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Tema III: Estabilidad y Error de Estado Estable Diap. III - 1Sistemas DinámicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
TEMA III
Universidad de OrienteNúcleo de Anzoátegui
Escuela de Ingeniería y Ciencias Aplicadas
ESTABILIDAD Y
ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO
Tema III: Estabilidad y Error de Estado Estable Diap. III - 2Sistemas DinámicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
ESTABILIDAD Y ERROR DE ESTADOESTACIONARIO
TEMA III – Objetivos
• Objetivo Terminal:
Analizar la estabilidad y el error de estado estable de los sistemas de control.
• Objetivos Específicos:
Identificar los sistemas con estabilidad bibo.
Aplicar los diagramas de polos y ceros para establecer la estabilidad de un sistema de control.
Aplicar el criterio de estabilidad de routh-hurwitz en el chequeo de la estabilidad de sistemas de control.
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Dpto de Computación y Sistemas
TEMA III – Contenido
CONTENIDO
Concepto de estabilidad BIBO
Diagramas de polos y ceros.
Estabilidad absoluta.
Estabilidad relativa.
Conjunto de coeficientes
Casos especiales del conjunto de coeficiente.Caso: primer elemento de una fila cero.
Caso: todos los elementos de una fila iguales a cero.
Polinomio auxiliar
Criterio de estabilidad de routh- hurwitz
Análisis de Error de Estado EstacionarioError de Posición
Error de Velocidad
Error de Aceleración
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Dpto de Computación y Sistemas
Análisis de Estabilidad
• Estabilidad BIBO (Bounded input bounded output) (Entrada AcotadaSalida Acotada)
Un sistema Entrada Acotada Salida Acotada es estable si para cada entrada
limitada, la salida es limitada. Una condición necesaria y suficiente para
estabilidad BIBO de un sistema lineal, invariante en el tiempo, es que todas las
raíces características (polos) pertenezcan al semiplano izquierdo (SPI).
(Hosteter. 1990)
Salida acotada
Entrada acotada
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Dpto de Computación y Sistemas
Análisis de Estabilidad
• Diagramas de Polos y Ceros• Se basa en la gráfica de las raíces de la función de transferencia de
Lazo cerrado.
• Las Raices del Numerador serán los Ceros (zi) y las del Denominadorserán los Polos (pi)
))(())((
))(())((
)(
)(
121
121
nn
mm
pspspsps
zszszszs
sR
sy
X
X
X X
O
O
O
O
Plano Complejo S
jw
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Análisis de Estabilidad
• Conceptos de Estabilidad• En general, la estabilidad de un sistema puede definirse de muchas
formas diferentes, dependiendo de los requerimientos de algunaaplicación especial. Las definiciones más comunes de la estabilidad sonlas siguientes:
• Estabilidad Asintótica:• Un sistema es asintóticamente estable si para todas las condiciones
iniciales posibles su respuesta de entrada cero se aproxima a cero conel tiempo. (Hosteter, 1990. p-123)
• Estabilidad en Respuesta de Impulso:• Se dice que un sistema es estable en el sentido de la respuesta a
impulsos si su respuesta a una entrada de impulso se aproxima a cer conel tiempo. (Hosteter, 1990. p-123)
• Estabilidad en el sentido de Liapunov:• Los sistemas físicos, en particular aquellos que son variables en el
tiempo y no lineales, se pueden considerar que son estables si se cumpleen ellos el principio de la conservación de la energía. Para que surespuesta “aumente” se requiere un suministro continuo de energía.
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Análisis de Estabilidad
• Estabilidad Absoluta• La estabilidad absoluta de un sistema lineal e invariante en el tiempo se
refiere exclusivamente a la estabilidad o inestabilidad de un sistema decontrol o respuesta del mismo, de acuerdo a la ubicación de los polos delazo cerrado.
• Un sistema es Estable cuando todos sus polos de lazo cerrado seubican en el semiplano izquierdo (SPI) del plano complejo “S”.
• El sistema es Inestable cuando al menos un polo de lazo cerrado seubica en el semiplano derecho (SPD) del plano “S”
Zona
De
Inestabilidad
jwImaginario
Real
Zona
De
Estabilidad
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Análisis de Estabilidad
• Estabilidad Relativa• Se emplea para indicar que tan estable es un sistema. En el dominio del
tiempo la estabilidad relativa se mide por parámetros tales como elsobreimpulso máximo y el factor de amortiguamiento relativo. En eldominio de la frecuencia el pico de resonancia se puede emplear paraindicar la estabilidad relativa. (Kuo, 1996. p.p. 605-606)
• Un sistema que tiene todas sus raíces características (polos) en el SPI,pero una o más raíces están próximas al eje imaginario, tendrá unarespuesta natural que decae muy lentamente. Entre mayor sea la distanciadel eje imaginario al polo más cercano de un sistema estable más rápido seextingue la componente de respuesta natural del sistema.
jw
En esta región> 0.4
ts < (4/ )
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Dpto de Computación y Sistemas
Prueba de Estabilidad de Routh - Hurwitz
• Prueba de estabilidad de Routh-Hurwitz
El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz permite determinar la cantidad depolos que se encuentran en el semiplano derecho del plano s sin factorizar, cabedestacar que sólo aplica a los polinomios con cantidad finita de términos.
La prueba de estabilidad de Routh-Hurwitz se aplica partiendo del polinomio
caracterísctico del sistema que se desea estudiar.
001
4
4
3
3
2
2
1
1aSaSaSaSaSaSa
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
A partir de este se forma el Conjunto de Coeficientes utilizando los coeficientes
de cada uno de los términos de S que posea dicho polinomio.
Esto se debe realizar de manera especial como se indica en la siguiente lámina.
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Dpto de Computación y Sistemas
Prueba de Estabilidad de Routh – Hurwitz
b1= an-1* an-2- an* an-3
an-1
b2= an-1* an-4- an* an-5
an-1
.... bj= an-1* a1- an* a0
an-1
c1= b1* an-3- an-1* b2
b1
c2= b1* an-5- an-1* b3
b1
....
d1= c1* b2- b1* c2
c1
d2= c1* b3- b1* c3
c1
....
q1
001
4
4
3
3
2
2
1
1aSaSaSaSaSaSa
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
an an-2 an-4 .... a1
an-1 an-3 an-5 .... a0
Sn
Sn-1
Sn-2
Sn-3
Sn-4
S1
S0
• Conjunto de Coeficientes. Cálculo de Coeficientes.
.
.
.
.
.
.
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Dpto de Computación y Sistemas
Sn an an-2 an-4 .... a1
Sn-1 an-1 an-3 an-5 .... a0
Sn-2 b1 b2 .... bj
Sn-3 c1 c2 ....
Sn-4 d1 d2 ....
S1
S0 q1
Pri
me
ra c
olu
mn
a
Prueba de Estabilidad de Routh – Hurwitz
• Criterio de Estabilidad de Routh-HurwitzEl sistema es estable si todos los elementos de la primera columna son del mismo signo; es decir, si no hay cambios de signos entre ellos.
El sistema es Inestable si existe cambio de signo entre los elementos de la primera columna.
Habrán tantos Polos en el semiplano derecho (SPD) del plano complejo “s” como cambios de signo existan en la primera columna del conj. De coef.
.
.
.
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Dpto de Computación y Sistemas
Ejemplos para resolver en casa
1. S5 + 10S4 + S3 + 2S2 + 3S + 1
2. 2S4 + 2S3 + S2 + 3S + 6
3. S6 + 2S5 + 5S4 + 3S3 + S2 + 6S + 4
13
11
13
-15
40
3
13S0
39.22S2
4S4
10.52S1
-77S3
8S58S5 + 3S3 + 11S
4S4 + 40S2 + 13
-77S3 - 15S
39.22S2 + 13
10.52S
Prueba de Estabilidad de Routh – Hurwitz
• Polinomios en un conjunto de coeficientes
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Dpto de Computación y Sistemas
Este caso se presenta cuando el primer elemento de alguna de las filas es cero.
El elemento cero se sustituye por un número ( ) que se considera muy pequeño pero
positivo o mayor que cero. Después se siguen calculando los demás coeficientes delconjunto, donde algunos quedarán en fucnción de .Para evaluar los signos donde esté involucrado , se considera que es un número
bastante pequeño y se evalúa el signo resultante de la función de completa.
S5 2 2 1
S4 4 4 3
S3 4x2 –2x4=0
4
4x1-2x3=-0.5
4
S2
S1
S0
S5 2 2 1 (+)
S4 4 4 3 (+)
S3-0.5
No se toma en cuenta
S2 4x +4x0.5= 4 +2 3 -0=3 - (+)
S1 -3 2-2 -1
4 +2
- (-)
S0 3 - (+)
Ejemplo: 2S5 + 4S4 + 2S3 + 4S2 + S + 3
(1)
Dos
Cambios
(2)
Casos Especiales de la Prueba de Routh-Hurwitz
A) Primer Elemento de un Fila Igual a Cero
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Este caso se presenta cuando todos los elementos de alguna de las filas del conjunto de coef.
son cero.
Se debe determinar una nueva fila de coeficientes para sustituir los ceros de esa fila y
continuar los cálculos.
Se forma un polinomio auxiliar en “S” con los coeficientes de la superior a la fila con ceros.
Se deriva el polinomio auxiliar respecto a “S” y los nuevos coeficientes resultantes se sustituyen
por los ceros.
Luego se siguen calculando los demás coeficientes de forma normal.
En la inspección de signos, si se considera la fila con ceros, pero con los nuevos coeficientes.
S5 8 2 1
S4 4 1 0.5
S3
S2 ? ?
S1 ?
S0 ?
Fila Superior a ceros
Ejemplo: 8S5 + 4S4 + 2S3 + S2 + S + 0.5
Casos Especiales de la Prueba de Routh-Hurwitz
B) Todos los elementos de una Fila Iguales a Cero
0 0
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S5 8 2 1
S4 4 1 0.5
S3 0 0
S2 ? ?
S1 ?
S0 ?
Fila Superior a ceros
Polinomio Auxiliar=
Paux(s) = 4S4 + S2 + 0.5
S5 8 2 1
S4 4 1 0.5
S3
S2
S1
S0
Dos Cambios
Sistema Inestable
Análisis del Caso
El hecho de que exista una fila completa con
ceros es un indicativo de que “es posible” que
existan raíces sobre el eje imaginario.
Esto se inspecciona analizando los cambios de
signos por encima y por debajo de la fila con
ceros; verificando si sobra alguna raiz en la
zona debajo de la fila con ceros que no se
encuentre en cuadratura. Si esto es así,
entonces existirán raíces sobre el eje
imaginario.
dPaux(s)/ds = 16S3 + 2S
16 2
Casos Especiales de la Prueba de Routh-Hurwitz
B) Todos los elementos de una Fila Iguales a Cero (cont)
8/16 0.5
-112/8
0.5
(+)
(+)
(+)
(+)
(-)
(+)
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S5 8 2 1 (+)
S4 4 1 0.5 (+)
S3 16 2 (+)
S2 8 .
16
0.5 (+)
S1 -112
8
(-)
S0 0.5 (+)
Dos
Cambios
Esta zona es la que dirá si existen o no polossobre el eje imaginario (EI). Es como dividirel problema en dos partes. Se analiza estaparte y se ubican los signos formando lascuadraturas con los cambios de signosexistentes y de acuerdo al N° de raícesdisponibles para formar. En este caso seobserva que la zona empieza desde S4 , por loque se trabajará con 4 raices.
En la zona de interés (verde) se observa que hay dos cambios de signo, lo que implica que existen dosraices en el SPD, con estas dos se forma la cuadratura como se indica abajo, y se completan las 4raíces de la zona; por lo que no sobra ninguna raíz y se deduce que no hay ríces sobre el eje imaginario.
X
X
X
X
Plano S
jwDe la zona azul, se
deduce que no hay
cambios de signos, por lo que la raiz restante
estará en el SPI
X
X
X
X
Plano S
jw
X
Casos Especiales de la Prueba de Routh-Hurwitz
• Análisis para Ubicación de Raíces
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La prueba de Routh-Hurwitz sirve para inspeccionar los rangos de estabilidad para
alguna constante que intervenga en el sistema de control.
Se construye el conjunto de coeficientes de acuerdo a los casos normales y casos A y B
de la prueba de Routh-Hurwitz. En este conjunto aparecerá la constante involucrada.
Si alguno de los elementos numéricos de la primera columna es negativo, entonces el
sistema no se puede ajustar para estabilidad.
Si todos los elementos de la primera columna que son numéricos nada mas, son
positivos, el sistema se puede ajustar para que alcance la estabilidad. Se procede
entonces a hacer mayor que cero a todos los elementos de la primera columna que
contengan a la ganancia involucrada (K). De estas inecuaciones se determinará un rango
de solución por métodos conocidos.
Sistemas Ajustables. Control Proporcional
-
Planta
Controlador
+R eY
u
Diseño de Control Proporcional por medio de la Prueba de Routh-Hurwitz
Kp
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Dpto de Computación y Sistemas
Sistemas Ajustables. Control Proporcional
Diseño de Control Proporcional por medio de la Prueba de Routh-Hurwitz
Ejemplo:
Sea un sistema de control realimentado cuya Ecuación Característica es :
S5 + 4S4 + S3 + 3S2 + 5S + Kp = 0
Determinar Kp para que el sistema sea estable.
S5 1 1 5 (+)
S4 4 3 K (+)
S3 0.25 (20-K)/4 (+)
S2 (4K – 77) K (+)
S1 (K2-24.5K+85)
(4K-77)(+)
S0 K (+)
4K – 77 > 0 {K > 19.25}
(K2-24.5K+85)
(4K-77)
K > 0 {K > 0}Término
K2-24.5K+85 + - - +
4K-77 - + + +
Función - - - +
20.3
1
4.1
8
19
.25
Solución {K>20.31}
Solución Final Sistema Inestable
K>0K>19.25
K>20.31
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Error de Estado Estable
ANÁLISIS DE ERROR DE ESTADO ESTACIONARIO O ESTADO
ESTABLE
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Dpto de Computación y Sistemas
)(lim)(lim)(0
sFstFFst
El tipo de sistema de control está definido por el orden de integradores que contenga la función de transferencia de lazo abierto de dicho sistema (G(s)H(s)).
)1()1)(1)(1)(1(
)1()1)(1)(1()()(
4321sTsTsTsTsT
sTsTsTsTKsHsG
n
mcba
TS
)1()1)(1)(1)(1(
)1()1)(1)(1(
)(
)()()(
43214321
321
sTsTsTsTsTS
sTsTsTsT
ppppp
zzzzksHsG
n
T
mcba
n
m
TS
)())()()((
)())()(()()(
4321
321
n
T
m
pspspspspsS
zszszszsksHsG
TS
Tipos de Sistema:
T=0 Tipo Cero; T=1 Tipo Uno; T=2 Tipo Dos; .... ; T=n Tipo n
Análisis de Error de Estado Estacionario
Introducción
Teorema del Valor final
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Dpto de Computación y Sistemas
Error en Lazo Cerrado
+-R(S)
G(s)Y(s)
H(s)
B(s)
E(s) ECUACIONES
E(s) = R(s) – B(s) (1)
B(s) = Y(s)*H(s) (2)
Y(s) = E(s)*G(s) (3)
Con las ecuaciones 1, 2 y 3 se determina la fdt E(s)/R(s); (3) En (2) y el resultado en (1) se tiene:
?)(
)(
sR
sE
)()(1
1
)(
)(
sHsGsR
sE
)()()(1
1)( sR
sHsGsE
)())()(1)((
)()()()()(
sRsHsGsE
sHsGsEsRsE
Es el que existe cuando la respuesta alcanza el estado estacionario
Valor deseadoY(t)
RégimenPermanente
O Estacionariot
Error de estadoEtacionario ess
Análisis de Error de Estado Estacionario
• Error de Estado Estacionario (ess)
Error en función de la entrada
Tema III: Estabilidad y Error de Estado Estable Diap. III - 22Sistemas DinámicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
)()()(1
1)( sR
sHsGsE
ssR
1)(
ssHsGsE
1
)()(1
1)(
Aplicando teorema de Valor final a E(s) se obtiene el error de estado estacionario ess
)(lim)(0
sEseEs
ss
ssHsGse
sss
1
)()(1
1lim
0 )()(1
1lim
0 sHsGe
sss
)()(lim1
1
0
sHsGe
s
ss
El término del denominador )()(lim0
sHsGs
Representa la Constante Error de Posición (Kp)
)()(lim0
sHsGKs
p
p
ssK
e1
1
La constante Kp se evalua para los diferentes tipos de sistemas utilizando la ecuación de la diap. 20 y así se cuantifica el error de estado estacionario para cada tipo de sistema.
Error de Posición
• Error de lazo cerrado ante entrada Escalón Unitario (Error de Posición)
Error de posición
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Dpto de Computación y Sistemas
Error de Posición para sistema tipo cero (T=0)
)1()1)(1)(1)(1(
)1()1)(1)(1()()(
4321sTsTsTsTsT
sTsTsTsTKsHsG
n
mcba
)1()1)(1)(1)(1(
)1()1)(1)(1(lim
43210 sTsTsTsTsT
sTsTsTsTKK
n
mcba
sp
)()(lim
0
sHsGKs
p
Evaluando el límite, con lo cual todas las “s” tienden a cero, se tiene:
)10()10)(10)(10)(10(
)10()10)(10)(10(lim
0
KK
sp
KKKs
p)1(lim
0KK
p
El error de posisción es entonces:K
ess
1
1
Error de Posición para sistema tipo Uno o mayor (T 1)
)1()1)(1)(1)(1(
)1()1)(1)(1(lim
43210 sTsTsTsTsTs
sTsTsTsTKK
n
T
mcba
sp
)()(lim
0
sHsGKs
p
Evaluando el límite, con lo cual todas las “s” tienden a cero, se tiene:
)10()10)(10)(10)(10(0
)10()10)(10)(10(lim
0
T
sp
KK0
0lim
0
KKs
p pK
El error de posisción es entonces: 01
1
1
1
p
ssK
e0
sse
Error de Posición para Tipos de Sistemas
p
ss
Ke
1
1
Tema III: Estabilidad y Error de Estado Estable Diap. III - 24Sistemas DinámicosProfesor Luis Felipe Rojas
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Dpto de Computación y Sistemas
)()()(1
1)( sR
sHsGsE
2
1)(
ssR
2
1
)()(1
1)(
ssHsGsE
Aplicando teorema de Valor final a E(s) se obtiene el error de estado estacionario ess
)(lim)(0
sEseEs
ss
20
1
)()(1
1lim
ssHsGse
sss
)()(
1lim
0 sHssGse
sss
)()(lim
1
0
sHsGse
s
ss
El término del denominador )()(lim0
sHssGs
Representa la Constante Error de Velocidad (Kv)
)()(lim0
sHssGKs
v
v
ssK
e1
La constante Kv se evalua para los diferentes tipos de sistemas utilizando la ecuación de la diap. 20 y así se cuantifica el error de estado estacionario para cada tipo de sistema.
Error de Velocidad
• Error de lazo cerrado ante entrada Rampa Unitaria (Error de Velocidad)
Error de Velocidad
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Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
Error de Velocidad para sistema tipo cero (T=0)
)1()1)(1)(1)(1(
)1()1)(1)(1()()(
4321sTsTsTsTsT
sTsTsTsTKsHsG
n
mcba
)1()1)(1)(1)(1(
)1()1)(1)(1(lim
43210 sTsTsTsTsT
sTsTsTsTsKK
n
mcba
sv
)()(lim
0
sHssGKs
v
Evaluando el límite, con lo cual todas las “s” tienden a cero, se tiene:
)10()10)(10)(10)(10(
)10()10)(10)(10()0(lim
0
KK
sv
0v
K
El error de velocidad es entonces: sse
Error de Velocidad para sistema tipo Uno
)1()1)(1)(1)(1(
)1()1)(1)(1(lim
43210 sTsTsTsTsTs
sTsTsTsTKsK
n
mcba
sv
)()(lim
0
sHssGKs
v
Evaluando el límite, con lo cual todas las “s” tienden a cero, se tiene:
)10()10)(10)(10)(10(
)10()10)(10)(10(lim
0
KK
sv
KKKs
v1lim
0KK
v
El error de velocidad es entonces:KK
e
v
ss
11
Ke
ss
1
0
11
v
ssK
e
)1)()(0(lim0
KKs
v
Error de Velocidad para Tipos de Sistemas
Tema III: Estabilidad y Error de Estado Estable Diap. III - 26Sistemas DinámicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
Error de Velocidad para sistema tipo Dos o Mayor (T 2)
)1()1)(1)(1)(1(
)1()1)(1)(1(lim
43210 sTsTsTsTsTs
sTsTsTsTKsK
n
T
mcba
sv
)()(lim
0
sHssGKs
v
Evaluando el límite, con lo cual todas las “s” tienden a cero, se tiene:
)10()10)(10)(10)(10(0
)10()10)(10)(10(lim
)1(0
T
sv
KK0
1lim
0
KKs
v vK
El error de velocidad es entonces: 011
v
ssK
e 0ss
e
Error de Velocidad para Tipos de Sistemas
Tema III: Estabilidad y Error de Estado Estable Diap. III - 27Sistemas DinámicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
)()()(1
1)( sR
sHsGsE
3
1)(
ssR
3
1
)()(1
1)(
ssHsGsE
Aplicando teorema de Valor final a E(s) se obtiene el error de estado estacionario ess
)(lim)(0
sEseEs
ss
30
1
)()(1
1lim
ssHsGse
sss
)()(
1lim
220 sHsGss
es
ss)()(lim
1
2
0
sHsGse
s
ss
El término del denominador )()(lim2
0
sHsGss
Representa la Constante Error de Aceleración (Ka)
)()(lim2
0
sHsGsKs
a
a
ssK
e1
La constante Ka se evalua para los diferentes tipos de sistemas utilizando la ecuación de G(s)H(s) de la diap. 33 y así se cuantifica el error de estado estacionario para cada tipo de sistema.
Error de Aceleración
• Error en Lazo Cerrado ante una entrada Parabólica [ r(t)=½ t2 ] (Error de Aceleración)
Tema III: Estabilidad y Error de Estado Estable Diap. III - 28Sistemas DinámicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
Error de Aceleración para sistema tipo cero (T=0)
)1()1)(1)(1)(1(
)1()1)(1)(1()()(
4321sTsTsTsTsT
sTsTsTsTKsHsG
n
mcba
)1()1)(1)(1)(1(
)1()1)(1)(1(lim
4321
2
0 sTsTsTsTsT
sTsTsTsTKsK
n
mcba
sa
)()(lim
2
0
sHsGsKs
a
Evaluando el límite, con lo cual todas las “s” tienden a cero, se tiene:
)10()10)(10)(10)(10(
)10()10)(10)(10()0(lim
2
0
KK
sa
0a
K
El error de aceleración es entonces: sse
Error de Velocidad para sistema tipo Uno (T=1)
)1()1)(1)(1)(1(
)1()1)(1)(1(lim
4321
2
0 sTsTsTsTsTs
sTsTsTsTKsK
n
mcba
sa
)()(lim
2
0
sHsGsKs
a
Evaluando el límite, con lo cual todas las “s” tienden a cero, se tiene:
)10()10)(10)(10)(10(
)10()10)(10)(10()0(lim
0
KK
sa
01)0(lim0
KKs
a 0a
K
El error de aceleración es entonces:0
11
a
ssK
e 0ss
e
0
11
a
ssK
e
)1)()(0(lim0
KKs
a
Error de Aceleración para Tipos de Sistemas
Tema III: Estabilidad y Error de Estado Estable Diap. III - 29Sistemas DinámicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
Error de Velocidad para sistema tipo Dos (T=2)
)1()1)(1)(1)(1(
)1()1)(1)(1(lim
4321
2
2
0 sTsTsTsTsTs
sTsTsTsTKsK
n
mcba
sa
)()(lim
2
0
sHsGsKs
a
Evaluando el límite, con lo cual todas las “s” tienden a cero, se tiene:
)10()10)(10)(10)(10(
)10()10)(10)(10(lim
0
KK
sa
KKKs
a1lim
0KK
a
El error de aceleración es entonces:KK
e
a
ss
11
Ke
ss
1
Error de Velocidad para sistema tipo Tres o Mayor (T 3)
)1()1)(1)(1)(1(
)1()1)(1)(1(lim
4321
2
0 sTsTsTsTsTs
sTsTsTsTKsK
n
T
mcba
sa
)()(lim
2
0
sHsGsKs
a
)10()10)(10)(10)(10(0
)10()10)(10)(10(lim
20
T
sa
KK0
1lim
0
KKs
a aK
El error de aceleración es entonces:11
a
ssK
e 0ss
e
Error de Aceleración para Tipos de Sistemas
Tema III: Estabilidad y Error de Estado Estable Diap. III - 30Sistemas DinámicosProfesor Luis Felipe Rojas
Ing. De SistemasEsc. De Ing. Y Cs. Aplicadas
Dpto de Computación y Sistemas
Error en Lazo Cerrado ante entradas escalón, rampa y parabólica
Tipo de
SistemaEntrada Escalón(Error de Posisción
Entrada Rampa(Error de Velocidad)
Entrada Parabol(Error de Aceleración)
TIPO 0
TIPO 1 0
TIPO 2 0 0
TIPO 3 ó > 0 0 0
Ke
ss1
1
Ke
ss
1
Error dePosición
Error deVelocidad
Error deAceleración
t
Y(t)EntradaRampa
ess
Salida
t
Y(t)
EntradaParábola e
ss
SalidaY(t)
RégimenPermanente
t
ess
Error de Aceleración . Tabla Resumen
Ke
ss
1