República Bolivariana de VenezuelaI.U.P “Santiago Mariño”

Investigación de Operaciones IIIng. Diógenes Rodríguez

      

Teoría de Juegos   

  Realizado por:

Celedonio Malaver

20.901.558

Ing. Sistemas  

Porlamar, Junio de 2014

Teoría de juegos.

Es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados «juegos») y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos. Tipos de interacción aparentemente distintos pueden, en realidad, presentar estructura de incentivo similar y, por lo tanto, se puede representar mil veces conjuntamente un mismo juego.

Los elementos en la Teoría de Juego.

Jugadores.Debe haber dos o más jugadores (empresas) para que puedan interactuar, como por ejemplo: Agentes “racionales” con capacidad para la toma de decisiones (sus preferencias se pueden presentar por una función de utilidad).Naturaleza, el jugador no persigue ninguna meta en particular (toma decisiones de forma aleatoria):Acción o movimiento.Es una decisión o elección del jugador (la decisión del jugador i se representa por ai).Conjunto de información.Debe especificarse lo que se sabe de cada jugador. Es el conocimiento de un jugador sobre el juego y sus características. (el conjunto de información cambia con el tiempo) 

Las herramientas de análisis de la Teoría de Juegos

Existen diferentes herramientas para modelar y analizar un juego, entre ellas:

•La Matriz de Pagos o Pay-Off Matrix•Las Curvas de Reacción•Los árboles de resultados sucesivos

Teoría de juegos entre dos jugadores.

Los modelos de juegos sin transferencia de utilidad suelen ser bipersonales, es decir, con sólo dos jugadores. Pueden ser simétricos o asimétricos según que los resultados sean idénticos desde el punto de vista de cada jugador. Pueden ser de suma cero, cuando el aumento en las ganancias de un jugador implica una disminución por igual cuantía en las del otro, o de suma no nula en caso contrario, es decir, cuando la suma de las ganancias de los jugadores puede aumentar o disminuir en función de sus decisiones. Cada jugador puede tener opción sólo a dos estrategias, en los juegos biestratégicos, o a muchas. Las estrategias pueden ser puras o mixtas; éstas consisten en asignar a cada estrategia pura una probabilidad dada. En el caso de los juegos con repetición, los que se juegan varias veces seguidas por los mismos jugadores, las estrategias pueden ser también simples o reactivas, si la decisión depende del comportamiento que haya manifestado el contrincante en jugadas anteriores.

Identificación de los jugadores

En un juego entre dos jugadores, también conocidos como juegos de suma cero, los jugadores se representan mediante matrices en las que un jugador de asigna a la fila y el otro a la columna, cabe destacar que en este tipo de juegos la pérdida de un jugador significa la ganancia del otro o de suma no nula cuando la ganancia de los jugadores aumenta o disminuye en función de sus decisiones. Los jugadores identificados con las variables asignadas la cual puede ser jugador I y jugador II se representan en una matriz donde las estrategias vienen dadas a fila por columna y asignar el valor de acuerdo a la decisión de cada uno.

Izquierda Derecha

Arriba 1;2 0;1

Abajo 2;1 1;0

Identificación de las estrategias del jugador I y II

Una estrategia corresponde a cada curso de acción que puede elegir un jugador.

Estrategia dominante: es aquella estrategia que resulta óptima para un jugador independientemente de lo que haga su adversario. No siempre los jugadores tienen estrategias dominantes.

Ejemplo: (Varian, 1996) Supongamos que dos personas están jugando a un juego sencillo: La A escribe en un papel “arriba” o “abajo”. Al mismo tiempo la B escribe independientemente “izquierda” o “derecha”. Una vez hecho esto, se examinan los papeles y cada uno de ellos obtiene el resultado que se muestra en el siguiente cuadro.

Equilibrio de Nash:

Conjunto de estrategias tal que cada jugador hace lo mejor para él dado lo que hacen sus adversarios. Ejemplo: El dilema de los presos.Dos personas “Kauffman” y “Durán” son arrestadas por cometer un delito. El fiscal del distrito tiene pocas pruebas y está deseoso de conseguir una confesión. Separa a los sospechosos y le dice a cada uno: “Si usted confiesa y su compañero no, le prometo que la condena será menor (seis meses), mientras que, en función de su confesión, su compañero será condenado a 10 años. Si confiesan ambos, cada uno será condenado a 3 años”. Cada uno de los sospechosos también sabe que si no confiesa ninguno de los dos, la falta de pruebas hará que sean juzgados por un delito menor por el que serán condenados a dos años”.    

Confesar No confesar

Confesar 3 años ;3 años 0.5 años ;10 años

No confesar 10 años ;0.5 años 2;2 años

Constituye el Equilibrio de Nash ya que hay estabilidad en los resultados

Estrategias Maximin:

Son estrategias en la cual se maximiza la ganancia mínima que se puede obtener en un juego. Una estrategia maximin es conservadora (evita riesgos) no maximiza beneficios.

Izquierda Derecha

Arriba 1;0 1;1

Abajo -2000;1 2;1

En este ejemplo el jugador B tiene una estrategia dominante jugar “Derecha”, luego el jugador A debería jugar “Abajo”. No obstante, si A juega “Abajo” y el jugador B no sigue su estrategia dominante, el jugador “A” perderá mucho. Por lo anterior, es posible que A no desee arriesgarse tanto y emplee una estrategia “conservadora” en la cual maximiza la mínima ganancia.

Estrategia punto de silla

El punto de silla consiste en localizar el mínimo valor de las filas y al lado derecho de cada fila y el máximo de las columnas al pie de cada columna, luego se determina el máximo de los mínimos y el mínimo de los máximos. Si el máximo de los mínimos es igual al mínimo de los máximos entonces se ha encontrado el punto de silla que se convertirá automáticamente en el valor del juego.

C

Y1 Y2 <

FILA

R X1 5 7 5 MAXMIN= 5

X2 4 6 4

>

COLUM

NA

5 7

MINMAX = 5MAXMIN = MINMAX PUNTO DE SILLA = 5VALOR DE JUEGO 5VALOR DE + RJUEGO - C Si gana R: Utiliza la estrategia de X1 (+5 )Si pierde C: Utiliza la estrategia de Y1 ( -5 )NOTA:•Cuando un problema no tiene punto de silla, se utiliza el método simplex para determinar el valor de juego.•Primero se debe determinar quién es "R" y quien es "C". La base es "R" (es aquel que sirve para comparar).

Desarrollo del Método AlgebraicoEn ocasiones hay problemas de índole magnitud, a los cuales se desea maximizar o minimizar una función sujeta a ciertas restricciones. El método algebraico contempla en su desarrollo al método gráfico y de la misma manera el método grafico no estaría completo sin la rigurosidad del método algebraico pues la apreciación visual que da el grafico en la solución óptima puede estar sujeta a error por parte del analista.Dado un problema con dos variables, se puede graficar las soluciones posibles y comprender algunos puntos interesantes respecto a las relaciones lineales. Primero se verá la manera de obtener gráficamente las soluciones al problema planteado y luego como obtenerlas algebraicamente.

  A B C UTILIDAD

MANUALES(X) 2 1 1 4000

ELECTRICOS(Y

)

1 2 1 6000

HORAS

DISPONIBLES

180 160 100