prenos bez isi u realnim sistemima (3. dio) - ucg.ac.me 8... · osnove digitalnih telekomunikacija...

Osnove digitalnih telekomunikacija 8-1

Prenos bez ISI u realnim sistemima (3. dio)

q Uticaj slučajnog šuma na prenos digitalnih signala uosnovnom opsegu učestanostim Vjerovatnoća greške odlučivanja pri prenosu polarnog binarnog signalam Vjerovatnoća greške odlučivanja pri prenosu unipolarnog binarnog signalam Vjerovatnoća greške odlučivanja pri prenosu M-arnog signala

q Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opseguučestanostim Optimalni filtar (nema ISI)

• Podešeni filtar• Korelator• Prijemnik sa integriranjem i rasterećenjem• Vjerovatnoća greške u prijemniku sa podešenim filtrom

q Prenos digitalnih signala na daljinu


Uticaj slučajnog šuma na prenos digitalnih signala u osnovnom opsegu učestanostiq Slučajan šum je neminovno prisutan na ulazu svakog prijemnika.q To je slučajan proces koji slijedi Gaussov zakon raspodjele

amplituda i koji se može statistički opisati funkcijom gustinevjerovatnoće, datom sa:

q Blok šema sistema za prenos digitalnih signala u osnovnom opseguučestanosti je:

( ) 22222 varijansa,- ,21 2

2

NNeff

U

N UUeUpN

===-

sssp

s


Uticaj slučajnog šuma na prenos digitalnih signala u osnovnom opsegu učestanostiq Na ulazu u prijemnik, slučajni šum se superponira signalu, pa se zato

često i kaže da je to aditivni šum. Tako sabrani signal i šum stižu naulaz sklopa za odlučivanje.

uD(t)=uR(t)+ n(t)q Razmatraju se signali kod kojih je značajni parametar njihova

amplituda u datom trenutku vremena.q Ako se sa t=mT, gdje je m=0, �1, �2, ... označe trenuci odabiranja,

onda će amplituda odbiraka u tim trenucima biti:uD(mT)=uR(mT)+ n(mT)

q Vjerovatnoća greške služi za kvalitativnu ocjenu uticaja šuma.


Uticaj slučajnog šuma na prenos digitalnih signala u osnovnom opsegu učestanostiVjerovatnoća greške odlučivanja pri prenosu polarnog binarnog signalaq u trenucima odabiranja amplituda ovog signala uR(mT) (kao značajan

parametar) ima jednu od dvije moguće vrijednosti uR(mT)= �U.q signal uD(t) je superpozicija korisnog signala i šuma.q P(U)+P(-U)=1q Na ulazu u sklop za odlučivanje šum n(t) predstavlja Gausov slučajni

proces čija je srednja vrijednost jednaka 0

( ) 2

2

2

21 s

sp

NU

N eUp-

=


Uticaj slučajnog šuma na prijenos digitalnih signala u osnovnom opsegu učestnostiVjerovatnoća greške odlučivanja pri prenosu polarnog binarnog signalaq Predajnik uzastopno šalje binarnu jedinicu kojoj odgovara amplitudaodbirka signala uR(mT)=U.

m Sklopom za odlučivanje u regularnim trenucima vremena t=mT uzimaju se odbirciulaznog signala uD(t). Vrijednost ovih odbiraka će biti:

m Kako je amplituda odbiraka šuma slučajna veličina, to će i amplituda odbiraka uD(mT) takođebiti slučajna veličina.n(mT) = uN uD(mT) = uD uD=U + uN

m Raspodjela amplituda odbiraka uD kao nove slučajne promjenljive, može da seopiše odgovarajućom funkcijom gustine vjerovatnoće qU(uD). Ona se dobijatransformacijom poznate gustine vjerovatnoće p(uN).

)()()()( mTnUmTnmTumTu RD +=+=

NNDDU duupduuq )()( =2

2

2)(

21)()( s

sp

Uu

DDU

D

eUupuq-

-=-=


Uticaj slučajnog šuma na prijenos digitalnih signala u osnovnom opsegu učestnostiVjerovatnoća greške odlučivanja pri prenosu polarnog binarnog signalaqPredajnik uzastopno šalje binarnu nulu kojoj odgovara amplitudaodbirka signala uR(mT)=-U.

m Sklopom za odlučivanje u regularnim trenucima vremena t=mT uzimaju se odbirciulaznog signala uD(t). Vrijednost ovih odbiraka će biti:

uD= -U + uN

m Prema tome funkcija gustine vjerovatnoće amplituda uzetih odbiraka kada se šalje logičkanula je:

2

2

2)(

21)()( s

sp

Uu

DDU

D

eUupuq+

-

- =+=


Uticaj slučajnog šuma na prijenos digitalnih signala u osnovnom opsegu učestnostiVjerovatnoća greške odlučivanja pri prenosu polarnog binarnog signalaqAko se ša1je “1” amplituda odbirka korisnog signala iznosi U, pauslovna vjerovatnoća da prijemnik donese pogrešnu odluku:

qU drugom slučaju greška nastaje ako se šalje binarna brojka –1 aprijemnik pogriješi tako što će proglasiti da je poslata cifra bila 1, glasi:

qUkupna vjerovatnoća greške će biti:

qGore navedeni integrali su jednaki, tj. važi da je:

ò¥-

=<=-0

)(]0[()1( DDUD duuqUuPUP

ò¥

-=->=-0

)(]0[()1( DDUD duuqUuPUP

)1()()1()( UPUPUPUPPe --+-=

òò¥

-¥-

=0

0

)()( DDUDDU duuqduuq

0


Uticaj slučajnog šuma na prijenos digitalnih signala u osnovnom opsegu učestnostiVjerovatnoća greške odlučivanja pri prenosu polarnog binarnog signalaq Kako je P(U)=P(-U)=1/2

q Uzimajući u obzir da je erfc x = 1- erf x komplementarna funkcijagreške, konačno vjerovatnoća greške je:

ò¥

-=0

)( DDUe duuqP

spp

psp

s

s

s

221

212

212

21

221

21

2

00

20

2)(

22

22

2

Uerfdzedze

dzedueP

U

zz

U

zD

Uu

e

D

-=-=

===

òò

òò

-¥

-

¥-

¥ +-

s221 UerfcPe =


Uticaj slučajnog šuma na prijenos digitalnih signala u osnovnom opsegu učestnostiVjerovatnoća greške odlučivanja pri prenosu unipolarnog binarnogsignalaq binarnoj “1” odgovara amplituda odbirka korisnog signala uR(t) na

ulazu u sklop za odlučivanje jednaka Uu,q binarnoj “0” odgovara amplituda odbirka jednaka 0.q amplituda odbirka rezultantnog signala uD(t) u slučaju da se šalje

binarna “1” biti uD=Uu+uNq u slučaju da se šalje binarna “0” uD=uNq ovim slučajnim promjenljivim odgovaraju funkcije gustine

vjerovatnoće:


Uticaj slučajnog šuma na prijenos digitalnih signala u osnovnom opsegu učestnostiVjerovatnoća greške odlučivanja pri prenosu unipolarnog binarnogsignalaq Ako predajnik šalje obije binarne vrijednosti sa podjednakom

vjerovatnoćom, onda će važiti relacija:

q Intuitivno može se zaključiti da prag treba da bude postavljen na

q Vjerovatnoća greške je

( ) ( )210 == PUP

uUU21

=

)0(1(0))U(0)(U uue PPPPP +=

ò¥-

=úûù

êëé <=

u

u

U

DDUDu)du(uqUUuPUP

21

2)0(

ò¥

=úûù

êëé >=

uU

DDD )dup(uUuPP

21

02

)01(


Uticaj slučajnog šuma na prijenos digitalnih signala u osnovnom opsegu učestnostiVjerovatnoća greške odlučivanja pri prenosu unipolarnog binarnogsignalaq Kako je P(1|0)= P(0|1), i P(0)=P(1)=1/2:

s

psp

ss

22/

21

21

221

21

21 22

021

2

21

22

2

u

U

zD

U

U

U

DDe

Uerf

dzedue)dup(uP

u

u

D

u

-=

=-=== òòò -¥ -¥

ss 221

22

21 Uerfc

UerfcP

u

e ==


Uticaj slučajnog šuma na prijenos digitalnih signala u osnovnom opsegu učestnostiVjerovatnoća greške odlučivanja priprenosu M-arnog signalaq Amplituda odbiraka signala može da

ima jednu od M različitihvrijednosti.

q Neka su one uniformno raspoređenetako da se bilo koje dvije susjednevrijednosti na ulazu u sklop zaodlučivanje razlikuju za konstantnuvrijednost 2U.

q Neka se svi simboli u poruci šalju saistom vjerovatnoćom (Pi=1/M).

q U ovim uslovima pragovi odlučivanjase postavljaju na sredinu izmedudvije susjedne vrijednostiamplitude.

U p

2U

U

- U

- U

U

Prvi nivo

M-ti nivo


Uticaj slučajnog šuma na prijenos digitalnih signala u osnovnom opsegu učestnostiVjerovatnoća greške odlučivanja pri prenosu M-arnog signala

q Vjerovatnoća da je simbol najnižeg nivoa ispravno primljen:

q Vjerovatnoća da je simbol najvišeg nivoa ispravno primljen:

q Za sve ostale simbole

( ) ò¥-

=<=U

NNN duupM

UuPM

P )(111

ò¥

-

=->=U

NNNM duupM

UuPM

P )(1)(1

132 ...)(1)(1-

-

====<<-= ò M

U

UNNN PPduup

MUuUP

MP


Uticaj slučajnog šuma na prijenos digitalnih signala u osnovnom opsegu učestnostiVjerovatnoća greške odlučivanja pri prenosu M-arnog signalaq Ukupna vjerovatnoća ispravnog prijema je:

q Ako je p(uN) Gaussova raspodjela

q Vjerovatnoća ispravnog prijema je

q Vjerovatnoća greške

q Za M=2

úúû

ù

êêë

é-+=

=úúû

ù

êêë

é+-+=++++=

ò

ò ò ò¥- -

¥

--

U

NN

U U

U UNNNNNNMMK

duupMM

duupduupMduupM

PPPPP

0

121

)()1(211

)()()2()(1!

( ) 2

2

2

21 s

sp

NU

N eup-

=

úû

ùêë

é -+=s2

)1(11 UerfMM

Pe

K s211 Uerfc

MMPP Ke-

=-=

erfcAUerfcPe 21

221

==s


Uticaj slučajnog šuma na prijenos digitalnih signala u osnovnom opsegu učestnostiVjerovatnoća greške odlučivanjaq vjerovatnoća greške u sva tri

slučaja se opisujekomplementarnom funkcijomgreške

q Vjerovatnoća greške uvijekzavisi od odnosa U/σ, gdje je Urazlika amplitude odbirkasignala i vrijednosti na koju jepostavljen prag, a σ predstavljaefektivnu vrijednost šuma.

q Ne uzima se u obzir dio sistemaza prenos koji se nalazi ispredsklopa za odlučivanje


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiq Do sada je razmatran uticaj ISI i slučajnog šuma na prenos digitalnih

signala u osnovnom opsegu učestanosti.q Potrebno je utvrditi šta treba uraditi pa da njihov, u pogledu kvaliteta

prenosa, degradirajući uticaj bude što je moguće manji.q To se postiže optimizacijom prijemnika, optimizacijom predajnika,

odnosno njihovom združenom optimizacijom.q Cilj svake optimizacije je da se pronađe sistem koji je u

pretpostavljenim uslovima, prema nekim usvojenim kriterijumima zakvalitet, najbolji.

q U narednim analizama kriterijum za ocjenu kvaliteta sistema bićevjerovatnoća greške.

q Kako što je već rečeno, izraz za vjerovatnoću greške zavisi od odnosaU/σ, i to tako da je vjerovatnoća greške manja što je navedeni odnosveći.

q Stoga će cilj optimizacije biti maksimiziranje odnosa U/σ.


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiq Razmatra se M-arni signal na ulazu u sistem

q Odziv sistema na pobudu standardim impulsom

q Ako se diskretne vrijednosti si, si-1 na predaji razlikuju za nekukonstantu, tj. si-si-1=2a, tako da će ak uvijek imati jednu od sledećihvrijednosti:

å-

-=N

Nku kTtxatu )()(

å-

-=N

Nki kTtyatu )()(

0, 2 , 4 , (M-1) ;M-neparno, 3 , 5 , (M-1) ;M-parnok ia a a

a sa a a a± ± ± ±ì ü

= = í ý± ± ± ± ±î þ

!!


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiq Ako se sa y(tm) označi amplituda odbirka odziva y(t) na standardni

signal x(t), razlika dvije susjedne amplitude odbiraka M-arnog signalana mjestu prijema biće:

q Pod uslovom da su sve vrijednosti si jednako vjerovatne i da je pragodlučivanja za dvije susjedne vrijednosti postavljen na sredinu izmeđunjih, za vjerovatnoću greške važi izraz:

)(22)()( 1 mmimi tayUtystys ==- -

s2)(1 m

etayerfc

MMP -

=


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiOptimalni filtar (ne postoji ISI)

q Prisustvo prijemnog filtra utiče i na signal i na šum koji dolaze na ulazu odabirač.

q Da li je moguće izborom ovog filtra uticati na to da se maksimiziraargument komplementarne funkcije greške U/σ (minimiziravjerovatnoća greške)?

q Filtar kojim se koriguje funkcija prenosa sistema kako bi se povećaonavedeni odnos se naziva optimalni filtar.


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiOptimalni filtar (ne postoji ISI)q Kada nema intersimbolske interferencije, a na ulazu u prijemni filtar u

jednom posmatranom signalizacionom intervalu prisutan je signal

q postoji i aditivni bijeli Gaussov šum nu(t) srednje vrijednosti 0,q kako treba izabrati funkciju prenosa prijemnog filtra HR(jω), pa da

odnos amplitude odbirka y(tm) standardnog odziva i efektivnevrijednosti šuma na izlazu iz filtra (y(tm)/σ) bude maksimalan?

q Može se tražiti maksimalna vrijednost izraza y(tm)/σ, mada je nekadajednostavnije uzeti odnos kvadrata ovih veličina (u pogledumaksimiziranjanja nema razlike):

Mitxstu iSu ££= 1 ),()(

)()()(

2

2

2

2

tntytyA

i

mmN ==

s

s2)(1 m

etayerfc

MMP -

=


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiOptimalni filtar (ne postoji ISI)q Vrijednost a je konstanta, pa ona nema značaja prilikom

maksimiziranja, tako da se cijela analiza sprovedi tako što se uzima dase filtar HR(jω) pobuđuje signalom x(t) koji na izlazu daje odziv y(t).Uz pretpostavku da je X(jω) Fourierova transformacija x(t), odziv je:

q pa je tražena vrijednost amplitude odbirka ovog signala u trenutkut=tm jednaka:

ò¥

¥-

= wwwp

w dejXjHty tjR )()(

21)(

ò¥

¥-

= wwwp

w dejXjHty mtjRm )()(

21)(

s2)(1 m

etayerfc

MMP -

=


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiOptimalni filtar (ne postoji ISI)q Neka je šum na ulazu u filtar specificiran spektralnom gustinom snage

SN(ω). Tada će spektralna gustina snage šuma ni(t) na izlazu iz filtrabiti:

q Srednja kvadratna vrijednost šuma je jednaka kvadratu njegoveefektivne vrijednosti. Zato je ona istovremeno jednaka i srednjojsnazi šuma na otporniku otpornosti 1Ω, pod uslovom da slučajnafunkcija ni(t) predstavlja napon šuma na njegovim krajevima. Na osnovuovoga biće:

)()()( 2 www NRNi SjHS =

wwwp

wwp

s dSjHdStnu NRNiiNeff òò¥

¥-

¥

¥-

==== )()(21)(

21)( 2222


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiOptimalni filtar (ne postoji ISI)q Kako y(t) realna funkcija vremena važi:

q Onda

q Da bi se pronašla funkcija prenosa HR(jω) koja čini ovaj odnosmaksimalnim, potrebno je primijeniti Schwarzovu nejednakost.

)()( 22mii tntn = ( ) ( ) 22

mm tyty =

ò

ò¥

¥-

¥

¥-==www

www

p

w

dSjH

dejXjH

tn

tyA

NR

tjR

i

mN

m

)()(

)()(

21

)()(

2

2

2

2


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiOptimalni filtar (ne postoji ISI)q Schwarzovu nejednakost definiše da dvije kompleksne funkcije F1(jω)

i F2(jω) uvijek zadovoljavaju sledeću relaciju:

q Znak jednakosti važi u slučaju

q Ako se usvoji da je

q Onda

òòò¥

¥-

¥

¥-

¥

¥-

£ wwwwwww djFdjFdjFjF 22

21

2

21 )()()()(

)()( *21 ww jkFjF =

)()()( 21

1 www NR SjHjF = mtjN eSjXjF wwww )()()( 21

2

-=

ò òò¥

¥-

¥

¥-

-¥

¥-

£ wwwwwwwww w dSjXdSjHdejXjH NNRtj

Rm )()()()()()( 122

2

ò

ò¥

¥-

¥

¥-==www

www

p

w

dSjH

dejXjH

tn

tyA

NR

tjR

i

mN

m

)()(

)()(

21

)()(

2

2

2

2


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiOptimalni filtar (ne postoji ISI)q Prema tome

q Maksimalna vrijednost AN se postiže u slučaju znaka jednakosti, pa je:

q Kako je u tom slučaju

q Za optimalni filtar se dobija

ò¥

¥-

£= www

pd

SjX

tn

tyA

Ni

mN )(

)(21

)()( 2

2

2

ò¥

¥-

=úúû

ù

êêë

é= w

ww

pd

SjX

tn

tyA

Ni

mN )(

)(21

)(

)( 2

max2

2

max

)()( *21 ww jkFjF =

mm tj

N

tj

NRoptR e

SjXke

SjXkjHjH ww

ww

wwww -- -

===)()(

)()()()(

*


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiOptimalni filtar (ne postoji ISI)q Podešeni filtar

m Na ulazu postoji bijeli Gausov šumm Spektralna gustina snage ovog šuma SN(ω)=SN konstantna u cijelom opsegu

učestanosti. Ako se ovo uvrsti u izraz za HRopt(jω), dobiće se da impulsni odziv ovogoptimalnog filtra iznosi:

m Ovaj izraz pokazuje da je impulsni odziv optimalnog filtra, kad je na njegovom ulazubijeli šum, određen signalom x(t).

m U pretpostavljenim uslovima, da bi se izvršila optimizacija, filtar mora biti podešenobliku signala,

m Zato se ovakav filtar i naziva podešenim filtrom

( ) ( ) ( ) ( ) wwp

wwp

ww dejXSkdejHth mttj

N

tjRopt

-¥

¥-

¥

¥-

-== òò 21

21

( ) ( )ttxSkth mN

-=



m signal x(t) ima konačno trajanje T.m kada je tm<T (slika c), impulsni odziv

postoji i za vrijeme t<0. Dakle,takav sistem fizički nije ostvarljiv.

m U ostala dva slučaja (tm=T i tm>T)impulsni odziv h(t)=0 za t<0, pa jeuslov fizičke ostvarljivostiispunjen.

m Na izlazu iz podešenog filtra odnosodbirka y(tm) i efektivnevrijednosti šuma, dostiže svojmaksimum kad je trenutakodabiranja tm jednak T, a to znači utrenutku u kome je cijeli signal x(t)već u prijemniku.

( ) ( )ttxSkth mN

-=



m maksimalna vrijednost AN na izlazu iz podešenog filtra:

m Dobijeni rezultat dovodi do sledećeg zaključka: odnos kvadrata amplitude odbirkaodziva i kvadrata efektivne vrijednosti šuma ne zavisi za podešeni filtar odoblika pobudnog signala x(t), ve� zavisi od njegove energije. To znači da različitisignali koji nose istu energiju mogu dati istu vjerovatnoću greške. Ovo je specifičnosvojstvo podešenog filtra.

m Isto važi i za amplitudu odbirka y(tm), jer ona iznosi:

m Oblik standardnog signala je u ovom slučaju odredio oblik funkcije prenosa filtra, ali ne i njegov izlaz.

( )( )

( )( )

2 2 2

max 22max max

1 12

m m xN

N Ni

y t y t WA X j d

S Sn tw w

ps

¥

-¥

é ù é ùê ú ê ú= = = =ê ú ê úê ú ê úë û ë û

ò

( ) ( ) ( )N

xtjtj

Nm S

WkdejXeSjXkty mm == -

¥

¥-

*

ò wwwp

ww

21


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiOptimalni filtar (ne postoji ISI)q Korelator

m Jedna varijanta podešenog filtram Ima iste performanse kao i prijemnik sa podešenim filtrom ali se realizuje bez

klasičnog filtram Na ulaz dolazi signal

m Impulsni odziv podešenog filtra je

m Izlazni signal ui(t) se dobija kao konvolucija ulaznog signala i impulsnog odzivasistema:

m cilj je da se utvrdi kako se može dobiti identičan izlaz bez upotrebe podešenogfiltra.

( ) ( ) ( )tntxtu uu +=

( ) ( )ttxSkth mN

-=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tttttt dttxuSkdthutu muN

ui +-=-= òò¥

¥-

¥

¥-


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiOptimalni filtar (ne postoji ISI)q Korelator

m Odbirak na osnovu koga se donosi odluka u trenutku tm ima amplitudu:

m Kako je trajanje signala x(t) ograničeno na interval od 0 do T=tm, to se graniceintegrala mogu ograničiti tako da je:

m Ovaj izraz pokazuje kako je moguće konstruisati prijemnik na drugi način. On jeprikazan na slici. Na njegovom ulazu se nalazi produktni modulator u kom se množeulazni signal i signal iz lokalnog oscilatora.

( ) ( ) ( ) ttt dxuSktu uN

mi ò¥

¥-

=

( ) ( ) ( ) ( )0

mt T

i m i uN

ku t u T u x dS

t t t=

= = ò


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiOptimalni filtar (ne postoji ISI)q Prijemnik sa integriranjem i rasterećenjem

m Ovaj prijemnik (integrate and dump) predstavlja još jednu varijantu prijemnikadigitalnih signala čije su performanse pod određenim uslovima identične onima kojeima prijemnik sa podešenim filtrom.

m signal x(t) mora da bude pravougaonog oblika konačnog trajanja Tm Na ulaz prijemnika dolazi bijeli šum konstantne spektralne gustine snagem Na ulazu se nalaze korisni signal x(t) i aditivni bijeli Gaussov šum nu(t), tako da je

ukupna pobuda: ( ) ( ) ( )tntxtu uu +=



m Ako sa Ti=CR označimo vremensku konstantu integratora, onda će na izlazu izintegratora biti signal čiji odbirak na kraju posmatranog signalizacionog intervalaima vrijednost:

m Prva komponenta je posledica poslatog signala, a druga prisutnog šuma. Kako je standardni signal pravougaonog oblika i ograničen na jedan signalizacioni interval, to je:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )TnTydttnT

dttxT

dttuT

Tu i

T

ui

T

i

T

ui

i +=+== òòò000

111

( ) UTT

UdtT

TyT

iiò ==0

11( )îíì ££

=ostalo ,0

Tt0 ,Utx =>



m Da bi se izračunala srednja kvadratna vrijednost odbiraka šuma potrebno jeodrediti funkciju prenosa prijemnika

m Polazi se od standardnog integratora

m Odakle se dobija da je funkcija prenosa standardnog integratora data sa:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) wwwp

wwwp

wwp

wwp

ww

ww

dejUjHdejUTj

dtdeT

jUdtdejUT

dttuT

Tu

tjui

tju

i

ttj

iu

tjt

ui

t

ui

i

òò

òòò òò¥

¥-

¥

¥-

¥-

¥

¥-¥-

¥

¥-¥-

==

====

211

21

121

2111

( )i

i TjjH

ww 1

=



m Za razliku od ovog standardnog integratora koji vrši integraljenje kontinualno uintervalu (-¥, t) sklop integratora u prijemniku sa integriranjem i rasterećenjemobavlja integraciju ulaznog signala u intervalu trajanja T, tj. od nekog trenutka t-Tdo trenutka t (zbog prisustva prekidača P i njegove uloge)

m Signal na izlazu iz integratora u trenutku t je:

m Signal na izlazu iz integratora u trenutku t-T je:

m Ovo su dvije krajnje vrijednosti izlaznog signala iz integratora. Prema tome, uintervalu od t-T do t integral ulaznog signala biće jednak razlici ovih krajnjihvrijednosti :

( ) ( ) wwwp

w dejUTj

tu tju

ii ò

¥

¥-

=1

21

( ) ( ) wwwp

ww deejUTj

Ttu tjTju

ii ò

¥

¥-

-=-1

21

( ) ( ) ( ) wwwp

ww

dejUTjeTtutu tj

ui

Tj

ii ò¥

¥-

--=--

121



m Može se zaključiti da je funkcija prenosa integratora sa rasterećenjem:

m Ako je na ulazu u prijemnik prisutan bijeli šum čija spektralna gustina snage iznosiSN, onda će spektralna gustina snage šuma na izlazu iz integratora biti:

m odakle slijedi da će srednja kvadratna vrijednost šuma na izlazu biti:

( ) 2

2

2sin1 Tj

ii

Tj

i eT

T

TT

TjejH

ww

w

w

ww

--

=-

=

( ) ( ) Ni

NNi ST

T

TTSjHS

22

2

2

2sin

÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ

÷÷ø

öççè

æ== w

w

ww

( ) ( ) ww

w

pww

pdT

T

STTdStn Ni

Nii òò¥

¥-

¥

¥- ÷÷÷÷

ø

ö

çççç

è

æ

÷÷ø

öççè

æ==

22

2

2

2sin

21

21



m Nakon obavljene integracije

m Konačno, odnos koji predstavlja karakteristiku funkcije greške AN je:

m Dolazi se do istog rezultata kao i u prijemniku s podešenim filtrom. Prema tome,prijemnik sa integriranjem i rasterećenjem faktički predstavlja jednu varijantuprijemnika s podešenim filtrom, pod uslovom da x(t) ima oblik pravougaonog impulsa.

( ) TST

tn Ni

i 22 1

=

( )( ) max

2

2

2

NN

x

NiN A

SW

STU

tntyA ====


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiVjerovatnoća greške u prijemniku sa podešenim filtromq Minimalna vrijednost vjerovatnoće greške u opštem slučaju M-arnih

digitalnih signala, pod uslovom da su sve vrijednosti značajnogparametra jednako vjerovatne je data izrazom:

q Gdje je Wx energije standardnog signala koja se razvija u jednomsignalizacionom intervalu na ulazu u prijemnik.

q Može se pokazati da je podesnije da se izrazu umjesto energije uvedesrednja snaga M-arnog digitalnog signala na ulazu u prijemnik Ps, tj.njegova srednja energija u jednom signalizacionom intervalu Ws=PsT.

( )N

xme S

WaerfcMMtayerfc

MMP

21

21 2

min-

=-

=s


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiVjerovatnoća greške u prijemniku sa podešenim filtromq Srednja snaga M-arnog signala Ps u razmatranom slučaju, kada je

standardni signal x(t) ograničen na jedan signalizacioni interval i kadasu sve vrijednosti značajnog parametra podjednako vjerovatne, jedata izrazom:

q Ako se pretpostavi da si uzima vrijednosti:

q Tada gore navedena suma postaje:

( ) ( ) åòòå==

==M

ii

TT

i

M

iS s

Mdttx

Tdttxs

TMP

1

22

0

2

0

2

1

1111 ( ) x

T

WdttxT

=ò0

21

0, 2 , 4 , (M-1) ;M-neparno, 3 , 5 , (M-1) ;M-arnoia a a

sa a a a± ± ± ±ì ü

= í ý± ± ± ± ±î þ

!!

( ) 22

1

2

31 MaMs

M

ii

-=å

=


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiVjerovatnoća greške u prijemniku sa podešenim filtromq Snaga signala je data izrazom:

q Ako se u izrazu za vjerovatnoću greške a2Wx prikaže na osnovu gornje relacije, dobija se:

q Ako se umjesto spektralne gustine snage šuma SN(ω)= SN koja je definisana za pozitivne i negativne učestanosti, uvede spektralnagustinu snage šuma na ulazu u prijemnik definisanq samo za pozitivneučestanosti (N0=2SN) dobija se:

TWaMP x

S

22

31-

=

N

se S

TPM

erfcMMP

21312min -

-=

02

02min 1

311

31NBP

Merfc

MM

NW

Merfc

MMP

T

sse -

-=

--

=


Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opsegu učestanostiVjerovatnoća greške u prijemniku sa podešenim filtromq Za prenos poruka polarnim binarnim signalom je M=2, pa je:

q A ako se u prenošenju poruka koristi unipolarni binarni signal, njegovasrednja snaga na ulazu u prijemnik, pri uslovu da se obije binarnebrojke šalju sa podjednakom vjerovatnoćom, iznosi:

q Pa je minimalna vjerovatnoća greške u prenosu unipolarnim signalom:

00min 2

121

221

NBPerfc

NWerfc

STPerfcP

T

ss

N

se ===

( ) ( ) ( ) ( )TWadttx

Tadttxa

Tdttxs

TP x

T TT

is

2

0 0

22

22

0

22 222210

21

ò òò ===úû

ùêë

é+=

00min 22

122

142

1NBPerfc

NWerfc

STPerfcP

T

ss

N

se ===


Prenos digitalnih signala na daljinu

q Digitalni signali u osnovnom opsegu učestanosti prenose se na daljinuodgovarajućim prenosnim putevima (linkovima).

q Tokom prenosa ovi signali su izloženi linearnom izobličenju.q Slabljenje i dodatna faza koje prenosni put unosi u komponente

prenošenih signala zavise od učestanosti i čine signal poslije izvjesnedužine prenosa praktično neupotrebljivim.

q Radi toga, na određenim mjestima duž linka, dok signal još nije suvišeizobličen, vrši se njegovo obnavljanje.

q Tako obnovljen može da se prenosi dalje.q U principu postoje dvije osnovne metode prenosa digitalnih signala na

daljinu:1. Pomoću pojačavačkih stanica

2. Pomoću obnavljačkih (regenerativnih) stanica



Prenos pomoću pojačavačkih stanicaq ukupno rastojanje se podijeli na određeni broj dionica i na određena

mjesta duž linka se postavljaju pojačavačke stanice.q U pojačavačkim stanicama se pojačavaju oslabljeni signali i vrši se

korekcija linearnog izobličenja pomoću odgovarajućih korektora.q Slučajni šum se sa jedne dionice prenosi na drugu, dodaje se šumu te

dionice i tako redom duž ostalih dionica.q Utivaj šuma ima kumulativan karakter i kvalitet prenosa se pogoršava

kako broj dionica raste.q Ovaj metod se češće koristi u prenosu analognih signala. U načelu

može da se primijeni i za prenos digitalnih signala, međutim, za topostoji bolje rješenje.



Prenos pomoću pojačavačkih stanicaq digitalni signali se oni na određenim mjestima duž linka obnavljaju.q Skup sklopova u kojima se obavljaju operacije obnavljanja signala se

naziva obnavljačka stanica.q U svakoj obnavljačkoj stanici donosi se odluka o tome koji je signal bio

poslat i na osnovu te odluke regenerator generiše novi digitalni signalkoji se prenosi dalje duž linka.

q Osnovna prednost u prenošenju digitalnih signala na daljinu u odnosu naanalogne signale, leži baš u procesu regeneracije. Jer, svaki put u tokutoga procesa, generiše se novi signal koji je “očišćen” od šuma saprethodne dionice.

q Signal se obnovi i kumulativni efekat šuma ne postoji.



Vjerovatnoća greške za prenosni put sa pojačavačkim stanicamaq Neka predajnik T šalje polarni binarni signal uT(t), u trenucima odabiranja njegova

amplituda iznosi�UT.q Vremenska funkcija u(t) opisuje ovaj signal na kraju dionice, na ulazu u pojačavačku

stanicu i neka odbirci ovog signala u trenucima odabiranja imaju amplitude�U.q Kako su pojačanja svih pojačavačkih stanica međusobno jednaka i jednaka slabljenju

jedne dionice, to će na ulazu u svaku dionicu signal biti jednak uT(t), a na njenom krajuu(t).

q Neka je n1(t) šum sa prve dionice i šum prve pojačavačke stanice, posmatran izolovano odostalih dionica i pojačavačkih stanica. Taj šum će se pojačati, na ulazu u drugu dionicubiće n1

’(t) i na kraju te dionice opet će iznositi n1(t). Ovdje se, sada, ovom šumu dodaješum druge dionice i druge pojačavačke stanice n2(t). Na taj način, pobuda na ulazu udrugu pojačavačku stanicu biće: u(t)+n1(t)+ n2(t)



Vjerovatnoća greške za prenosni put sa pojačavačkim stanicamaq Ako se trasa sastoji od m dionica na kraju poslednje (m-te) dionice, na ulazu u prijemnik,

postojaće oslabljeni signal u(t) i šum koji je suma šumova iz svih dionoica, tj. stanje cebiti opisano izrazom:

q Odabiračem se u sklopu za odlučivanje uzimaju odbirci ovog signala i na osnovu njih sedonosi odluka.

q Ukupan šum se sastoji od m međusobno nezavisnih komponenti n1(t), n2(t), ..., nm(t) i svakiod njih predstavlja Gaussov slučajni proces, pa će i njhova suma predstavljati Gaussovslučajni proces. Uz uslov da je srednja vrijednost svakog od šumova jednaka 0, to će isrednja vrijednost ukupnog šuma n(t) biti jednaka 0. Isto tako, ako su varijanseraspodjele međusobno jednake:

q varijansa ukupnog šuma je jednaka:

q vjerovatnoća greške na kraju veze

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tntutntutum

iiR +=+= å

=1

2 2 2 21 2 ..... ms s s s= = = =

( ) 2222

21

22 ..... sssss mtn me =+++==

ss mUerfcUerfcP

eem 22

122

1==



Vjerovatnoća greške za prenosni put sa obnavljačkim stanicamaq Šalje se polarni binarni signal uT(t) čiji odbirci imaju amplitude�UT.q Na kraju dionice signal će biti u(t), a amplitude njegovih odbiraka �U. Samo, kako je

riječ o regeneraciji signala, to je pobuda na ulazu prvog obnavljača:

q Na ulazu drugog

q i tako redom sve do kraja veze, pa na ulazu u prijemnik iznosi:

q Pošto se na kraju svake dionice vrši regeneracija signala, ne postoji kumulativni efekatšuma (može doći do greške, ali ukupan šum je jednak šumu iz poslednje dionice).

( ) ( )tntu 1+

( ) ( )tntu 2+

( ) ( )tntu m+



Vjerovatnoća greške za prenosni put sa obnavljačkim stanicamaq Ako se smatra da šumovi n1(t), n2(t), ..., nm(t) predstavljaju Gaussove slučajne procese

čija je srednja vrijednost nula, varijanse σ2 su jednake i međusobno nezavisne, tada ćevjerovatnoće greške na pojedinim dionicama biti međusobno jednake:

q Ako se desi greška u jednoj obnavljačkoj stanici, ta greška se prosleđuje do kraja.Međutim, treba uočiti sledeće. Ako se u nekoj obnavljačkoj stanici učini greška uodlučivanju, onda se o tom pogrešnom digitu i na nekim od sledećih stanica mogu donositiopet pogrešne odluke. Kako je riječ o prenosu binarnih signala, digit koji je prošao krozparan broj pogrešnih odluka, na kraj veze će da stigne kao tačan, a ukoliko je taj brojneparan, donesena odluka će biti pogrešna.

q Uzimajući ovo u obzir, izraz za vjerovatnoću greške na kraju veze možemo da se izvedena sledeći način:m Početna pretpostavka je da se greška pravi u jednoj obnavljačkoj stanici, a na ostalima ne. Tada je vjerovatnoća

greške:

m Ako se pretpostavi da se u svakoj od k specificiranih obnavljačkih stanica pravi greška sa vjerovatnoćom Pe, a uostalim m-k se donosi tačna odluka sa vjerovatnoćom 1- Pe, vjerovatnoća greške je:

s221....21

UerfcPPPP eemee =====

( ) 11 -- mee PP

( ) kme

ke PP --1



Vjerovatnoća greške za prenosni put sa obnavljačkim stanicamaq Ima više ovakvih mogućnosti u kojima se griješi na k stanica, a na m-k ne. Njihov broj je

jednak broju načina na koje je moguće napraviti grupe od po k elemenata iz skupa od mrazličitih elemenata (broj kombinacija bez ponavljanja k-te klase od m elemenata):

q Svaka od ovih mogućnosti je nezavisna od ostalih, pa je vjerovatnoća da se bilo koja odnjih desi jednaka sumi vjerovatnoća da se desi svaka pojedinačno, tj.

q Tražena vjerovatnoća greške je jednaka zbiru vjerovatnoća Pe(k) za slučaj da je k=1, 3,5, ..., km£m dakle, za sve neparne vrijednosti k od 1 do m

( )! !!kmk

mkm

-=÷÷

ø

öççè

æ

( ) ( ) kme

kee PP

km

kP --÷÷ø

öççè

æ= 1

( ) ( )( ) ( )

( )

( ) kme

ke

m

neparnokk

mee

meeem

PPkm

PPmmmPmPP

-

-=

--

-÷÷ø

öççè

æ=

=++---

+-=

å 1

...1!3

211

1

331



Vjerovatnoća greške za prenosni put sa obnavljačkim stanicamaq U slučaju kada je mPe<<1, važi da je Pem≈mPe odnosno:

s22UerfcmmPP eem =@

ss mUerfcUerfcP

eem 22

122

1==

sa pojačavačkim stanicama


Ispitna pitanja

q Uticaj slučajnog šuma na prenos digitalnih signala uosnovnom opsegu učestanostim Vjerovatnoća greške odlučivanja pri prenosu polarnog binarnog signalam Vjerovatnoća greške odlučivanja pri prenosu unipolarnog binarnog signalam Vjerovatnoća greške odlučivanja pri prenosu M-arnog signala

q Optimizacija sistema za prenos u osnovnom opseguučestanostim Optimalni filtar (nema ISI)

• Podešeni filtar• Korelator• Prijemnik sa integriranjem i rasterećenjem• Vjerovatnoća greške u prijemniku sa podešenim filtrom

q Prenos digitalnih signala na daljinum Vjerovatnoća greške za prenosni put sa pojačavačkim stanicamam Vjerovatnoća greške za prenosni put sa obnavljačkim stanicama

prenos bez isi u realnim sistemima (3. dio) - ucg.ac.me 8... · osnove digitalnih telekomunikacija...

Documents