presentación 5 jueves 20 febrero
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Dominio máximo.
Repaso de funciones lineales y cuadráticas.
Biyectividad.
Composición y función inversa.
Funciones exponenciales y logarítmicas.
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Thara R.MA1210 nivelación 2014
Definición
Una función exponencial con base a es una función f : ℝ→ℝ+ , tal que f (x) = ax , aεℝ+, a≠1
¿Qué pasa si…
a=1 ?
a<0 ?
Thara R.MA1210 nivelación 2014
2 casos
Thara R.MA1210 nivelación 2014
f : ℝ→ℝ+ , tal que
f (x) = ax , 0<a<1
f : ℝ→ℝ+ , tal que
f (x) = ax , a>1
Características de la función exponencial
f recorre todo ℝ, i.e. su dominio máximo es ℝ
El ámbito de f es ℝ+ ; i.e. a>0, ∀x ε ℝ
f interseca al eje y en 1… (0,1) pues a0=1 ∀a≠0
f no interseca al eje x
f posee asíntota horizontal y=0
a>1…f estrictamente creciente
0<a<1…f estrictamente decreciente
La gráfica de f es cóncava hacia arriba
Thara R.MA1210 nivelación 2014
Propiedades de la función exponencial
a>0 ⇨ ax >0 ∀x ε ℝ
Si a>1 y m>n ⇨ am > an
Si 0<a<1 y m>n ⇨ am < an
Thara R.MA1210 nivelación 2014
Thara R.MA1210 nivelación 2014
f(x) = ax + k
K<0◦ k unidades hacia abajo
K>0◦ k unidades hacia arriba
y=K es asíntota horizontal de f
El ámbito es ]k, +∞[
Thara R.MA1210 nivelación 2014
f(x) = ax+k
K<0◦ k unidades hacia la derecha
K>0◦ k unidades hacia la izquierda
Thara R.MA1210 nivelación 2014
f(x) = -ax
Se refleja con respecto al eje x
El ámbito es ]-∞,0[
a>1 ⇨ decreciente
0<a<1 ⇨ creciente
Thara R.MA1210 nivelación 2014
f(x) = a-x
Se refleja con respecto al eje y
a>1 ⇨ 0< a-x <1
0<a<1⇨ a-x >1
Thara R.MA1210 nivelación 2014
Definición
Una función logarítmica con base a, aεℝ+, a≠1 es una función f : ℝ+→ ℝ que se denota f (x) = loga
x
y está definida como
Como son inversas se cumple que
f : ℝ→ℝ+ , f (x) = ax
f -1: ℝ+→ℝ , f -1(x) = logax
(f -1of )(x) = loga(ax ) = x , xεℝ
(f of -1)(x) = alogax = x , xεℝ+
Thara R.MA1210 nivelación 2014
2 casos
Thara R.MA1210 nivelación 2014
f : ℝ+ →ℝ , tal que
f (x) = logax , 0<a<1
f : ℝ+ →ℝ , tal que
f (x) = logax , a>1
Características de la función logarítmica
f recorre eje x positivo, dominio máximo es ℝ+
El ámbito de f es ℝ ; i.e. logax εℝ , ∀x>0
f interseca al eje x en 1… (1,0) pues loga1 =0
f no interseca al eje y
f posee asíntota vertical x=0
a>1…f estrictamente creciente
0<a<1…f estrictamente decreciente
Thara R.MA1210 nivelación 2014
Propiedades de los logaritmos
a0 =1 ⇔ loga1 =0
a1 = a ⇔ logaa =1
loga(x•y) = loga
x + logay
loga(x/y) = loga
x - logay
loga(x ) = n loga
x
logwf =
Thara R.MA1210 nivelación 2014
n
logaf
logaw
Thara R.MA1210 nivelación 2014
f(x) = logax + k
K<0◦ k unidades hacia abajo
K>0◦ k unidades hacia arriba
Thara R.MA1210 nivelación 2014
f(x) = loga(x+k)
K<0◦ k unidades hacia la derecha
K>0◦ k unidades hacia la izquierda
x=K es asíntota vertical de f
El dominio es ]k, +∞[
Thara R.MA1210 nivelación 2014
f(x) = -logax
Se refleja con respecto al eje x
a>1 ⇨ decreciente
0<a<1 ⇨ creciente
Thara R.MA1210 nivelación 2014
f(x) = loga-x
Se refleja con respecto al eje y
El ámbito es ]-∞,0[
a>1 ⇨ 0< a-x <1
0<a<1⇨ a-x >1