presentacion i.o. (cap 3)(julio 2009)
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Ing. John Walter Soria MartínezIng. John Walter Soria Martínez 11
Investigación de OperacionesInvestigación de OperacionesMÉTODO GRÁFICOMÉTODO GRÁFICO
Es uno de los métodos más simples y tiene 2 características especiales:Es uno de los métodos más simples y tiene 2 características especiales:i)i) Solo sirve para resolver Solo sirve para resolver problemas en dos dimensionesproblemas en dos dimensiones (a lo sumo tres). (a lo sumo tres).ii)ii) La aplicación de este método, La aplicación de este método, permite importantes interpretacionespermite importantes interpretaciones de tipo de tipo geométrico y conceptual en relación a la teoría de la P.L.geométrico y conceptual en relación a la teoría de la P.L.
ALGORITMOALGORITMO
Paso 1:Paso 1: GraficarGraficar en un sistema de coordenadas en un sistema de coordenadas las restricciones del M.P.L. del M.P.L.
Paso 2:Paso 2: Determinar la Determinar la solución de cada restricción (solución de cada desigualdad)
Paso 3:Paso 3: Determinar la Determinar la Región Factible (intersección de soluciones de las desigualdades)
Paso 4:Paso 4: Graficar la Graficar la Función ObjetivoFunción Objetivo ( asignar un valor arbitrario a Z )
Paso 5:Paso 5: Hallar el Hallar el punto óptimopunto óptimo según los siguientes criterios: según los siguientes criterios:
* Si es Si es Maximizar el el Punto mas alejado del origen en la R.F. en la R.F.
* Si es Si es Minimizar el el Punto mas cercano al origen en la R.F. en la R.F.
Paso 6:Paso 6: Interpretar la solución óptima y los tipos de restricciones la solución óptima y los tipos de restricciones
Continuar
EJEMPLO
Ing. John Walter Soria MartínezIng. John Walter Soria Martínez 22
Ejemplo: Taller de CarpinteríaEjemplo: Taller de CarpinteríaVariables de decisión:Variables de decisión:
x1 = Número de sillas a fabricar x1 = Número de sillas a fabricar [unidades][unidades]x2 = Número de mesas a fabricar x2 = Número de mesas a fabricar [unidades][unidades]
Resumen:Resumen:
.][.:.. $usxxzMaxOF 21 2015
62
822
21
21
xx
xxaS :..
00 21 xxnegativosNo ;:
… … R1R1
… … R2R2
Volver al algoritmo
Ing. John Walter Soria MartínezIng. John Walter Soria Martínez 33
Ejemplo: Taller de Carpintería ( 1º parte)Ejemplo: Taller de Carpintería ( 1º parte)
822 211 xxR : 62 212 xxR :
),(
),(
0440
4040
212
121
Pxx
Pxx
),(
),(
0660
3030
212
121
Pxx
Pxx
Paso 1: Graficar las restricciones
Paso 2: Verificamos la solución de las desigualdades
822 211 xxR : 62 212 xxR :
NO
SI
810050
80000
),(
),(
NO
SI
68040
60000
),(
),(
Estos puntos representamos en el sistema cartesiano y trazamos las rectas
Reemplazamos un punto por encima y un punto por debajo de
cada recta
Volver al paso 2
Ing. John Walter Soria MartínezIng. John Walter Soria Martínez 44
Ejemplo: Taller de Carpintería ( 2º parte)Ejemplo: Taller de Carpintería ( 2º parte)
Paso 3: Identificamos el área que conforma la Región Factible
Región factibleRegión factible(área donde se superponen
las soluciónes de cada restricción)
R.F.
Volver al paso 3
Ing. John Walter Soria MartínezIng. John Walter Soria Martínez 55
Ejemplo: Taller de Carpintería ( 3º parte)Ejemplo: Taller de Carpintería ( 3º parte)
Paso 4: Asignamos a Z un valor arbitrario y representamos la función objetivo
21 2015 xxzMaxEn .
30201530 21 xxzSi
),(
).,(.
0220
510510
212
121
Pxx
Pxx
Estos puntos representamos en el sistema cartesiano y trazamos la recta F.O.
Ing. John Walter Soria MartínezIng. John Walter Soria Martínez 66
Ejemplo: Taller de Carpintería ( 4º parte)Ejemplo: Taller de Carpintería ( 4º parte)
Paso 5: Identificamos el punto óptimo (en este caso el mas alejado del origen en la región factible)
Punto Máximo
Trasladamos paralelamentela recta hasta encontrar el puntomas alejado en la región factible
Volver al paso 5
Ing. John Walter Soria MartínezIng. John Walter Soria Martínez 77
Ejemplo: Taller de Carpintería ( 5º parte)Ejemplo: Taller de Carpintería ( 5º parte)
Paso 6: Interpretamos los resultados obtenidos
mesasux
sillasux
.][
.][
2
2
2
1
][
)()(
/
$us.z
z
xxzenR
70
220215
2015 21
21 RyR
Solución óptima:
Tipos de restricciones:
El taller de carpintería debe fabricar El taller de carpintería debe fabricar 2 sillas2 sillas y y 2 mesas2 mesas,, obteniendo una obteniendo una utilidad máxima de 70 $us.,utilidad máxima de 70 $us., haciendo uso total de sus recursos. haciendo uso total de sus recursos.
Son Son restricciones activasrestricciones activas, ya que ambas pasan por el punto óptimo., ya que ambas pasan por el punto óptimo.
“ “ No tiene No tiene restricciones inactivas restricciones inactivas ni ni redundantes ”redundantes ”
Interpretación:
Volver al paso 6
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TIPOS DE SOLUCIÓN GRÁFICATIPOS DE SOLUCIÓN GRÁFICADE UN MODELO DE P.L.DE UN MODELO DE P.L.
Los M.P.L. con dos variables suelen clasificarse según el tipo de solución Los M.P.L. con dos variables suelen clasificarse según el tipo de solución gráfica que presentan, en: gráfica que presentan, en: •FACTIBLES: Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las Si existe el conjunto de soluciones o valores que satisfacen las
restricciones. Estas a su vez pueden ser: restricciones. Estas a su vez pueden ser:
Solución única Solución múltiple Solución no acotada
•NO FACTIBLES: Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones; es decir que algunas restricciones son inconsistentes restricciones; es decir que algunas restricciones son inconsistentes
x2
x1
x2x2
x1 x1
x1
x2
Investigación de OperacionesInvestigación de Operaciones
Cuando se tiene una solacombinación de valores
Cuando la F.O. es paralela auna de las restricciones quedelimitan la Región Factible
Cuando la F.O. no tieneLímite de extensión
en la Región FactibleCuando no se tieneuna región factible
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Investigación de OperacionesInvestigación de Operaciones
MÉTODO SIMPLEXMÉTODO SIMPLEX
Es un Es un método analítico (o Algebraico)método analítico (o Algebraico) que utiliza un procedimiento que utiliza un procedimiento iterativo de forma sistemáticaiterativo de forma sistemática y tiene tres fases fundamentales, que son: y tiene tres fases fundamentales, que son:
i)i) Fase Inicial: Construir la tabla inicial o iteración 0. Construir la tabla inicial o iteración 0.
ii)ii) Fase de Control: Verificar si los coeficientes de la F.O. son Verificar si los coeficientes de la F.O. son todos todos positivos positivos (caso Maximizar)(caso Maximizar); si no es así aplicar la ; si no es así aplicar la
regla regla de entrada y regla de salida.de entrada y regla de salida.
iii)iii)Fase Iterativa: Aplicar las operaciones elementales de filas y Aplicar las operaciones elementales de filas y columnas para obtener ceros en la columna pivotecolumnas para obtener ceros en la columna pivote
Ing. John Walter Soria MartínezIng. John Walter Soria Martínez 1010
Ejemplo: Taller de CarpinteríaEjemplo: Taller de CarpinteríaVariables de decisión:Variables de decisión:
x1 = Número de sillas a fabricar x1 = Número de sillas a fabricar [unidades][unidades]x2 = Número de mesas a fabricar x2 = Número de mesas a fabricar [unidades][unidades]
Resumen:Resumen:
.][.:.. $usxxzMaxOF 21 2015
62
822
21
21
xx
xxaS :..
00 21 xxnegativosNo ;:
… R1
… R2
Estas desigualdades se debentransformar a igualdad,
sumando variables de holgura
Ing. John Walter Soria MartínezIng. John Walter Soria Martínez 1111
Ejemplo: Taller de Carpintería ( 1º parte)Ejemplo: Taller de Carpintería ( 1º parte)Paso 1: Colocar el M.P.L. en su forma estandar
Paso 2: Plantear la tabla inicial o Iteración 0
2121 002015 hhxxzMaxOF .:..
62
822
221
121
hxx
hxxaS :..
02121 hhxxnegativosNo ;;;:
0002015 2121 hhxxzMaxOF .:..Iteración 0:
Nota: Los pasos 3 y 4 se realizan en la misma tabla y se tiene:
Variable de holgura
VariablesBásicas
VariablesNo Básicas
Las variables de holguraTienen coeficiente 0 en la F.O.
Para plantear la Tabla inicial o iteración 0,la Función Objetivo debe igualarse a cero1x 2x 1h 2h ..DL R
1h
2h
z 15 20 0 0 0 ... CSN
02 2 1 8
1 2 0 1 6Solo ingresan a la base aquellas variables
que tienen coeficiente 0 en la F.O.
Ing. John Walter Soria MartínezIng. John Walter Soria Martínez 1212
Ejemplo: Taller de Carpintería ( 2º parte)Ejemplo: Taller de Carpintería ( 2º parte)
Donde el elemento pivote es la intersección de fila y columna; éste pivote debe transformarse a 1 para realizar las operaciones con filas y obtener ceros en la columna pivote
Iteración 1:
Iteración 0:
En esta tabla nuevamente se aplica la fase de control (verificación del óptimo); si se tiene todavía algún valor negativo, entonces se realiza nuevamente las operaciones con filas y columnas hasta encontrar el óptimo
1x 2x 1h 2h ..DL R
1h
2h
z 15 20 0 0 0 ... CSN
02 2 1 81 2 0 1 6
428 /326 /
1x 2x 1h 2h ..DL R
1h
2x
z 5 0 0 10 60 ... CSN
11 0 1 221 1 0 21 3
212 / 6213
C.P.
F.P.
C.P.
F.P.
2 1-10 1 8 0 12 2 :F6-1-02-1- :F.P.2
2A
Esta fila se obtiene, dividiendo la F.P. entre 2
2x
20222h 1 0 1 6 326 /2
1x
5121
1h 11 0 1 2 212 /
6010005-00020-15- :F
600102010 :F.P.201A
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Ejemplo: Taller de Carpintería ( 3º parte)Ejemplo: Taller de Carpintería ( 3º parte)
Iteración 2:
Como esta última tabla tiene todos los coeficientes en la fila Z positivos, entonces se tiene la tabla óptima y se puede interpretar las soluciones.
SOLUCIÓN BÁSICA SOLUCIÓN NO BÁSICA SOLUCIÓN ÓPTIMA
mesasux
sillasux
][
][
2
2
2
1 Escasosh
h
0
0
2
1 .][Bsz 70
Interpretación:El taller de carpintería debe fabricar El taller de carpintería debe fabricar 2 sillas2 sillas y y 2 mesas2 mesas,, obteniendo una obteniendo una utilidad máxima de 70 $usutilidad máxima de 70 $us., haciendo uso total de sus recursos, ya que ., haciendo uso total de sus recursos, ya que no se tienen piezas que sobren.no se tienen piezas que sobren.
1x 2x 1h 2h ..DL R
1x
2x
z 0 0 5 5 70
11 0 1 20 1 1 221
7055006010005-:F105-505:F.P.5
1A
2121103210121:F1-2121021:F.P.21
3A
Conforman las variables que se encuentranConforman las variables que se encuentran
en la base, éstas son igualadas a losen la base, éstas son igualadas a los
lados derechos correspondienteslados derechos correspondientes
Conforman las variables que no se encuentranConforman las variables que no se encuentran
en la base, éstas son siempre iguales a ceroen la base, éstas son siempre iguales a cero
Es el valor óptimo de la F.O.Es el valor óptimo de la F.O.
Si una variable de holgura se encuentra en la base,
entonces el recurso al que pertenece dicha variable
se interpreta como ABUNDANTE
Si una variable de holgura se encuentra
en la solución no básica, entonces el recurso al que pertenece dicha variable se interpreta como ESCASO
Ing. John Walter Soria MartínezIng. John Walter Soria Martínez 1414
Ejemplo: Plásticos CAMPEÓNEjemplo: Plásticos CAMPEÓNVariables de decisión:Variables de decisión:
x1 = Tanques grandes a fabricar x1 = Tanques grandes a fabricar [unidades][unidades]x2 = Tanques pequeños a fabricar x2 = Tanques pequeños a fabricar [unidades][unidades]
Resumen:Resumen:
.][1050.:.. 21 $usxxzMaxOF
35
123:..
1
21
21
xxxxx
aS
00 21 xxnegativosNo ;:
… R1
… R2
… R3
Estas desigualdades se debentransformar a igualdad,
sumando variables de holgura
Producción (hrs.)
Maquinado (hrs.)
Cap. de producción (u)
Ing. John Walter Soria MartínezIng. John Walter Soria Martínez 15151515