prezentace aplikace powerpoint -...
TRANSCRIPT
Biomechanika II
ČVUT v Praze, fakulta strojní,ústav mechaniky, biomechaniky a mechatronikyObor: Biomechanika a lékařské přístroje
Modely napjatosti a deformace cév,vliv zbytkových napětí a aktivní vlastnosti
Lukáš Horný[email protected]
Říjen 2016
Předpokládané znalosti• Předpokládá se, že student si osvojil znalosti anatomie a fyziologie;
pokud ne, vizte předměty: Základy anatomie fyziologie I a II, Biomechanika I• Předpokládá se znalost předmětů Pružnost a pevnost I a II • Předpokládá se základní znalost nelineární mechaniky kontinua vyložená během
kurzu Projekt I (BLP)na studenty specializace „lékařské přístroje“ bude v tomto směru brán zvláštní ohled
• Předpokládají se znalosti hydromechanikykonkrétně tyto pojmy a jevy: přeměna mechanické energie popsaná Bernoulliovourovnicí, Naveirovy-Stokesovy rovnice a chování vazké (newtonské) kapaliny
Pedagogický cílCílem je, aby posluchač měl představu o tom:
• jak můžeme modelovat napjatost a deformaci v tubulárních objektech lidského těla, výklad je prováděn na příkladu břišní aorty
• jaký je rozdíl mezi modely 2D a 3D napjatosti • že tkáně lidského těla rostou zbytkově napjaté a že zbytková napjatost má
významnou mechanickou funkci• Pasivní vs. aktivní vlastnosti (aktivace hladkého svalstva a vliv na mechanické
chování)
Břišní aortaPříklad, výukový model, pro tubulární tkáně a orgány
Břišní aorta: anatomie
Repro: http://my.clevelandclinic.org/heart/heart-blood-vessels/aorta.aspx Repro: http://www.doereport.com/enlargeexhibit.php?ID=15311
• Pitva
Břišní aorta: anatomie
1 Pravá plíce 2 Pravá jaterní tepna 3 Játra 4 Levá jaterní tepna 5 Žaludek 6 Levý ohyb tračníkutlustého střeva 7 Slezina 8 Levá plíce 9 Aorta
• CT Nekontrastní CTzobrazující obrovské aneuryzma (výduť)
břišní aorty
sagitálně
axiálně
Břišní aorta: anatomie• Aorta je elastická tepna
Repro: http://www.lab.anhb.uwa.edu.au/mb140/corepages/vascular/vascular.htm
Repro: http://php.med.unsw.edu.au/embryology/images/a/ae/Artery_histology_16.jpg
Břišní aorta: anatomie• Aorta je elastická tepna z
t
β
http://www.biomech.tugraz.at/images/pdf/Gasser_et_al-J_R_Soc_Interface-2006.pdf
Mechanická interakce
Tepelná výměna
Mechanická interakce• Silová interakce obecně neprobíhá jen vnitřním tlakem
Stlačení žilní stěny kosterním svalem(svalová pumpa)
Smykové napětí na vnitřní stěně tepny nemusí být jen τzr ale i τθr
Mechanická interakce• Podélné
předpětí tepen
inizZ
l L LL L
λ + ∆= =
Břišní aorta in situ
Břišní aorta ex situ
Mechanická interakce• Podélné
předpětí břišníaortyvs.stáří
Akumulace poškození kalcifikacía proteolýzou, suboptimálníremodelace → AGING
http://journal.frontiersin.org/article/10.3389/fgene.2012.00290/full
Výpočtový model 2D • Tenkostěnná válcová skořepina (membrána)
Předpoklady modelu: • Geometrie: válec R ≫ H• Vazby: (1) působí na střední ploše,
(2) neomezují natočení a radiální posuv• Zatížení: (1) vnitřní tlak, (2) axiální síla
rovnoměrně rozprostřená do průřezu• Materiál: nestlačitelný, nelineární
a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W
• Posuvy a deformace: velké• Napjatost: 2D homogenní• Deformace: 3D homogenní
Výpočtový model 2D• Tenkostěnná válcová
skořepina (membrána)
r
• Geometrie: válec R ≫ H• Vazby: (1) působí na střední ploše,
(2) neomezují natočení a radiální posuv• Zatížení: (1) vnitřní tlak, (2) axiální síla
rovnoměrně rozprostřená do průřezu• Materiál: nestlačitelný, nelineární
a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W
• Posuvy a deformace: velké• Napjatost: 2D homogenní• Deformace: 3D homogenní
zθ
Výpočtový model 2D• Geometrie: válec R ≫ H• Vazby: (1) působí na střední ploše,
(2) neomezují natočení a radiální posuv• Zatížení na střední ploše: (1) vnitřní tlak,
(2) axiální síla rovnoměrně rozprostřená po obvodu
• Materiál: nestlačitelný, nelineární a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W
• Posuvy a deformace: velké• Napjatost: 2D homogenní• Deformace: 3D homogenní
• Tenkostěnná válcová skořepina (membrána)
P
Výpočtový model 2D• Geometrie: válec R ≫ H• Vazby: (1) působí na střední ploše,
(2) neomezují natočení a radiální posuv• Zatížení na střední ploše: (1) vnitřní tlak,
(2) axiální síla rovnoměrně rozprostřená po obvodu
• Materiál: nestlačitelný, nelineární a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W
• Posuvy a deformace: velké• Napjatost: 2D homogenní• Deformace: 3D homogenní
• Tenkostěnná válcová skořepina (membrána)
P
F = 2πrf
Výpočtový model 2D• Geometrie: válec R ≫ H• Vazby: (1) působí na střední ploše,
(2) neomezují natočení a radiální posuv• Zatížení na střední ploše: (1) vnitřní tlak,
(2) axiální síla rovnoměrně rozprostřená po obvodu
• Materiál: nestlačitelný, nelineární a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W
• Posuvy a deformace: velké• Napjatost: 2D homogenní• Deformace: 3D homogenní
• Tenkostěnná válcová skořepina (membrána)
( )2 2 22 31 1
2RR ZZc E c E EcW e ΘΘ + + = −
TW p∂= −∂
F IF
σ
Výpočtový model 2D• Geometrie: válec R ≫ H• Vazby: (1) působí na střední ploše,
(2) neomezují natočení a radiální posuv• Zatížení na střední ploše: (1) vnitřní tlak,
(2) axiální síla rovnoměrně rozprostřená po obvodu
• Materiál: nestlačitelný, nelineární a anizotropní popsaný hustotou deformační energie W
• Posuvy a deformace: velké• Napjatost: 2D homogenní• Deformace: 3D homogenní
• Tenkostěnná válcová skořepina (membrána)
zzσ
θθσ
0rr r z zrθ θσ σ σ σ= = = =
Výpočtový model 2D• Deformace: 3D homogenní• Tenkostěnná válcová
skořepina (membrána) Referenční konfigurace:R, H, LZdeformovaná konfigurace:r, h, l
rR
zZ
h Hr Rz Z
θ
λλλ
Θ
===
Výpočtový model 2D• Tenzorový popis deformace
0 00 0
0 0 0 00 0
0 0
rR
zZ
hH
rR
zZ
θ
λλ
λΘ
= =
F
( )2
212
2
0 0 1 0 010 0 0 1 02
0 0 0 0 1
RR rRT
ZZ zZ
EE
Eθ
λλ
λΘΘ Θ
− = − = = −
−
E F F I
Výpočtový model 2D• Kinematická podmínka nestlačitelnosti v = V
( )0 0
0 0 10 0
rR
rR zZ
zZ
J det det θ θ
λλ λ λ λ
λΘ Θ
= = = =
F
Výpočtový model 2D• Silová rovnováha
2 20
redzz
rr
rPhF rP
rh h
θθσ
σπ
σ
=
= +
=
Výpočtový model 2D• Finální soustavu rovnic popisující nafukování
a protahování uzavřené tenkostěnné nádoby získáme dosazením z konstitutivních rovnic
zz zZzZ
rr rRrR
W p
W p
W p
θθ θθ
σ λλ
σ λλ
σ λλ
ΘΘ
∂= −
∂∂
= −∂∂
= −∂
2 20
redzz
rr
rPhF rP
rh h
θθσ
σπ
σ
=
= +
=2 2
0
redzZ
zZ
rRrR
W rPphFW rPp
rh hW p
θθ
λλ
λλ π
λλ
ΘΘ
∂− =
∂
∂− = +
∂∂
− =∂
Výpočtový model 2D• Úpravy soustavy rovnic
2 2
0
redzZ
zZ
rRrR
W rPphFW rPp
rh hW p
θθ
λλ
λλ π
λλ
ΘΘ
∂− =
∂
∂− = +
∂∂
− =∂
rRrR
Wp λλ∂
=∂
1rR zZθλ λ λΘ =
1 11 1
1 1 1 1
2
2
2 2
rR zZrR zZ
rR zZ rR zZ
rR zZrR
zZzZ rR zZ red
zZ rR
W W R PH
W W R P FH RH
θθ
θ θ
θ θθ λ λ λλ λ λ
θλ λ λ λ λ λ
λ λ λ λλ λ
λλ λ λ λλ λ π
− −− −ΘΘ
− − − −Θ Θ
Θ ΘΘ ==
Θ
= =
∂ ∂− = ∂ ∂
∂ ∂− = + ∂ ∂
rRh Hr Rθ
λλ Θ
==
Výpočtový model 2D• 2 rovnice pro dvě neznámé
např.: volím P, Fred a vypočtu λθΘ, λzZ
napětí zpětně dopočtu z konstitutivních rovnic nebo rovnic rovnováhy, z geometrických rovnic určím zdeformované r a h
1 11 1
1 1 1 1
2
2
2 2
rR zZrR zZ
rR zZ rR zZ
rR zZrR
zZzZ rR zZ red
zZ rR
W W R PH
W W R P FH RH
θθ
θ θ
θ θθ λ λ λλ λ λ
θλ λ λ λ λ λ
λ λ λ λλ λ
λλ λ λ λλ λ π
− −− −ΘΘ
− − − −Θ Θ
Θ ΘΘ ==
Θ
= =
∂ ∂− = ∂ ∂
∂ ∂− = + ∂ ∂
Výpočtový model 2D• Prozkoumejme,
jaký vliv má podélné předpětí na mechanickou odezvu břišní aorty při jejím nafukování
Výpočtový model 2D• Volíme λzZ
ini = 1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4pro λzZ
ini = 1 je Fred = 0v ostatních případech ho budeme muset vypočíst
• Pro W volíme c1 = 14.7 kPa, c2 = 3.04, c3 = 7.38, Ri = 5.3 mm, H = 1.22 mmpro muže stáří 38 let podle Labrosse a kol. 2013 http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S175161611200210X
• Tlak volíme P = 0.1(i – 1) kPa, kde i = 1..181
Výpočtový model 2DTl
ak P
[kPa
]
Streč λθΘ [-]Tl
ak P
[kPa
]Streč λzZ [-]
Fred(λzZ = 1) = 0 NFred(λzZ = 1.1) = 0.74 NFred(λzZ = 1.2) = 2.2 NFred(λzZ = 1.3) = 6.4 NFred(λzZ = 1.4) = 22 N
Výpočtový model 2D• Důsledky podélného předpětí:
minimalizace variace podélné deformace
Tlak
P[k
Pa]
Streč λzZ [-]
Výpočtový model 2DTl
ak P
[kPa
]
Streč λθΘ [-]
• Důsledky podélného předpětízvýšení obvodové roztažnosti tepny
Výhodnost předpětí je důsledek nelinearity
Lineární pružnost I. řádu• nestlačitelný materiál• malé posuvy• malé deformace• hookeovský materiál
Lineární pružnost II. řádu• nestlačitelný materiál• velké posuvy• malé deformace• linearizovaný neo-Hooke
Nelineární pružnost• nestlačitelný materiál• velké posuvy• velké deformace• neo-Hooke materiál
Bez
rozm
ěrný
tlak
[-]
Bez
rozm
ěrný
tlak
[-]
Bez
rozm
ěrný
tlak
[-]
Deformace εθθ [-] Deformace εθθ [-] Streč λθΘ [-]
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0020740315003033
Výpočtový model 2D vs 3D• Skořepina s homogenní
membránovou napjatostí
• Silnostěnná nádoba s nehomogenním polem napjatosti
2 2
2 2 21i e
e i
r rPr r rθθσ
= + −
P
P
3D
2DrPhθθσ =
Výpočtový model 2D vs 3D• Pokud se stavová veličina mění
po tloušťce stěny, skořepinový model je neadekvátní, protoževeličiny homogenizuje a soustředí do střední plochy
( )rθθ θθσ σ=konst.θθ θθσ σ= =
P
3D2D
Výpočtový model 2D vs 3D• Pokud se stavová veličina mění po tloušťce stěny,
skořepinový model je neadekvátní, protoževeličiny homogenizuje a soustředí do střední plochy
P
( )rr ir Pσ = −
( ) 0rr orσ = 0
2e i
rr rr rrr rrθθσ σ σ σ+ ⇒ = = =
( ) ( )2 2 2
rr i rr oe irr rr
r rr r Prσ σ
σ σ++ = = = = −
( )rr rr rσ σ=3D
2D rr rr konst.σ σ= =
Výpočtový model 3D• (obvodové) zbytkové napětí
a zbytková deformace
Zbytkově napjatý stav
Beznapěťový stav
Výpočtový model 3D• Zbytková deformace – úhel rozevření α
Výpočtový model 3D• Zbytková deformace – zakřivený ohýbaný prut
Tlačená vlákna
Tažená vlákna+-
Výpočtový model 3D• Kinematika ve dvou krocích
(1) uzavření ( ) ( )1 : , , R, ,Zf ρ φ ζ Θ→ ( )2
2 2
R R
Z
ππ
ρ
φ
δζα−
Θ
=
=
=
1f : →ξ X
( )
( )
( )11
1 0 00 0
0 0 0 01 1
0 01 0 0
R
Z
RR R R
df RR R Rd
Z Z Z
ρ
φ
ζ
ρρρ ρ φ ζ λ
ρ π λρ ρ φ ζ ρ π α
λδ
ρ ρ φ ζ
Θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂Θ ∂Θ ∂Θ
= = = = ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
Fξξ
Výpočtový model 3D• Kinematika ve dvou krocích
(2) nafouknutí, natažení( ) ( )2 : R, , , zZf r ,θ→Θ
2 :f →X x
( )r r
z
R
Zλθ=
==Θ
( )
( )
( )22
1 0 00 0
0 0 0 01 1
0 00 01
rR
zZ
r Rr r rRR R Z
df r Rr r rd R R Z R
z z zR R Z
θ
λθ θ θ λ
λλ
Θ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂Θ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂Θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Θ ∂
FX
X
Výpočtový model 3D• Výsledná kinematika
skládání zobrazení f = f2○f1
( ) ( ): , , r, ,zf ρ φ ζ θ→
( )1 0 00 0
0 0 0 01 1
0 01 0 0
r
z
rr r r
d d d r r r rd d d
z z z
ρ
θφ
ζ
ρρ ρ φ ζ ρ λθ θ θ π λρ ρ φ ζ π α ρ
λλδ
ρ ρ φ ζ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = = = = ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
Fξ ξ
x X xX
2 1
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
rR R r
zZ Z z
ρ ρ
θ φ θφ
ζ ζ
λ λ λλ λ λ
λ λ λΘ Θ
= = =
F F F
Výpočtový model 3D• Rovnice rovnováhy
1 0
1 2 0
1 0
r rrrr rz
r z r
zrz zz rz
r r z r
r r z r
r r z r
θ θθ
θ θθ θ θ
θ
σ σ σσ σθ
σ σ σ σθσσ σ σθ
∂ −∂ ∂+ + + =
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
+ + + =∂ ∂ ∂
∂∂ ∂+ + + =
∂ ∂ ∂
( ) 0div =σ
Výpočtový model 3D• Rovnice rovnováhy
0 0 0 0pro 0 0 předpokládejme, že 0 0
0 0 0 0
r rr
z zz
ρ
θφ θθ
ζ
λ σλ σ
λ σ
= =
F σ
0
1 0
0
rrrr
zz
r r
r
z
θθ
θθ
σ σσ
σθ
σ
−∂+ =
∂∂
=∂
∂=
∂
Výpočtový model 3D• Rovnice rovnováhy
0
1 0
0
rrrr
zz
r r
r
z
θθ
θθ
σ σσ
σθ
σ
−∂+ =
∂∂
=∂
∂=
∂
Splníme předpokladem, že
( )
0
1 0 dále nepoužijeme
rrrr
zz zz
ddr r
rr
θθ
θθ
σ σσ
σθ
σ σ
−+ =
∂=
∂=
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
rr rr rr
zz zz zz
r , ,z r
r , ,z r
r , ,z rθθ θθ θθ
σ σ θ σ
σ σ θ σ
σ σ θ σ
= =
= =
= =
Výpočtový model 3D• Radiální rovnováha
0 rr rrrrrr
d d drdr r r
θθ θθσ σ σ σσ σ− − ++ = ⇒ =
( )
( )
( ) ( ) 0rr o
rr i
r
rr rr o rr ir
d r r P Pσ
σ
σ σ σ= − = + =∫( )
( )rr o o
rr i i
r rrr
rrr r
d drr
σθθ
σ
σ σσ −=∫ ∫
o
i
rrr
r
P drr
θθσ σ−= ∫
( ) ( )OP: 0rr i rr or P rσ σ= − ∧ =
Výpočtový model 3D• Aplikace nestlačitelnosti do napětí
přechod od k( )rR zZW W , ,θλ λ λΘ= ( ) ( )1 1rR zZ zZ zZ
ˆW W , , W ,θ θ θλ λ λ λ λ λ λ− −Θ Θ Θ= = =
1 0rR zZ zZ rR rR zZ rR zZd d dθ θ θ θλ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λΘ Θ Θ Θ= ⇒ + + =
zZ rr rR rR zZ rR zz zZdW d d dθ θθ θ θλ λ σ λ λ λ σ λ λ λ σ λΘ Θ Θ= + +
( ) ( )rR zZ rr rR zz rr zZdW d dθθ θ θλ λ σ σ λ λ λ σ σ λΘ Θ= − + −
zZ rR rR zZ rR zZd d dθ θ θλ λ λ λ λ λ λ λ λΘ Θ Θ= − −
Výpočtový model 3D• Aplikace nestlačitelnosti do napětí
přechod od k( )rR zZW W , ,θλ λ λΘ= ( ) ( )1 1rR zZ zZ zZ
ˆW W , , W ,θ θ θλ λ λ λ λ λ λ− −Θ Θ Θ= = =
zZzZ
ˆ ˆW WˆdW d dθθ
λ λλ λΘ
Θ
∂ ∂= +∂ ∂
( ) rR zZ rrW
θθθ
λ λ σ σλ Θ
∂− =
∂
( )rR zz rrzZ
Wθλ λ σ σ
λΘ
∂− =
∂
Výpočtový model 3D• Aplikace nestlačitelnosti do napětí vede k nové formě
zápisu konstitutivní rovnice pro nestlačitelný materiál
( ) rR zZ rrW
θθθ
λ λ σ σλ Θ
∂− =
∂
( )rR zz rrzZ
Wθλ λ σ σ
λΘ
∂− =
∂
rrW
θθ θθ
σ σ λλΘ
Θ
∂− =
∂
zz rr zZzZ
Wσ σ λλ∂
− =∂
1rR zZθλ λ λΘ =
rr rRrR
zz zZzZ
W p
W p
W p
θθ θθ
σ λλ
σ λλ
σ λλ
ΘΘ
∂= −
∂∂
= −∂∂
= −∂
vs.
Výpočtový model 3D• Radiální rovnováha
o
i
rrr
r
P drr
θθσ σ−= ∫ o
i
r
r
W drPrθ
θ
λλΘ
Θ
∂=
∂∫
Výpočtový model 3D• Axiální rovnováha
2 2o
i
r
red i zzr
F r P rdrπ π σ= − + ∫
Výpočtový model 3D• Axiální rovnováha
zz rr zZzZ
Wσ σ λλ∂
= +∂
2 22 2 2o o o
i i i
r r r
red i rr zZ i rr zZzZ zZr r r
ˆ ˆW WF r P rdr r P rdr rdrπ π σ λ π π σ π λλ λ
∂ ∂= − + + = − + + = ∂ ∂
∫ ∫ ∫
2
2dr rdr
=
2 22
22 2o o o o
i i i i
r r r r
i rr zZ i rr zZzZ zZr r r r
ˆ ˆW Wr P dr rdr r P dr r rdrr ddr
π π σ π λ π π σ π λλ λ∂ ∂
= − + + = − + +∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫
Výpočtový model 3D• Axiální rovnováha
uvažme, že
takže
( ) ( ) ( )2 2 2 2 oi i rr i o rr o rr
i
rr P r r r r r r
rπ π σ π σ π σ − = − = −
( )2 2
2 22 2o o o o
i i i i
r r r r
red rr zZo
rr zZzZ zZr r r r
i rri
rr P r
ˆ ˆdr W dr WF dr rdr dr rdrdr dr
rr
π σ π λ π σ π λπ πλ
σλ∂ ∂
= + + = + +∂ ∂
− − ∫ ∫ ∫ ∫
Výpočtový model 3D• Axiální rovnováha
uvažme, že
takže
( )2
2 22 2o oo
ii
o
i i
r r
red zZ zZz
r
Z z
ro rr
rr rZr
ri rr r
ˆ ˆW WF rdrr ddrr r dr r drr dr dr
rdrπ λ π λσσ π σ πλ
πλ
− + − ∂ ∂
= + = +∂ ∂∫∫ ∫ ∫
( ) ( )2 2
2 2 2 2 o o o o
i i i i
r r r ro orr rr
rr rr rr rri ir r r r
r rd ddr drr r dr r dr r r dr r drr rdr dr dr dr
σ σπ σ π σ π π σ π σ π = + ⇒ − + = − ∫ ∫ ∫ ∫
Výpočtový model 3D• Axiální rovnováha
uvažme, že
takže
rrrrddr r
θθσ σσ −=
2 22 2o o o o
i i i i
r rrrrr
r r
red zZ zZzZ zZr r r r
ˆ ˆW WF r dr rddd
r r dr rdr
rr
θθπ π λ π π λλ
σ σσλ
∂ ∂= − + = − + =
∂−
∂∫ ∫ ∫ ∫
( ) 2 2o o o o
i i i i
r r r r
zZ zZzZ zZr r r r
rrWˆ ˆW Wrdr rdr rdr rdrθθ θθ
σ σ λλ
π π λ π π λλ λΘ
Θ
∂ ∂= − + = − +
∂∂
−∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫
rrW
θθ θθ
σ σ λλΘ
Θ
∂− =
∂
Výpočtový model 3D• Axiální rovnováha má tvar
2 2o o o
i i i
r r r
red zZ zZzZ zZr r r
ˆ ˆ ˆ ˆW W W WF rdr rdr rdrθ θθ θ
π λ π λ π λ λλ λ λ λΘ Θ
Θ Θ
∂ ∂ ∂ ∂= − + = − ∂ ∂ ∂ ∂
∫ ∫ ∫
Výpočtový model 3D• Výpočtový model silnostěnné nádoby můžeme použít
jak při zavírání kroužku, tak při nafukování a protahování trubice
2o
i
r
red zZzZr
ˆ ˆW WF rdrθθ
π λ λλ λΘ
Θ
∂ ∂= − ∂ ∂ ∫
Dvě nelineární rovnice s numerickou integrací pro dvě neznámé.Volím např. P a Fred a vypočtu λθΘ a λzZ.
Výpočtový model 3D• Výpočtový model silnostěnné nádoby
břišní aorta: muž 38 let
2o
i
r
red zZzZr
ˆ ˆW WF rdrθθ
π λ λλ λΘ
Θ
∂ ∂= − ∂ ∂ ∫
c1 = 14.7 kPa, c2 = 3.04, c3 = 7.38 Ri = 5.3 mm, H = 1.22 mmα = 117°
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S175161611200210X
Výpočtový model 3D vs 2DTl
ak P
[kPa
]
20
15
10
5
00.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
λθφ [-]
( )irθφλ ( )orθφλ( )rθφλ
V silnostěnné trubici není rozložení napětí a deformace po tloušťce stěny lineární, a tak poloha ve 2Dneodpovídá poloze vypočtené ve 3D.
Obdobně pro deformace.
2D 3D
( ) 2i or r r /= +
r
( ) ( ) ( )2
i orr
rθ
φ θφ
φθλλ λ+
≠
Výpočtový model 3D vs 2DTl
ak P
[kPa
]
20
15
10
5
01 1.1 1.2 1.3 1.4
λzZ [-]
Tenkostěnný model (2D)Silnostěnný model (3D)
Ačkoliv v silnostěnné trubici platí, že
tak .
Proto .
( ) ( ) ( )rr rr zz zzr , r , r ,θθ θθσ σ σ σ σ σ= = =
( ) ( )r r r , r ,ρ ρ θφ θφλ λ λ λ= =
( )z zkonst rζ ζλ λ= ≠
( ) ( )z i z orr ζζλ λ=
Výpočtový model 3D• Zbytková deformace pro α = 117°
16 19 17 42 1 001
5 3 6 52
i
o
Z
i
o
. mm. mm.
R . mmR . mm
ζ
ρρλ
=
=
=
=
= Stre
č λ i
K[-
]
Uzavřený poloměr R [mm]
( )
( )Z
R R
R
ζ
ρ
φλ
λ
λΘ
Výpočtový model 3D• Zbytková napětí pro α = 117° a λZζ = 1.001
16 19 17 42 1 001
5 3 6 52
i
o
Z
i
o
. mm. mm.
R . mmR . mm
ζ
ρρλ
=
=
=
=
=
Uzavřený poloměr R [mm]
Nap
ětí σ
ii[k
Pa]
( )( )( )
RR
ZZ
R
R
R
σ
σ
σΘΘ
Výpočtový model 3D• Vliv
zbytkových napětí na napjatost při nafukování
Zbytkově napjatý stav
Beznapěťový stav
Beznapěťový stav
Po nafouknutí Po nafouknutí
Výpočtový model 3D
[]
kPa
θθσ
0
360°
[]
zzkP
aσ
[]
rrkP
aσ
0
80°
[ ] Radius mm
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S175161611200210X
[ ] Radius mm
Výpočtový model 3D• Stárnutí a patologické procesy
vedou ke ztrátě optimální regulace mechanobiologických pochodů
• Neoptimální remodelace tepny způsobí růst zbytkových napětí-deformacído hodnot tepennou stěnu přetěžujících
Aktivní vlastnosti cévní stěny
http://www.biomech.tugraz.at/images/pdf/Gasser_et_al-J_R_Soc_Interface-2006.pdf
http://clinicalgate.com/smooth-muscle-and-the-cardiovascular-and-lymphatic-systems/
Aktivní vlastnosti cévní stěnyhttp://link.springer.com/article/10.1114/1.1507326
• Elastická tepnamůže aktivnětuhnout,a zrychlit tak průchod pulsnívlnyzměna rozměrů není významná(relaxace/kontrakce SMC)
Aktivní vlastnosti cévní stěny• Odporová tepna nebo tepénka
budou kontrakcí SMCvýznamně měnit rozměry(škrtit průtok krve)
https://opentextbc.ca/anatomyandphysiology/chapter/20-1-structure-and-function-of-blood-vessels/