LOGICA MATEMTICA La lgica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y tcnicas determina si un argumento es vlido. La lgica es ampliamente aplicada en la filosofa, matemticas, computacin, fsica. En general la lgica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lgico, por ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lgico que permita realizar dicha tarea.

La lgica matemtica es la disciplina que trata de mtodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lgico se emplea en ciencias de la computacin para verificar si son o no correctos los programas y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lgico para realizar cualquier actividad. LOGICA MATEMTICA* Fundamentos de LgicaQu es una proposicin?Cules son los conectivos lgicos?Cmo utilizar las tablas de verdad?Qu es una tautologa?Qu es una contradiccin?ProposicionesUna proposicin es una declaracin sobre la que se puede decidir su veracidad o falsedad. Es decir, es un enunciado verdadero o es un enunciado falso, pero no puede ocurrir ambas cosas.

Por ejemplo

SON PROPOSICIONESEl 2 es un nmero primo. 25 es divisible entre 3 . 6 + 5 = 10 .El aula A1-205 est en el 2do piso.NO SON PROPOSICIONES Pare inmediatamente! 15 y 18 tienen la misma cantidad de divisores?. En realidad, a qu se refiere?. Lvalo. Proposiciones Cules de los siguientes enunciados son proposiciones? (Explica por qu lo son o no lo son)

El trabajo en grupo es lo ms fcil que existe. 2 es divisor de 15. Fuiste a la manifestacin del sbado?. El aula A1-205 de la Unimet tiene ms de 50 mts. cuadrados. x + 3 es un entero positivo. Tranquilcese.Respuestas: Slo son proposiciones los enunciados dados en 2 y 4NotacinPara denotar o representar las proposiciones se usan letras minsculas: p, q, r, s, ...

p: El aula A1-204 est en el 2do piso

q: El aula A1-204 es iluminada

r: El 5 es un entero par

s: La Tierra es el nico planeta con vida en el universo

t: El aula A1-204 no est iluminada

u: Un decenio tiene 10 aos NegacinEl enunciado No se cumple p es una proposicin llamadala negacin de p y se denota por p o ~p.

Ejemplo p: Nuestro saln est en el 2do piso.p : Nuestro saln no est en el 2do piso.p : No es cierto que nuestro saln est en el 2do piso.

Si p es verdadera entonces p es falsa. En cambio, si p esfalsa, p es verdadera.La tabla de verdad de la negacin es:ppVFFVNotacinLas proposiciones se combinan mediante conectivos,por ejemplo, y, o, pero, si ... entonces

Por ejemplo p: El aula A1-204 est en el 2do piso; q: El aula A1-204 es iluminada.pueden combinarse como:

El aula A1-204 est iluminada y est en el 2do piso

Si el aula A1-204 est iluminada entonces se encuentra en el 2do pisoConectivosLa proposicin resultante de conectar dos ms proposiciones se denomina proposicin compuesta.

Ejemplor : El aula A1-205 est en el 2do piso pero es iluminada r es la proposicin compuesta p y q

s: Si el aula A1-204 est iluminada entonces se encuentra en el 2do piso s es la proposicin compuesta Si q entonces p

La conjuncin de p y q es la proposicin p y qque se denota por p q.La conjuncin es verdadera, nicamente cuando ambasproposiciones que la componen son verdaderas.

Ejemplo Sea p: 2 divide a 68 q: 2 divide a 25. p q : 2 es divisor de 68 y de 25.

Valor de verdad: p q es falsaConectivosConectivosLa disyuncin de p y q, es la proposicin p o q, que se denota por p q. El o se usa en el sentido inclusivo; como en La solucin de (x2).(y+2) = 0 es x = 2 o y = -2.

La disyuncin es falsa, nicamente, cuando ambasproposiciones son falsas.Ejemplo: Sean p: 3 divide a 6 q: 3 divide a 7 p q : 3 divide a 6 a 7

Valor de verdad: p q es verdadera.

Las tablas de verdad de los dos conectivosanteriores son:p qVVVFpqp qVVVVFFFVFFFFTablas de verdadp y q p o q ConectivosLa implicacin es la proposicin Si p entonces q , que se denota por p q A p se le llama hiptesis (o antecedente) y a q se le llama tesis (o consecuente).

La proposicin p q, se puede leer tambin comoSi p, qp slo si qp es suficiente para qq es necesaria para pp implica qq se deduce de p

ConectivosEjemplo:p: Los polvos de jardn contienen venenoq: Los polvos de jardn son de colores brillantes.

La proposicin p q puede estar expresada como:

Si los polvos de jardn contienen veneno entonces son de colores brillantes;

Los polvos de jardn contienen veneno slo si son de colores brillantes;

Son necesarios los colores brillantes para los polvos de jardn que contienen veneno;

Los polvos de jardn son de colores brillantes si contienen veneno.ConectivosSi p entonces q es verdadera, cada vez que la condicin p es verdadera obliga a que la condicin q tambin sea verdadera. Es decir, con el cumplimiento de p, se promete el cumplimiento de q.

La tabla de verdad para la implicacin espqp qVVVVFFFVVFFVLa implicacin es falsa, nicamente, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En este caso, a pesar de estar dadas las condiciones, no se cumple la promesa. ConectivosEjemplo:p: La respuesta automtica se puede enviarq: El sistema de archivos est lleno.

p q : Si la respuesta automtica no se puede enviar, el archivo est lleno.

q p :La respuesta automtica no se puede enviar cuando el archivo est lleno.

q p :La respuesta automtica no se puede enviar si el archivo est lleno.

p q : Si la respuesta automtica se puede enviar, el archivo no est lleno.ConectivosLa proposicin p si y slo si q se denomina bicondicional y sedenota por p q Es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores deverdad, es decir, es verdadera si ambas componentes sonverdaderas o ambas son falsas. Una manera de abreviar si y slo si es sii.p si y slo si q se puede expresar como p es condicin necesaria y suficiente para q.

Ejemplop : 24 es un nmero par.q : 24 es divisible por 2.p q : 24 es un nmero par si y slo si 24 es divisible entre 2.

ConectivosLa tabla de verdad para el bi-condicional espqp qVVVVFFFVFFFVTautologa y contradiccinUna tautologa es una proposicin compuesta que es verdadera para todos los valores de verdad de lasproposiciones que la componen.Por ejemplo: p p Soy un hombre o no soy un hombre

Una contradiccin es una proposicin compuesta que es falsa para todos los valores de verdad de lasproposiciones que la componen.Por ejemplo: p p Soy un hombre pero no soy un hombreEjercicios 1) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que p q es falsa. a) p q b) q p c) p p d) p q Piensa un rato y justifica tus respuestas 3) Construye una tabla de verdad para cada una de las proposiciones a) ( p q ) q b) ( p q ) ( p q ) c) q (p q) 2) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que ( p q ) r ( s t ) sea falsaCules de estas proposiciones es una tautologa?Puedes construir una contradiccin a partir de alguna de ellas? Cul? FormalizacinLa formalizacin es el proceso en el que se traducen proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simblico.

4) Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.Sean p: La temperatura est sobre los 17C q: Llueve

La temperatura est sobre los 17C pero llueve.Ni la temperatura supera los 17C ni llueve.No es cierto que llueva con la temperatura superior a los 17C.Llueve cuando la temperatura est sobre los 17C.Que la temperatura est sobre los 17C es suficiente para que no llueva.O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17C.Formalizacin5) Sean p: El mensaje es revisado para buscar algn virus q: El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido

Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.

a) El mensaje se revisa para buscar algn virus siempre que se haya enviado desde un sistema desconocido.

b) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no revis para buscar ningn virus.

c) Cuando el mensaje no es enviado desde un sistema desconocido no se revisa para buscar ningn virus.

d) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no se reviso para buscar ningn virus.