presentación lógica matamáticas

7/25/2019 Presentacin Lgica Matamticas

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Lgica Proposicional

Profesor: Oswaldo Aruz Arroyo


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Universidad de GuayaquilAgenda

Proposiciones Simples

Conectivos y proposiciones compuestas.

Tablas de verdad

Construccin de tablas de verdad para

proposiciones compuestas

Formas derivadas del condicional

Simbolizacin


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Universidad de GuayaquilProposicin

Es un enunciado alcual se le puede

asociar el concepto

de verdaderoo falso,

pero no ambos.

Ejemplos:

La luna es cuadrada

7 es un nmero primo

Las araas son

mamferos

Son proposiciones? Qu hora es?

Por favor, cierre lapuerta

El 6 de abril de 1876 fuesbado

Dice el Presidente:

Todos en este pas sonunos mentirosos y estoes verdad


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Universidad de GuayaquilProposiciones compuestas

Conectivos

Conocido el valor de verdad de ciertasproposiciones, la lgica establece el valor

de verdad de otras relacionadas con stas.

A stas ltimas se les conoce como

proposiciones compuestas


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Universidad de GuayaquilNegacin

Si p es unaproposicin, entonces

no p es la negacin

de p y se denota por:

~ p

Ejemplo:

p: Hoy es martes

~ p: Hoy no es martes

Qu sucede con lanegacin de p,

siendo p verdadero?

Qu sucede con lanegacin de p,

siendo p falso?


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Esto lo podemosescribir de una

manera

compacta,

utilizando una tabla

A esta tabla se le

llama tabla de

certeza de lanegacin

p ~ p

V F

F V

Posibilidades para la proposicin p


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Como sinnimosde no, se utilizanlas siguientes expresiones:

No es cierto que ..

No es el caso que

Es falso que

No sucede que.


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Universidad de GuayaquilConjuncin

Si p y q sonproposiciones, se

llama conjuncin de p

y q a la proposicin

compuesta p y q yse denota por:

p q

Ejemplos:p: Hoy es martes

q: La luna es cuadrada

r: maana es mircoles

p q :Hoy es martes y

la luna es cuadrada

p r :Hoy es martes y

maana es mircoles


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Para construir latabla de p q,

debemos considerar

las diferentes

alternativas devalores de verdad

para p y para q:

Cules son ?

Ambas verdaderas

una V y la otra F

ambas falsas

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F


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Se toman como sinnimos de la conjuncin:

Adems

Pero Sin embargo

Aunque

Tambin

AnA la vez

No obstante


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Universidad de GuayaquilConjuncin: p ^ q

Lus estudia ,ademsde trabajar

Lus estudi perono aprob

Lus canta, sin embargo no baila

Lus jug futbol aunque estaba lesionado

Lus juega futbol , tambinJos

Lus sali, anno llega

Lus cocina a la vez que canta Lus viajar no obstante est sin visa

Lus canta , no baila.


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Universidad de GuayaquilDisyuncin Inclusiva

Si p y q sonproposiciones,

se llama

disyuncin de

p y q a la

proposicin

compuesta p

o q y sedenota por:

p

q

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F


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Universidad de GuayaquilDisyuncin

Sercantante o futbolista

p: Sercantante

q: Serfutbolista

Simbolizacin:

p q

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F


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Universidad de GuayaquilCondicional

Si p y q sonproposiciones, se

llama condicional de p

y q a la proposicin

compuesta si p,entonces q y se

denota por:

p q

Ejemplos: Si no llueve

(entonces) iremos a la

playa

Si me gano la lotera

(entonces) me voy de

viaje

Si no estudio(entonces) no

aprobar Lgica


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Veamos la tabladel condicional:

p q

Conviene pensar en

una promesa ..... Si

no llueve (entonces)iremos a la playa

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V


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El condicional es falso,slo cuando el

antecedente es

verdadero y el

consecuente es falso;es decir, cuando la

promesa no se

cumple.

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V


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El condicional es muyimportante en

matemticas, porque

los Teoremas se

expresan en formacondicional.

Un Teorema ser un

condicional verdaderocon hiptesis verdadera

p q p q

V V V


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Algunas expresiones del lenguaje que indican lapresencia de un condicional (p q), son las

siguientes:

pes condicin suficiente para q

Si p, q

qsip

Que psupone que q

Cuando p, q

qes condicin necesaria para p

En caso de que pentonces q

q slo si p


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Universidad de GuayaquilCondicional y Teoremas

En los Teoremas, al antecedente delcondicional (p) se le llama Hiptesis y al

consecuente (q) se le llama Tesis o Conclusin

Los Teoremas requieren de una demostracin;

es decir, partiendo de una hiptesis verdadera,

hay que demostrar que la Conclusin es

verdadera.


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Universidad de GuayaquilTablas de verdad

Recordemos que el valor de certeza de unaproposicin compuesta depende de los

valores de certeza de las proposicionessimples que la componen

Para analizar los valores de certeza de una

proposicin compuesta, representamostodas las posibilidades de valores de verdadde las proposiciones simples, en un arreglode tabla


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Universidad de GuayaquilEjemplo con 2

proposiciones simples

Construyamos la tabla de verdad para

la siguiente proposicin :(pq)(p~q)

4 filas de posibilidades

p q

V V

V F

F V

F F

pq p~q

V F

F V

F V

F V

~q

F

V

F

V

(pq)(p~q)

F

F

F

F


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Cuntasposibilidades

tendremos?

p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F


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p q r

V V VV V F

V F V

V F F

F V VF V F

F F V

F F F

rp qp ~(qp)

V V FV V F

V V F

V V F

V V FF V F

V F V

F F V

(r p) ~(qp)

FF

F

F

FF

V

F

Hacer la tabla de certeza para: (rp) ~(qp)


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Universidad de GuayaquilEn resumen

Una tabla de verdad para proposicionescompuestas que contienen:

1 proposicin simple tendr 2 filas

2 proposiciones simples 3 proposiciones simples

4 proposiciones simples

razonando inductivamente..

n proposiciones simples

4 = 22

filas8 = 23filas

16= 24filas

2

n

filas


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Universidad de GuayaquilFormas de expresar un

condicional.

Si es Chiclayano, es Peruano (pq)

Es Peruano, siempre que sea Chiclayano

Es Peruano si es Chiclayano

Es suficiente que sea Chiclayano para que seaPeruano

Siempre y cuando sea Chiclayano, serPeruano.

Es necesario que sea Peruano para serCliclayano

TODAS ESTAS EXPRESIONES SE SIMBOLIZANCOMO: pq


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Universidad de GuayaquilPartes de un condicional

pq

antecedente

Condicinsuficiente

consecuente

Condicinnecesaria


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Universidad de GuayaquilFormas derivadas del

condicional

Dado el condicional directo: p q, el condicional~ p ~q se llama contrarioy loexpresaramos: si no p, entonces no q

Directo: p qSi repruebo el examen, entonces me enojar

bastante

Contrario: ~ p ~q

Si norepruebo el examen, entonces nomeenojar bastante


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condicional

Dado el condicional directo: p q, el condicionalq p se llama recprocoy lo expresaramos:

si q, entonces p

Directo: p

qSi repruebo el examen, entonces me enojar

bastante

Recproco: q p

Si me enojo bastante, entonces reprobar el

examen


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condicional

Dado el condicional directo: p q, el condicional~ q ~p se llama contrarrecprocoy lo

expresaramos: si no q, entonces no p

Directo: p q

Si repruebo el examen, entonces me enojar

bastante

Contrarrecproco: ~ q ~p

Si nome enojo bastante, entonces norepruebo elexamen


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Universidad de GuayaquilFormas derivadas

p q q p

~ p ~ q ~ q ~ p

Directo Recproco

Contrario Contrarrecproco

recprocos contrarios

contrarrecprocos


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Universidad de GuayaquilEjemplo

Hallar las formas derivadas del siguientecondicional:

Si un nmero es par, entonces es mltiplode 4. . Vo F?

Falso (contraejemplo: 2)

Recproco:

Si un nmero es mltiplo de 4 entonces espar. ..V o F?

Verdadero!


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Directo: p qSi un nmero es par, entonces es mltiplo

de 4.

Contrario: ~ p ~ q Si un nmero noes par, entonces noes

mltiplo de 4

Verdadero!


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Directo: p q

Si un nmero es par, entonces es mltiplode 4.

Contrarrecproco: ~ q ~ p

Si un nmero no es mltiplo de 4,entonces no es par

Falso.. 2 no es mltiplo de cuatro y es

par (antecedente verdadero, consecuente falso)


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Universidad de GuayaquilEjercicios

1. Escribir las formas derivadas para:a) (r ~q) p.

b)Si yo digo s, ella dice no.

2. Construye una proposicin verdaderaque incluya un condicional, una

conjuncin, una disyuncin y una

negacin (no necesariamente en eseorden), que conste de las componentes

p, q y r con todas ellas falsas.


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Universidad de GuayaquilEjercicios

Escribe el recproco, el inverso y elcontrarrecproco de cada una de las

proposiciones siguientes:

Si q, entonces r ~ p (~ q )

~p~ (r q )

El sol brilla si ests feliz. Si tu automvil no tiene aire acondicionado,

no tendrs amigos.

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