferencia entre ambastemperaturas produce un intercambio de calorentre sistema y entorno, intercambio que se man-tiene hasta que la diferencia de temperatura desa-parece y el sistema se identifica con su entornorespecto de la temperatura. Si por el contrario, lasparedes del recipiente son impermeables al calorpero permeables a una cierta sustancia, Ys e YErepresentan las concentraciones de tal sustanciaen el sistema y en el entorno respectivamente; ladiferencia entre ambas concentraciones produceun intercambio de materia que se mantiene hastaque se alcanza la uniformidad de concentraciónentre el sistema y su entorno.

Se define como estado estacionario de unsistema, el estado en el cual sus propiedades novarían con el tiempo, es decir, el valor de las va-riables YSi se mantiene constante (ay Si /at =0);el estado de equilibrio es, entonces, un estado es-tacionario particular, pero posee distintas conno-taciones según se trate de un sistema aislado o deun sistema abierto. En un sistema aislado, pordefinición, no existen intercambios con el entor-no; por lo tanto, el estado de equilibrio es el úni-co estado estacionario posible hacia el cual evo-luciona el sistema desde cualquier estado de noequilibrio. En un sistema abierto, por el contra-rio, el estado de equilibrio constituye un casoparticular de estado estacionario, aquél en el cuallas propiedades del sistema son idénticas a lasdel entorno (YSi= YEi); aquí también los inter-cambios se anulan, pero no debido a la aislacióndel sistema sino porque el sistema se identificacon el entorno y, en consecuenc;ia, nada tienen yapara intercarnbiar-.

El comportamiento de un sistema que se en-cuentra inicialmente fuera del equilibrio tambiéndifiere según se trate de un sistema aislado o deun sistema abierto. Un sistema aislado que partede un estado de no equilibrio siempre evolucio-nará hacia el equilibrio, único estado estacionarioposible. El caso de un sistema abierto es diferen-te: fuera del equilibrio, las propiedades del siste-ma difieren de las de su entorno (Y Si -,¿YEi) Yexisten, por tanto, procesos de intercambio entreambos; pero, a diferencia de los sistemas aisla-dos, el estado de no equilibrio no es siempre tran-sitorio sino que también puede mantenerse en el

tiempo. Estados de no equilibrio transitorios sonaquellas condiciones iniciales que evolucionanrápidamente hacia el equilibrio a medida que elsistema tiende a identificarse con su entorno. Pe-ro en los sistemas abiertos también pueden darseestados estacionarios fuera del equilibrio graciasa la aplicación desde el exterior de condicionesde contorno apropiadas, también denominadas"vinculos'Tconstraints), que impiden su identifi-cación con el entorno; por ejemplo, una diferen-cia de temperatura aplicada permanentementeentre dos regiones diferentes del sistema lo man-tienen en un estado estacionario, impidiéndoleevolucionar hacia el equilibrio. Precisamente es-tos estados estacionarios de no equilibrio son losque concentran la atención de Prigogine, en lamedida en que constituyen la especificidad de lossistemas abiertos.

En su formulación tradicional, el segundoprincipio de la termodinámica postula que, ensistemas aislados térmica y mecánicamente de suentorno, la entropía -función de las variables deestado del sistema- se mantiene constante o au-menta monótonamente con el tiempo hasta al-canzar su máximo en el estado de equilibrio ter-modinámico:

dSldt ;;:::O segundo principio para sistemas aislados

El programa de generalización de la termo-dinámica a sistemas abiertos conduce a Prigogi-ne a reformular el segundo principio a fin de ex-tender su alcance a los casos en los que se pro-ducen intercambios de materia y/o energía conel entorno. Para ello, distingue dos componen-tes en la variación total de entropía dS, esto es,dS = dS + d.S, donde:

deS representa el flujo de entropía a travésde los límites del sistema, debido a los inter-cambios reversible s de materia y/o energíacon el entorno.dS representa la producción de entropía delsistema debida a los procesos irreversiblesque se producen en su interior".En un sistema aislado, el flujo de entropía

entre el sistema y el entorno es nulo (deS=O): laúnica variación de entropía será la debida a laproducción interna al sistema que, de acuerdo

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con la formulación tradicional del segundo prin-cipio, debe ser positiva o nula (dS=d¡S ~ O).Pero, aún en el caso de un sistema abierto, d¡S re-presenta el aumento de entropía debido a los pro-cesos que se desarrollan en el interior del sistemay que continuarían produciéndose aún en ausen-cia del flujo d.S: Por lo tanto, para ser aplicabletambién a sistemas abiertos el segundo principiodebe afirmar la imposibilidad de una disminuciónde la entropía producida en el interior del sistema:

d¡SIdt ?f) formulación general del segundo principio

De este modo, la formulación general del se-gundo principio no invalida la presentación tradi-cional; por el contrario, la engloba como casoparticular, aplicable a los sistemas cerrados, don-de el flujo d.S es nulo y, por tanto, la variacióntotal de entropía dS se iguala a la producción deentropía dS. Esta formulación general, al tiem-po que adquiere la forma tradicional para el casoparticular de los sistemas aislados, implica la po-sibilidad de una disminución de la entropía totalen los sistemas abiertos. En efecto, dado que noexiste ley física alguna que imponga el sentidodel flujo de entropía, d.S puede resultar suficien-temente negativa como para exceder en valor ab-soluto a dS, en cuyo caso se cumpliría dSldt ;;:::o;en términos físicos esto significa que el sistemaentrega entropía al medio a una velocidad supe-rior a la velocidad de producción interna de en-tropía, con el resultado de una disminución netade la entropía total del sistema.

Pero la nueva formulación del segundo prin-cipio no sólo permite la deseada generalizaciónde la termodinámica; según Prigogine, la distin-ción entre flujo y producción de entropía consti-tuye una nueva forma de poner de manifiesto lafundamental diferencia entre procesos reversi-bles y procesos irreversibles: mientras d.S expre-sa los intercambios reversibles de entropía entreel sistema y su entorno, d.S expresa el aumentode entropía debido a los fenómenos irreversiblesque ocurren en el interior del sistema (cfr. Prigo-gine, 1980, p.6). Entre los fenómenos más co-munes que contribuyen al aumento de d.S, Prigo-gine incluye no sólo la conducción del calor, si-no también las reacciones químicas y la difusión

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de materia. Cada uno de estos procesos quedadefinido mediante dos factores:

El flujo termodinámico, simbolizado comoJ, que es la velocidad del proceso irreversi-ble interno al sistema.La fuerza generalizada, simbolizada comoX, causante del flujo, que se relaciona con elmantenimiento del vínculo de no equilibrioimpuesto desde el exterior del sistema.

El ejemplo más sencillo es el de la conducciónde calor: la ley de Fourier indica que el flujo de ca-lor J entre dos puntos del sistema es proporcionalal gradiente de temperatura entre ambos; tal gra-diente es la fuerza X que produce el flujo de calor.En el equilibrio, donde no existen procesos irrever-sibles, tanto las fuerzas generalizadas como los flu-jos termodinámicos se anulan: en el caso de un sis-tema abierto, no hay vínculos impuestos al sistemadesde el exterior en una situación en la que el sis-tema se identifica totalmente con su entorno.

Con estos elementos teóricos, Prigogine pro-pone lo que considera "la fórmula básica de la ter-modinámica macroscópica de los procesos irrever-sibles" (Prigogine, 1980, p. 86): la producción deentropía por unidad de tiempo es igual a una suma-toria sobre todos los procesos irreversibles internosal sistema, donde cada término es el producto entreel flujo termodinámico, velocidad del proceso irre-versible, y la fuerza generalizada que lo produce(d¡S Idt = f.In Xn). Gran parte del trabajo cientí-fico de Prigogine consiste en mostrar cómo esta for-mulación totalmente general es aplicable a casosparticulares como conducción de calor, afinidadquímica, reacciones electroquímicas, etc., donde lasvariables J y X adoptan la forma peculiar correspon-diente al fenómeno irreversible considerado (cfr.Prigogine, 1967, pp. 19-39). No obstante, no es ésteaún el más importante aporte teórico de Prigogineen el ámbito de la termodinámica y de la química.

Los tres estadios de la termodinámica

Este modo totalmente general de abordar elestudio de los sistemas termodinámicos permitea Prigogine distinguir tres amplias áreas de la ter-

modinámica, a las cuales hace corresponder lostres estadios sucesivos en el desarrollo históricode la disciplina (cfr. Prigogine y Stengers,1990, p. 175):

• Termodinámica del equilibrio, que estudialos sistemas en su estado de equilibrio, don-de las fuerzas generalizadas y los flujos ter-modinámicos son nulos.Termodinámica lineal, que estudia los siste-mas en estados cercanos al equilibrio, dondelos flujos termodinámicos son funciones li-neales de las fuerzas generalizadas que losproducen.

• Termodinámica no lineal, que estudia lossistemas en estados alejados del equilibrio,donde los flujos termodinámicos sonfuncio-nes no lineales de las fuerzas generalizadasque los producen.

En el estado de equilibrio termodinámico,las fuerzas y los flujos se anulan (X) = O; J¡ = O)para todos los procesos irreversibles simultánea-mente: sólo se producen procesos reversibles. Apartir de aquí se asumió que, cerca del equilibrio,existe una relación lineal entre los flujos y lasfuerzas o, = 1; Lij Xj ); en este caso quedan in-cluidas leyes empíricas como la ley de Fourier,según la cual el flujo de calor es proporcional algradiente de temperatura, o la ley de Fick, segúnla cual la difusión de materia es proporcional algradiente de concentración; se trata, entonces, derelaciones fenomenológicas no deductibles deuna teoría general (cfr. Prigogine, 1967, p. 45).

El primer importante resultado de la termodi-námica lineal fue formulado por el químico norue-go Lars Onsager en 1931, y consiste en las llama-das "relaciones de reciprocidad', según las cualescuando el flujo J¡ -correspondiente al procesoirreversible i- es influido por la fuerza Xj -corres-pondiente al proceso irreversible j- a través de uncoeficiente L¡j' entonces el flujo J) es influido porla fuerza X¡ a través de un coeficiente Lji de igualvalor que el anterior (Lij = Lj¡ )5. Por ejemplo, laexistencia de un gradiente térmico puede producirun proceso de difusión de materia con la consi-guiente aparición de un gradiente de concentra-ción en una mezcla inicialmente homogénea; pero

entonces, de un modo simétrico, un gradiente deconcentración producirá, con el mismo coeficien-te de proporcionalidad, un flujo de calor a travésde la mezcla. La importancia de las relaciones deOnsager reside en su generalidad; experimental-mente confirmadas en muy diversas situaciones,conservan su validez en todo tipo de medio, seasólido, líquido o gaseoso, con independencia decualquier hipótesis molecular específica. SegúnPrigogine, la formulación de las relaciones de re-ciprocidad representa "un punto de inflexión en lahistoria de la termodinámica", a partir del cual elinterés se desplaza desde el equilibrio hacia el noequilibrio (Prigogine, 1980, p. 86).

El segundo resultado de importancia en la ter-modinámica lineal es el teorema de mínima pro-ducción de entropia, formulado por el propio Pri-gogine en 1945. Según este teorema, en la región li-neal, definida por la validez de las relaciones deOnsager, el sistema evoluciona hacia un estado es-tacionario caracterizado por el mínimo de produc-ción de entropía compatible con los vínculos im-puestos al sistema. Tales vínculos vienen determi-nados por las condiciones de contorno; un caso sen-cillo es la situación en la que se mantienen dos pun-tos del sistema con una cierta diferencia de tempe-ratura, imponiendo así una fuerza generalizada devalor constante. El estado estacionario al cual tien-de el sistema se caracteriza por mantener su entro-pía total constante (dS = O): la producción de entro-pía intema al sistema (d¡S > O) se compensa exac-tamente con el flujo de entropía (deS < O);en tér-minos físicos, el sistema entrega entropía al medioa la misma velocidad en la que la entropía se pro-duce en su interior. En este contexto, el estado deequilibrio se convierte en el estado estacionarioparticular accesible cuando los vínculos impuestosal sistema permiten una producción de entropía nu-la (d¡S = d.S = dS = O). En resumen, el teorema demínima producción de entropía expresa una cierta"inercia" de los sistemas en estados cercanos alequilibrio: cualquier fluctuación o perturbación''que afecte al sistema puede aumentar momentánea-mente su entropía total, pero de inmediato el siste-ma reaccionará volviendo al estado estacionario ca-racterizado por la mínima actividad compatible conlos vínculos impuestos: producción mínima de en-tropía para mantener nula la variación de entropía

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total. Por lo tanto, cualesquiera sean las condicio-nes iniciales, el sistema alcanza finalmente un esta-do unívocamente determinado por las condicionesde contorno: la reacción del sistema ante cualquiercambio de las condiciones de contorno es entera-mente predictible.

El teorema de mínima producción de entropíaes estrictamente válido sólo en la región cercana alequilibrio. Durante muchos años se realizaron im-portantes pero infructuosos intentos por hallar unageneralización del teorema válida también parasistemas alejados del equilibrio, donde los flujostermodinámicos ya no son funciones lineales delas fuerzas generalizadas. El problema reside enque, lejos del equilibrio, los sistemas suelen com-portarse de un modo "muy diferente, de hecho, in-cluso opuesto" a las predicciones de la termodiná-mica lineal (Prigogine, 1980, p.88): en muchos ca-sos ciertas fluctuaciones o perturbaciones, en lu-gar de amortiguarse, se amplifican e invaden todoel sistema, forzándolo a evolucionar hacia un nue-vo régimen que puede resultar cualitativamentemuy diferente al estado correspondiente a la míni-ma producción de entropía.

Esta diferencia de comportamiento entre la re-gión lineal y la región no lineal puede también ca-racterizarse en términos del concepto de estabili-dad. Un estado estacionario es asintóticamente es-table cuando, ante una perturbación o fluctuación,el sistema tiende a volver a dicho estado estaciona-rio: el sistema no "recuerda" el efecto de la peque-ña desviación". En este caso se dice que el estadoestacionario es un estado atractor. Un ejemploanálogo en mecánica de este tipo de estabilidad esel estado de reposo de un péndulo con rozamiento:con cualquier pequeño desplazamiento inicial, elpéndulo vuelve a su estado de reposo luego de unnúmero suficiente de oscilaciones. Por el contrario,un estado estacionario es inestable si, ante una per-turbación, el sistema se aleja rápidamente del esta-do estacionario original. Este es el caso del estadode una esfera apoyada sobre una superficie curva:frente a cualquier pequeño desplazamiento, la es-fera tiende a caer en alguna de las posibles direc-ciones. Estos conceptos permiten afirmar que, enlos sistemas termodinámicos aislados, el estado deequilibrio es asintóticamente estable y constituyeel único posible estado atractor: cualquier estado

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inicial de no equilibrio evoluciona con el tiempohacia el estado final de equilibrio donde la entropíaes máxima. En la región cercana al equilibrio, so-bre la base del teorema de mínima producción deentropía puede demostrarse que los estados esta-cionarios también son' asintóticamente estables:ante cualquier perturbación, el sistema vuelve alestado de mínima producción de entropía determi-nado por las condiciones de contorno, y ningúnproceso irreversible espontáneo puede hacerlaabandonar tal estado estacionarios. Lejos del equi-librio, por el contrario, no existe un equivalente delteorema de mínima producción de entropía que ga-rantice la estabilidad de los estados estacionarios:puede darse el caso de estados estacionarios ines-tables que, al ser mínimamente perturbados, denlugar a transiciones hacia otros estados estaciona-rios donde la producción de entropía supera am-pliamente el mínimo compatible con los vínculosimpuestos al sistema. Estos casos son, precisamen-te, los que concentran la atención de Prigogine ensu formulación de la termodinámica no lineal.

No linealidad y bifurcaciones

¿Por qué la no linealidad influye tan decisi-vamente en el comportamiento de un sistema?Supóngase que la evolución de la variable de es-tado Ys viene dado por dYsldt = F(Ys, ..1.),donde..1.,parámetro de control, representa los vínculosimpuestos al sistema. Simbolizando con YST elvalor de las variables de estado Ys para los esta-dos estacionarios posibles del sistema, en estadoestacionario debe cumplirse dYSTldt = O.

Como ya fue señalado, en la región cercanaal equilibrio, donde los flujos termodinámicosson funciones lineales de las fuerzas generaliza-das, las condiciones de contorno determinan uní-vocamente el estado estacionario en el cual se en-contrará el sistema. Por ejemplo, esta situaciónpuede expresarse mediante una ecuación del tipodYS /dt = ..1.-kYs ' donde k es una constante. Enestado estacionario debe cumplirse ..1.-kYST = Oy, por tanto, YST= ..1./k, que se representa por unarecta que pasa por el origen:

En este caso, a cada valor del vínculo im-puesto al sistema 9 corresponde uno y sólo un es-tado estacionario definido por YSTo Incluso, da-do que son suficientes dos puntos para definiruna recta, si se determinan experimentalmentedos puntos, (..1.1,ySTi) Y (..1.2,Y ST2)' es posiblepredecir de un modo totalmente inequívoco el es-tado estacionario correspondiente a cada valordel vínculo impuesto. En este sentido, el compor-tamiento de un sistema "lineal" es cualitativa-mente similar al de un sistema en equilibrio, aúncuando existan condiciones de contorno que lomantienen fuera del equilibrio.

Lejos del equilibrio, en cambio, los flujosson funciones no lineales de las fuerzas y, por tan-to, de los vínculos impuestos al sistema. La varia-ción temporal de las variables de estado Ys- con-secuencia de los flujos termodinámicos, tambiénserá una función no lineal de los vínculos. Estasituación podría expresarse, por ejemplo, median-te la ecuación dY S /dt = -yS3 + (..1.- ..1.e) yS, don-de ..1.ces una constante. En estado estacionariodebe cumplirse -Y ST3 + (..1.- ..1.e)y ST =O.Una so-lución es la trivial, YST = O ; pero también existendos soluciones no triviales YST = ±V (..1.- ..1.e). Taldependencia de YST en estado estacionario res-pecto del vínculo queda representada por una grá-fica que adopta el siguiente aspecto:

En este caso -denominado "pitchfork bifurca-tion"-, cuando el valor del vínculo A. es inferior aA.c' la situación es cualitativamente similar al casolineal; pero cuando el valor del vínculo supera A.c'la ecuación que describe la relación entre YST Y A.admite más de una solución. En otras palabras,más allá de un cierto umbral, a un mismo valor delvínculo impuesto al sistema corresponden diferen-tes estados estacionarios, de modo tal que no esposible predecir unívocamente en cuál de ellos seencontrará el sistema si se le aplica un cierto vín-culo determinado. Otra importante consecuenciade la no linealidad es que deja de ser válido elprincipio de superposición, según el cual el efectoresultante de la acción combinada de dos factoreses igual a la "suma" o superposición de los efectosde cada factor tomado aisladamente; en los siste-mas alejados del equilibrio, por el contrario, la nolinealidad permite que una pequeña variación delvalor del vínculo produzca, no una pequeña dife-rencia, sino una enorme variación en el estado es-tacionario que adopta el sistemal'', En resumen,los estados alejados del equilibrio, donde la no li-nealidad se manifiesta, dan lugar a la posibilidadde diversos regímenes de comportamiento compa-tibles con las mismas condiciones de contorno: "elno equilibrio revela las potencialidades ocultas enlas no linealidades, potencialidades que permane-cen dormidas en o cerca del equilibrio" (Nicolis yPrigogine, 1989, p. 60). Esto, a su vez, conduce alproblema de la selección entre distintos regímenesde funcionamiento y a la noción de bifurcación.

En términos matemáticos, "una bifurcaciónes simplemente la aparición de una nueva solu-ción de las ecuaciones para algún valor crítico"(Prigogine, 1980, p. 105). Pero desde el punto devista físico, la noción de bifurcación introduce unaspecto novedoso: las bifurcaciones son los pun-tos críticos a partir de los cuales "el comporta-miento del sistema se hace inestable y puede evo-lucionar hacia varios regímenes de funciona-miento estables" (Prigogine y Stengers, 1991, p.69); son "los puntos críticos de inestabilidad al-rededor de los cuales una perturbación infinitesi-mal es suficiente para determinar el régimen defuncionamiento macroscápico de un sistema"(Prigogine y Stengers, 1990, p. 192). Considéresenuevamente la gráfica de la pitchfork bifurcation.

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Para pequeños valores de A. existe una única solu-ción; este rango corresponde a los estados esta-cionarios cercanos al equilibrio, que compartencon el estado de equilibrio tanto el hecho de en-contrarse unívocamente determinados por el valordel vínculo como la estabilidad asintótica quepermite al sistema amortiguar las perturbacionesy/o fluctuaciones. Pero cuando el vínculo adquie-re un valor crítico A.c ' el estado estacionario setoma inestable: cualquier perturbación o fluctua-ción, en lugar de amortiguarse, se amplifica con-duciendo al sistema a alguno de los estados esta-cionarios posibles para A. > A.c ' representados porlas ramas inferior y superior de la gráfica.

Para el físico, la característica más sorpren-dente de este tipo de fenómenos es la imposibili-dad de prever en qué régimen se estabilizará elsistema más allá de una bifurcación: cuál de losestados estacionarios estables se efectiviza depen-de de las perturbaciones, consideradas aleatoriasen este nivel de análisis. Desde esta perspectivamacroscópica, el carácter aleatorio de las fluctua-ciones y perturbaciones se transmite a la selec-ción entre los estados estacionarios hacia los cua-les puede evolucionar el sistema superado el um-bral crítico: "nada en la descripción del arregloexperimental permite al observador determinarde antemano el estado que será elegido: sólo elazar decidirá a través de la dinámica de las fluc-tuaciones" (Nicolis y Prigogine, 1989, p. 72). Esaquí donde Prigogine ve manifestarse el ''juegoentre azar y necesidad, entre innovación provoca-dora y respuesta del sistema" (Prigogine y Sten-gers, 1990, p. 216): la necesidad de las leyes yelazar de 'las fluctuaciones y perturbaciones. Parael autor, de este modo se rompe con el tradicionaldeterminismo de la física clásica. La aleatoriedadingresa a la física incluso a nivel macroscópico,esto es, con independencia de toda consideraciónrelativa a la mecánica cuántica.

Las distintas nociones de determinismo

A fin de evaluar las afirmaciones de Prigogi-ne, es necesario comenzar por elucidar los diver-sos sentidos con los cuales puede utilizarse el tér-mino "determinista":

determinismo gnoseolágico: posición gnoseo-lógica que considera posible alcanzar un cono-cimiento determinista de los sistemas reales.determinismo ontolágico: doctrina metafísi-ca según la cual los sistemas reales son on-tológicamente deterministas. Desde unaperspectiva totalizadora, el universo comple-to es concebido como un sistema determi-nista. Quienes adoptan esta posición tiendena interpretar aquellas leyes científicas que seexpresan bajo la forma de ecuaciones deter-ministas como regularidades que, inscriptasen el plano ontológico, rigen el comporta-miento de los sistemas reales.

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En un primer sentido, que denominaremos"semántico", el predicado "determinista" seaplica a ecuaciones dinámicas, esto es, ecua-ciones que poseen la variable t (tiempo) comovariable independiente: se dice que una ecua-ción dinámica es determinista cuando, dado elvalor de las variables dependientes en un cier-to instante, fija unívocamente el valor de di-chas variables para todo instante posterior Il.En un segundo sentido, que denominaremos"gnoseolágico", el predicado "determinista"se aplica al conocimiento acerca de un siste-ma: se dice que poseemos un conocimientodeterminista acerca de un sistema cuando elconocimiento de su estado en un instante da-do permite conocer unívocamente su estadoen todo instante posterior dentro de un mar-gen de error acotadol-. _En un tercer sentido, que denominaremos"oniolágico", el predicado "deterrninista" seaplica a los sistemas reales, en este caso físi-cos: se dice que un sistema es deterministacuando, dado su estado en un cierto instante,su evolución para todo instante posterior re-sulta físicamente -no lógicamente- necesa-ria. En otras palabras, si el sistema se en-cuentra en el estado el en el instante tI' lasleyes físicas, interpretadas como regularida-des ontológicas, hacen imposible que se en-cuentre en un estado diferente de e2 en t2'Sin duda, en este sentido el predicado "de-terminista" se convierte en un término meta-físico: aún cuando se habla de necesidad fí-sica, el significado de los conceptos de nece-sidad y posibilidad depende del marco meta-físico adoptado para su elucidaciónl-'.

Sobre esta base, puede ahora distinguirse entre:

Determinismo metodológico: posición epis-temológica que considera que la tarea de laciencia consiste en alcanzar descripcionesdeterministas de los fenómenos -esto es,mediante ecuaciones dinámicas determinis-tas- pues tales descripciones suministranuna mayor información acerca de los esta-dos futuros de los sistemas que la que brin-dan las descripciones estadísticas.

Desde la perspectiva de Prigogine, en los sis-temas abiertos, donde las no linealidades puedenmanifestarse a través del fenómeno de bifurca-ción, ya no rige el determinismo: "es, en espe-cial, en la vecindad de los puntos de bifurcacióndonde el sistema puede escoger entre varios regí-menes" (Prigogine y Stengers, 1990, p. 202); allí"sólo el azar decide cuál de las soluciones se rea-lizará" (Nicolis y Prigogine, 1989, p. 14). El ca-rácter indeterminista de tales sistemas no debe in-terpretarse en un sentido gnoseológico, en la me-dida en que permite "explicar la novedad sin re-ducirla a apariencia" (Prigogine y Stengers,1991, p. 102), así como reconocer "los relievesintrínsecos de nuestro mundo cualitativamentediferenciado" (Prigogine y Stengers, 1991, p.195). A su vez, la objetividad del azar implicadopor las bifurcaciones conduce a evoluciones quemanifiestan una irreversibilidad no meramentegnoseológica, una irreversibilidad ajena al mun-do reversible de la cosmovisión clásica. A estoprecisamente alude Prigogine cuando afirma que"la bifurcación introduce la historia en la fisica yla química, un elemento que anteriormente pare-cía reservado a las ciencias que tratan confenó-menos biológicos, sociales y culturales"(Prigogi-ne, 1980, p. 106). De este modo, "el sistema seconvierte en un objeto histórico" (Nicolis y Pri-gogine, 1989, p. 72): "la definición de un estado,más allá del umbral de inestabilidad, no es ya in-temporal. Para ello, no basta referirse a la com-posición química y a las condiciones del entorno.La única explicación es histórica o genética: es

necesario definir el camino que constituye el pa-sado del sistema, enumerar las bifurcacionesatravesadas y las fluctuaciones que han formadola historia real entre todas las historias posibles"(Prigogine y Stengers, 1990, p. 193). Tales afir-maciones pretenden poner de manifiesto el carác-ter ontológicamente indeterminista de los siste-mas abiertos alejados del equilibrio, dado que su-gieren la idea de una historia que, a partir de cier-to instante, se bifurca en diversas evoluciones po-sibles de las cuales sólo una se actualizará en elfuturo. La pregunta es: ¿en qué medida esta inter-pretación del fenómeno de bifurcación puedeconsiderarse correcta?

Bifurcaciones e indeterminismo

Para responder a la pregunta formulada, enprimer lugar es necesario recordar la estrecha rela-ción entre el problema del deterrninismo y la no-ción de tiempo. El predicado "determinista" seaplica, o bien a ecuaciones dinámicas que contie-nen la variable tiempo como variable indepen-diente, o bien al conocimiento del estado de un sis-tema sobre la base del conocimiento de su estadoen un instante anterior, o bien a sistemas debido ala sucesión legal y unívoca de sus estados a travésdel tiempo. Por lo tanto, no toda ecuación que es-tablece una relación funcional entre variables pue-de ser considerada deterrninista; carece de sentidoaplicar tal predicado a ecuaciones en las que no fi-gura la variable independiente t. Ejemplo de elloes la relación constante entre presión, volumen ytemperatura de un gas perfecto, PVfJ=k, donde seafirma la interdependencia entre tres magnitudespropias del estado de equilibrio del gas, pero no sedescribe su evolución temporal.

Pero, precisamente éste es el caso de lasecuaciones que describen el fenómeno de bifur-cación, y por ello es incorrecto asociarlas conuna evolución que se bifurca en el tiempo: la bi-furcación no es un fenómeno temporal. En efec-to, los diagramas de bifurcación no representanla variación del valor de una variable de estadocon el transcurso del tiempo. Por el contrario, setrata de gráficas que ponen de manifiesto la de-pendencia del valor de las variables en estado es-

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tacionario respecto de un cierto parámetro querepresenta el vínculo externo aplicado al sistema;los parámetros son, precisamente, variables nodinámicas, pues su valor se mantiene fijo para elestudio de la evolución dinámica del sistema.Por lo tanto, el tipo de dependencia que expresanlos diagramas de bifurcación no se relaciona, enprincipio, con el problema del determinismo,problema que sólo cobra sentido respecto deecuaciones dinámicas, es decir, que contienen lavariable tiempo como variable independiente.

En este sentido, es indispensable notar que elpunto crítico a partir del cual emergen las distin-tas "ramas" de la bifurcación, no representa uninstante sino un cierto valor del parámetro. Prigo-gine, por el contrario, insiste en el carácter inde-terminista del fenómeno dotando de un contenidotemporal al concepto de punto crítico: "en el mo-mento crucial de la transición, cuando A=Ac' elsistema debe efectuar una elección crítica" (Ni-colis y Prigogine, 1989, p. 72, subrayado nues-tro). Tales "momentos cruciales" introducirían enel sistema una suerte de "memoria" del pasadoque afectaría su ulterior evolución: "El hecho deque sólo una entre muchas posibilidades ocurrebrinda al sistema una dimensión histórica, un ti-po de memoria de un evento pasado que tuvo lu-gar en un momento crítico y que afectará su evo-lución ulterior" (Nicolis y Prigogine, 1989, p. 14,subrayado nuestro). Una vez más aparece la ideade diversas evoluciones posibles de las cuales só-lo una se actualizará, idea fuertemente ligada alindeterrninismo pero totalmente inadecuada paracomprender los diagramas de bifurcación.

Pero, ¿no es posible interpretar el fenómenode bifurcación de un modo en el que pueda aso-ciarse al problema del determinismo?; si el valordel parámetro es modificado gradualmente por elexperimentador de modo tal que aumente lineal-mente con el tiempo, ¿qué sucede en el "momen-to" en el que alcanza su valor crítico? Dado que elsistema se encuentra en un estado estacionarioinestable, cualquier perturbación o fluctuación loforzará a adoptar alguno de los posibles estados es-tacionarios estables que rodean el punto de bifur-cación. Sin embargo, el propio Prigogine admiteque, en este nivel de descripción, "el punto de vis-ta es estrictamente fenomenológico" (Prigogine,

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1980, p. 77): tanto los flujos como las fuerzas "sonmagnitudes fenomenológicas, no deducibles deuna teoría general, sino resultantes del estudioparticular de cada proceso irreversible" (Prigogi-ne y Stengers, 1990, p. 173). Por lo tanto, nada seafirma aún acerca de la relación entre los fenóme-nos termodinámicos macroscópicos y la dinámicamicroscópica subyacente, donde debe investigarsela cuestión del determinismo si se lo interpreta enun sentido ontológico. No obstante, Prigogine seempeña por introducir el azar en este nivel de des-cripción a través de perturbaciones o fluctuaciones"esencialmente aleatorias" (Nicolis y Prigogine,1989, p. 67).

Ahora bien, ¿cómo debe entenderse el carác-ter "esencial" de tal aleatoriedad? Sin duda, des-de el punto de vista macroscópico tanto las per-turbaciones como las fluctuaciones son tratadascomo eventos aleatorios. Pero, en relación al pro-blema del determinismo ontológico, es necesariorecordar el significado físico de tales eventos: lasvariables de estado son variables macroscópicasque definen el macroestado observable del siste-ma; las fluctuaciones o perturbaciones son des-viaciones del valor instantáneo de dichas varia-bles macroscópicas respecto de su valor en estadoestacionario. Por lo tanto, si se pretende funda-mentar un indeterminismo ontológico por estavía, es necesario demostrar que la aleatoriedad fe-nomenológica de fluctuaciones y perturbacioneses consecuencia del carácter irreductiblemente in-determinista del sistema microscópico que las ge-nera; en otras palabras, debería probarse que lasprobabilidades que se manifiestan a nivel macros-cópico no pueden interpretarse como medida dela ignorancia del observador respecto de una diná-mica determinista subyacente. Pero esto en modoalguno puede probarse en este nivel fenomenoló-gico de descripción.

En resumen, el fenómeno de bifurcación, entanto expresa la posibilidad de diferentes estadosestacionarios para un mismo valor del vínculoaplicado al sistema, no es un fenómeno temporaly, por tanto, nada implica respecto del problemadel determinismo. Por otra parte, el hecho de quelas perturbaciones y fluctuaciones sean tomadascomo eventos aleatorio s en este nivel macroscó-

pico de análisis no resulta en absoluto suficientecomo argumento en favor del indeterminismo on-tológico: así como la descripción probabilísticade la caída de un dado puede interpretarse en tér-minos de la ignorancia acerca de su movimientopreciso, la aleatoriedad fenomenológica de per-turbaciones y fluctuaciones es compatible conuna dinámica subyacente determinista pero nocompletamente conocida.

Conclusiones

En el presente trabajo se han puesto de ma-nifiesto las confusiones y falencias en las que in-curre Prigogine, en su intento por resquebrajar lacosmovisión determinista tradicional a partir desus resultados teóricos en termodinámica no li-neal. Toda argumentación en favor del indetermi-nismo ontológico desde una perspectiva reduc-cionista como la que adopta este autor, debe su-perar los límites del ámbito fenomenológico parainternarse en el nivel dinámico microscópico. Enesta dirección se dirige Prigogine cuando intentabrindar una interpretación dinámica del segundoprincipio de la termodinámica; el análisis de estaparte de sus aportes científicos en relación con elproblema del determinismo excede los límitesdel presente trabajo, si bien también en este ám-bito pueden cuestionarse sus conclusiones acercadel carácter intrínsecamente indeterminista eirreversible de los sistemas micromecánicos alta-mente inestables (cfr. Lombardi, 1999).

Notas

l. Esta distinción aparece claramente en la es-tructura de su obra From Being to Becoming. La Par-teI: La Física del Ser, describe las teorías dinámicasreversib1es. La Parte II: La Física del Devenir, pre-senta la termodinámica macroscópica, subrayando elámbito del no equilibrio y la teoría de las estructurasdisipativas. En la Parte III: El Puente entre el Ser yel Devenir, aborda la interpretación microscópica dela irreversibilidad.

2. Se supone, además, que el sistema no poseepartes aisladas entre sí. Se entiende por entorno todoaquello que no es el sistema considerado.

3. No obstante, el hecho de que los intercambiosse anulen no implica que el estado de equilibrio sea unestado estático, pues sólo requiere que se anulen los in-tercambios netos. Por lo tanto, en un sistema abierto elequilibrio termodinámico debe entenderse en un senti-do dinámico: por cada proceso que tiende a produciruna cierta variación de las variables de estado en unsentido, habrá un proceso inverso que contribuya a lavariación de dichas variables en sentido contrario.

4. Esta formulación teórica puede encontrarse encasi todas las obras de Prigogine; por ejemplo, cfr. Pri-gogine y Stengers, 1990, p.169; Nicolis y Prigogine,1989, pp.61-65; y desde un punto de vista más técnico,Prigogine, 1967, pp.15-18; Prigogine, 1980, pp. 5-9.

5. Cfr. Prigogine y Stengers, 1990, pp.175-176; Ydesde un punto de vista técnico, Prigogine, 1967~pp.44-47; Prigogine, 1980, pp.86-87. La demostraciónde las relaciones de reciprocidad puede hallarse en Pri-gogine, 1967, pp. 51-53.

6. Las pequeñas desviaciones del valor de las va-riables de estado respecto de su valor en estado esta-cionario pueden tener dos orígenes: (i) el contacto conun medio exterior cuyas propiedades varían en formaimpredictible: en este caso, se habla de "perturbacio-nes"; (ii) las pequeñas variaciones, a veces locales, quese producen en el interior del propio sistema: en estecaso, se las denomina ''fluctuaciones''.

7. La estabilidad asintótica no es la única nociónde estabilidad utilizada en física; por ejemplo, tambiénpuede definirse la estabilidad según Lyapounov, apli-cable a sistemas conservativos.

8. La demostración de la estabilidad asintótica delos estados estacionarios cercanos al equilibrio puedeencontrarse en Prigogine, 1967, pp. 81-83.

9. Recuérdese que se denomina "vínculo" a lascondiciones de contorno que mantienen el sistemafuera del equilibrio y que se expresan a través de lasfuerzas generalizadas causantes de los flujos termo-dinámicos.

10. En el caso lineal, YS(A¡ +~) = yS(A¡) +yS(~); en el caso no lineal no se cumple la igualdad,pudiendo darse YS(A¡ +~) >yS(A¡) + yS(~)·

11. En el espacio de las fases, esto implica quelas trayectorias no pueden cortarse, esto es, no existeningún punto del espacio de las fases del cual emerjamás de una trayectoria. Podría diferenciarse entre fu-turísticamente e históricamente determinista, a la ma-nera de John Earman (1986). Aquí nos concentramosen el primer caso, aplicable tanto a ecuaciones quedescriben sistemas conservativos como a aquéllas quedescriben sistemas disipativos. En el caso de sistemasdisipativos -ecuaciones futurísticamente pero no his-tóricamente deterministas- existen regiones en el es-

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pacio de las fases -los atractores- hacia cuyos puntosconvergen infinitas trayectorias -todas las que se ori-ginan en la cuenca de atracción correspondiente a ca-da atractor-.

12. Si no se introdujera la referencia al margenacotado de error, este sentido gnoseológico resultaríademasiado restrictivo, pudiendo incluso convertirse envacuo: la práctica científica indica que la determina-ción empírica del estado de un sistema en un ciertoinstante brinda, para cada variable de estado, no sóloun cierto valor sino además un inevitable error que de-pende de la precisión del instrumento de medición uti-lizado; la teoría de propagación de errores permite cal-cular la evolución de las imprecisiones iniciales con eltranscurso del tiempo.

13. Una interesante elucidación del predicado"deterninista" en su sentido ontológico es la que brin-da Earman (1986) sobre la base de la noción de mun-dos posibles. El fuerte componente metafísico de estaperspectiva no constituye un "defecto"; por el contra-rio, resulta perfectamente admisible en una discusiónacerca de cuestiones ontológicas.

Bibliografía

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Lombardi, O. (1999), "El Problema de la Irreversibili-dad: Prigogine y la Transformación del Panadero",Revista Latinoamericana de Filosofía, XXV, N° 1,Marzo de 1999.

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Olimpia LombardiUniversidad de Buenos Aires