VARIABLE ALEATORIA

Ejemplo de la señal aleatoria

En el contexto de las telecomunicaciones, cualquier señal debe

considerarse aleatoria, ya que por muchas razones, no

existen garantías de que la señal enviada sea exactamente

igual a la señal recibida.

1. ¿Cuál es el experimento aleatorio ?

2. ¿Cuáles son los resultados posibles de dicho experimento?

3. Establezca una correspondencia entre el espacio muestral y los

números reales.

4. Defina variable aleatoria.

Variable aleatoria

Se llama variable aleatoria a toda función X que asigna a c/u de

los elementos del espacio muestral S, un número Real X(s).

:X S

S

Rx

s X(s)

Rx es el recorrido o

Imagen de la

variable.

Son los posibles

valores de X

Supongamos que se conoce la probabilidad de transmitir correctamente

la señal, p=0.4. (p es la probabilidad de éxito). Escriba la distribución

de probabilidades de la variable aleatoria asociada a dicho experimento.

Variable de Bernoulli

Experimentos o pruebas repetidas

Se transmiten 5 señales. ¿Cuál es el espacio muestral asociado?

Se define la variable aleatoria X: “ número de señales transmitidas correctamente que se obtienen en los cinco lanzamientos”

1. Determine Rx, (conjunto de valores que toma la variable).

2. Analice si las pruebas repetidas son independientes.

3. ¿Son equivalentes los sucesos (c, c, c, i, i) y (c,i, i, c,c)?

A y B son sucesos equivalentes si sólo si ocurren simultáneamente

Clasificación

La variable aleatoria puede ser discreta o continua.

i

1

a) p (x ) 0 i

b) p(x ) 1

i

i

Variable discreta: Se dice que una variable aleatoria X es

discreta, si a cada valor posible xi que toma la variable se le

puede asociar un número real p(xi )= P (X=xi) llamado

probabilidad de xi, que satisface las siguientes condiciones:

La función p definida se llama función de probabilidad de X o

función de peso.

El conjunto de pares (xi , p(xi)) es la distribución de

probabilidades de X.

Interpretación Geométrica

X1 X2 X3 xi

P(x3)

P(x1)

P(x2)

P

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X

1/36

2/36

6/36

4/36

5/36

3/36

2/36

1/36

5/36

4/36

3/36

Función de probabilidad de la variable aleatoria X

Suma de los puntos obtenidos al arrojar dos dados

Observa que cumple las dos condiciones: es siempre positiva y está normalizada.

Ejemplos de variable aleatoria

discreta

Experimento Variable

aleatoria

Valores posibles

V.A

Llamar a cinco

clientes por teléfono

Cantidad de clientes

que atendieron

0, 1,2,3,4,5

Inspeccionar un

embarque de 40

chips

Cantidad de chips

defectuosos

0,1,2,….,40

Funcionamiento de

un restaurante

durante un día

Cantidad de clientes 0,1,2,3…….

Vender un automóvil Sexo Cliente 0 si es hombre y 1 si

es mujer

Ejemplo

Un lote de 8 calculadoras contiene 3 defectuosas. Se

selecciona una calculadora al azar y se la prueba,

repitiéndose la operación hasta que aparezca una

calculadora no defectuosa.

Hallar la distribución de probabilidades de X definida

como “el número de extracciones que se hacen”

xi P(xi)

1 P(x1)=

2 P(x2)=

3 P(x3)=

4 P(x4)=

Variable aleatoria continua

Se dice que X es una variable aleatoria continua si:

existe una función f(x), llamada función de densidad de probabilidad de X, (fdp) que satisface las

siguientes condiciones:

a) f(x) 0 x

b) f(x)dx 1

c) Para cualquier intervalo (a,b)/ -

( ) f(x)dxb

a

a b

P a x b

Consideraciones

1. P(X=Xo) = 0 porque P(X = Xo)= 0

0

f(x)dx 0x

x

La probabilidad cero no significa que el suceso sea imposible,

ya que Si A es vacio , la P(A) = 0 pero la recíproca no es cierta.

P(a x<b)= P(a x b)= P(a<x b) P(a<x<b)=

2. Si f*(x) es mayor o igual que cero para todo x de su

dominio, y

f*(x) dx = k R

f*(x) no es una fdp legítima. Pero puede convertirse en tal si

f*(x)f(x)= x

k

Consideraciones

3. Si X toma sólo valores en el intervalo [a,b] podemos

decir que f(x) = 0 para todo x que no pertenece al intervalo [a,b] ,

entonces la integral entre a y b de f(x) es 1.

Ejemplo: Hallar el valor de k de modo que f(x)

sea una fdp legítima, y luego graficar, siendo:

kx(1-x) si x 0,1( )

0 si x (0,1)f x

4. f(x) no representa ninguna probabilidad. Sólo

cuando la función se integra entre dos límites

expresa alguna probabilidad.

Ejemplos de variable aleatoria

continua

Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A

Funcionamiento de un

banco

Tiempo en minuto,

entre llegadas de

clientes

Llenar una lata de

bebida

(máx = 360 cm3 )

Cantidad de cm3

Proyecto para

construir un biblioteca

Porcentaje terminado

del proyecto

Ensayar un nuevo

proceso químico

Temperatura cuando

se lleva a cabo la

reacción deseada (min

150º F; máx 212ºF)

0x

0 360x

0 100x

150 212x

Ejemplo

Con la función kx(1-x) si x 0,1

( )0 si x (0,1)

f x

Hallar : a) P(1/4 <x<1/2) =

b) P(x >1/3 / 1/4< x <1/2)=

Función de distribución acumulativa

FDA

Dada una variable aleatoria discreta o continua X se llama

función de distribución a la función F definida como:

1. Si X es VAD entonces

2. Si X es una VAC entonces

F(a)=P(x )= f(x)dxa

a

)()(

]1,0[:

axPaF

F

x a

F(a) ( ) j

jP x a p x

Ejemplo: Grafica la función de probabilidad f(x) y la función de distribución F(x) (FDA) de una variable discreta X definida como: “Puntos obtenidos en la cara de un dado”.

X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada

uno con probabilidad 1/6

xi P(xi)

1 1/6

2 1/6

3 1/6

4 1/6

5 1/6

6 1/6

x F(x)

X<1 0

[1,2) 1/6

[2,3) 2/6

[3,4) 3/6

[4,5) 4/6

[5,6) 5/6

x 1 6

Para variables discretas

0

61

1 x

f(x)

1

0.5

1 0

F(x)

x 6 6

Función de probabilidad f(x) Función de distribución

acumulada F(x)

Para variables continuas

Hallar y graficar la FDA de la variable aleatoria cuya fdp está dada por:

6x(1-x) si 0 1f(x)=

0 si x (0,1)

x