prépas ondes et Électromagnétisme
TRANSCRIPT
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Ondesetlectromagntisme
PARCOURSINGNIEUR
Cours avec applicationsTests de connaissancesExercices avec corrigs dtaills
Maxime NICOLAS
PeiP1er cycle ingnieurPrpa intgre
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Maxime NICOLAS
Professeur Polytech Marseille
Ondes
et lectromagntisme
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Dunod, Paris, 2009
ISBN 978-2-10-054276-5
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Table des matires
Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Chapitre 1. Temps, espace, nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Temps, frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Espace, longueur donde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 nergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Chapitre 2. Les oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 Quest-ce quun oscillateur ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Quatre exemples doscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Oscillateur harmonique non amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Oscillateur amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Forage et rsonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Couplage de deux oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7 Couplage linaire de N oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Chapitre 3. Lquation donde simple et ses solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1 quation donde simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Fonction donde monochromatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Superpositions et interfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
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iv Table des matires
Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Chapitre 4. Ondes et vibrations mcaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1 Ondes de compression dans un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Corde vibrante : ondes transverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3 Vibrations transversales des membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4 Vibration des poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Chapitre 5. Ondes dans les uides : lacoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1 Introduction sur les uides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2 quations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3 Hypothses de lacoustique linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4 Linarisation des quations de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.5 quation donde acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.6 Vitesse du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.7 Ondes dans les tuyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.8 Intensit et niveau acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.9 Vrication des hypothses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.10 Acoustique musicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Chapitre 6. Ondes lectromagntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.1 Dimensions, units et constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2 Lois de llectrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3 Charges mobiles et courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.4 Lois de la magntostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.5 Induction lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.6 quations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.7 quation donde lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
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Table des matires v
6.8 Propagation dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.9 Onde plane lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.10 Polarisation des ondes lectromagntiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.11 nergie lectromagntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Chapitre 7. Ondes lectromagntiques et matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.1 Ce quest la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.2 Conduction lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.3 Polarisation dun milieu matriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.4 Induction magntique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.5 quations de Maxwell dans la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.6 quation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.7 Propagation dans les milieux matriels homognes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.8 Ondes et interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.9 Lois de Snell-Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.10 Rexion totale sur une interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.11 Propagation guide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Chapitre 8. Ondes et vibrations non linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.1 Pendule pesant faiblement non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.2 Oscillations de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.3 Frottement solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.4 Optique non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.5 Loscillateur de Van der Pol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Annexe A. Formulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
A.1 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
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vi Table des matires
A.2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
A.3 Oprations vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
A.4 Oprateurs diffrentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
A.5 Relations utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
A.6 Thormes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Annexe B. Index des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Bibliographie et rfrences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
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Avant-propos
Prsentes dans des domaines aussi diffrents que lacoustique et llectromagn-
tisme, les ondes sont universelles. Cet ouvrage suit donc un choix thmatique et
propose un parcours riche et vari dans la physique contemporaine, les phnomnes
naturels, les systmes appliqus et industriels et les dispositifs de laboratoire.
Le premier chapitre met en place le vocabulaire, les dimensions et units des quan-
tits physiques utiles pour dcrire les phnomnes vibratoires et ondulatoires. Le
deuxime chapitre est entirement consacr aux oscillateurs, brique de base pour
construire une thorie des ondes. Plus mathmatique, le chapitre 3 prsente les outils
et mthodes danalyse qui seront utiliss dans les chapitres suivants. Le chapitre 4
offre un panorama des vibrations et ondes mcaniques dans des systmes solides
et lastiques une, deux ou trois dimensions. Le chapitre 5 porte sur lacoustique
linaire, avec une attention particulire pour les ondes sonores. Les chapitres 6 et 7
sont consacrs llectromagntisme avec dabord des rappels sur llectrostatique,
la magntostatique, puis ltablissement des quations de Maxwell. Les solutions
de propagation donde dans le vide puis dans les milieux matriels sont prsentes.
Enn le chapitre 8 montre une ouverture vers les systmes non linaires.
Cet ouvrage sadresse prioritairement aux tudiants des cycles prparatoires des
coles dingnieurs Polytech mais aussi aux lves ingnieurs ainsi quaux tudiants
de licence scientique. Peu de connaissances pralables sont ncessaires, si ce nest
une bonne matrise de la loi de Newton, des lois de base de llectrostatique et de la
magntostatique, des techniques de drivation et dintgration et une bonne connais-
sance des fonctions circulaires et exponentielles. Les principaux outils mathma-
tiques utiliss dans cet ouvrage sont rappels dans un formulaire (Annexe A).
Dans chaque chapitre le lecteur trouvera des encarts loupe , qui dtaillent un point
un peu technique ou abordent un calcul plus spcialis, et des encarts application
qui illustrent la thorie avec des exemples concrets.
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viii Avant-propos
Les exercices, dont les corrigs sont dtaills, sont classs en trois catgories : des
tests de connaissance sous forme de QCM, des exercices dapplication qui viennent
illustrer les rsultats dun chapitre, et des exercices dapprofondissement qui per-
mettent daller un peu plus loin ou de dtailler certains calculs qui ne sont pas dve-
lopps compltement dans le chapitre. Le niveau de difcult des exercices dapplica-
tion et dapprofondissement est signal par
,
ou
. Les exercices de niveau
seront plus protables aux tudiants de niveau L3 ou en formation dingnieur.
En n douvrage, un index des symboles et un index terminologique pourront aider
le lecteur retrouver rapidement une notation, un terme ou une formule et le chapitre
correspondant.
-
Temps, espace, nergie
1
Plan Objectifs
Cours
1.1 Gnralits
1.2 Temps, frquence
1.3 Espace, longueur donde
1.4 nergie
Synthse
Exercices
Corrigs
Dnir le vocabulaire
Connatre quelques ordres de
grandeur
Comprendre et utiliser la notion
de dimension dune grandeur
physique
Cours
Nous sommes entours par les ondes. La lumire, le son, les vibrations du sol ou
dune machine, les vagues, sont des exemples varis qui peuvent tous tre dcrits
comme des ondes. Ltude des ondes se place au carrefour de nombreux domaines de
la physique microscopique ou macroscopique, de la mcanique, des mathmatiques
appliques, des sciences de la Terre, et mme des sciences de la vie. Malgr la varit
des phnomnes rencontrs, nous pouvons dgager une description commune, car
toutes les ondes impliquent un couplage entre le temps et lespace.
1.1 GNRALITS
Driv du latin unda, le mot onde dsigne dabord leau mobile, en particulier les
mouvements de la surface de la mer. partir du XVIII
e
sicle, le mot onde dsigne
une propagation la surface dun liquide. Il est ensuite gnralis tout phnomne
de propagation, support par un milieu matriel (les ondes mcaniques) ou sans sup-
port matriel (les ondes lectromagntiques). Cest dans ce cadre gnral que nous
allons dnir une onde.
Toute onde est associe une vibration, une oscillation, qui se transmet de proche
en proche. Une oscillation ou une vibration est un changement priodique dune
quantit physique : une position, une hauteur, un champ lectrique, une force, etc.
Cela implique une notion forte de priodicit, qui indique le retour la situation
initiale intervalle de temps rgulier. Cet intervalle de temps dnit une priode.
-
2 Chap. 1. Temps, espace, nergie
Dans un milieu continu (un uide ou un solide par exemple), une perturbation ou
une information locale priodique va avoir un effet sur le voisinage. Ce voisinage
va son tour perturber un autre voisinage et, par cet enchanement, la perturbation
initialement localise va se dplacer dans le milieu.
La vitesse de propagation est lie aux proprits physiques du milieu. Pour un uide,
cette vitesse dpend principalement de la masse volumique et de la compressibilit. Par
exemple, la vitesse du son dans lair est de lordre de 340 ms
1
, mais cette vitesse peut
changer en fonction de la temprature et de la pression de lair. Dans le cas dun solide
la vitesse de propagation dune perturbation (un choc par exemple) dpend de la masse
volumique et de llasticit. Pour un milieu non matriel, et en particulier pour le vide,
ce sont les proprits lectriques et magntiques qui gouvernent cette vitesse. La vitesse
de la lumire, proche de 300 000 000 ms
1
, est relie deux constantes physiques de
lUnivers : la permittivit lectrique et la permabilit magntique du vide.
partir dun intervalle de temps (la priode) mesur en secondes et dune vitesse
mesure en mtres par seconde, le produit des deux donne une longueur. Cest la
distance parcourue par la perturbation ou linformation durant une priode. Si la
vitesse est constante, la distance parcourue augmente avec le temps et la perturbation
sest dplace dune certaine longueur appele la longueur donde.
Encart 1.1 Dimensions des quantits physiques
Chaque quantit physique mesurable est lie une dimension, elle-mme lie
une ou plusieurs units. Ainsi, une distance a la dimension dune longueur
(L) et peut avoir comme unit le mtre (unit du systme international), le
pouce, le dcamtre, le parsec, etc. Les dimensions de base et les units du
systme international sont :
Dimension Symbole Unit SI
courant I Ampre (A)
longueur L mtre (m)
masse M kilogramme (kg)
temps T seconde (s)
On peut construire les dimensions de quantits plus complexes partir de ces
dimensions de base. Par exemple, la vitesse a comme dimension LT
1
et
sexprime en ms
1
, et lacclration a comme dimension LT
2
et sexprime
en ms
2
. Une force, la force de pesanteur par exemple, a comme dimension
le produit dune masse par une acclration, soit LMT
2
.
On utilise parfois des quantits sans dimension. Un angle en est un exemple
utile. Cest une quantit qui peut varier entre 0 et 2p (ou 0 et 360 degrs) mais
dont la dimension est 1. Toutefois un angle a une unit de mesure, le degr, le
radian ou le grade.
-
1.2 Temps, frquence 3
1.2 TEMPS, FRQUENCE
Pour dcrire un systme en mouvement, lvolution dune quantit physique, une
variation dun nombre, on utilise des fonctions mathmatiques qui dpendent du
temps. Note t , la variable temps ne peut quaugmenter, et lvolution dune quantit
ne peut que dpendre du pass. Cest la notion de causalit.
Parmi toutes les fonctions qui dpendent dune variable, il existe un ensemble de
fonctions appeles fonctions priodiques. Ces fonctions ont une reprsentation gra-
phique qui peut tre fractionne en une innit de motifs identiques. La priode t
dune fonction est le plus petit intervalle de temps pour lequel la fonction retrouve sa
valeur initiale. La priode se mesure en unit de temps, avec une unit de base qui est
la seconde (abrviation s) dans le systme international dunits (SI). On appellera
ces fonctions les fonctions t-priodiques.
Dnitions
Une fonction est t-priodique de priode t si
f (t) = f (t + t)
quel que soit linstant t .
La priode est une dure et se mesure en s.
La frquence n est linverse de la priode :
n =
1
t
et son unit est le hertz (Hz), 1 Hz est quivalent 1 s
1
.
La pulsation ou frquence angulaire v est le produit de la frquence par 2p :
v = 2pn =
2p
t
et se mesure en rads
1
.
On peut facilement dmontrer que si une fonction est priodique de priode t, elle est
galement priodique de priode nt, o n est un nombre entier strictement suprieur
un. En effet, si on note t
= t + t, on a f (t + 2t) = f (t
+ t) = f (t
) = f (t). Le
mot priode dsigne donc la plus petite valeur de lensemble des intervalles de temps
pour lesquels la fonction est priodique.
La gure 1.1 montre quatre exemples de fonctions priodiques temporelles. La repr-
sentation graphique de ces fonctions peut tre complexe, comme dans lexemple des
battements cardiaques, ou trs simple, comme dans le cas dune fonction en crneaux.
D
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L
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autorise
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un
dlit
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4 Chap. 1. Temps, espace, nergie
t
(a)
(c)
(b)
(d)
t
t
t
f(t)
f(t)
f(t)
f(t)
Figure 1.1 Exemples de fonctions t-priodiques.
(a) fonction en dents de scie, (b) fonction crneau, (c) fonction circulaire,
(d) signal lectrique typique dun lectrocardiogramme.
Exemple 1 : les battements cardiaques
Les battements cardiaques sont un exemple de mouvement priodique pour un orga-
nisme vivant. Chez lhomme, on peut les mesurer au travers de lactivit lectrique
des muscles du cur. Le signal obtenu est appel un lectrocardiogramme (ECG).
La frquence cardiaque est bien sr variable dun individu lautre et dpend gale-
ment des efforts demands au cur. La frquence cardiaque peut tre trs variable
dune espce lautre mais, en rgle gnrale, plus lanimal est gros, plus sa fr-
quence cardiaque est basse. Ainsi la frquence cardiaque dune baleine est de 10
battements par minute (bpm), de 25 pour un lphant, de 60 100 chez lhomme
adulte, et de 500 chez les oiseaux de petite taille. Cette rgle se vrie mme au
sein dune mme espce : la frquence cardiaque dun ftus de 10 semaines est
proche de 200 bpm, puis baisse 150 bpm vers la 14
e
semaine.
Exemple 2 : des frquences astronomiques
une chelle beaucoup plus grande, les mouvements des toiles et des plantes sont
galement priodiques. Par exemple, la position de la Terre autour du Soleil est une
fonction priodique dune priode dun an, soit 31 536000 secondes. La frquence
associe est donc denviron 3, 1710
8
Hz. Parmi tous les objets clestes, les pulsars
tirent leur nom de leur luminosit variable. Un pulsar est une toile neutrons qui
est en rotation rapide autour delle-mme et qui met un rayonnement puissant dans
une direction diffrente de son axe de rotation. Un observateur loign, sur la Terre
en particulier, voit donc un signal apparatre puis disparatre de faon priodique.
Certains pulsars ont une priode de lordre de la seconde, mais le plus rapide observ
actuellement, baptis Ter5ad, a une frquence de rotation de 716 Hz.
-
1.3 Espace, longueur donde 5
Exemple 3 : les frquences lectromagntiques
Toujours dans le domaine de la physique, le rayonnement lectromagntique (dve-
lopp au chapitre 6) montre une trs large gamme de frquences, appele spectre.
Mme si la nature physique du rayonnement est identique, le spectre est dcoup
en bandes de frquences lies aux applications ou la provenance du rayonnement.
Par exemple, les ondes radio sont des ondes lectromagntiques dont la frquence
est comprise entre 9 kHz et 3 000 GHz, selon lUnion internationale des tlcom-
munications dont le rle est de rglementer lutilisation des diffrentes frquences.
lautre extrmit du spectre lectromagntique, on trouve le rayonnement gamma
(g), issu par exemple de la raction dannihilation lectron + positron. Ce rayon-
nement, trs dangereux pour les organismes vivants, a une frquence suprieure
10
19
Hz.
Le tableau 1.1 regroupe quelques frquences remarquables que lon peut rencontrer
dans la vie quotidienne.
Tableau 1.1 Quelques frquences remarquables.
Domaine Frquences Dnomination, application
gophysique 0,01 10 Hz ondes sismiques
acoustique < 20 Hz infrasons
de 20 20 000 Hz bande de frquences audibles
440 Hz diapason (LA), tonalit tlphonique
> 20 000 Hz ultrasons
horlogerie 32 768 Hz oscillation dun quartz de montre
9,192631770 GHz horloge atomique au csium
lectromagntisme 2 450 MHz four micro-ondes, wi
88 108 MHz radio FM
174 223 MHz radio numrique terrestre
470 860 MHz tlvision numrique terrestre
physique atomique 10
14
Hz vibration des atomes dans les solides
1.3 ESPACE, LONGUEUR DONDE
Aprs avoir dni des fonctions t-priodiques, on peut dnir des fonctions prio-
diques selon une ou plusieurs coordonnes de lespace. Dans un espace tridimension-
nel, chaque point est dni par trois coordonnes (x , y, z) dans un repre cartsien.
D
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L
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-
6 Chap. 1. Temps, espace, nergie
La gure 1.2a montre une surface qui est priodique dans une direction, la direction
x . Il sagit dune forme ondule dont llvation h(x) est une fonction sinusodale :
h(x) = h
0
sin(2px/l). La fonction sinus est une fonction de priodicit 2p, ce qui
indique que sin(u + 2p) = sin u pour nimporte quel angle u. En appliquant cette
relation la forme ondule, on a
sin
2px
l
+ 2p
!
= sin
2p
l
(x + l)
!
= sin
2px
l
!
,
ce qui montre que la longueur l est la priode spatiale de la fonction h(x). Cette
quantit est appele longueur donde, cest--dire la longueur pour laquelle la fonc-
tion x-priodique retrouve sa valeur.
x
x
x
y
y
y
z
z
z
(a) (b)
(c)
Figure 1.2 Reprsentation de surfaces priodiques.
(a) surface x-priodique, (b) surface priodique dans les deux directions x
et y, (c) motif priodique selon les trois dimensions de lespace. Ce motif
est bas sur la rptition dune maille cubique (en bleu).
Dnitions
Une fonction est x-priodique de priode l si
f (x) = f (x + l)
quelle que soit la position x .
La longueur l est la longueur donde de la fonction f .
-
1.4 nergie 7
Le nombre donde k
x
est dni par :
k
x
=
2p
l
,
sa dimension est L
1
et son unit est le m
1
.
On peut dnir des fonctions qui sont multi-priodiques, cest--dire que la fonc-
tion est priodique pour plusieurs variables. La gure 1.2b montre une surface prio-
dique selon les deux directions x et y. Cest une fonction du type sin(k
x
x) sin(k
y
y)
avec deux nombres dondes k
x
et k
y
. Dans lexemple de la gure, les deux nombres
dondes sont gaux.
Ne pas confondre la longueur donde avec le nombre donde. La longueur
donde se mesure en m, tandis que le nombre donde se mesure en m
1
.
Comme une frquence, une longueur donde est un nombre positif. On va principa-
lement rencontrer les longueurs dondes les plus courtes dans le domaine de llec-
tromagntisme et de la physique des particules. Dans le tableau 1.2 sont indiques
quelques longueurs dondes remarquables.
Tableau 1.2 Quelques longueurs dondes remarquables.
Domaine Longueur donde Dnomination, application
lectromagntisme >10 cm ondes radio
1 300 mm infra-rouge
400 700 nm lumire visible
10 400 nm ultraviolet
acoustique 1,7 cm 17 m domaine audible
ondes de surface de 1 m 100 km vagues ocaniques
1.4 NERGIE
Lnergie dun systme physique est une quantit qui peut prendre plusieurs formes.
La dimension de lnergie est L
2
MT
2
, et lunit standard est le joule (J). En mca-
nique, lnergie totale se dcompose en une nergie cintique, lie au mouvement,
en une nergie potentielle, lie la prsence dune masse dans un champ de force, et
en un travail des diffrentes forces qui agissent sur le systme, par exemple une force
de frottement.
D
unod
L
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non
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un
dlit
-
8 Chap. 1. Temps, espace, nergie
Exemple : nergie cintique dune masse oscillante
Une masse m qui se dplace une vitesse v possde une nergie cintique
E
c
=
1
2
mv
2
. Si cette masse suit un mouvement priodique de la forme
x(t) = x
0
sin vt ,
sa vitesse est
v(t) =
x(t) = x
0
v cos vt ,
et son nergie cintique est
E
c
=
1
2
m
x
2
=
1
2
mx
2
0
v
2
cos
2
vt .
Dautres formes existent : lnergie lectrique, magntique, thermique, et des proces-
sus complexes font souvent intervenir de nombreux changes entre ces diffrentes
formes dnergie. La technologie prsente de nombreux dispositifs qui permettent de
convertir lnergie dune forme une autre. Un microphone assure la conversion de
lnergie mcanique acoustique en nergie lectrique. Cette conversion correspond
la traduction dun signal acoustique en un signal lectrique. Une fois ampli et
conditionn, ce signal peut tre envoy vers un dispositif metteur, une antenne, qui
va convertir lnergie lectrique en nergie lectromagntique transporte par une
onde radio. En inversant le processus, le signal lectromagntique est converti par un
rcepteur en signal lectrique qui son tour est converti en signal acoustique par un
dispositif haut-parleur. Cette chane de transformation des nergies est un exemple
dun systme de communication utilis pour la diffusion par radio hertzienne ou par
tlphonie, pour ne citer que des applications de la vie courante.
Dans les milieux continus, lnergie est rpartie dans un volume, espace trois
dimensions. Si la rpartition est homogne, on peut dnir une densit volumique
dnergie, mesure en Jm
3
. Cest le cas des ondes lectromagntiques dans le vide
qui transportent lnergie dans tout le volume disponible.
SYNTHSE
Savoirs
Une onde est la propagation de proche en proche dune oscillation, dune vibra-
tion ou dune information priodique.
La priode est lintervalle de temps ncessaire pour retrouver ltat initial.
La longueur donde est la distance entre deux valeurs identiques dune fonc-
tion dune variable spatiale.
La frquence n est linverse de la priode t ; le nombre donde est 2p/l.
-
Exercices 9
Savoir-faire
Convertir une priode en frquence et une longueur donde en nombre donde.
Connaissant la vitesse de propagation dune onde, relier la frquence la lon-
gueur donde.
Mots-cls
Frquence
Priode
Pulsation
Longueur donde
Nombre donde
Exercices
Tester ses connaissances
1 La quantit 2px/l a comme unit :
a. le mtre. b. le m
1
. c. sans unit.
2 Un nombre donde a comme unit :
a. le mtre. b. le m
1
. c. sans unit.
3 La vitesse de la lumire (vitesse de propagation des ondes lectromagntiques)
est proche de :
a. 300 000 kms
1
. b. 300 000 ms
1
. c. 300 000000 kmh
1
.
4 La pression est une force par unit de surface. Sa dimension est :
a. LT
1
. b. L
1
MT
2
. c. L
2
MT
1
.
Exercices dapplication
5
Donner la priode en secondes, la frquence en Hz et la pulsation en rad s
1
associes un rythme cardiaque de 80 battements par minute.
6
Un tambour de machine laver tourne 1 500 tours par minute. Dterminer la
priode, la frquence et la pulsation correspondantes.
7
Une voiture roule une vitesse v = 90 km h
1
. Un des pneus (diamtre
D = 62 cm) a un dfaut sous la forme dune petite bosse sur la bande de
roulement. Dterminer la frquence de vibration qui peut tre ressentie par le
conducteur.
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L
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-
10 Chap. 1. Temps, espace, nergie
8
Donner les longueurs dondes associes aux frquences sonores 20 Hz (limite
basse de laudition), 440 Hz (diapason), 20 kHz (limite haute de laudition),
5 MHz (ultrasons).
9
Quelles sont les frquences associes aux couleurs dont les longueurs dondes
sont donnes ci-dessous :
Couleur Longueur donde l
bleu 470 nm
rouge 650 nm
jaune 580 nm
vert 530 nm
10
Quelles sont les longueurs donde associes aux ondes lectromagntiques de
frquences n = 100 MHz (radio en modulation de frquence) et n = 2 450 MHz
(chauffage par micro-onde) ?
Exercices dapprofondissement
11 La perception du relief sonore
r
a. Dterminer la diffrence de temps de propagation
entre une source sonore et les oreilles gauche et
droite dun auditeur. La distance entre les deux
oreilles est 2d = 20 cm. On placera un repre dont
lorigine est entre les oreilles et la source sonore
est repre par des coordonnes polaires (r , u).
b. Simplier lexpression obtenue en supposant que
la source est loigne de lauditeur : r d .
c. Calculer la diffrence de temps de parcours de
londe sonore pour une source place r = 10 m
et oriente u = 45
.
-
Corrigs
Tester ses connaissances
a. b. c.
1
2
3
4
Un nombre donde est calcul comme linverse dune longueur.
Exercices dapplication
5 Un rythme de 80 battements par minute correspond 1,33 battements par seconde. La
frquence est donc n = 1, 33 Hz et la priode t = 1/n = 0, 67 s. La pulsation est
2pn = 8, 37 rads
1
.
6 La rotation correspond 1 500/60 = 25 tours par seconde, la frquence est donc
n = 25 Hz, la priode t = 40 ms et la pulsation est v = 157 rads
1
.
7 Si on note n la frquence de rotation des roues, la vitesse est le produit de cette fr-
quence et de la distance parcourue pour un tour de roue, soit v = pDn. La frquence
est donc n = v/pD = 12, 8 Hz pour les donnes numriques proposes.
8 Les ondes sonores se propagent la vitesse de c = 340 m s
1
. La longueur donde
associe une frquence n est l = c/n, ce qui donne pour les frquences proposes :
17 m pour la frquence de 20 Hz, 77 cm pour la frquence de 440 Hz, 1,7 cm pour la
frquence de 20 kHz et 340 mm pour les ultrasons 1 MHz.
9 Les ondes lectromagntiques se dplacent la vitesse de la lumire c = 310
8
m/s. La
frquence associe une longueur donde est n = c/l ce qui donne pour les couleurs
proposes :
Couleur Longueur donde l (nm) Frquence (Hz)
bleu 470 6, 3810
14
rouge 650 4, 6210
14
jaune 580 5, 1710
14
vert 530 5, 6610
14
10 Avec la relation l = c/n et avec c = 3 10
8
m/s, la longueur donde associe une
frquence de 100 MHz est l = 3 m et la longueur donde gnre par un four micro-
ondes est l = 12 cm.
Corrigs 11
-
Exercices dapprofondissement
11 La perception du relief sonore
a. Le trac gomtrique de la conguration montre que la distance entre la source
est loreille gauche r
G
est plus courte que la distance entre la source et loreille
droite r
D
.
G
A
B
S
D
x
y
r
d d
d
La relation de Pythagore applique aux triangles rectangles AGS et BDS donne
r
2
G
= r
2
cos
2
u + (r sin u d)
2
et r
2
D
= r
2
cos
2
u + (r sin u + d)
2
, soit
r
G
= r
'
1
2d
r
sin u +
d
2
r
2
,
r
D
= r
'
1 +
2d
r
sin u +
d
2
r
2
,
et la diffrence de temps de vol de londe acoustique est
Dt =
r
D
r
G
c
.
b. Si on suppose que d/r 1, alors le terme quadratique d
2
/r
2
dans les
expressions de r
G
et r
D
peut tre nglig, et on peut galement dvelopper
12 Chap. 1. Temps, espace, nergie
-
&1 2d/r 1 d/R, ce qui donne pour la diffrence de temps :
Dt =
2d sin u
c
, pour d r .
On remarque que, par cette hypothse, la diffrence de temps est indpendante de
la distance r de la source.
c. Avec un angle u = 45
et une vitesse c = 340 ms
1
, on trouve une diffrence de
temps de 0,3 ms. Cette diffrence de temps de perception nest pas la seule informa-
tion utilise par le cerveau pour localiser une source sonore. Lattnuation ainsi que
le dphasage entre les deux signaux sont galement importants.
Corrigs 13
-
2Les oscillateurs
Plan Objectifs
Cours
2.1 Quest-ce quun
oscillateur ?
2.2 Quatre exemples
doscillateurs
2.3 Oscillateur harmonique
non amorti
2.4 Oscillateur amorti
2.5 Forage et rsonance
2.6 Couplage de deux
oscillateurs
2.7 Couplage linaire de N
oscillateurs
Synthse
Exercices
Corrigs
Dnir la notion doscillateur
Dterminer la frquence propre
dun oscillateur
Identier les phnomnes de
rsonance
Modliser lamortissement et la
dissipation dnergie
Cours
La propagation dune onde repose sur des oscillations ou vibrations locales. Loscil-
lation la plus simple est obtenue par la prsence de deux forces : une force motrice et
une force de rappel. partir des principes de base de la physique et de la mcanique,
il est possible de dcrire le mouvement dun oscillateur simple par deux quantits :
lamplitude doscillation et la frquence doscillation. Si en plus on prend en compte
la dissipation dnergie (frottement par exemple), on peut calculer comment loscil-
lation sattnue au cours du temps. Enn, quand loscillateur est en contact avec une
source dnergie, on peut modliser ladaptation de loscillateur cette source.
-
2.1 Quest-ce quun oscillateur ? 15
2.1 QUEST-CE QUUN OSCILLATEUR ?
Commenons par une vritable exprience de table. Sur le bord dune table, main-
tenez fermement lextrmit dune rgle (en plastique ou en mtal) avec le pouce.
Lautre extrmit est dans le vide. Appuyez sur lextrmit libre et relchez. La rgle
vibre en mettant un son caractristique d aux chocs rpts entre la rgle et la
table. En changeant la longueur de la rgle au-dessus du vide, on change la sonorit.
Exprience simple raliser mais complexe transcrire mathmatiquement : la rgle
oscille autour dune position de repos qui est trs proche de lhorizontale.
la suite de cet exemple, nous choisirons une dnition trs gnrale :
Dnition
Un oscillateur est un objet ou une quantit physique qui dcrit une variation
priodique autour dune position dquilibre.
Un systme physique en quilibre est un systme dont les caractristiques physiques
sont constantes dans le temps. Ces caractristiques peuvent tre la position, la vitesse,
la charge lectrique, etc.
Par exemple, une bille au fond dune cuvette est un systme en quilibre. Si on per-
turbe la bille en lui donnant un coup, elle va retourner au fond de la cuvette et retrou-
ver sa position dquilibre (gure 2.1). Au contraire, une bille immobile au sommet
g
(a) (b)
(c) (d)
Figure 2.1 Les positions dquilibres (en bleu) peuvent tre stables (a, c) ou
instables (b, d). Dans ces exemples, cest la force de pesanteur qui est motrice.
D
unod
L
aphotocopie
non
autorise
est
un
dlit
-
16 Chap. 2. Les oscillateurs
dune colline ne retrouvera jamais sa position dquilibre si on lui donne une impul-
sion. Cet exemple montre la distinction entre un quilibre stable (la cuvette) et un
quilibre instable (la colline).
Un quilibre stable est donc dni par lexistence dune force de rappel qui ramne le
systme vers la conguration dquilibre. Dans le cas de la cuvette, la force de gravit
couple avec la forme incurve du sol impose un retour de la bille vers le fond.
Lexprience de la rgle montre quau bout dun certain temps, la vibration samortit
et la rgle redevient immobile : lnergie initiale fournie par la dformation de la
rgle sest dissipe au cours du mouvement.
Pour commencer ltude des oscillateurs, nous ne prenons pas en compte
ces pertes dnergie.
2.2 QUATRE EXEMPLES DOSCILLATEURS
Ces quatre exemples nexistent que dans un monde idal o les frottements, la fric-
tion et, plus gnralement, la dissipation dnergie nexistent pas. Lnergie initiale
du systme est donc indniment conserve, mme si cette nergie peut prendre
plusieurs formes. Malgr cette hypothse, il convient de se pencher avec beaucoup
dattention sur ces modles car ils sont la base de toute la physique des ondes et
des vibrations.
2.2.1 Systme masse-ressort
Le premier exemple doscillateur est un ressort attach un point xe une extrmit
et une masse libre son autre extrmit (gure 2.2). Comme tous les frottements
sont ngligs, la seule force le long de laxe Ox est la force de rappel du ressort
R = kx . La constante k est la raideur du ressort, dont la valeur se mesure en
Nm
1
. Plus cette valeur est leve, plus le ressort va rsister lallongement ou la
compression.
Lquation du mouvement masseaccleration = somme des forces scrit ici sim-
plement
m
d
2
x
dt
2
= R = kx (2.1)
ou encore
d
2
x
dt
2
+
k
m
x = 0. (2.2)
Le seul coefcient du second terme k/m a la dimension dun temps la puissance
2. En effet
k
m
=
M.T
2
M
= T
2
-
2.2 Quatre exemples doscillateurs 17
position
d'quilibre
la force de rappel
du ressort ramne
la masse vers la
position d'quilibre.
m
O
R
x
x
t
x(t)
(a) (b)
Figure 2.2 Oscillation dune masse lie un point xe par un ressort.
Ce coefcient est homogne une pulsation au carr et on choisit dcrire lquation
(2.2) sous la forme
d
2
x
dt
2
+ v
2
0
x = 0, avec v
0
=
'
k
m
. (2.3)
Ce systme vibrant est larchtype des oscillateurs. Cest pourquoi dans
la suite de ce chapitre, cest ce modle qui sera choisi comme exemple
lorsquune description physique sera ncessaire.
2.2.2 Pendule simple
Un pendule est constitu dune masse m au bout dune tige (ou corde) de longueur l.
La masse est soumise la gravit et la position dquilibre est la verticale sous le
point de xation. Ce point dquilibre est stable. Un autre point dquilibre, instable
celui-l, se trouve la verticale au-dessus du point de xation.
Quel que soit son mouvement, la masse se dplace sur un arc de cercle de rayon l
(gure 2.3). La coordonne curviligne qui permet de reprer la position de la masse
est lu o u est langle de la tige par rapport la verticale. En projection sur laxe
tangent la trajectoire, la loi de Newton scrit
ml
d
2
u
dt
2
= mg sin u, (2.4)
et aprs simplication
d
2
u
dt
2
+
g
l
sin u = 0. (2.5)
D
unod
L
aphotocopie
non
autorise
est
un
dlit
-
18 Chap. 2. Les oscillateurs
6
P = m6g
T
6
g
Figure 2.3 Dnition des paramtres pour le pendule simple.
Comme dans lexemple du systme masse-ressort, le seul coefcient de lquation,
g/l, est homogne au carr dune pulsation :
g
l
=
L.T
2
L
= T
2
,
et lquation du pendule scrit
d
2
u
dt
2
+ v
2
0
sin u = 0, avec v
0
=
'
g
l
. (2.6)
La projection de la force de pesanteur sur laxe donne un terme en sin u. Lquation
du pendule simple est donc non linaire. Si on limite le mouvement aux petites
oscillations (u 1), on peut utiliser un dveloppement de la fonction sinus en srie
de Taylor :
sin u = u
u
3
3!
+
u
5
5!
+ , u 1.
Encart 2.1 Dveloppement de fonctions en srie et linarisation
dquations
Toutes les fonctions peuvent tre dveloppes en polynme autour dun point,
sous rserve quelles soient drivables. Soit f (x) une fonction et x
0
un point
autour duquel on cherche un dveloppement, appel dveloppement de Taylor-
Young. Le dveloppement est
f (x)
xx
0
= f (x
0
) +
,
n = 1
1
n!
d
n
f
dx
n
!
(x
0
)(x x
0
)
n
(2.7)
-
2.2 Quatre exemples doscillateurs 19
Les fonctions circulaires ont comme dveloppement lordre au voisinage de
x = 0 :
sin u =
n
,
j = 0
(1)
j
(2 j + 1)!
u
2 j+1
,
cos u =
n
,
j = 0
(1)
j
(2 j )!
u
2 j
.
Grce au dveloppement (2.7), une quation non linaire (par exemple lqua-
tion du pendule 2.6) peut tre linarise autour dun point particulier. Une
quation est dite linaire pour une variable ou une fonction x si toute combi-
naison linaire de deux solutions x
1
et x
2
indpendantes forme une solution.
En ne gardant que le premier terme de ce dveloppement, on fait lapproximation
sin u u, et lquation du mouvement est alors rendue linaire, mais restreinte aux
petites oscillations :
d
2
u
dt
2
+ v
2
0
u = 0. (2.8)
Lhypothse dune petite oscillation est dans la pratique difcile formu-
ler, car cela dpend de la prcision choisie. Si on accepte une erreur dun
pour-cent dans le dveloppement sin u u, cela correspond un angle
u < 0, 25 rad, soit un maximum de 14 degrs.
Encart 2.2 Mesure du temps
La frquence dun pendule pesant ne dpend que de sa longueur. Ainsi, un pen-
dule dune exacte longueur de 9, 81/p
2
= 99,4 cm oscille avec une priode
de deux secondes. Comme le pendule passe deux fois par priode au point
dquilibre, on peut dnir la seconde comme lintervalle de temps entre deux
passages successifs au point dquilibre dun pendule de cette longueur.
2.2.3 Oscillateur lectronique
Loscillateur lectronique le plus simple est compos de deux diples : une induc-
tance idale et un condensateur (gure 2.4). Cet oscillateur est idal car il ny a pas
de perte. Dans la ralit, la rsistance des conducteurs et des contacts induit une
perte dnergie sous forme de chaleur (leffet Joule). Une modlisation plus raliste
comporte une rsistance en srie R.
D
unod
L
aphotocopie
non
autorise
est
un
dlit
-
20 Chap. 2. Les oscillateurs
L
I
C
Figure 2.4 Loscillateur lectronique le plus simple.
Il est compos dune inductance (self) L et dun condensateur de capa-
cit C.
Si on note I lintensit du courant dans le circuit et q la charge du condensateur, la
diffrence de potentiel aux bornes de linductance est Ld I/dt et celle aux bornes du
condensateur est q/C . Dautre part, lintensit est relie la charge par I = dq/dt .
La loi des mailles applique ce circuit donne donc
L
d
2
q
dt
2
+
q
C
= 0, (2.9)
ou encore
d
2
q
dt
2
+
1
LC
q = 0. (2.10)
Encore une fois, la constante 1/LC est homogne linverse dun temps au carr, et
on crit lquation pour la charge instantane :
d
2
q
dt
2
+ v
2
0
q = 0, avec v
0
=
1
LC
. (2.11)
Encart 2.3 Oscillateurs lectroniques
Ce principe est prsent dans tous les oscillateurs lectroniques, de haute ou
basse frquence. De nombreux oscillateurs ont t invents dans le premier
quart du XX
e
sicle lors du dveloppement des communications par radio. Les
oscillateurs sont utiliss pour slectionner une frquence particulire et mettre
ainsi en communication deux appareils distants.
Dans les annes 1960, les oscillateurs ont t utiliss pour la synthse sonore
avec la mise en uvre des premiers synthtiseurs analogiques, les oscillateurs
de plus basse frquence (low frequency oscillator, LFO) tant utiliss pour
moduler la frquence ou la phase dun signal cr par un oscillateur de fr-
quence audible (typiquement on considre que loreille humaine est sensible
aux vibrations acoustiques entre 20 et 20 000 Hz).
-
2.2 Quatre exemples doscillateurs 21
2.2.4 Modle harmonique de la liaison atomique
Une liaison atomique est la mise en commun dun ou plusieurs lectrons par deux
atomes. Deux atomes ainsi lis forment une molcule. Linteraction entre ces deux
atomes est reprsente par un potentiel qui dpend de la distance r sparant les
centres (noyaux) des deux atomes (gure 2.5).
V(r)
r
r
e
O
H H
k
m
H
m
H
(a) (b)
Figure 2.5
(a) Modle mcanique dune liaison atomique simple : les deux atomes
(par exemple deux atomes dhydrogne) sont modliss par deux masses
relies par une liaison lastique, un ressort. (b) Reprsentation du poten-
tiel dinteraction V entre les deux atomes (trait continu), et son approxi-
mation parabolique (trait pointill).
Le potentiel est en gnral une fonction complique mais il peut se dcomposer en
deux parties :
une partie attractive longue porte (r > r
e
) ;
une partie fortement rpulsive courte porte (r < r
e
).
Pour une distance dquilibre r = r
e
le potentiel passe par un minimum. La force
dinteraction F entre les deux atomes drive du potentiel et passe donc par zro
cette distance particulire :
F (r
e
) =
dV
dr
!
r = r
e
= 0.
Si la distance entre les atomes varie peu par rapport la valeur dquilibre r
e
, on peut
dvelopper le potentiel sous la forme
V (r r
e
) = V (r
e
) +
,
n = 1
1
n!
d
n
V
dx
n
!
r = r
e
(r r
e
)
n
.
D
unod
L
aphotocopie
non
autorise
est
un
dlit
-
22 Chap. 2. Les oscillateurs
Comme le potentiel admet un minimum, la drive premire du potentiel est nulle et
les deux premiers termes du dveloppement sont
V (r r
e
) V (r
e
) +
1
2
d
2
V
dx
2
!
r = r
e
(r r
e
)
2
+
et le potentiel approch est de forme parabolique (gure 2.5b). Avec cette approxi-
mation, la force de liaison est
F =
d
2
V
dx
2
!
r = r
e
(r r
e
) + ,
qui est de la mme forme que la force de rappel du ressort prsent plus haut ( 2.2.1).
Lanalogie montre que la raideur du ressort est quivalente la drive seconde du
potentiel valu la distance dquilibre.
Exemple : la molcule H
2
Le modle mcanique de cette molcule est compos de deux masses identiques
m
H
relies par un ressort de raideur k. Notons x
1
et x
2
les carts de chaque masse
par rapport leurs positions dquilibre respectives. Les quations du mouvement
des atomes sont
m
H
d
2
x
1
dt
2
= k(x
1
x
2
), (2.12)
m
H
d
2
x
2
dt
2
= +k(x
1
x
2
). (2.13)
Dans ce systme, cest lcart de position entre les masses qui produit la force,
cest donc la seule variable x
12
= x
1
x
2
qui est pertinente. La diffrence des deux
quations ci-dessus produit
m
H
d
2
(x
1
x
2
)
dt
2
= 2k(x
1
x
2
), (2.14)
ou encore
d
2
x
12
dt
2
+ v
0
x
12
= 0, (2.15)
avec
v
0
=
'
2k
m
H
=
%
2
m
H
d
2
V
dr
2
!
r = r
e
.
Le facteur 2 dans cette quation vient de la prsence de deux masses identiques. Le
systme est un systme masse-ressort avec une masse rduite m
H
/2. Dans le cas
o les masses sont diffrentes (m
1
et m
2
), la masse rduite est m
1
m
2
/(m
1
+ m
2
).
-
2.3 Oscillateur harmonique non amorti 23
Encart 2.4 Spectroscopie infrarouge
Ce modle simple est largement utilis en spectroscopie infrarouge (IR). Un
spectromtre est un appareil qui compare les spectres lectromagntiques avant
et aprs la traverse dun chantillon. La diffrence des spectres montre les
bandes des frquences absorbes par lchantillonde matire analyser.Ces fr-
quences sont relies aux diffrentes liaisons atomiques prsentes. Chaque liai-
son est rpertorie par une frquence propre et on peut lui associer une constante
de raideur k selon le modle mcanique. Quelques exemples de constantes de
raideur et de frquences propres n
0
= v
0
/2p sont donns ci-dessous :
Liaison k(Nm
1
) n
0
(10
13
Hz)
H-Cl 480 8,66
H-F 970 8,72
H-Br 410 7,68
H-I 320 6,69
C-O 1 860 6,42
N-O 1 530 6,63
2.3 OSCILLATEUR HARMONIQUE NON AMORTI
Les quatre exemples prcdents aboutissent tous une quation de la mme forme.
On peut donc crire une quation gnrale pour lamplitude de loscillateur A(t).
Cette amplitude peut tre la position de la masse, lcart du pendule avec la verticale,
etc. Cette quation est :
d
2
A
dt
2
+ v
2
0
A = 0. (2.16)
Lquation (2.16) est une quation diffrentielle ordinaire du deuxime ordre. La
dtermination complte de la solution ncessite donc la connaissance de deux condi-
tions initiales sur lamplitude et la vitesse de loscillateur t = 0. Posons :
lamplitude initiale A
0
= A(t = 0) ;
la vitesse initiale
A
0
= d A/dt(t = 0).
2.3.1 Solution gnrale
Pour rsoudre lquation (2.16), on doit chercher une fonction A(t) telle que sa dri-
ve seconde soit gale v
2
0
A. Sans hypothse particulire, la solution gnrale de
(2.16) scrit sous la forme dexponentielles complexes :
A(t) = A
1
e
iv
0
t
+ A
2
e
iv
0
t
,
D
unod
L
aphotocopie
non
autorise
est
un
dlit
-
24 Chap. 2. Les oscillateurs
o les constantes A
1
et A
2
sont dtermines par les conditions initiales (t = 0) :
A
1
=
1
2
A
0
i
A
0
v
0
,
A
2
=
1
2
A
0
+ i
A
0
v
0
.
Finalement, aprs rarrangement, la solution gnrale est
A(t) = A
0
cos v
0
t +
A
0
v
0
sin v
0
t . (2.17)
Cette solution peut galement scrire sous la forme dune seule fonction circulaire,
mais avec une phase initiale f
0
:
A(t) = A
1
cos(v
0
t + f
0
). (2.18)
Graphiquement, lamplitude dcrit une sinusode de priode 2p/v
0
(gure 2.6a) et
la vitesse montre la mme forme, mais avec un dcalage temporel (un dphasage)
de t/2 (gure 2.6b). Une autre faon de reprsenter graphiquement lvolution de
loscillateur consiste tracer la vitesse
A en fonction de lamplitude A : cest le
portrait de phase (gure 2.6c). La proprit principale de ce trac est de montrer
A(t)
A(t)
A(t)
A(t)
t
t
t = 0
t =
4
t =
3
4
t =
2
2 3
2 3
A
0
(a)
(b) (c)
Figure 2.6
Au cours du temps, lamplitude (a) dun oscillateur non amorti dcrit une
courbe sinusodale, de mme que sa vitesse (b). Ces deux courbes sont
dcales dune demi-priode t/2, ce qui correspond un dphasage de
p. Si on trace la vitesse
A(t) en fonction de lamplitude A(t), le portrait
de phase est une courbe ferme (c). Les conditions initiales sont une
amplitude non nulle A
0
= 0 et une vitesse nulle
A
0
= 0.
-
2.3 Oscillateur harmonique non amorti 25
une forme ferme : le systme retrouve son tat aprs chaque intervalle de temps gal
la priode t.
Lquation (2.16) a t obtenue pour des systmes idaux, en labsence de dissipation
dnergie. La courbe ferme du portrait de phase montre non seulement la priodicit
de loscillateur, mais galement la conservation de lnergie totale du systme.
2.3.2 Conservation de lnergie totale
Une nergie a comme dimensionML
2
T
2
et lunit SI associ est le joule (J). Pour
construire une nergie partir de lquation (2.16), il est plus ais de revenir un
modle mcanique, par exemple le systme masse-ressort. Lamplitude A dsigne
donc lallongement du ressort x par rapport sa position dquilibre.
Lquation (2.16) met en relation lamplitude A et laccleration d
2
A/dt
2
. On peut
faire apparatre la vitesse
A en crivant :
d
A
dt
+ v
2
0
A = 0.
En multipliant par m
A, on a :
m
A
d
A
dt
+ mv
2
0
AA = 0,
puis en intgrant une fois par rapport au temps, on obtient :
1
2
m
A
2
+
1
2
mv
2
0
A
2
= E , (2.19)
o E est une constante, lnergie totale du systme.
En rintroduisant la masse m et la raideur k, et en posant A = x et v = dx/dt on a :
1
2
mv
2
+
1
2
kx
2
= E
c
+ E
p
= E . (2.20)
soit la somme de lnergie cintique et de lnergie potentielle crites sous une forme
traditionnelle.
Au cours du mouvement oscillatoire, lnergie effectue un va-et-vient : en sloi-
gnant de la position dquilibre stable, le systme ralentit jusqu larrt complet
avec une nergie potentielle maximum. Au contraire, au passage au point dqui-
libre, la vitesse donc lnergie cintique est maximale et lnergie potentielle
est nulle.
La solution tant priodique de priode t, on peut calculer la moyenne temporelle de
lnergie :
E
t
=
1
t
t
0
1
2
m
A
2
dt +
1
t
t
0
1
2
mv
2
0
A
2
dt ,
D
unod
L
aphotocopie
non
autorise
est
un
dlit
-
26 Chap. 2. Les oscillateurs
ce qui donne
E
t
=
1
4
m(v
2
0
A
2
0
+
A
2
0
) +
1
4
m(v
2
0
A
2
0
+
A
2
0
).
On constate donc que, sur une priode, lnergie cintique moyenne est gale lner-
gie potentielle moyenne.
2.4 OSCILLATEUR AMORTI
Dans les systmes rels, il y a change dnergie entre loscillateur et lenvironne-
ment extrieur : soit loscillateur transmet de lnergie donc il en perd soit il
en absorbe. On peut imaginer de nombreuses sources de frottement, ainsi que dif-
frents modes de dissipation dnergie. Dans la suite de ce chapitre, nous discutons
uniquement du frottement de type visqueux o la force est proportionnelle la
vitesse.
Encart 2.5 Le frottement visqueux
Un objet solide qui se dplace dans un milieu uide (gaz ou liquide) subit une
force de frottement de direction oppose la vitesse. La force de frottement
est dautant plus forte que la viscosit du milieu est grande. Lexpression de la
force de frottement dpend de la gomtrie de lcoulement autour de lobjet
considr et cet coulement est caractris par un nombre sans dimension
appel nombre de Reynolds :
Re =
r
f
U L
h
f
,
o r
f
et h
f
sont la masse volumique et la viscosit dynamique du uide, U
est la vitesse caractristique relative entre le solide et le uide, et L la taille
caractristique de lobjet solide. Quand le nombre de Reynolds est petit devant
1 (Re 1), la force de frottement est proportionnelle la vitesse de lobjet
6
U et la taille de lobjet :
6
F
f
= Ch
f
L
6
U .
Par exemple, pour une sphre de rayon a se dplaant une vitesse
6
U dans un
uide au repos, G. G. Stokes (18191903) a montr que la force de frottement
est
6
F
f
= 6ph
f
a
6
U .
-
2.4 Oscillateur amorti 27
Pour rendre compte de ce frottement, on ajoute un terme proportionnel la vitesse
A
dans lquation damplitude (2.16) :
d
2
A
dt
2
+ g
d A
dt
+ v
2
0
A = 0 (2.21)
o g est une constante damortissement qui a la dimension de linverse dun temps
([g] = T
1
).
La solution gnrale dune telle quation diffrentielle est du type A = e
ut
, ce qui
donne une quation caractristique du second degr u
2
+gu +v
2
0
= 0 dont les racines
sont
u
1,2
=
1
2
g
$
g
2
4v
2
0
!
=
g
2
a avec a =
1
2
$
g
2
4v
2
0
.
La solution de (2.21) est donc de la forme
A(t) = e
gt/2
A
1
e
at
+ A
2
e
at
et les conditions initiales (A
0
,
A
0
) permettent de dterminer les constantes A
1
et A
2
,
pour obtenir nalement la solution gnrale de (2.21) :
A(t) =
e
gt/2
2a
aA
0
e
at
+ e
at
+
g
2
A
0
+
A
0
e
at
e
at
. (2.22)
Selon la nature de a (imaginaire, nul ou rel), on peut distinguer trois rgimes dcrits
ci-dessous.
2.4.1 Rgime oscillant
Si (g
2
4v
2
0
) < 0, alors a est un imaginaire pur, que lon crit sous la forme a = iv
1
avec
v
1
= v
0
%
1
g
2
4v
2
0
. (2.23)
Dans ce cas, la solution (2.22) devient
A(t) = e
gt/2
A
0
cos v
1
t +
1
v
1
g
2
A
0
+
A
0
sin v
1
t
(2.24)
et lamplitude dcrit une oscillation de pulsation v
1
avec une enveloppe exponentiel-
lement dcroissante. Ce rgime est appel pseudo-priodique car il ne satisfait pas
la dnition de la priodicit vue au chapitre 1. La gure 2.7 montre lamplitude
(a), la vitesse (b) et le portrait de phase (c) pour un exemple damortissement faible.
D
unod
L
aphotocopie
non
autorise
est
un
dlit
-
28 Chap. 2. Les oscillateurs
(c)
(a)
(b)
t
t
A(t)
A(t)
A(t)
A(t)
t =
1
4
t =
1
2
t =
3
1
4
Figure 2.7
Au cours du temps, lamplitude dun oscillateur non amorti dcrit une
courbe sinusodale (en haut gauche) dont lamplitude est module par
une fonction exponentielle dcroissante (pointille), de mme que sa
vitesse (en bas gauche). Ces deux courbes sont dcales dune demi
priode t
1
/2, ce qui correspond un dphasage de p . Si on trace la
vitesse
A en fonction de lamplitude A, le portrait de phase est une courbe
spirale (droite). Les conditions initiales sont une amplitude non nulle
A
0
= 0 et une vitesse nulle
A
0
= 0.
Lamortissement introduit une diffrence importante par rapport au cas de loscilla-
teur idal car il modie sa pulsation. Lexpression (2.23) montre que la pulsation
v
1
est plus petite que la pulsation v
0
de loscillateur idal. En faisant augmenter le
facteur damortissement jusqu une valeur critique 4v
0
, la pulsation v
1
tend vers
0, et lamortissement supprime totalement les oscillations. On parle alors de rgime
critique pour g = 4v
0
et de rgime apriodique pour g > 4v
0
. Ces rgimes sont
abords dans les exercices 12 et 13 de ce chapitre.
2.4.2 Dissipation dnergie
On peut appliquer lquation (2.21) le mme traitement quau 2.3.2, savoir une
multiplication par
A et une intgration par rapport au temps, ce qui donne
1
2
A
2
+
1
2
v
2
0
A
2
= g
A
2
dt .
Lnergie du systme est maintenant une fonction du temps :
E(t) = g
A
2
dt ,
-
2.5 Forage et rsonance 29
et son volution dpend du signe de g. Dans les cas ralistes o g est positif, lnergie
dcrot vers 0 avec le taux de dcroissance
dE
dt
= g
A
2
.
Lamortissement dun oscillateur est caractris par un nombre sans dimension
appel le facteur de qualit.
Dnition
Le facteur de qualit est calcul par
Q =
v
0
g
. (2.25)
En rgime oscillant, lenveloppe de lamplitude de loscillateur dcrot exponentiel-
lement avec le temps, et le temps ncessaire pour diminuer lamplitude dun facteur
e 2, 7 est Qt/p, avec t la priode. Q/p est donc le nombre doscillations nces-
saires pour que lenveloppe diminue dun facteur e.
Exemple 1 : oscillateur quartz
Les oscillateurs quartz utiliss pour les horloges lectroniques ont un facteur de
qualit de lordre de 10
6
.
Exemple 2 : amortisseur de voiture
Un amortisseur de voiture doit au contraire amortir trs rapidement lnergie appor-
te par une irrgularit de la route, et son facteur de qualit doit tre lgrement
suprieur 1.
2.5 FORAGE ET RSONANCE
2.5.1 quation damplitude de loscillateur forc
Quand le systme est soumis une force extrieure variable, lquation damplitude
devient
d
2
A
dt
2
+ g
d A
dt
+ v
2
0
A = F (t),
o F (t) est une fonction de forage. Cest une quation linaire inhomogne car
elle contient un terme source F (t) qui ne dpend pas de A. Grce la linarit, on
D
unod
L
aphotocopie
non
autorise
est
un
dlit
-
30 Chap. 2. Les oscillateurs
peut toujours dcomposer la fonction F (t) en une srie de Fourier et ne travailler
quavec un seul mode de pulsation v (cet aspect est dvelopp dans le chapitre sui-
vant). Lquation rsoudre devient donc
d
2
A
dt
2
+ g
d A
dt
+ v
2
0
A = A
F
cos(vt). (2.26)
avec une constante damplitude de forage A
F
. La solution complte de cette qua-
tion comprend deux termes :
la solution gnrale de lquation sans second membre, solution obtenue dans la
section prcdente. Cette solution est un mouvement amorti avec une amplitude
qui tend vers 0 pour t . Cest un transitoire ;
une solution particulire relie au rgime permanent, une fois le transitoire com-
pltement amorti.
La solution particulire devra reter plus ou moins dlement le forage qui lui
fournit lnergie. On choisit donc comme solution gnrale une fonction
A(t) = A
1
cos(vt + f),
o A
1
est une constante inconnue et f un dphasage dterminer. En injectant cette
solution dans (2.26), on obtient la relation
(v
2
0
v
2
) cos(vt + f) vg sin(vt + f) =
A
F
A
1
cos(vt).
Pour dterminer A
1
et f partir dune seule quation, on choisit dabord un instant
t
tel que vt
+ f = 0, ce qui donne
(v
2
0
v
2
) =
A
F
A
1
cos f,
puis un instant t
tel que vt
+ f = p/2, ce qui donne
vg =
A
F
A
1
sin f.
Avec ces deux dernires galits, on peut dterminer lamplitude A
1
et le dpha-
sage f :
A
1
A
F
=
1
$
(v
2
0
v
2
)
2
+ v
2
g
2
tan f =
vg
v
2
0
v
2
.
(2.27)
(2.28)
-
2.5 Forage et rsonance 31
2.5.2 Rsonance
Trace sur la gure 2.8a, lexpression (2.27) de lamplitude de loscillateur amorti et
forc prsente un maximum pour une pulsation
v
R
=
'
v
2
0
g
2
2
= v
0
%
1
1
2Q
2
. (2.29)
Cette pulsation est la pulsation de rsonance entre loscillateur et le forage. Le
maximum de la fonction A
1
(v) augmente quand lamortissement diminue, et la
courbe prsente une divergence v = v
0
pour g = 0. Le dphasage f (gure 2.8b)
0
2
4
6
8
10
0
0
0
A
1
A
F (a)
(b)
= 1
= 1
Figure 2.8 Amplitude et dphasage f de loscillateur harmonique forc,
avec et sans amortissement.
(a) amplitude A
1
/A
F
en fonction de la pulsation ; (b) dphasage f en
fonction de la pulsation.
est toujours ngatif car loscillateur est toujours en retard par rapport au forage. Ce
dphasage passe par la valeur p/2 pour la pulsation propre v
0
.
La gure 2.9 montre un exemple dvolution temporelle dun oscillateur amorti et
forc une frquence diffrente de sa frquence propre. Aprs un transitoire, lam-
plitude A(t) (a) est une fonction circulaire de pulsation v
1
, et le portrait de phase (b)
est une cyclode complique qui converge vers un cycle limite impos par le forage,
une fois le transitoire teint.
D
unod
L
aphotocopie
non
autorise
est
un
dlit
-
32 Chap. 2. Les oscillateurs
t
A(t)
A(t)
A(t)
(a) (b)
rgime permanent
rgime transitoire
Figure 2.9 Oscillateur amorti for.
Aprs un transitoire, loscillateur adopte la frquence du forage en rgime
permanent, avec une amplitude et une phase dnies par les relations
(2.27) et (2.28).
Encart 2.6 La chute du pont de Tacoma Narrows
Le pont de Tacoma est un exemple clbre doscillateur forc qui entre en rso-
nance. Construit dans ltat de Washington, il est ouvert la circulation le 1
er
juillet 1940. Le 7 novembre de la mme anne, par des conditions mtrolo-
giques qui nont rien dexceptionnelles (un vent constant de 65 km/h), le tablier
du pont se met osciller en se tordant puis se brise. Il ny a pas eu de victimes.
Soumis un vent de travers qui longe la rivire, le pont a cr un sillage de
tourbillons, phnomne de mcanique des uides connu sous le nom de tour-
billons de Bnard-Von Karman. Les tourbillons se dcrochent du pont inter-
valle rgulier, crant une dpression locale priodique. Comme la frquence de
dcrochement des tourbillons tait proche de la frquence naturelle doscilla-
tion du pont (v v
0
), il est entr en rsonance, jusqu ce que les amplitudes
de balancement, et donc les contraintes mcaniques, soient trop fortes.
Encart 2.7 Physiopathologie des vibrations
Lorsquun corps humain est soumis des vibrations, mouvements mcaniques
priodiques, il peut y avoir des effets pathologiques. La complexit du corps
humain incite une modlisation simplie. Les mdecins et ergonomes qui sin-
tressent ces effets utilisent des modles simples o le corps est assimil un
ensemble de masses lies entre elles par des liaisons lastiques qui jouent aussi le
rle damortisseurs (les ligaments, les muscles, les disques intervertbraux).
-
2.6 Couplage de deux oscillateurs 33
En dessous de 2 Hz, le corps soumis une vibration se comporte comme une
masse unique. Pour des frquences plus leves, certaines parties du corps
peuvent entrer en rsonance avec la vibration extrieure. Quelques exemples
sont donns dans le tableau ci-dessous. Il faut galement noter que les vibra-
tions sont en gnral perceptibles au-dessus dune acclration de 0,01 ms
2
.
Partie du corps Gamme de frquence (Hz)
thorax 3 7
cur 4 8
bassin 4 9
tte 20 30
globes oculaires 60 90
Une exposition prolonge des vibrations (par exemple pour un conducteur
dengin de chantier, un marin) peut provoquer des troubles visuels, des
troubles cardiaques, pulmonaires ou osto-articulaires.
2.6 COUPLAGE DE DEUX OSCILLATEURS
2.6.1 Formulation gnrale
Un exemple mcanique de deux oscillateurs coupls est prsent sur la gure 2.10 :
un oscillateur compos dune masse m
1
et dun ressort de raideur k
1
est reli un
oscillateur compos dune masse m
2
et dun ressort de raideur k
2
par lintermdiaire
dun ressort de couplage de raideur k
c
. Chaque masse subit les forces de rappel de
deux ressorts. On crit les quations de mouvement
m
1
x
1
= k
1
x
1
+ k
c
(x
2
x
1
)
m
2
x
2
= k
2
x
2
k
c
(x
2
x
1
)
(2.30)
que lon met sous la forme
x
1
= v
2
01
x
1
+ v
2
c1
(x
2
x
1
)
x
2
= v
2
02
x
2
v
c2
(x
2
x
1
)
(2.31)
avec les dnitions suivantes :
v
2
01
=
k
1
m
1
, v
2
02
=
k
2
m
2
, v
2
c1
=
k
c
m
1
, v
2
c2
=
k
c
m
2
.
Les pulsations des deux oscillateurs coupls sont inconnues, mais on peut supposer
que les oscillations sont monochromatiques. On choisit donc comme solutions des
fonctions
x
1
(t) = X
1
cos(vt + f
1
) et x
2
(t) = X
2
cos(vt + f
2
).
D
unod
L
aphotocopie
non
autorise
est
un
dlit
-
34 Chap. 2. Les oscillateurs
k
c
x
1
x
2
(a)
(b)
(c)
m
1
m
2
k
2
k
1
m
1
m
2
k
2
k
1
Figure 2.10 Couplage de deux oscillateurs mcaniques par une liaison lastique.
(a) oscillateurs isols, (b) oscillateurs coupls en position dquilibre,
(c) oscillateurs coupls hors position dquilibre. Les variables x
1
et x
2
sont les carts des positions des masses par rapport leurs positions
dquilibre.
o X
1
et X
2
sont des constantes damplitude. Les acclrations se calculent facile-
ment :
x
1
= v
2
X
1
cos(vt + f
1
) = v
2
x
1
,
x
2
= v
2
X
2
cos(vt + f
2
) = v
2
x
2
,
et le systme (2.31) devient un systme de deux quations pour les positions x
1
et
x
2
:
(v
2
v
2
01
v
2
c1
)x
1
+ v
2
c1
x
2
= 0,
v
2
c2
x
1
+ (v
2
v
2
02
v
2
c2
)x
2
= 0.
(2.32)
Ce systme peut scrire avantageusement sous forme matricielle
v
2
v
2
01
v
2
c1
v
2
c1
v
2
c2
v
2
v
2
02
v
2
c2
!
x
1
x
2
!
= 0, (2.33)
et admet une solution non nulle (x
1,2
= 0) si le dterminant de la matrice est nul,
cest--dire :
v
2
(v
2
01
+ v
2
c1
)
v
2
(v
2
02
+ v
2
c2
)
v
2
c1
v
2
c2
= 0. (2.34)
Cette dernire quation est un polynme dordre 4, mais ne comporte que des
puissances paires. En posant V = v
2
, on obtient une quation du second degr
AV
2
+ BV + C = 0, avec
A = 1,
B = (v
2
01
+ v
2
02
+ v
2
c1
+ v
2
c2
),
C = v
2
01
v
2
02
+ v
2
01
v
2
c2
+ v
2
02
v
2
c1
.
-
2.6 Couplage de deux oscillateurs 35
Comme une pulsation est un nombre positif, seules deux racines de la relation (2.34)
sont physiquement pertinentes :
v
=
'
1
2
(B
&
B
2
4C) et v
+
=
'
1
2
(B +
&
B
2
4C). (2.35)
Lintensit du couplage est caractrise directement par la raideur du ressort k
c
. Pour
interprter leffet du couplage sur les pulsations v
et v
+
, on introduit une pulsation
de couplage v
c
telle que
v
2
c
= v
2
c1
+ v
2
c2
= k
c
1
m
1
+
1
m
2
!
.
La gure 2.11 montre comment la pulsation de couplage v
c
inue sur les pulsations
v
et v
+
. Dans la limite dun couplage trs faible (k
c
0), les deux pulsations du
systme coupl sont simplement les deux pulsations des oscillateurs isols. Dans la
limite dun fort couplage (k
c
), la liaison entre les deux oscillateurs se com-
porte comme une liaison trs rigide. La pulsation v
correspond la pulsation dun
oscillateur simple de masse m
1
+ m
2
et de raideur k
1
+ k
2
:
lim
v
c
(v
) =
'
k
1
+ k
2
m
1
+ m
2
+
01
02
c
lim
c
(
+
) =
c
lim
c
(
) =
k
1
+ k
2
m
1
+ m
2
mode antisymtrique ( )
mode symtrique ( )
Figure 2.11 Inuence de lintensit du couplage sur les pulsations propres de
deux oscillateurs coupls.
Pour cette pulsation, les deux masses se dplacent en phase, et on dnit ce mode
doscillation comme le mode symtrique (gure 2.12a). Comme le couplage entre
les deux oscillateurs est trs fort, les raideurs des ressorts k
1
et k
2
sont ngligeables
devant k
c
. Tout se passe comme si les deux masses ntaient relies que par le ressort
de couplage. Dans ce cas, la pulsation de vibration est dtermine par la raideur k
c
et
par la masse rduite du systme. On a donc
lim
v
c
(v
+
) =
%
k
c
1
m
1
+
1
m
2
!
= v
c
.
D
unod
L
aphotocopie
non
autorise
est
un
dlit
-
36 Chap. 2. Les oscillateurs
Cette pulsation correspond un mode de vibration o les masses sont en opposition
de phase. On dnit ce mode comme le mode antisymtrique (gure 2.12b).
(a) (b)
t
+
mode antisymtrique ( )
mode symtrique ( )
Figure 2.12 Modes de vibrations de deux oscillateurs coupls.
(a) mode symtrique de pulsation v
o les deux oscillateurs vibrent en
phase, et (b) mode antisymtrique de pulsation v
+
o les oscillateurs
sont en opposition de phase.
Le couplage de deux oscillateurs donne deux modes de vibration possibles. Puisque
le systme est linaire, on peut superposer linairement ces deux solutions indpen-
dantes et la forme gnrale de la solution est donc
x
1
(t) = X
cos(v
t + f
) + X
+
cos(v
+
t + f
+
), (2.36)
x
2
(t) = X
cos(v
t + f
) X
+
cos(v
+
t + f
+
). (2.37)
Les quatre constantes X
, X
+
, f
et f
+
sont dtermines partir des conditions
initiales du systme, savoir les positions et vitesses initiales des deux oscillateurs.
Encart 2.8 La sparation des frquences
On peut montrer que lcart entre les pulsations propres dun systme coupl
est plus grand que lcart entre les pulsations des oscillateurs isols :
|v
+
v
| |v
02
v
01
|.
La sparation des frquences ou des pulsations est dautant plus grande que
lintensit du couplage est importante. Dans lexemple des masses et des res-
sorts, la raideur du ressort de couplage vient sajouter aux raideurs des ressorts
isols, ce qui produit une augmentation des frquences du systme.
-
2.6 Couplage de deux oscillateurs 37
2.6.2 Couplage de deux oscillateurs identiques
Quand les deux oscillateurs sont identiques (m
1
= m
2
= m et k
1
= k
2
= k), ils ont
la mme pulsation propre
v
01
= v
02
= v
0
=
'
k
m
,
et la pulsation de couplage est v
c
=
&
2k
c
/m. Daprs les rsultats tablis la
section prcdente, les deux pulsations propres de vibration du systme coupls sont
maintenant
v
= v
0
, (2.38)
v
+
=
$
v
2
0
+ 2v
2
c
. (2.39)
La pulsation du mode symtrique est indpendante de lintensit du couplage. Si le
couplage est fort, la pulsation du mode antisymtrique tend vers une limite
lim
v
c
(v
+
) =
'
2k
c
m
= v
c
.
La gure 2.13 illustre lvolution des pulsations propres v
et v
+
en fonction de la
pulsation de couplage.
+
c
lim
c
(
+
) =
c
mode antisymtrique ( )
mode symtrique ( )
0
Figure 2.13 Inuence de lintensit du couplage sur les pulsations propres
de deux oscillateurs coupls identiques.
2.6.3 Phnomne de battements
Dans le cas dun faible couplage, cest--dire v
c
v
0
, les deux frquences v
et
v
+
sont trs proches. La superposition des deux modes va produire un phnomne
de battements. En effet la solution gnrale est la somme de deux fonctions cosinus
avec arguments proches. En utilisant la relation
cos u
1
+ cos u
2
= 2 cos
u
1
+ u
2
2
!
cos
u
1
u
2
2
!
,
D
unod
L