premije i rezerve u portfoliju neºivotnog osiguranja...premija osiguranja za ove ugovore se obi£no...

Univerzitet u Ni²u

Prirodno - matemati£ki fakultet

Departman za matematiku

Premije i rezerve u portfolijuneºivotnog osiguranja

Master rad

Mentor:

Prof. dr Marija G. Milo²evi¢

Student:

Miljana ivkovi¢br. indeksa 173

Ni², 2017.

Sadrºaj

1 Osnovni pojmovi i rezultati 5

1.1 Elementi teorija verovatno¢e i slu£ajnih procesa . . . . . . . . . . . . 61.2 Komponente rizika i elementi premija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Modeliranje kolektivnog rizika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Sloºene raspodele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Teorija propasti u diskretnom vremenu . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Uslov neto prota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Principi izra£unavanja premije neºivotnog osiguranja 18

2.1 Jednostavni principi za izra£unavanje premije koji se zasnivaju na riziku 192.2 Napredni principi izra£unavanja premije . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Principi koji se zasnivaju na primeni funkcije korisnosti . . . . 212.2.2 Esscherova premija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.3 Principi odredjivanja premije koje se zasnivaju na distorziji

verovatno¢e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.4 Princip izra£unavanja premije koji se zasniva na ceni kapitala,

primenom mera rizika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.5 Odredjivanje premije osiguranja primenom deatora . . . . . . 36

3 Rezerve u neºivotnom osiguranju 39

3.1 Plateºne obaveze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Algoritmi za predvidjanje i odredjivanje rezervi . . . . . . . . . . . . 44

3.2.1 CL algoritam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3 BF algoritam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4 Stohasti£ke metode za odredjivanje rezervi . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.1 Gama-gama Bayesov CL model . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4.2 ODP model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Literatura 57

2

Uvod

Osiguravaju¢e dru²tvo se sklapanjem ugovora o osiguranju obavezuje da ¢e na-doknaditi ²tete nad osiguranim predmetima, ukoliko dodje do ²teta. Zauzvrat, osi-guranik pla¢a osiguravaju¢em dru²tvu odredjenu premiju osiguranja, kao nadoknaduza preuzimanje rizika. Iznos premije bi trebalo da bude takav da osiguravaju¢e dru-²tvo izbegne bankrot, a da na drugoj strani ne bude previ²e veliki da bi klijenti bilizainteresovani za sklapanje ugovora o osiguranju. Zbog toga je potrebno modeli-rati broj nastalih ²teta u odredjenom periodu, kao i ukupnu ²tetu, ²to je najbitnijizadatak teorije neºivotnog osiguranja.

Osnovna ideja ovog master rada je odredjivanje premije i rezervi u portfolijuneºivotnog osiguranja. Rad se sastoji iz tri tematske celine.

U prvoj glavi su navedeni brojni rezultati iz teorije verovatno¢a i slu£ajnih pro-cesa koji se primenjuju u daljem radu.

U narednom delu su razmatrani razli£iti principi za izra£unavanje premija kojise zasnivaju na srednjoj vrednosti i disperziji procesa ukupne ²tete, primeni funkcijekorisnosti, zatim principi koji se zasnivaju na distorziji verovatno¢e, ceni kapitalaprimenom mera rizika i primeni deatora.

U poslednjoj glavi su predstavljena dva najpoznatija algoritma za odredjivanjerezervi, kao i nekoliko modela rezervi koji imaju zna£ajnu ulogu u poslovanju osigu-ravaju¢eg dru²tva.

3

SADRAJ 4

Koristim priliku da se na ovom mestu najsrda£nije zahvalim svom mentoru pro-fesorki Mariji Milo²evi¢ na ukazanoj stru£noj pomo¢i, strpljenju i razumevanju utoku izrade ovog master rada. Zahvaljujem se profesorkama Miljani Jovanovi¢ i Ja-smini Djordjevi¢ na nesebi£nom trudu, pomo¢i i predlozima koji su pobolj²ali kvalitetrada.

Veliku zahvalnost dugujem svojoj porodici, koji su uvek bili podr²ka i oslonactokom studiranja. Takodje, zahvaljujem se svom de£ku na bodrenju i razumevanju.

Glava 1

Osnovni pojmovi i rezultati

Osiguranje poti£e od op²te potrebe dru²tva za za²titom od nepredvidjenih doga-djaja koji mogu izazvati ozbiljne (nansijske) ²tete po pojedince i dru²tvo. Osigu-ranje organizuje nansijsku za²titu od takvih nepredvidjenih (slu£ajnih) dogadjaja,²to zna£i da realizuje nansijske nadoknade potencijalnih ²teta. Op²ta ideja jeformiranje zajedni£kih (kolektivnih) fondova kojima svako doprinosi upla¢ivanjemodredjene koli£ine nansijskih sredstava (ksne deterministi£ke premije).1 Zatim sepotencijalne nansijske ²tete nansiraju sredstvima iz ovog zajedni£kog fonda.Osnovne karakteristike takvih fondova su da se svi u£esnici suo£avaju sa sli£nimrizicima. U£e²¢em u zajedni£kom fondu, rizik sa kojim se suo£avaju pojedinci seprenosi na £itavu zajednicu, tj. vr²i se preraspodela rizika. Na taj na£in, svi u£e-snici zajedni£kog fonda svojim premijama doprinose naknadi ²teta koje ¢e pretrpetisamo neki od njih.

Poslovanje osiguravaju¢ih dru²tava se bazira na primeni Zakona velikih brojeva,koji sugeri²e da u£esnici u zajedni£kom fondu ne samo da umanjuju sopstveni rizik,ve¢ i protiraju zbog toga ²to je iznos premije manji od iznosa potencijalne ²tete.Prema tome, moºe se re¢i da osiguravaju¢a dru²tva organizuju fer raspodelu unutarfonda. Za£etak savremenog osiguranja se vezuje za veliki poºar u Londonu 1666.godine, koji je uni²tio veliki deo grada. Ovaj dogadjaj je inicirao osnivanje osigura-nja od poºara takvih katastrofalnih dogadjaja. Danas, osiguranje od poºara pripadagrani neºivotnog osiguranja koje je u Americi poznato kao osiguranje imovine, dok uVelikoj Britaniji spada u op²te osiguranje. Neºivotno osiguranje obuhvata osigura-nje automobila, osiguranje od odgovornosti, osiguranje imovine, osiguranje kreditai sli£no. Za ove ugovore o osiguranju je zajedni£ko da vaºe u toku odredjenog pe-rioda (obi£no od jedne godine). Pored toga, svi osigurani slu£ajni dogadjaji, kojise realizuju u toku perioda osiguranja i koji uzrokuju nansijsku ²tetu na koji seodnosi ugovor o osiguranju se obe²te¢uju. Ovakve isplate od strane osiguravaju¢egdru²tva £iji su iznosi nepoznati u trenutku sklapanja ugovora o osiguranju nazivajuse naknade ²teta.

Premija osiguranja za ove ugovore se obi£no pla¢a na po£etku perioda osiguranja.Prilikom odredjivanja premije, osiguravaju¢e dru²tvo najpre udruºuje ugovore o osi-guranju sli£nih rizi£nih dogadjaja i na taj na£in formira jedan portfolio neºivotnog

1U specijalnim slu£ajevima, na primer, u reosiguranju ili osiguranju od posledica nesre¢nog

slu£aja, premija moºe imati i slu£ajnih komponenata.

5

Osnovni pojmovi i rezultati 6

osiguranja. Iznosi ²teta koje je potrebno nadoknaditi mogu se opisati nizom slu£aj-nih promenljivih Y1, Y2, ..., Yn, n ∈ N , tako da je za njihovo prou£avanje neophodnoprimeniti teoriju verovatno¢a.

1.1 Elementi teorija verovatno¢e i slu£ajnih procesa

Neka je (Ω,F ,P) prostor verovatno¢a i B(R) σ − algebra Borelovih skupova naEuklidskom prostoru R.

Denicija 1. (Kolmogorov) Funkcija P : F → R je verovatno¢a ako zadovoljava:

(1) normiranost P (Ω) = 1,

(2) nenegativnost ∀A ∈ F P (A) ≥ 0,

(3) σ-aditivnost A1, A2, ... ∈ F , Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j ⇒ P

(∞∑n=1

An

)=∞∑n=1

P (An).

Denicija 2. Preslikavanje X : Ω → R je slu£ajna promenljiva ako je nitna i Fmerljiva funkcija, tj. ako vaºi:

• Pw : X(w) = ±∞ = 0;

• za svaki Borelov skup S ∈ B(R),

X−1(S) = w : X(w) ∈ S ∈ F .

Denicija 3. Funkcija raspodele verovatno¢a je funkcija FX koja za svaki realanbroj x, odredjuje verovatno¢u da je slu£ajna promenljiva X uzela vrednost ne ve¢uod x, tj.

FX(x) = w ∈ Ω : X(w) ≤ x = PX ≤ x, x ∈ R.

U kontekstu osiguranja, ukoliko slu£ajna promenljiva X predstavlja iznos nak-nade koju ¢e osiguravaju¢a kompanija isplatiti osiguraniku na ime pretrpljene ²tete,funkcija raspodele je verovatno¢a da ¢e iznos naknade biti ne ve¢i od x ∈ R.

Dva osnovna tipa slu£ajnih promenljivih su diskretne slu£ajne promenljive i slu-

£ajne promenljive apsolutno neprekidnog tipa.

Denicija 4. Slu£ajna promenljiva X je diskretnog tipa ako je njen skup slika naj-vi²e prebrojiv, tj. ako postoji niz xii∈I takav da je

∑i∈I PX = xi = 1, gde je I

najvi²e prebrojiv indeksni skup.

Denicija 5. Slu£ajna promenljiva X je apsolutno neprekidnog tipa ako postojinenegativna integrabilna funkcija ϕ(x), x ∈ (−∞,∞), tako da, za svako S ∈ B(R)vaºi

P[X ∈ S] =

∫S

ϕ(x)dx.

Funkcija ϕ(x) je gustina raspodele verovatno¢a slu£ajne promenljive X.


Denicija 6. Matemati£ko o£ekivanje slu£ajne promenljive X diskretnog tipa datoje izrazom

E(X) =∑i∈I

xiPX = xi,

i postoji pod uslovom da je ovaj red apsolutno konvergentan, dok je matemati£koo£ekivanje slu£ajne promenljive Y apsolutno neprekidnog tipa dato izrazom

E(Y ) =

∫Ryϕ(y)dy,

i ono postoji ako je E|Y | <∞.

Osobine matemati£kog o£ekivanja

1. Ako je X = c, gde je c konstanta, tada je E(c) = c.

2. Za slu£ajne promenljive X i Y vaºi E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).

3. Ako su X i Y nezavisne slu£ajne promenljive, tada je E(XY ) = E(X)E(Y ).Ako je E(XY ) = E(X)E(Y ), kaºe se da su slu£ajne promenljive X i Y nekoreli-

rane.

4. Za svaku konstantu c vaºi E(cX) = cE(X).

5. Ako je X > 0, tada je E(X) > 0.

Teorema 1. (Osnovna teorema o matemati£kom o£ekivanju). Ako je f : R → RBorelova funkcija i X slu£ajna promenljiva na datom prostoru verovatno¢a (Ω,F ,P),onda je matemati£ko o£ekivanje slu£ajne promenljive f(X) Lebeg-Stiltjesov integralfunkcije f u odnosu na funkciju raspodele FX

Ef(X) =

∫ +∞

−∞f(x)dFX(x).

Teorema 2. (Jensenova nejednakost). Neka je g : R → R+ konveksna funkcijai X slu£ajna promenljiva, pri £emu je E|X| < +∞ i E|g(X)| < +∞. Tada jeg(EX) ≤ Eg(X).

Denicija 7. Disperzija slu£ajne promenljive X se deni²e kao

D(X) = E(X − E(X))2.

esto se za odredjivanje disperzije primenjuje izraz

D(X) = E(X2)− (E(X))2.

Kvadratni koren disperzije σ(X) =√D(X) je standardna devijacija ili stan-

dardno odstupanje, a Vco(X) =σ(X)

E(X)za E(X) > 0, naziva se koecijent varija-

cije.


Osobine disperzije

1. Disperzija je nenegativna, tj. D(X) ≥ 0. Pritom je D(X) = 0 ako i samo ako jeX = const s.i.

2. Za svaku konstantu c vaºi D(cX) = c2D(X).

3. Disperzija je invarijantna u odnosu na translaciju, tj. za svaku konstantu c vaºiD(X + c) = D(X).

4. Ako su X i Y nezavisne slu£ajne promenljive, tada je D(X+Y ) = D(X)+D(Y ).

Denicija 8. Funkcija generatrise momenata slu£ajne promenljive X, u oznacimX(r), je data sa

mX(r) = E(erX) =

∫RerxdF (x), r ∈ R.

Lema 3. Ako je S slu£ajna promenljiva sa funkcijom raspodele F i ako postoji r0 > 0tako da je ms(r) <∞ za svako r ∈ (−r0, r0), tada za r ∈ (−r0, r0), ms(r) moºe dase predstavi u obliku

ms(r) =∑k≥0

rk

k!E[Sk].

Lema 4. Ako je ms kona£na funkcija na (−r0, r0) za r0 > 0, tada je log ms(·)konveksna funkcija na (−r0, r0).

Neka je A ∈ F dogadjaj takav da je P(A) > 0.

Ako (∀B ∈ F) P(B|A) =P(A|B)

P(A), tada je funkcija P(·|A) verovatno¢a na merljivom

prostoru (Ω,F), tj. ona odredjuje novi prostor verovatno¢a (Ω,F ,P(·|A)).

Denicija 9. Neka je na prostoru verovatno¢e (Ω,F ,P) denisana slu£ajna pro-menljiva X za koju vaºi E|X| <∞ i neka je A ∈ F , tako da je P(A) > 0.Uslovno matemati£ko o£ekivanje slu£ajne promenljive X u odnosu na dogadjaj A je

E(X|A) =

∫Ω

X(ω)P (dω|A).

Denicija 10. Neka je X slu£ajna promenljiva denisana na prostoru verovatno¢e(Ω,F ,P) koja je apsolutno integrabilna tj. E|X| <∞. Neka je A1, A2, ... prebro-jivo razbijanje skupa Ω. Uslovno matemati£ko o£ekivanje slu£ajne promenljive X uodnosu na σ − algebru G = σA1, A2, ..., u oznaci E(X|G), je diskretna slu£ajnapromenljiva denisana na slede¢i na£in

E(X|G) =∞∑i=1

E(X|Ai)IAi s.i.

Teorema 5. Neka je X integrabilna slu£ajna promenljiva na prostoru verovatno¢a(Ω,F ,P) i neka su G1 ⊆ G2 ⊆ F σ − algebre. Tada za uslovno matemati£ko o£eki-


vanje vaºi:

E [E [X|G1] |G2] = E [E [X|G2] |G1] = E[X|G1] s.i, (1.1)E[E[X|G]] = EX. (1.2)

Posledica 6. (Osobina kule) Neka su G1 ⊆ G2 ⊆ ... ⊆ Gn pod − σ − algebreσ − algebreF . Tada je

E [...E [E(X|G1)|G2] ...|Gn] = E[X|G1] s.i.

Za opisivanje slu£ajnih procesa, neophodno je, osim prostora verovatno¢e, zadatii parametarski (indeksni) skup T ⊂ R, koji se naj£e²¢e interpretira kao vreme u komese registruju slu£ajne pojave.

Denicija 11. Neka je (Ω,F ,P) dati prostor verovatno¢e i T ⊂ R skup vrednostiparametra t. Realan jednodimenzionalan slu£ajan proces X na prostoru (Ω,F ,P) jefamilija F-merljivih funkcija X(t, ω) : T × Ω → R, u oznaci X = X(t, ω) : t ∈T, ω ∈ Ω.

Za svako ksirano t ∈ T, dobija se slu£ajna promenljiva X(t, ω), ω ∈ Ω, kojaopisuje razmatranu slu£ajnu pojavu u trenutku t.Ako se ksira ishod ω ∈ Ω, dobija se jedna realna funkcija denisana na skupu T ,koja se naziva realizacija (trajektorija) slu£ajnog procesa.

Denicija 12. Neka je (Ω,F ,P) kompletan prostor verovatno¢a i [0, T ] parametarskiskup. Familija F = Ft, t ∈ [0, T ] je ltracija (potok) dogadjaja iz Ω ako su Ftpod-σ-algebre od F i ako je Fs ⊆ Ft, s ≤ t za s, t ∈ [0, T ].

Denicija 13. Slu£ajan proces X = X(t),Ft, t ∈ R+ je martingal u odnosu naltraciju F = Ft, t ∈ R+ ako je:1. slu£ajna promenljiva X(t), Ft −merljiva za svako t ∈ R+;2. E|X(t)| <∞,∀t ∈ R+;3. E[X(t)|Fs] = X(s) s.i, 0 ≤ s ≤ t.

1.2 Komponente rizika i elementi premija

Ugovori o osiguranju uklju£uju razli£ite rizi£ne komponente, koje ¢e biti navedeneu nastavku sa stanovi²ta osiguravaju¢eg dru²tva.

1. Slu£ajnost : Ishodi potencijalnih ²teta Yi su slu£ajni. Na ovu komponenturizika se moºe uticati pove¢anjem broja ugovora u portfoliju neºivotnog osi-guranja. Prema tome, taj rizik se, u odredjenoj meri, moºe kontrolisati.

2. Rizik koji poti£e od modela koji se primenjuje: Slu£ajnost promenljivih Yi, kojesu opisane u prethodnoj stavci, uvek se bazira na primenama stohasti£kihmodela. Takvo modeliranje bi trebalo imati za cilj karakterizaciju prirodeiznosa ²teta Yi sa ²to ve¢om ta£no²¢u. Medjutim, naj£e²¢e se rizik koji poti£eod modela koji se primenjuje javlja upravo zbog toga ²to opis modela nije u


potpunosti u skladu sa realnom pojavom na koju se odnosi. Postoje razli£itesituacije koje mogu doprineti pove¢anju ove komponente rizika. Takve su, naprimer:

(a) model ne opisuje na odgovaraju¢i na£in realnu pojavu;

(b) parametri u izabranom modelu nisu odgovaraju¢i;

(c) faktori rizika se vremenom menjaju, tako da prvobitni izbor modela ne opisujena odgovaraju¢i na£in situacije koje ¢e se desiti u budu¢nosti.U okviru stavke (c) je opisana nestacionarnost pojave koja se modelira. Jasnoje da je stavka (c) u bliskoj vezi sa stavkama (a) i (b).

U praksi, prisustvo svih navedenih komponenata rizika ima veliki uticaj na poslova-nje osiguravaju¢eg dru²tva. Osiguravaju¢e dru²tvo odredjuje premiju koja ima dvaosnovna elementa. Prvi element je premija rizika, koji poti£e od slu£ajnosti iznosapotencijalnih ²teta i ona iznosi µ = E[Yi]. Drugi element premije je marºa rizika iona ima zna£ajnu ulogu u obezbedjivanju nansijske stabilnosti osiguravaju¢eg dru-²tva.Elementi koji se uzimaju u obzir pri izra£unavanju premije osiguranja su:

+ premija rizika µ = E[Yi]

+ marºa rizika koja pruºa za²titu od prethodno navedenih rizika

+ marºa prota

- nansijske dobiti od investicija

+ prodajne provizije koje se ispla¢uju agentima osiguranja

+ drugi administrativni tro²kovi

+ porezi.

Suma svih ovih elemenata predstavlja premiju osiguranja. Matematika i statistikaneºivotnog osiguranja obi£no prou£avaju prva dva elementa.

1.3 Modeliranje kolektivnog rizika

Cilj ovog poglavlja je opisivanje raspodele verovatno¢a ukupnog iznosa ²teta Skoji osiguravaju¢a kompanija treba da isplati u odredjenom periodu. Pritom sepodrazumeva da je osnovna jedinica vremena jedna (obra£unska) godina. Neka jeN broj svih ²teta koje se javljaju u toku ksirane obra£unske godine. Tada je ukupaniznos ²teta

S = Y1 + Y2 + ...+ YN =N∑i=1

Yi,

gde su Y1, Y2, ..., YN iznosi pojedina£nih ²teta.Na po£etku obra£unske godine broj ²teta N i iznosi pojedina£nih ²teta Y1, Y2, ..., YN


nisu poznati. Zbog toga je potrebno modelirati sve nepoznate slu£ajnim promenlji-vim da bi se opisao ukupan iznos ²teta S koji je takodje slu£ajna promenljiva. Takvimodeli ukupnog iznosa ²teta S se nazivaju modelima kolektivnog rizika.

Neka su Y1, Y2, ..., Yn nekorelirane slu£ajne promenljive na tom prostoru sa is-tom raspodelom i kona£nim prvim momentom µ = E[Y1]. U tom slu£aju se moºeprimeniti slabi zakon velikih brojeva koji podrazumeva da za svako ε > 0 vaºi

limn→∞

P[∣∣∣ 1n

n∑i=1

Yi − µ∣∣∣ > ε

]= 0. (1.3)

To zna£i da se ukupan iznos ²teta u portfoliju neºivotnog osiguranja sa velikomta£no²¢u moºe predvideti sa pove¢anjem broja ugovora n u tom portfoliju. Samimtim se i iznos premija moºe odrediti sa velikom ta£no²¢u i to iz uslova jednakostiiznosa ukupne premije i ukupne ²tete u portfoliju neºivotnog osiguranja. Smatra seda je slabi zakon velikih brojeva teorijska osnova osiguranja. Ovaj zakon je uveo²vajcarski matemati£ar Jakob Bernoulli (1655-1705) i prvi put ga je objavio usvom radu Umetnost pogadjanja koji se pojavio osam godina nakon njegove smrti.Na nezavisne slu£ajne promenljive Y1, Y2, ... sa istom raspodelom i kona£nom disper-zijom σ2 uz slabi zakon velikih brojeva moºe se primeniti i ebi²evljeva nejednakost.Primenom te nejednakosti moºe se odrediti red konvergencije niza aritmeti£kih sre-dina slu£ajnih promenljivih ka njihovom matemati£kom o£ekivanju. Pod navedenimpretpostavkama, na osnovu Centralne grani£ne teoreme, vaºi slede¢a konvergencijau raspodeli:

n∑i=1

Yi − nµ√nσ

−→ X∗, n→∞, (1.4)

pri £emu slu£ajna promenljiva X∗ ima normalnu normiranu raspodelu. Kako izraz√n sporije raste nego n, sledi da ukupan iznos ²teta u portfoliju neºivotnog osigu-

ranja postaje predvidiv u grani£nom slu£aju kada n→∞.Prvi £lanak o Centralnoj grani£noj teoremi je objavio 1733. godine Abraham De

Moivre (1667-1754), a zatim je 1812. godine Pierre-Simon Laplace (1749-1827) pro²irio te rezultate.U ovom radu se primenjuju brojni rezultati iz teorija verovatno¢e i slu£ajnih procesakoji ¢e biti navedeni u nastavku.

1.3.1 Sloºene raspodele

Polaznu ta£ku modeliranja slu£ajne promenljive S koja opisuje ukupan iznos²teta, predstavlja sloºena raspodela. Ova sloºena raspodela se zasniva na prili£nostrogim pretpostavkama modela s jedne strane, ali je na drugoj strani od velikogzna£aja pri opisivanju i razumevanju ukupnog iznosa ²teta S.


Pretpostavke modela 2.1 (Sloºena raspodela) Ukupan iznos ²teta S je odre-djen slede¢om sloºenom raspodelom

S = Y1 + Y2 + ...+ YN =N∑i=1

Yi,

sa pretpostavkama:

1. N je diskretna slu£ajna promenljiva sa vrednostima u skupu A ⊂ N0;

2. Y1, Y2, ... su nezavisne slu£ajne promenljive sa istom raspodelom, pri £emu jeG odgovaraju¢a funkcija raspodele i G(0) = 0;

3. N i (Y1, Y2, ..., YN) su nezavisne slu£ajne promenljive.

Napomena 1. • Ako za slu£ajnu promenljivu S vaºe Pretpostavke modela 2.1, tadaona ima sloºenu raspodelu.• Prva pretpostavka sloºene raspodele podrazumeva da slu£ajna promenljiva N uzimasamo nenegativne celobrojne vrednosti. Dogadjaj N = 0 ukazuje na to da se nijedesila nijedna ²teta i da je ukupan iznos ²teta S = 0.• Druga pretpostavka podrazumeva da iznosi ²teta Yi ne uti£u jedni na druge. Naprimer, ako je iznos ²tete Y1 veliki, to ne daje informacije o preostalim iznosima²teta Yi, i ≥ 2. tavi²e, ovom pretpostavkom je obuhva¢ena i homogenost portfolijaneºivotnog osiguranja s obzirom na to da svi iznosi ²teta imaju istu marginalnufunkciju raspodele G za koju vaºi

0 = G(0) = PY1 ≤ 0,

tj. iznosi ²teta Yi su strogo pozitivni, s.i.• Poslednja pretpostavka ukazuje na to da iznosi ²teta ne zavise od broja ²teta iobrnuto. Na primer, ako se realizovao veliki broj ²teta, to ne pruºa informacije otome da li su iznosi tih ²teta manji ili ve¢i.

Sloºena raspodela je osnovni model u modeliranju kolektivnog rizika. U na-stavku ¢e biti razmatrane sloºene raspodele za razli£ite raspodele broja ²teta N ipojedina£nih iznosa ²teta Yi.

Teorema 7. Ako slu£ajna promenljiva S ima sloºenu raspodelu, tada vazi:

E[S] = E[N ]E[Y1], (1.5)D(S) = D(N)E[Y1]2 + E[N ]D(Y1), (1.6)mS(r) = mN(log(mY1(r))), r ∈ R. (1.7)

Dokaz. Primenom osobine kule, kao i pretpostavke da slu£ajne promenljive Yiimaju istu raspodelu i nezavisne su od N , dobija se

E[S] = E

[N∑i=1

Yi

]= E

[E

[N∑i=1

Yi

∣∣∣N]] = E

[N∑i=1

E [Yi]

]= E [NE [Y1]] = E [N ]E [Y1] ,


£ime je dokazana relacija (1.5).Za dokazivanje relacije (1.6), primenjuje se formulaD(X) = E[D(X|G)]+D(E[X|G]).Tada je

D(S) = D

(N∑i=1

Yi

)

= D

(E

[N∑i=1

Yi|N

])+ E

[D

(N∑i=1

Yi|N

)]= D (NE[Y1]) + E [ND(Y1)]

= D(N) (E[Y1])2 + E[N ]D(Y1).

Kona£no, za funkciju generatrise momenata vaºi

mS(r) = E

[erN∑i=1

Yi

]= E

[E

[N∏i=1

erYi∣∣∣N]] = E

[mY1(r)

N]

= E[eN log(mY1 (r))] = mN(log(mY1(r)).

Imaju¢i u vidu Pretpostavke modela 2.1, moºe se zaklju£iti da se funkcija ras-podele slu£ajne promenljive S moºe izraziti u obliku

P[S ≤ x] =∑k∈A

P

[N∑i=1

Yi ≤ x|N = k

]P [N = k] (1.8)

=∑k∈A

P

[k∑i=1

Yi ≤ x

]P [N = k]

=∑k∈A

G∗k(x)P [N = k] ,

gde G∗k ozna£ava k-tu konvoluciju funkcije raspodele G. Specijalno, ako su Y1, Y2

nezavisne slu£ajne promenljive sa istom funkcijom raspodele G, tada je

P[Y1 + Y2 ≤ x] =

∫G(x− y)dG(y) = G∗2(x).

Formulom (1.8) je eksplicitno odredjena funkcija raspodele slu£ajne promenljive S.Medjutim, u nekim slu£ajevima ova formula nije prakti£na. Na primer, ako jekardinalnost skupa A velika, odredjivanje izraza G∗k je vrlo sloºeno za k ∈ A. Utakvim slu£ajevima se funkcija raspodele slu£ajne promenljive S odredjuje prime-nom simulacija, aproksimacija ili analiti£kih tehnika koje daju dobre rezultate pododgovaraju¢im dodatnim pretpostavkama.


1.4 Teorija propasti u diskretnom vremenu

Teorija propasti je nastala po£etkom 20. veka kada je Ernst Filip Oskar

Lundberg (1876-1965) napisao doktorsku disertaciju 1903. godine. Kasnije je²vedski matema£ar i aktuar Harald Cramer (1893-1985) prou£avao kolektivnirizik i teoriju propasti, pri £emu je strogo matemati£ki opisao mnoge ideje Lund-berga. Stoga se slu£ajni proces, koji se prou£ava u teoriji propasti, naziva Kramer-Lundbergov proces.

1.4.1 Uslov neto prota

Razmatra se niz premijskih uplata πt i niz isplata ukupnih ²teta St u toku obra-£unskih godina t ∈ N. Postavlja se pitanje pod kojim uslovima je premija πt dovoljnada bi se mogla isplatiti ukupna ²teta St. Da bi se dobio odgovor na ovo pitanje de-ni²e se (u diskretnom vremenu) proces (Ct)t∈N0 , koji opisuje dobitak osiguravaju¢egdru²tva.

Denicija 14. (Proces dobitka osiguravaju¢eg dru²tva) Ako je t ∈ N, dobitak osi-guravaju¢eg dru²tva u trenutku t je dat kao

Ct = C(c0)t = c0 +

t∑u=1

(πu − Su),

za po£etni kapital C0 = c0 ≥ 0 u trenutku 0 i niz nezavisnih slu£ajnih promenljivih(πt, St) sa istom raspodelom, za koji vaºi:

• premija πt koja je upla¢ena u obra£unskoj godini t zadovoljava uslov πt > 0,s.i;

• ukupan iznos ²teta St u obra£unskoj godini t zadovoljava uslov St ≥ 0, s.i;

• Slu£ajne promenljive πt i St su nezavisne za svako t ∈ N.

Poslednja pretpostavka u prethodnoj deniciji nije neophodna, ali moºe pojedno-staviti izra£unavanja. Procesom dobitka (Ct)t∈N0 se modelira kapital ili neto vred-nost imovine osiguravaju¢eg dru²tva koje poseduje po£etni kapital C0 = c0 ≥ 0,prikuplja svake godine premije πt i ispla¢uje odgovaraju¢e (nenegativne) naknade²teta St. Na prvi pogled stohasti£ko modeliranje premije πt izgleda prili£no ve²ta£ki.Medjutim, u nekim situacijama je povoljnije da premija bude slu£ajna promenljiva.Krajnji cilj osiguravaju¢eg dru²tva je da u svakom trenutku bude na dobitku, tj.

Ct ≥ 0, t ≥ 0.

U suprotnom, osiguravaju¢e dru²tvo ne bi moglo ispuniti svoje nansijske obavezeu trenutku t ∈ N0. Razmatra se homogeni proces dobitka koji ima nezavisne istacionarne prira²taje Xt = πt−St. Radi pojednostavljivanja modela, pretpostavljase da osiguravaju¢e dru²tvo ne ostvaruje prihode na ime svojih investicija.


Denicija 15. (Vreme propasti i verovatno¢a propasti u kona£nom vremenskomintervalu) Vreme propasti τ procesa dobitka (Ct)t∈N0 se deni²e kao

τ = infs ∈ N0;Cs < 0 ≤ ∞.

Verovatno¢a propasti do momenta t ∈ N, zaklju£no sa njim, za po£etni kapital c0 ≥ 0se deni²e kao

ψt(c0) = P[τ ≤ t|C0 = c0] = P[ infs=0,...,t

C(c0)s < 0].

Napomena 2. U nastavku ¢e se primenjivati £injenica da je, za c0 = 0, stohasti£kiproces (Ct)t∈N0 = (C

(0)t )t∈N0 slu£ajno kretanje na prostoru verovatno¢e (Ω,F ,P) koje

kre¢e od nule. Op²ti proces dobitka se moºe opisati kao (Ct)t∈N0 = (C(0)t + c0)t∈N0 ,

u smislu jednakosti familija kona£no-dimenzionalnih raspodela odredjenih verovat-no¢om P. Kao ²to je navedeno u Deniciji 15, po potrebi se na po£etni kapitalmoºe ukazati koriste¢i oznaku P[·|C0 = c0]. U teoriji procesa Markova, za pret-hodnu verovatno¢u uobi£ajena oznaka je Pc0 [·]. To zna£i da je familija kona£no-dimenzionalnih raspodela procesa (Ct)t∈N0 , u odnosu na verovatno¢u P0 ekvivalentnafamiliji kona£no-dimenzionalnih raspodela procesa (C

(0)t + c0)t∈N0 , u odnosu na ve-

rovatno¢u P.

Dogadjaj τ ≤ t se moºe predstaviti na slede¢i na£in

τ ≤ t = infs ∈ N0;Cs < 0 ≤ t =⋃

s=0,...,t

Cs < 0,

i stoga je τ vreme zaustavljanja u odnosu na prirodnu ltraciju procesa (Ct)t∈N0 .Da bi se razmotrio grani£ni slu£aj t→∞ potrebno je pro²iriti pozitivni deo realneprave vredno²¢u ∞, zbog toga ²to τ ne mora biti kona£na slu£ajna promenljiva, s.i.U nastavku ¢e se koristiti oznaka R+ za pro²irenu pozitivnu realnu pravu [0,∞].Verovatno¢a propasti u kona£nom vremenskom intervalu ψt(c0) je neopadaju¢a funk-cija po t i ograni£ena je sa jedinicom. Iz ovoga sledi konvergencija verovatno¢e pro-pasti do momenta t zaklju£no sa njim, kada t→∞ i moºe se denisati verovatno¢apropasti

ψ(c0) = limt→∞

ψt(c0) ∈ [0, 1]. (1.9)

Lema 8. (Verovatno¢a propasti) Verovatno¢a propasti za po£etni kapital c0 ≥ 0 je

ψ(c0) = Pc0 [τ <∞] = Pc0 [ inft∈N0

Ct < 0] ∈ [0, 1].

Dokaz. Druga jednakost je direktna posledica denicije verovatno¢e propasti, ima-ju¢i u vidu da je

τ <∞ =⋃t∈N0

τ ≤ t =⋃t∈N0

⋃s=0,...,t

Cs < 0 =⋃t∈N0

Ct < 0 = inft∈N0

Ct < 0.

Prva jednakost se dokazuje primenom leme o monotonosti verovatno¢e. Kako je


τ ≤ t ⊂ τ ≤ t+ 1, sledi da je

Pc0 [τ <∞] = Pc0

[⋃t∈N0

τ ≤ t

]= lim

t→∞Pc0 [τ ≤ t] = lim

t→∞ψt(c0) = ψ(c0).

Verovatno¢a propasti se moºe analizirati u razli£itim situacijama. U tom smisluse moºe modikovati proces dobitka

(C

(c0)t

)t∈N0

. Neka je Z0 = 0 i neka je, za svako

t ∈ N,

Zt = C(c0)t − c0 = C

(0)t =

t∑u=1

(πu − Su) =t∑

u=1

Xu, (1.10)

gde je (Xt)t∈N niz nezavisnih slu£ajnih promenljivih sa istom raspodelom, pri £emuje Xt = πt − St. U teoriji verovatno¢e, proces (Zt)t∈N0 se naziva op²te slu£ajnokretanje.

Teorema 9. (Teorema o slu£ajnom kretanju) Neka su Xt nezavisne slu£ajne pro-menljive sa istom raspodelom, pri £emu je P [X1 = 0] < 1 i E |X1| < ∞. Slu£ajnokretanje (Zt)t∈N0, denisano u (1.10), zadovoljava jedno od slede¢a tri tvrdjenja

• ako je E [X1] > 0, tada limt→∞

Zt =∞, s.i.;

• ako je E [X1] < 0, tada limt→∞

Zt = −∞, s.i.;

• ako je E [X1] = 0, tada lim inft→∞

Zt = −∞ i lim supt→∞

Zt =∞, s.i;

U daljem razmatranju bi¢e isklju£en trivijalan slu£aj P[π1− S1 = 0] = 1 i vaºi¢epretpostavka da slu£ajne promenljive π1 i S1 imaju kona£ne prve momente.Na osnovu Teoreme 9 sledi naredno tvrdjenje koje je od posebnog zna£aja u teorijineºivotnog osiguranja.

Posledica 10. (Propast sa verovatno¢om jedan). Ako je E[π1] ≤ E[S1], onda jeψ(c0) ≡ 1 za svaki po£etni kapital c0 ≥ 0.

Dokaz. Na osnovu Teoreme 9 sledi da za E[X1] = E[π1] − E[S1] ≤ 0 vaºi da jelim inft→∞

Zt = −∞, s.i. u odnosu na verovatno¢u P. Odatle sledi da je lim inft→∞

Ct = −∞,s.i. u odnosu na verovatno¢u Pc0 (za svako c0 ≥ 0), ²to predstavlja propast saverovatno¢om 1.

Za izbegavanje propasti sa pozitivnom verovatno¢om potrebno je da (o£ekivana)godi²nja premija E[π1] prema²uje o£ekivani ukupni godi²nji iznos ²teta E[S1]. Ovodovodi do slede¢e pretpostavke.

Pretpostavka 1. (Uslov neto prota) Proces dobitka zadovoljava uslov neto protaako vaºi

E[π1] > E[S1].


Posledica 11. Ako vaºi uslov neto prota, tada je ψ(0) < 1.

Dokaz. Pretpostavka E[π1] > E[S1] implicira E[X1] > 0, i stoga limt→∞

Zt = ∞, s.i.Odatle sledi da je P[lim inf

t→∞Zt = −∞] = 0. Prethodna relacija je ekvivaletna sa re-

lacijom P[ inft∈N0

Zt ≥ 0] > 0, ²to je dokazano u [1]. Na taj na£in se dokazuje tvrdjenje.

tavi²e, moºe se uo£iti da je ψ(c0) nerastu¢a funkcija po c0. Ovo tvrdjenje sledina osnovu toga ²to je svaka trajektorija procesa C(c0)

t = Zt + c0 strogo rastu¢a funk-cija u odnosu na po£etni kapital c0. Prema tome, ako vaºi uslov neto prota, tadaje

ψ(c0) = ψ(0) < 1.

Glava 2

Principi izra£unavanja premije

neºivotnog osiguranja

Na osnovu Pretpostavke 1 i Teoreme 9 se moºe zaklju£iti da je potrebno oceniti(o£ekivanu) premiju koja prevazilazi o£ekivani ukupni iznos ²teta E[St]. U suprot-nom ¢e osiguravaju¢e dru²tvo biti na gubitku, skoro izvesno. Sa tim u vezi je i uslovneto prota.U ovom poglavlju se pretpostavlja da je premija πt deterministicka funkcija. Tada izuslova neto prota sledi da je πt > E[St]. Zbog jednostavnosti, a imaju¢i u vidu da¢e se naredno razmatranje odnositi na ksiranu godinu, moºe se izostaviti parametart, tako da je uslov neto prota oblika

π > E[S], (2.1)

pri £emu ukupan godi²nji iznos ²teta ima funkciju raspodele FS. U ovom poglavlju:

• opravdava se zbog £ega osiguravaju¢e dru²tvo moºe da naplati premiju kojaprema²uje o£ekivani ukupni iznos ²teta E[S], tj. zbog £ega je osiguranik spre-man da plati premiju π koja prema²uje iznos E[S];

• prou£avaju se razli£iti principi izra£unavanja premijske rezerve π − E[S] > 0.

Jednostavan na£in izra£unavanja premije je primenom Principa o£ekivane vred-nosti: za ksnu konstantu α>0, premija se izra£unava kao

π = (1 + α)E[S]. (2.2)

Konstanta α predstavlja stopu rezervi osiguravaju¢eg dru²tva.

Primer 1. (Princip o£ekivane vrednosti) Razmatraju se dva portfolija sa ukupnimiznosima ²teta S1 i S2 £ija su matemati£ka o£ekivanja jednaka, tj. E[S1] = E[S2].Prema principu o£ekivane vrednosti, u oba slu£aja se ispla¢uje ista premija osigu-ranja i to

π = (1 + α)E[S1] = (1 + α)E[S2] > E[S2] = E[S1].

Neka slu£ajna promenljiva S1 ima Γ(γ,c) raspodelu sa o£ekivanjem E[S1] = γ/ci neka je S2 ≡ γ/c.

18

Principi izra£unavanja premije neºivotnog osiguranja 19

U tom slu£aju nema nikakve neizvesnosti u portfoliju sa ukupnim iznosom ²tetaS2, tj. moºe se predvideti iznos S2. Prirodno je da osiguranici £ije polise osigu-ranja pripadaju tom portfoliju ne¢e hteti da plate premiju koja prema²uje njihov(maksimalni) mogu¢i gubitak S2 = γ/c, odnosno odbi¢e da plate premiju osiguranjaπ > E[S2] = S2. Osim toga karakteristike rizika ova dva portfolija sa ukupnim²tetama S1 i S2 su prili£no razli£ite.

Zaklju£ak. Premija osiguranja treba da bude zasnovana na riziku. Iznos rezerveπ − E[S] > 0 treba da odraºava rizik koji je posledica odstupanja ukupnog iznosa²teta od njegove o£ekivane vrednosti E[S].

2.1 Jednostavni principi za izra£unavanje premije

koji se zasnivaju na riziku

Pojam rizika se obi£no opisuje disperzijom slu£ajne promenljive. Zbog toga sepretpostavlja da u ovom odeljku drugi moment slu£ajne promenljive S postoji.

Princip disperzije. Za ksiranu konstantu α>0, premija osiguranja se deni²ekao

π = E[S] + αD(S).

Na osnovu pretpostavki Primera 1, sledi da je

π1 = E[S1] + αD(S1) =γ

c+ α

γ

c2>γ

c= E[S2] + αD(S2) = π2.

Za rizi£ni portfolio, £iji je ukupni iznos ²teta S1, napla¢uje se premija koja je strogove¢a od njegove o£ekivane vrednosti, dok u bezrizi£nom portfoliju, £iji je ukupniiznos ²teta deterministi£ka veli£ina S2, vaºi da je S2 − E[S2] = 0.Nedostatak principa disperzije se ogleda u tome ²to on nema osobinu homogenosti.Slede¢i primer ilustruje kako princip disperzije nije homogen u odnosu na promenuvalute. Ako je rfx > 0 (deterministi£ki) kurs izmedju dve razli£ite valute, pri £emuje rfx 6= 1, tada je

πfx = E[rfxS] + αD(rfxS) = rfxE[S] + r2fxD(S) 6= rfxπ.

Prema tome, iz nelinearnosti disperzije sledi da premija nema osobinu homogenosti uodnosu na kurs i stopu inacije. Zbog toga se £esto prou£avaju modikacije principadisperzije, kao ²to je slede¢i princip. Da bi se on opisao, od zna£aja je koecijentvarijacije Vco, koji predstavlja koli£nik standardne devijacije i o£ekivane vrednostislu£ajne promenljive.


Princip standardne devijacije. Za kisiranu konstantu α > 0, premija sedeni²e kao

π = E[S] + αD(S)1/2 = E[S](1 + αV co(S)),

gde poslednja jednakost zahteva uslov E[S] > 0.

Ovaj princip daje eksplicitno zna£enje stope rezerve α u (2.2), tj. ona je propor-cionalna koecijentu varijacije slu£ajne promenljive S.Na osnovu podataka iz Primera 1, sledi da je

π1 = E[S1] + αD(S1)1/2 =γ

c+ α

γ1/2

c>γ

c= E[S2] + αD(S2)1/2 = π2.

Za rizi£ni portfolio, £iji je ukupni iznos ²teta S1, napla¢uje se premija koja je strogove¢a od njegove o£ekivane vrednosti, dok je u bezrizi£nom portfoliju S2−E[S2] = 0.Princip standardne devijacije je obi£no prihvatljiviji od principa disperzije zbog toga²to je u njegovoj osnovi stopa rezerve koja zavisi od koecijenta varijacije ukupnogiznosa ²teta, tj. od odnosa standardne devijacije i o£ekivane vrednosti ukupnogiznosa ²teta. Ovaj princip ima osobinu homogenosti. Ako je rfx > 0 takodje kursizmedju dve razli£ite valute, dobija se jednakost

πfx = E[rfxS] + αD(rfxS)1/2 = rfxE[S] + rfxαD(S)1/2 = rfxπ.

U prethodnim primerima se razmatraju jednostavni principi izra£unavanja premije.U nastavku se opisuju napredniji principi izra£unavanja premija, koji su motivisaniekonomi£nim pona²anjem nansijskih agenata, i pruºaju mogu¢nosti izra£unava-nja premija, merenja rizika i upravljanja rizicima. Takvi principi su od koristi pridono²enju odluka i uklju£uju:

- principe koji se zasnivaju na primeni funkcije korisnosti

- Esscherov princip odredjivanja premije

- principi odredjivanja premije koji se zasnivaju na distorziji verovatno¢e

- princip izra£unavanja premije koji se zasniva na ceni kapitala, primenom merarizika

- odredjivanje premije osiguranja primenom deatora.

2.2 Napredni principi izra£unavanja premije

U ovom poglavlju razmatraju se napredniji principi za izra£unavanje premija uodnosu na one koji su razmatrani u prethodnom poglavlju. Ova razmatranja setakodje mogu posmatrati kao uvod u ekonomi£no dono²enje odluka, merenje rizikai upravljanje rizicima.


2.2.1 Principi koji se zasnivaju na primeni funkcije korisnosti

Teorija korisnosti ima za cilj modeliranje "indeksa sre¢e" nansijskih agenatapri dono²enju neke odluke. Za nansijskog agenta koji ima poziciju X, potrebno jeproceniti indeks koji kvantikuje njegovu sre¢u koja proizilazi iz pozicije X.Teorija korisnosti se zasniva na relaciji preferencije. John von Neumann (1903-1957) i Oskar Morgenstern (1902-1977) su uveli relaciju preferencije na datomskupu

X ⊂ L1(Ω,F ,P).

Skup X opisuje (rizi£ne) pozicije X ∈ X . U ovoj postavci, svaki element skupa Xse moºe interpretirati kao dobitak. Dakle, razmatra se skup X dostupnih rizi£nihpozicijaX i medju tim pozicijama pojedinac bira onu koja ga £ini najsre¢nijim. VonNeumann-Morgensern je uveo funkciju korisnosti u sa slede¢im osobinama:

u : I → R,

pri £emu je ona strogo rastu¢a na nepraznom intervalu I ⊂ R, pod uslovom da jeX ∈ I, s.i. za svako X ∈ X .Generalno, razmatra se funkcija korisnosti averzije prema riziku u : I → R sa do-datnom pretpostavkom da je u strogo konkavna na intervalu I. Funkcija korisnostiaverzije prema riziku omogu¢ava denisanje relacije preferencije na skupu svih ri-zi£nih pozicija X .

Denicija 16. Neka je funkcija korisnosti averzije prema riziku u : I → R strogorastu¢a i strogo konkavna na nepraznom intervalu I ⊂ R pri £emu je X ∈ I, s.i. zasvako X ∈ X . Tada se pozicija X ∈ X vi²e preferira nego pozicija Y ∈ X (X Y ),ako je

E[u(X)] ≥ E[u(Y )].

Prethodna relacija se moºe interpretirati na slede¢i na£in: pozicija X £ini poje-dinca sre¢nim bar onoliko koliko i pozicija Y . Zbog toga on vi²e preferira pozicijuX nego Y . Denicijom 16 se uvodi relacija preferencije na skupu X . Ako jeE[u(X)] > E[u(Y )], kaºe se da se X strogo preferira u odnosu na Y (X Y ). Akoje E[u(X)] = E[u(Y )], tada je pojedinac indiferentan u odnosu na pozicije X i Y(X ∼ Y ).Za funkciju u ∈ C2 koja je strogo rastu¢a i strogo konkavna vaºi

u′(x) > 0 i u

′′(x) < 0, x ∈ I.

Osobina strogog rasta. Osobina strogog rasta funkcije korisnosti u podrazumevada za X ≥ Y , s.i. i X > Y sa pozitivnom verovatno¢om, vaºi da je

E[u(X)] > E[u(Y )], (2.3)

tj. strogo se preferira X u odnosu na Y . U ovom kontekstu, X se tuma£i kaodobitak i ako dobitak pozicije X dominira nad dobitkom pozicije Y (u prethodnonavedenom smislu), tada vaºi stroga preferencija X Y .


Zaklju£ak: Na osnovu navedenog se moºe zaklju£iti da se pomo¢u funkcije u uvodirelacija preferencije na skupu X , pri £emu pozitivni ishodi slu£ajne promenljive Xopisuju dobitke, a negativni ishodi gubitke.

Osobina stroge konkavnosti. Stroga konkavnost funkcije korisnosti u impliciramogu¢nost primene Jensenove nejednakosti, tj. za svako X ∈ X ,

E[u(X)] ≤ u(E[X]). (2.4)

Specijalno, ako je X ∈ X nedeterministi£ka veli£ina, vaºi¢e stroga nejednakost u(2.4). U tom slu£aju, stroga konkavnost funkcije u implicira E[X] X. Ovo zna£ida ¢e pojedinci koji imaju averziju prema riziku teºiti izbegavanju neizvesnosti, takoda ¢e oni uvek preferirati srednju vrednost E[X] vi²e nego slu£ajnu promenljivu X.

Prethodna osobina predstavlja razlog zbog koga su osiguranici spremni da platepremiju osiguranja π koja prema²uje o£ekivanu vrednost iznosa ²tete E[Y ], a timeje zadovoljen i uslov neto prota. Neka osiguranik poseduje deterministi£ki po£etnikapital c0 i suo£ava se sa rizikom koji moºe smanjiti ovu sumu za slu£ajan iznos Y .Tada on ima rizi£nu poziciju X = c0−Y i indeks sre¢e ove pozicije se opisuje izrazomE[u(c0 − Y )], gde je u funkcija korisnosti (averzije prema riziku) ovog osiguranika.Osobine stroge konkavnosti i strogog rasta funkcije korisnosti impliciraju relaciju

E[u(c0 − Y )] < u(c0 − E[Y ]).

Leva strana prethodne nejednakosti opisuje trenutni indeks sre¢e rizi£ne pozicije X,a desna strana opisuje situaciju koja bi se desila ako bi se slu£ajna promenljiva Yzamenila sa E[Y ]. Dakle, bilo koja deterministi£ka premija π > E[Y ], takva da

E[u(c0 − Y )] < u(c0 − π) < u(c0 − E[Y ]),

odredjuje poziciju koja bi bila manje rizi£na od trenutne pozicije c0 − Y . Stoga, izstroge konkavnosti i osobine strogog rasta funkcije korisnosti u sledi da je osiguranikspreman da plati svaku premiju π koja se nalazi u (nepraznom) intervalu

π ∈ (E[Y ], c0 − u−1(E[u(c0 − Y )])), (2.5)

da bi pobolj²ao svoju trenutnu poziciju. Donja granica ovog intervala je u vezi sauslovom neto prota, a gornja granica je maksimalna cena π koju ¢e osiguranik to-lerisati u skladu sa funkcijom korisnosti u (ova granica moºe biti i ∞). to je manjirizik, interval ¢e biti uºi. Specijalno, ako je u(x) = x, tada je gornja granica jednakadonjoj u (2.5).

Dve najpoznatije funkcije korisnosti su:• eksponencijalna funkcija korisnosti, odnosno funkcija korisnosti konstantne apso-


lutne averzije prema riziku: za α > 0,

u(x) = 1− 1

αe−αx, x ∈ R, (2.6)

• stepena funkcija, odnosno funkcija korisnosti konstantne relativne averzije premariziku, izoelasti£na funkcija korisnosti: za svako x ∈ R+,

u(x) =

x1−γ

1− γ, γ 6= 1,

log x, γ = 1,(2.7)

Primer 2. (Eksponencijalna funkcija korisnosti) Ako osiguraniku odgovara ekspo-nencijalna funkcija korisnosti (2.6), pri £emu on poseduje po£etni kapital c0 i suo£avase sa rizi£nom pozicijom Y ∈ L1(Ω,F ,P) gde je D(Y ) > 0 i Y > 0, s.i, iz navedenihpretpostavki sledi da je E[Y ] > 0. Eksponencijalna funkcija korisnosti ima slede¢eosobine:

u′(x) = − 1

αe−αx(−α) = e−αx > 0,

u′′(x) = −αe−αx < 0.

Zbog toga je ona strogo konkavna i rastu¢a funkcija na skupu R. Njena inverznafunkcija je

u−1(x) = − 1

αlog(α(1− y)).

Na osnovu relacije (2.5) sledi da je prihvatljiva ona premija π za koju vaºi da je

π ∈ (E[Y ],1

αlogE[eαY ]),

gde je gornja granica prethodnog intervala beskona£na ako funkcija generatrise mo-menata slu£ajne promenljive Y ne postoji u ta£ki α. U ovom primeru se moºe uo£itida premija π ne zavisi od po£etnog kapitala c0 osiguranika. Potrebno je nagla-siti da ovo svojstvo vaºi isklju£ivo za eksponencijalnu funkciju korisnosti, a pitanjekoje proizilazi odavde je u kojoj meri je realna ova osobina pri dono²enju odluka urealnom ºivotu.

Primer 3. (Stepena funkcija korisnosti) Neka osiguraniku odgovara stepena funkcijakorisnosti (2.7), pri £emu on poseduje po£etni kapital c0 > 1 i suo£ava se sa rizi£nompozicijom Y, koja se opisuje Bernulijevom raspodelom sa parametrom p = 1/2.Iz ovoga sledi da je E[Y ] = 1/2. Stepena funkcija korisnosti ima slede¢e osobine:

u′(x) =

1

1− γ(1− γ)x1−γ−1 = x−γ > 0,

u′′(x) = −γx−γ−1 < 0.

Zbog toga je stepena funkcija korisnosti strogo rastu¢a i konkavna na I = R+. Ako


je γ = 1, tada je odgovaraju¢a inverzna funkcija

u−1(y) = ey.

U nastavku ¢e biti odredjena gornja granica intervala u izrazu (2.5). U tom smisluje

c0 − u−1(E[u(c0 − Y )]) = c0 − eE[log(c0−Y )])

= c0 − e12

log(c0)+ 12

log(c0−1)

= c0 −√c0(c0 − 1) ≡ b(c0).

Prema tome, svaka mogu¢a premija π nalazi se u nepraznom intervalu, koji je datu (2.5), tj.

π ∈(

1

2, c0 −

√c0(c0 − 1)

).

U ovom primeru se moºe uo£iti da mogu¢e vrednosti premije π zavise od po£etnogkapitala c0 > 1 osiguranika.Funkcija b je denisana na intervalu (1,∞) i vaºi

limc0→1

b(c0) = limc0→1

(c0 −√c0(c0 − 1)) = 1.

Pored toga, vaºi da je

limc0→∞

b(c0) = limc0→∞

c0 −√c0(c0 − 1)

c0 +√c0(c0 − 1)

c0 +√c0(c0 − 1)

= limc0→∞

c20 − c2

0 + c0

c0 +√c2

0 − c0

= limc0→∞

c0

c0(1 +√

1− 1c0

)=

1

2.

Prva grani£na vrednost ukazuje na to da ¢e osiguranik koji poseduje veoma malipo£etni kapital c0, £iji je iznos blizu 1, biti spreman da plati maksimalni mogu¢iiznos 1 kao premiju. Na osnovu druge grani£ne vrednosti sledi da ¢e osiguranik, koji

poseduje dovoljno veliki po£etni kapital c0 →∞ , platiti samo iznos E[Y ] =1

2, zbog

toga ²to on moºe sam podneti rizik. Izvod funkcije b je

b′(c0) = 1− 1

2

2c0 − 1√c0(c0 − 1)

=

√c0(c0 − 1)− (c0 − 1

2)√

c0(c0 − 1)

=

√c2

0 − c0 −√c2

0 − c0 +1

4√c0(c0 − 1)

< 0,

tj. ona je strogo opadaju¢a funkcija po£etnog kapitala c0, gde je c0 > 1. Prematome, sa porastom po£etnog kapitala interval, koji je dat u (2.5), postaje uºi.


Denicija 17. (Cena indiferentne korisnosti) Cena indiferentne korisnosti π =π(u, Fs, c0) ∈ R za funkciju korisnosti u, po£etni kapital c0 ∈ I i rizi£nu poziciju S,sa funkcijom raspodele FS, predstavlja re²enje jedna£ine

u(c0) = E[u(c0 + π − S)],

pod uslovom da ono postoji.

Naravno, za vrednosti π i S se podrazumeva da je c0 +π−S ∈ I, s.i. Taj uslov, uop²tem slu£aju, podrazumeva odredjena ograni£enja slu£ajne promenljive S ako jeI ograni£eni interval, kao u Primeru 3. Treba imati u vidu da, ako cena indiferentnekorisnosti π postoji, onda je jedinstvena, ²to sledi na osnovu stroge monotonostifunkcije korisnosti u.

Cena indiferentne korisnosti koja je predstavljena Denicijom 17, opisuje aspektposlovanja osiguravaju¢eg dru²tva. Pretpostavlja se da osiguravaju¢e dru²tvo imapo£etni kapital c0 ∈ I. Ono prihvata ugovor o osiguranju S po ceni π ukoliko seodgovaraju¢a korisnost ne smanjuje tj. ako je indiferentno u odnosu na prihvatanjeugovora S po ceni π i u odnosu na opciju da ne prodaje takav ugovor.

Primenom Jensenove nejednakosti i osobine strogog rasta funkcije korisnosti u, do-bija se slede¢i rezultat.

Posledica 12. Cena indiferentne korisnosti π = π(u, Fs, c0), za po£etni kapital c0,funkciju korisnosti averzije prema riziku u i rizi£nu poziciju S, sa funkcijom raspo-dele Fs, zadovoljava nejednakost π = π(u, Fs, c0) > E[S].

Primer 4. (Eksponencijalna funkcija korisnosti) Neka je po£etni kapital osiguranikac0 ∈ R, pri £emu je funkcija korisnosti data izrazom (2.6), sa parametrom averzijeprema riziku α > 0. Ako je potrebno osigurati rizi£nu poziciju S sa N(µ, σ2) raspo-delom, na osnovu Denicije 17, treba re²iti jedna£inu

1− 1

αe−αc0 = E

[1− 1

αe−α(c0+π−S)

].

Kako je

E

[1− 1

αe−α(c0+π)eαS

]= 1− 1

αe−α(c0+π)E[eαS],

prethodna jedna£ina se ekvivalentno moºe predstaviti u obliku


eαπ = E[eαS] ≡∫ ∞−∞

1√2πσ2

eαxe−

1

2

(x− µ)2

σ2 dx

=1√

2πσ2

∫ ∞−∞

e−x2 − 2µx+ µ2

2σ2+αx

dx

=1√

2πσ2

∫ ∞−∞

e−x2 − 2µx+ µ2 − 2σ2αx

2σ2 dx

=1√

2πσ2

∫ ∞−∞

e−x2 − 2x(µ+ σ2α) + µ2

2σ2 dx

=1√

2πσ2

∫ ∞−∞

e−x2 − 2x(µ+ σ2α) + (µ+ σ2α)2 + µ2 − (µ+ σ2α)2

2σ2 dx

=1√

2πσ2

∫ ∞−∞

e−

(x− (µ+ σ2α))2

2σ2 e

2µσ2α + σ4α2

2σ2 dx

= eα

µ+σ2α

2

.

Na taj na£in se moºe zaklju£iti da je cena indiferentne korisnosti

π = π(µ, Fs, c0) = µ+σ2α

2> µ.

Napomena 3.

• Dobija se premija osiguranja π > µ = E[S], tj. za datu funkciju korisnosti vaºiJensenova nejednakost. Pritom je ispunjen i uslov neto prota.

• Razlika π − E[S] ima oblik ασ2/2 = αD(S)/2. Prema tome, za eksponencijalnufunkciju korisnosti, ta razlika je srazmerna disperziji. Ako slu£ajna promenljiva Sima N (µ, σ2) raspodelu, tada je π − E[S] = αD(S)/2, dok za druge funkcije kori-snosti (koriste¢i Tejlorovu aproksimaciju), vaºi pribliºna jednakost.

• Cena indiferentne korisnosti ne zavisi od po£etnog kapitala c0.

Napomena 4. Funkcija korisnosti u(x) = a − be−cx se preferira isto koliko ieksponencijalna funkcija korisnosti (2.6) za c = α. Ovo tvrdjenje sledi na osnovu£injenice da za razli£ite funkcije korisnosti u(·) i v(·), pri £emu je v = a + bu, zaa ∈ R i b ∈ R+, generi²u istu relaciju preferencije.

Teorema 13. Ako je u ∈ C2 funkcija korisnosti averzije prema riziku na R, tadasu slede¢a tvrdjenja ekvivalentna:

• cena indiferentne korisnosti π = π(u, Fs, c0) ne zavisi od c0 za svako S;


• funkcija korisnosti u ima oblik

u(x) = a− be−cx,

za svako a ∈ R i b, c > 0.

Dokaz. Treba imati na umu da pretpostavka u ∈ C2 nije neophodna jer konkavnostfunkcije u podrazumeva da je ona skoro svuda diferencijabilna i to je dovoljan uslovove teoreme.Najpre ¢e biti dokazan direktan smer teoreme. Dokaz ovog dela tvrdjenja se moºena¢i u [2]. Neka slu£ajna promenljiva S ima Bernulijevu raspodelu sa parametromp. Iz Denicije 17 sledi da za slu£ajnu promenljivu S vaºi

u(c0) = E[u(c0 + π − S)] = pu(c0 + π − 1) + (1− p)u(c0 + π),

pri £emu cena indiferentne korisnosti π = π(p) = π(u, p, c0) zavisi samo od p ∈ (0, 1).U nastavku se razmatraju izvodi funkcije u u odnosu na c0 i p. U tom smislu je

u′(c0) = [pu

′(c0 + π − 1) + (1− p)u′(c0 + π)]

∂

∂c0

(c0 + π)

= pu′(c0 + π − 1) + (1− p)u′(c0 + π),

gde je u poslednjem koraku primenjana pretpostavka da premija π ne zavisi odc0. Izvod π

′(p) funkcije π u odnosu na p postoji na osnovu Teoreme o implicitnoj

funkciji, tako da je

0 = u(c0 + π − 1) + pu′(c0 + π − 1)π

′(p)− u(c0 + π) + (1− p)u′(c0 + π)π

′(p).

Iz prethodne dve jednakosti sledi da je

u′(c0)π

′(p) = u(c0 + π)− u(c0 + π − 1). (2.8)

Kako je funkcija u strogo rastu¢a, sledi da je π′(p) > 0. Ponovo, primenom Teoreme o

implicitnoj funkciji i diferenciranjem jednakosti (2.8) po c0 i p, dobija se respektivno,

u′′(c0)π

′(p) = u

′(c0 + π)− u′(c0 + π − 1),

u′(c0)π

′′(p) = [u

′(c0 + π)− u′(c0 + π − 1)]π

′(p).

Odatle sledi da jeu′′(c0)

u′(c0)=

π′′(p)

(π′(p))2= −c < 0,

za neku konstantu c > 0. Poslednja jednakost sledi iz toga ²to izraz na levoj stranine zavisi od p, a izraz na desnoj strani ne zavisi od c0. Ona predstavlja diferenci-jalnu jedna£inu za funkciju korisnosti u, £ije (jedinstveno) re²enje je eksponencijalnafunkcija.Obrnuti smer ovog tvrdjenja se dokazuje direktno na osnovu Denicije 17.


Dokaz ove teoreme daje uvid u averziju prema riziku. Apsolutna i relativna averzijaprema riziku dva puta diferencijabilne funkcije korisnosti u se deni²u, respektivnosa

ρARA(x) = ρuARA(x) = −u′′(x)

u′(x), ρRRA(x) = ρuRRA(x) = −xu

′′(x)

u′(x).

Primer 5. (Eksponencijalna funkcija korisnosti) Eksponencijalna funkcija korisno-sti (2.6) sa parametrom averzije prema riziku α > 0 zadovoljava relaciju

ρARA(x) = −u′′(x)

u′(x)= −(−α)e−αx

e−αx= α, x ∈ R+,

tj. u ovom slu£aju apsolutna averzija prema riziku je konstantna.

Primer 6. (Stepena funkcija korisnosti) Ova funkcija korisnosti sa parametromaverzije prema riziku γ > 0 ima oblik

u(x) =

x1−γ

1− γ, γ 6= 1,

log x, γ = 1,

za svako x ∈ R+. Tada je

u′(x) =

1

1− γ(1− γ)x1−γ−1 = x−γ,

u′′(x) = −γx−γ−1,

tako da je

ρRRA(x) = −x(−γ)x−γ−1

x−γ=γx−γ

x−γ= γ.

Ovaj primer ilustruje slu£aj konstantne relativne averzije prema riziku.

Neka su u, v ∈ C2(I) dve funkcije korisnosti denisane na istom intervalu I.Tada funkciji u odgovara ve¢a averzija prema riziku nego funkciji v na I ako, zasvako preslikavanje X £iji je rang I, vaºi

u−1(E[u(X)]) ≤ v−1(E[v(X)]).

Teorema 14. Ako su u, v ∈ C2(I) dve funkcije korisnosti denisane na istom in-tervalu I ⊂ R, tada su slede¢a tvrdjenja ekvivalentna:

• funkciji u odgovara ve¢a averzija prema riziku nego funkciji v na I;

• ρuARA(x) ≥ ρvARA(x), za svako x ∈ I.

Dokaz. Najpre ¢e biti dokazan direktan smer teoreme. U tom smislu, neka funkcijiu odgovara ve¢a averzija prema riziku nego funkciji v na intervalu I. Kako je funk-cija korisnosti dva puta neprekidno diferencijabilna na I, postoji neprazan otvoren


interval O ⊂ I, tako da je

−ρuARA(x) =u′′(x)

u′(x)>v′′(x)

v′(x)= −ρvARA(x), x ∈ O.

Funkcija u(v−1(·)) je denisana na nepraznom otvorenom intervalu v(O) (v je ne-prekidna i strogo rastu¢a). Imaju¢i u vidu da su funkcije u i v strogo rastu¢e, sledida je

d

dzu(v−1(z)) = u

′(v−1(z)) =

u′(v−1(z))

v′(v−1(z))> 0,

tako da je

d2

dz2u(v−1(z)) =

u′′(v−1(z))

(v′(v−1(z)))2− u

′(v−1(z))v

′′(v−1(z))

(v′(v−1(z)))3

=u′(v−1(z))

(v′(v−1(z)))2

[u′′(v−1(z))

u′(v−1(z))− v

′′(v−1(z))

v′(v−1(z))

]> 0, z ∈ v(O).

Iz ovoga sledi da je u(v−1(·)) konveksna funkcija korisnosti na nepraznom intervaluv(O). Neka je nedeterministi£ka slu£ajna promenljiva Y takva da je Y ∈ O, s.i.Po²to je O neprazan otvoreni interval, takva slu£ajna promenljiva postoji. Tada jez = v(Y ) nedeterministi£ka slu£ajna promenljiva na v(O). Kako je funkcija u(v−1(·))strogo konveksna na v(O), primenom Jensenove nejednakosti se dobija

u−1(E[u(Y )]) = u−1(E[u(v−1(v(Y )))]) > u−1(u(v−1(E[v(Y )]))) = v−1(E[v(Y )]).(2.9)

Prethodna relacija predstavlja kontradikciju u odnosu na polaznu pretpostavku itime je dokazan direktan smer teoreme.Za dokaz obrnutog smera teoreme od zna£aja je £injenica da je u(v−1(·)) funkcijana v(I). Ona je strogo rastu¢a funkcija zbog toga ²to su u i v funkcije korisnosti.Tada je

d2

dz2u(v−1(z)) =

u′(v−1(z))

(v′(v−1(z)))2

[u′′(v−1(z))

u′(v−1(z))− v

′′(v−1(z))

v′(v−1(z))

]=

u′(v−1(z))

(v′(v−1(z)))2[ρvARA(v−1(z))− ρuARA(v−1(z))] ≤ 0 z ∈ v(I).

Nastavak dokaza je analogan relaciji (2.9).

Posledica 15. Ako funkciji u odgovara ve¢a averzija prema riziku nego funkciji v,tada za cene indiferentne korisnosti vaºi

π(u, Fs, c0) ≥ π(v, Fs, c0).

Dokaz. Kako vaºi

c0 = u−1(E(u(c0 + π(u, Fs, c0)− S))) ≤ v−1(E(v(c0 + π(v, Fs, c0)− S))),

imaju¢i u vidu da su v−1 i v strogo rastu¢e funkcije, sledi da je π(u, Fs, c0) ≥


π(v, Fs, c0).

Na osnovu ove posledice moºe se zaklju£iti da je interval elasti£nosti cena (2.5)uºi kada se averzija prema riziku smanjuje.

Teorema 16. Ako je u ∈ C3(I) funkcija korisnosti averzije prema riziku na I, tadasu slede¢a tvrdjenja ekvivalentni:

• π(u, Fs, c0) je opadaju¢a funkcija po c0 za svako S;

• ρuARA(x) je opadaju¢a funkcija za svako x ∈ I.

Dokaz. Neka je π opadaju¢a funkcija po c0. Tada se za v = −u′ , diferenciranjempo c0, dobija

c0 = v−1(E[v(c0 + π(u, Fs, c0)− S)∂

∂c0

(c0 + π(c0))])

≥ v−1(E[v(c0 + π(u, Fs, c0)− S)]).

Kako je i v = −u′ funkcija korisnosti na I, sledi da je

u−1(E[u(c0 + π(u, Fs, c0)− S)]) = c0 ≥ v−1(E[v(c0 + π(u, Fs, c0)− S)]),

za bilo koje c0 i S. Tada funkciji v odgovara ve¢a averzija prema riziku nego funkcijiu i na osnovu Teoreme 14 sledi da je ρvARA(x) ≥ ρuARA(x), za svako x ∈ I. Na tajna£in se dobija

−u′′′

u′′= −v

′′

v′≥ −u

′′

u′,

tako da je, za svako x ∈ I

d

dxρuARA(x) = − d

dx

u′′

u′= −u

′′′u′ − u′′u′′

(u′)2= −u

′′′

u′+

(u′′)2

(u′)2= −u

′′

u′

[u′′′

u′′− u

′′

u′

]≤ 0.

Obrnuti smer tvrdjenja se dokazuje analogno.

Primer 7. (Stepena funkcija korisnosti) Za stepenu funkciju korisnosti sa parame-trom averzije prema riziku γ > 0, vaºi da je

ρARA(x) = −u′′(x)

u′(x)= −−γx

−γ−1

x−γ= γx−1, x ∈ R+.

Zbog toga je cena indiferentne korisnosti π(u, Fs, c0) opadaju¢a funkcija po c0, ²tose moºe zaklju£iti na osnovu Teoreme 16 . Ovo je osobina koju ekonomisti smatrajuracionalnom za dono²enje nansijskih odluka.


2.2.2 Esscherova premija

Razmatra se slu£ajna promenljiva S sa funkcijom raspodele F i kona£nim prvimmomentom

E[S] =

∫Rs dF (s).

Za odredjivanje cene indiferentne korisnosti potrebno je modikovati isplate S uvo-djenjem indeksa sre¢e u(c0 + π − S). Odredjivanje Esscherove premije zahteva dru-ga£iji pristup, u smislu da se ne odnosi na isplate, ve¢ na modikovane raspodeleverovatno¢e F slu£ajne promenljive S.U aktuarskoj praksi, pri izra£unavanju premijskih rezervi, ve¢i zna£aj se pridajenepovoljnim dogadjajima nego povoljnim. U osnovi, radi se o prelazu sa jedne vero-vatnosne mere na drugu, manje povoljnu. Hans Buhlmann je prvi do²ao na takvuideju konstrui²u¢i Esscherovu meru.

Esscherova raspodela Fα, koja odgovara raspodeli F , za α > 0, deni²e se kao

Fα(s) =1

ms(α)

∫ s

−∞eαxdF (x),

pod pretpostavkom da funkcija generatrise momenata ms(α) slu£ajne promenljiveS postoji u ta£ki α. Na taj na£in je denisana normirana raspodela Fα.

Denicija 18. (Esscherova premija) Ako za slu£ajnu promenljivu S sa funkcijomraspodele F postoji r0 > 0, tako da je ms(r) < ∞ za svako r ∈ (−r0, r0), tada seEsscherova premija πα za slu£ajnu promenljivu S i α ∈ (0, r0) deni²e kao

πα = Eα[S] =

∫Rs dFα(s).

Posledica 17. Ako vaºe pretpostavke Denicije 18, tada vaºi

πα =d

drlog ms(r)|r=α ≥ E[S],

gde vaºi stroga nejednakost ako je S nedeterministi£ka veli£ina.

Dokaz. Na osnovu Leme 3 sledi da za α ∈ (0, r0) vaºi

πα =1

ms(α)

∫RseαsdF (s) =

m′s(α)

ms(α)=

d

drlogms(r)|r=α.

Na osnovu Leme 4 sledi da je funkcija logms(α) konveksna, tj. da je njen prvi izvodrastu¢a funkcija po α > 0. Tada je

πα =d

drlogms(r)|r=α ≥

d

drlogms(r)|r=0 =

m′s(0)

ms(0)= E[S].


Primer 8. (Esscherova premija u slu£aju normalne raspodele) Neka je α > 0 i nekaje S slu£ajna promenljiva sa N (µ, σ2)− raspodelom. Tada je

ms(r) = EerX =

∫ +∞

−∞

1√2πσ2

erxe−

(x− µ)2

2σ2 dx

=1√

2πσ2

∫ +∞

−∞e−

(x2 − 2xµ+ µ2 − 2σ2rx)

2σ2 dx

=1

2πσ2

∫ +∞

−∞e−

(x2 − 2x (µ+ σ2r) + (µ+ σ2r)

2+ µ2 − (µ+ σ2r)

2)

2σ2 dx

=1√

2πσ2

∫ +∞

−∞e−

(x− (µ+ σ2r))2

2σ2 dx e

2µσ2r + σ4r2

2σ2

= eµr+

σ2r2

2 .

Odgovaraju¢a Esschartova premija je

πα =d

drlogms(r)|r=α =

d

dr

(µr +

σ2r2

2

)= µ+ σ2r|r=α = µ+ σ2α > µ = E[S].

U slu£aju normalne raspodele razlika izmedju premije i o£ekivanog ukupnog iznosa²teta je proporcionalna disperziji, tj. Esscherova premija odgovara principu disper-zije. Dakle, principi disperzije eksponencijalne funkcije korisnosti i Esscherove pre-mije daju isti iznos premije osiguranja u slu£aju normalne raspodele.

Zaklju£ak. Esscherova premija se lako moºe izra£unati na osnovu funkcije ge-neratrise momenata ms(r). Ova premija se moºe izra£unati samo u slu£aju kadaraspodela slu£ajnih promenljivih koje opisuju iznose ²teta ima lake repove. U su-protnom, funkcija generatrise momenata ne bi bila denisana.

2.2.3 Principi odredjivanja premije koje se zasnivaju na di-

storziji verovatno¢e

U prethodnom odeljku razmatran je princip izra£unavanja premije osiguranjakoji se zasnivao na distorzijama verovatno¢e. Tada je mogu¢e izra£unati premijeosiguranja za iznose ²teta £ije raspodele imaju lake repove, zbog toga ²to je takvadistorzija osetljiva u slu£aju raspodela sa te²kim repovima. U nastavku se razma-traju distorzije verovatno¢e sa druga£ijeg aspekta koji ¢e omogu¢iti vi²e eksibilno-sti. Ako slu£ajna promenljiva S ima funkciju raspodele F i ako vaºi S ≥ 0, s.i, tadase, primenom parcijalne integracije dobija

E[S] =

∫ ∞0

x dF (x) =

∫ ∞0

P[S > x]dx.


U ovom odeljku se razmatra distorzija funkcije F (x) = P[S > x]. U tom smislu seuvodi funkcija distorzije h : [0, 1] → [0, 1], koja je neprekidna, rastu¢a i konkavnai za koju vaºi h(0) = 0 i h(1) = 1. Funkcija h, svakoj verovatno¢i p, pridruºujevrednost h(p), pri £emu je h(p) ≥ p, za svako p ∈ [0, 1]. Ova nejednakost sledi naosnovu osobina funkcije h. Pored toga, konkavnost funkcije h ukazuje na averzijuprema riziku, kao ²to je slu£aj sa funkcijom korisnosti. Ako postoji p ∈ (0, 1), zakoje je h(p) > p, tada je h(p) > p za svako p ∈ (0, 1). Zbog toga se pod strogomaverzijom prema riziku podrazumeva da je h(p) > p za svako p ∈ (0, 1).

Denicija 19. Ako je funkcija h : [0, 1] → [0, 1] neprekidna, rastu¢a i konkavna iako vaºi h(0) = 0, h(1) = 1 i h(p) > p za svako p ∈ (0, 1), tada je premija koja sezasniva na distorziji verovatno¢e πh za S ≥ 0 (ako postoji) denisana kao

πh = Eh[S] =

∫ ∞0

h(P[S > x])dx.

U ovom slu£aju je

E[S] =

∫ ∞0

P[S > x]dx ≤∫ ∞

0

h(P[S > x])dx = Eh[S] = πh,

gde vaºi stroga nejednakost ako je S nedeterministi£ka veli£ina.

Napomena 5.

• Sli£no Esscherovoj premiji, i u ovom slu£aju se modikuje funkcija raspodele ve-rovatno¢e ukupnog iznosa ²teta S (za razliku od pristupa teorije korisnosti gde semodikuju iznosi ²teta).

• Princip distorzije verovatno¢e predstavlja tehniku za konstruisanje koherentnihmera rizika za ograni£ene slu£ajne promenljive.

Primer 9. (Distorzija verovatno¢e za Pareto raspodelu) Ako slu£ajna promenljivaS ima Pareto(θ, α)- raspodelu za α > 1 i θ > 0, funkcija distorzije verovatno¢e semoºe denisati kao

h(p) = pγ za γ ∈ (0, 1).

Premija koja se zasniva na distorziji verovatno¢e za S je

πh =

∫ ∞0

h(P[S > x])dx =

∫ θ

0

1γdx+

∫ ∞θ

[(xθ

)−α]γdx

=

∫ θ

0

1dx+

∫ ∞θ

(xθ

)−αγdx =

∫ ∞0

P[Sγ > x]dx,

gde je Sγ slu£ajna promenljiva sa Pareto(θ, αγ)− raspodelom. Tada je

πh = Eh[Sγ] = θαγ

αγ − 1> θ

α

α− 1= E[S], za γ ∈ (1/α, 1).

Za razliku od Esscherove premije, u ovom slu£aju se moºe izra£unati premija koja sezasniva na distorziji verovatno¢e i za iznose ²teta £ije raspodele imaju te²ke repove,


pod uslovom da averzija prema riziku (konkavnost funkcije h) nije prevelika tj. uovom slu£aju za γ ∈ (1/α, 1).

2.2.4 Princip izra£unavanja premije koji se zasniva na ceni

kapitala, primenom mera rizika

Neka je X ⊂ L1(Ω,F ,P) oznaka za skup rizi£nih pozicijaX, pri £emuX ozna£avagubitak. Mera rizika % na X je preslikavanje % : X → R, gde je X → %(X).

Napomena 6.

• Mera rizika % svakoj rizi£noj poziciji X pridruºuje vrednost %(X) ∈ R.

• Ako je mera rizika % regulatorna mera rizika, tada %(X) ∈ R ukazuje na kapitalkoji je neophodan da bi se podneo rizik, tj. koji mora biti dostupan osiguravaju¢emdru²tvu koje vodi poslovanje X. Ovo je minimalni kapital osiguravaju¢eg dru²tvakoji treba zadrºati da bi se izbalansirali mogu¢i gubici u portfoliju osiguranja.

• Da bi mera rizika bila "dobra", zahtevaju se dodatna svojstva, kao ²to su, naprimer monotonost ili koherentnost.

• Naj£e²¢e kori²¢ene mere rizika su: disperzija i VaR (Value-at-Risk).

Ako je data regulatorna mera rizika % : X → R sa X → %(X), treba procenitiukupan iznos ²teta S u portfoliju osiguranja pod pretpostavkom da jeX = S−E[S] ∈X . Drugim re£ima, treba prou£iti mogu¢e gubitke pored najbolje ocene E[S] zaslu£ajnu promenljivu S. Propis o posedovanju regulatornog kapitala zahteva daosiguravaju¢e dru²tvo mora raspolagati makar kapitalom koji je neophodan da bise podneo rizik %(S − E[S]). Ovaj iznos predstavlja potrebnu nansijsku potporuosiguravaju¢eg dru²tva koja omogu¢ava da ono nansira svoje izdatke koje ne moºeda pokrije premija rizika E[S].Neka je %(S − E[S]) > 0 za nedeterministi£ku vrednost S. Tada osiguravaju¢akompanija treba da pronadje akcionare koji su spremni da obezbede kapital %(S −E[S]) > 0. Akcionari ¢e obezbediti ovaj kapital pod uslovom da je o£ekivani prinosna uloºeni kapital dovoljno veliki. O£ekivana stopa prinosa na akcionarski kapitalnaziva se stopa cene kapitala (cost-of-capital rate) rC0C > 0. Dakle, o£ekivani prinosakcionara/investitora je

rC0C%(S − E[S]) > 0,

na njihovu investiciju £iji je iznos %(S − E[S]) > 0.

Denicija 20. Premija osiguranja koja se zasniva na ceni kapitala je

πC0C = E[S] + rC0C%(S − E[S]).

Napomena 7.

• Ako je S ≤ E[S], osiguravaju¢e dru²tvo moºe nadoknaditi sve ²tete isklju£ivo izfonda premija E[S].


• Ako je S > E[S], premija rizika E[S] nije dovoljna za naknadu svih ²teta, tako dase razlika S − E[S] > 0 ispla¢uje sredstvima %(S − E[S]). Stoga, kapital investitora%(S −E[S]) je izloºen riziku i investitori mogu izgubiti jedan deo tog kapitala. Zbogtoga oni zahtevaju da za stopu cene kapitala vaºi

rC0C > r0,

gde r0 ozna£ava bezrizi£nu stopu, odnosno kamatnu stopu koju nude banke za uloºenasredstva sa datumom dospe¢a koji imaju njihove investicije.

U nastavku ¢e biti navedene neke osobine mera rizika. Prva pretpostavka je daje X konveksan konus koji sadrºi skup R tj. zadovoljava uslove:

(1) c ∈ X za svako c ∈ R,

(2) X + Y ∈ X za svako X, Y ∈ X ,

(3) λX ∈ X za svako X ∈ X i λ > 0.

Aksiome 1. (Aksiome mera rizika %) Ako je % mera rizika na konveksnom konusuX koji sadrºi R, tada za X, Y ∈ X , c ∈ R i λ > 0 vaºi:

(a) normiranost: %(0) = 0;

(b) monotonost: ako za X, Y vaºi X ≤ Y, s.i. tada je %(X) ≤ %(Y );

(c) invarijantnost u odnosu na translaciju: za svako X i za svako c vaºi%(X + c) = %(X) + c;

(d) pozitivna homogenost: Za svako X i za svako λ > 0 vaºi %(λX) = λ%(X);

(e) subaditivnost: Za svako X, Y vaºi %(X + Y ) ≤ %(X) + %(Y ).

Na osnovu navedenog se moºe uo£iti da neke aksiome impliciraju druge. Na pri-mer, pozitivna homogenost implicira normiranost, odnosno, kako je %(0) = %(λ0) =λ%(0) za svako λ > 0, sledi da je %(0) = 0. U daljoj analizi su najvaºnije aksiomenormiranost (a) i invarijantnost u odnosu na translaciju (c).

Invarijantnost u odnosu na translaciju. Ako investitor poseduje rizi£nu po-ziciju X i po£etni kapital c > 0, njegov gubitak je X− c. Ova aksioma podrazumevada mera rizika % zadovoljava uslov

%(X − c) = %(X)− c.

Ovo opravdava denisanje regulatorne mere rizika. Naime, ako investitor proda ri-zi£ni portfolio S i ostvari prihod na ime premije rizika E[S], onda je rizik preostaloggubitka S − E[S] dat izrazom %(S − E[S]) = %(S)− E[S].


Normiranost i invarijantnost u odnosu na translaciju. Bilans stanja jednogosiguravaju¢eg dru²tva se naziva prihvatljivim ako njegov sucit C1 ∈ X zadovoljavauslov %(−C1) ≤ 0. Ako se pretpostavi da osiguravaju¢e dru²tvo prodaje polisu Spo ceni π ≥ E[S] i istovremeno ima po£etni kapital c0 = %(S − E[S]) ≥ 0, budu¢isucit kompanije je C1 = c0 + π − S. Uslov prihvatljivosti je

%(−C1) = %(−(c0 + π − S)) = −c0 − π + %(S) = −π + E[S] ≤ 0. (2.10)

tj. prihvatljiva je pozicija. Imaju¢i u vidu premiju koja se zasniva na ceni kapitala,date Denicijom 20, prethodna relacija se moºe protuma£iti na slede¢i na£in: akoje po£etni kapital c0 > 0 obezbedjen od strane investitora koji o£ekuju stopu cenekapitala rC0C > r0 na svoje investicije, osiguravaju¢e dru²tvo treba da isplati inve-stitorima sumu rC0Cc0 = rC0C%(S−E[S]). Ono moºe to u£initi pomo¢u premije kojase zasniva na ceni kapitala πC0C i time zadrºava prihvatljivu poziciju, datu relacijom(2.10), ako se rC0Cc0 smatra plateºnom obavezom osiguravaju¢eg dru²tva.

Monotonost i normiranost impliciraju tvrdjenje da je rizi£nija pozicija pra-¢ena ve¢im zahtevima u pogledu kapitala. Specijalno, ako je X ≥ 0 s.i, tada je%(X) ≥ %(0) = 0.

Denicija 21. (Koherentna mera rizika) Mera rizika % se naziva koherentnom akozadovoljava Aksiome 1.

Koherentne mere rizika je uveo Artzner i osobine koherentne mere rizika se £estosmatraju korisnim u praksi. Specijalno, svojstvo subaditivnosti ukazuje na to dase udruºivanjem dva portfolija o£ekuju pozitivni efekti diversikacije, ²to rezultirasmanjenjem kapitala koji je neophodan da bi se podneo rizik.

Primer 10. Mera rizika koja se zasniva na standardnoj devijaciji slu£ajne promen-ljive S, sa kona£nim prvim momentom, je

%(S) = ασ(S) = αD(S)1/2,

za dati parametar α > 0. Ova mera rizika je normirana, pozitivno homogena isubaditivna, ali nije invarijantna u odnosu na translaciju niti monotona. U slu£ajuprimene ove mere rizika, princip odredjivanja premije koji se zasniva na ceni kapitala,poklapa se sa principom standardne devijacije.

2.2.5 Odredjivanje premije osiguranja primenom deatora

U dosada²njem razmatranju je potpuno zanemarena £injenica da novac ima vre-mensku vrednost, tj. da budu¢e nov£ane tokove treba diskontovati za potrebe odre-djivanja premije osiguranja. U nansijskoj matematici, procena nov£anih tokovakoji prate ugovore o osiguranju se moºe razmatrati kao problem odredjivanja cenana nekompletnom nansijskom trºistu. Odredjivanje cena na takvom nansijskomtrºi²tu se tada zasniva na primenama mera regulatornog rizika ili, ekvivalentno,primenom deatora. Ovim se obezbedjuje sistem odredjivanja bezarbitraºnih cena,poznat kao Osnovna teorema o vrednovanju aktive. Termin deator je uveo JamesDarrell Duffie [3]. Ovaj pojam se moºe na¢i u aktuarskoj literaturi [4, 5, 6].


Neka je ϕ integrabilna i strogo pozitivna slu£ajna promenljiva sa prvim momen-tom

E[ϕ] = d0 =1

1 + r0

∈ (0, 1].

Tada se d0 moºe posmatrati kao deterministi£ki faktor diskontovanja, a r0 ≥ 0 kaodeterministi£ka bezrizi£na stopa. Ovo je op²ta verzija deatora ϕ. Da bi se odre-djivanje premije primenom deatora uporedilo sa prethodno uvedenim principimaodredjivanja premija, pretpostavlja se da je d0 = 1. tj. nov£ani tokovi nemaju vre-mensku vrednost.

Ako je ϕ ∈ L1(Ω,F ,P) strogo pozitivna slu£ajna promenljiva, pri £emu je d0 = 1i ϕ i S su pozitivno korelirane slu£ajne promenljive, tada se moºe denisati cenazasnovana na deatoru (ako postoji)

π(0)ϕ = E[ϕS] ≥ E[ϕ]E[S] = E[S].

Gornji indeks u izrazu π(0)ϕ ukazuje na pretpostavku d0 = 1.

Prema tome, za sve slu£ajne promenljive S, koje su pozitivno korelirane sa ϕ, vaºida je odgovaraju¢a premija ve¢a ili jednaka premiji rizika E[S]. Slede¢i primerpokazuje da ova premija predstavlja uop²tenje Esscherove premije. Pored toga, onase moºe shvatiti kao premija koja se zasniva na distorziji verovatno¢e, jer omogu¢avadenisanje ekvivalentne verovatnosne mere P∗ primenom izvoda Radon-Nikodima naslede¢i na£in

dP∗

dP= ϕ,

imaju¢i u vidu da je ϕ strogo pozitivna P-s.i, za d0 = 1. Tada se premija koja od-govara ukupnom iznosu ²teta S moºe odrediti na osnovu ekvivalentne verovatnosnemere P∗ kao

π(0)ϕ = E[ϕS] = E∗[S].

Primer 11. (Esscherova premija) Neka je S slu£ajna promenljiva i ϕ = ms(α)−1eαS

za α > 0 i ms(α) < ∞. Sledi da je ϕ strogo pozitivna P-s.i. i normirana slu£ajnapromenljiva. Prema tome, ϕ je deator pri £emu je d0 = 1. Na osnovu nejednakostikoju su dokazali Fortuin, Kasteleyn i Ginibre [20], sledi da su ϕ i S pozitivnokorelirane slu£ajne promenljive i

π(0)ϕ = E[ϕS] ≥ E[S].

Kako je

π(0)ϕ = E[ϕS] =

1

ms(α)E[eαSS] = πα,

sledi da je π(0)ϕ jednaka ovoj Esscherovoj premiji πα, i P∗ je Esscherova mera koja

odgovara funkciji raspodele Fα.Prethodni primer pokazuje da je princip koji se zasniva na primeni deatora ge-neralizacija Esscherove premije. Klju£na stvar je da su slu£ajne promenljive ϕ i Spozitivno korelirane, tako da je razlika izmedju premije i o£ekivanog ukupnog iz-nosa ²teta nenegativna. Pored toga, princip koji se zasniva na primeni deatora


pruºa mogu¢nost stohasti£kog diskontovanja i to izborom deatora ϕ za koji vaºiE[Y ] ∈ (0, 1).

Glava 3

Rezerve u neºivotnom osiguranju

Ovo poglavlje daje potpuno novu perspektivu poslovanja kompanije neºivotnogosiguranja. Pretpostavlja se da je ukupan iznos ²teta u ksiranoj obra£unskoj godinimoºe opisati kao

St =Nt∑i=1

Yi,

gde t = 1, ..., T ozna£ava razli£ite obra£unske godine, Nt opisuje broj ²teta u obra-£unskoj godini t i Yi opisuje iznos i-te ²tete. Na taj na£in je predstavljen osnovnimodel za opisivanje kolektivnog rizika. Ovaj model sugeri²e da postoji Nt ²teta uobra£unskoj godini t £iji su iznosi Y1, ..., YNt i oni opisuju ukupan iznos koji ¢e osi-guravaju¢a kompanija isplatiti osiguranicima u toj godini. Glavni problem u praksije ²to tipi£no neºivotno osiguranje ne moºe nadoknaditi ²tetu odmah prilikom na-stanka. Drugim re£ima, ako Yi opisuje iznos ²tete i = 1, ..., Nt u obra£unskoj godinit, generalno, ovaj iznos ne mora imati datum dospe¢a za naplatu u obra£unskojgodini t, zbog toga ²to se prijem zahteva za od²tetu realizuje kasnije u odnosu natrenutak realizacije ²tete. Isto tako, broj ²teta Nt ne mora biti dostupan osigura-vaju¢oj kompaniji na kraju obra£unske godine t, jer se moºe desiti da su se ²tetedogodile u godini t, a da su prijavljene tek kasnije. Kao posledica toga se javljapotreba za predvidjanjem budu¢ih nov£anih tokova na ime naknada ²teta koje suse desile u pro²losti, a koje ¢e dospeti na naplatu u budu¢nosti, da bi se adekvatnoodredile premije budu¢ih ugovora o osiguranju. Ovaj zadatak je poznat kao pro-blem odredjivanja rezervi i on uzima u obzir plateºne obaveze kompanije na imenaknada prethodno realizovanih ²teta. Predvidjeni iznosi ovih plateºnih obavezapredstavljaju rezerve. Potrebno je naglasiti da ovi iznosi rezervi predstavljaju naj-ve¢u stavku na strani pasive u bilansu stanja kompanije neºivotnog osiguranja.

3.1 Plateºne obaveze

teta u neºivotnom osiguranju nastaje usled realizacije rizi£nog dogadjaja kojauzrokuje nansijski gubitak pokriven ugovorom o osiguranju. Datum kada se reali-zovao rizi£ni dogadjaj naziva se datum nastanka ²tete. Obi£no je potrebno odredjenovreme dok se realizovana ²teta ne pojavi u administrativnom sistemu osiguravaju¢ekompanije i postane dostupna za statisti£ku analizu. Period izmedju datuma na-

39

Rezerve u neºivotnom osiguranju 40

stanka ²tete i njene registracije u osiguravaju¢oj kompaniji se naziva ka²njenje uprijavljivanju, a datum registracije se naziva datum prijavljivanja. Ka²njenje uprijavljivanju moºe biti vrlo malo,na primer nekoliko dana, ali moºe biti i veomaveliko, na primer, nekoliko godina. Razlozi za takva ka²njenja u prijavljivanju su²to realizovane ²tete nisu odmah prijavljene osiguravaju¢oj kompaniji. Na primer,kradja bicikla se prijavljuje kada se utvrdi njegov nestanak, ali datum nastanka ²teteje dan kada je bicikl ukraden. Velika ka²njenja u prijavljivanju su obi£no uzroko-vana dogadjajima koji se ne prime¢uju odmah. Pored toga, ²teta koja se prijaviosiguravaju¢oj kompaniji obi£no ne moºe da se nadoknadi odmah. Osiguravaju¢akompanija zapo£inje istragu, nadgleda proces oporavka, prikuplja informacije, sud-ske odluke i ra£une. Ovaj proces moºe trajati godinama ako se odnosi na ve¢i broj²teta. Naravno, osiguravaju¢a kompanija ne moºe da krene sa naknadom ²teta dokse ne izvr²i kona£na procena. U op²tem slu£aju, nastanak ²tete pokre¢e £itav niznov£anih tokova nakon datuma prijavljivanja. Ovaj period se zove period poravna-nja, a zavr²etak naknade ²tete se naziva datum poravnanja ili datum zatvaranja.Dakle, postoje tri vaºna datuma koji se odnose na ²tete u neºivotnom osiguranju:

datum nastanka ²tete T1 ≤ datum prijavljivanja T2 ≤ datum poravnanja T3.

Pored toga, postoje slede¢a dva vaºna datuma: po£etak perioda osiguranja U1 ikraj perioda osiguranja U2 > U1, gde se uvek pretpostavlja da je U2 < ∞. Obi£noje osiguravaju¢a kompanija odgovorna samo za one ²tete za koje je T1 ∈ [U1, U2].Stoga ¢e u nastavku od zna£aja biti samo one ²tete £iji datum nastanka T1 pripadaperiodu osiguranja [U1, U2], navedenom u ugovoru o osiguranju.

Ako se sada²nji trenutak ozna£i sa t ≥ U1, postoje £etiri razli£ite situacije:

1. Neka je t < T1. To zna£i da se ²teta jo² uvek nije desila i ne postoje nikakveisplate. Ovo zna£i da osiguravaju¢a kompanija nije odgovorna za ovu ²tetu sa tre-nutnom polisom osiguranja. U ovom slu£aju, kada je t < T1, jedina informacijadostupna osiguravaju¢oj kompaniji je potpisan ugovor o osiguranju, odnosno izlo-ºenost riziku u slu£aju da je datum nastanka ²tete T1 ∈ [U1, U2]. Tada se £estoupotrebljava termin nezasluºena premija, ako izloºenost riziku jo² uvek nije istekla,tj. ako je t < U2.

2. Neka je T1 ≤ t ≤ T2 i T1 ∈ [U1, U2]. U ovom slu£aju, ²teta se desila ali jo²uvek nije prijavljena osiguravaju¢oj kompaniji. O ovakvim ²tetama ne postoje nika-kve individualne informacije, ali postoje spolja²nje informacije, poput ekonomskogokruºenja (na primer, stopa nezaposlenosti, stopa inacije, nansijska nestabilnost),vremenskih uslova i prirodnih katastrofa (oluje, poplave, zemljotresi), nuklearnih ne-sre¢a, epidemija gripa i sli£no. Iz ovih spoljnih informacija se moºe zaklju£iti da litreba o£ekivati manje ili vi²e zahteva za od²tetu.

3. Neka je T2 ≤ t ≤ T3 i T1 ∈ [U1, U2]. Ove ²tete su prijavljene osiguravaju¢ojkompaniji, ali jo² uvek nije do²lo do poravnanja. Obi£no, sve vi²e informacija o²tetama je dostupno, tako da se neizvesnost u pogledu poravnanja smanjuje. Me-


djutim, ovi zahtevi za od²tetu nisu u potpunosti re²eni. Period poravnanja [T2, T3]je takodje period u kome se realizuju isplate na ime naknade ²tete.Tokom perioda poravnanja pristiºe sve vi²e informacija o individualnim ²tetama,kao ²to su datum nastanka ²tete, uzrok nastanka ²tete, vrsta ²tete, relevantni ugo-vori, procene ²tete i ve¢ izvr²ena pla¢anja.

4. Neka je T3 < t i T1 ∈ [U1, U2]. U ovom slu£aju, poravnanje je realizovano,predmet zatvoren i ne o£ekuju se dalja pla¢anja na ime naknade ²tete. Pod nekimokolnostima moºe biti neophodno da se predmet opet otvori zbog neo£ekivanog ra-zvoja dogadjaja koji imaju uticaja na ²tetu. Ukoliko se ovo dogadja £esto, onda supredmeti verovatno zatvoreni prerano i trebalo bi da se izvr²i revizija postupka po-ravnanja u ovoj kompaniji. Ako postoji sistematsko ponovno otvaranje, kompanijamoºe zatraºiti posebnu proviziju za neo£ekivana ponovna otvaranje, na primer, zaugovore koji nemaju ograni£eno trajanje.

Da bi se izvr²ile procene ugovora o osiguranju i iznosa ²teta, osiguravaju¢e kom-panije formiraju homogene grupe i pod-portfolije u kojima vaºi zakon velikih bro-jeva. U neºivotnom osiguranju, ugovori se £esto dele prema srodnosti na ugovoreo privatnoj svojini, komercijalnoj svojini, privatnoj odgovornosti, komercijalnoj od-govornosti, osiguranju od posledica nesre¢nih slu£ajeva, zdravstvenom osiguranju isli£no. Ako je ova klasikacija suvi²e gruba, navedene klase se mogu podeliti napod-portfolije. Na primer, osiguranje privatne svojine se moºe podeliti na kategorijena osnovu razli£itih uzroka nastanka, kao ²to su osiguranje od posledice poºara, po-plave, kradje i sli£no. esto se takve podklase formiraju u zavisnosti od geografskepripadnosti trºi²ta ili za razli£ite sudske nadleºnosti.Kada se sa£ine ove homogene klase rizika, prou£avaju se sve ²tete koje pripadajujednom takvom pod-portfoliju. Ove ²tete se dalje grupi²u prema datumu njihovognastanka. tete koje su nastale u istom periodu su uzrokovane sli£nim spolja²njimfaktorima, poput vremenskih uslova i ekonomskog okruºenja, zvog £ega je takvaklasikacija opravdana. Obi£no je jedinica vremena ugovora o osiguranju godina,i zbog toga se ²tete grupi²u prema godini u kojoj su nastale. Neka su obra£unskegodine ozna£ene sa k ∈ N. Sve ²tete £iji su datumi nastanka T1 ∈ [1/1/k, 31/12/k]nazivaju se ²tete £ija je godina nastanka k. Poslednji interval se moºe predstavitiu obliku [k, k + 1). Ove ²tete generi²u nov£ane tokove koji se takodje razmatrajuna nivou obra£unske godine tj. sve isplate na ime naknada ²teta, koje se vr²e uobra£unskoj godini, se objedinjuju. Ovo je motivacija za uvodjenje klasi£nih oznakaza iznose rezervi, za ksirano i ∈ N i j ∈ N0 :

Xi,j = sve isplate na ime naknada ²teta nastalih u godini i ,

koje su realizovane u obra£unskoj godini k = i+ j ∈ N.

Na taj na£in se uzimaju u obzir sve ²tete (datog pod-portfolija) £iji su datuminastanka T1 ∈ [i, i + 1) = [1/1/i, 31/12/i], odnosno koje su nastale u istoj godini.Za ove ²tete se razmatraju objedinjeni nov£ani tokovi, koji su dalje podeljeni prema


ka²njenju u isplati j ∈ N0 i nazivaju se godine razvoja. Na primer,

Xi,0 = isplate u godini [i, i+ 1) na ime ²teta nastalih u godini i;Xi,1 = isplate u godini [i+ 1, i+ 2] na ime ²teta nastalih u godini i;Xi,j = isplate u godini [i+ j, i+ j + 1) na ime ²teta nastalih godini i.

Osim toga, uobi£ajena je pretpostavka da postoji ksirano maksimalno ka²njenjeu poravnanju J ∈ N, tj. Xi,j ≡ 0 za sve razvojne godine j > J. Naravno, maksimalnoka²njenje u poravnanju J zavisi od grane osiguranja koja se razmatra. Naj£e²¢eje manje za osiguranje privatne svojine i ve¢e za osiguranje od odgovornosti. Utrenutku t ∈ N, za t > J, dat je gra£ki prikaz u Tabeli 1. Treba imati u vidu da je sat ozna£eno 31/12/t. Ova tabela prikazuje tri vremenske ose: (1) osa godina nastanka²tete i ∈ 1, ..., t (vertikalna osa); (2) osa godina razvoja j ∈ 0, ..., J (horizontalnaosa); i (3) osa obra£unskih godina k = i + j ∈ 1, ..., t + J (dijagonalna osa).Za odredjivanje rezervi osiguranja su vaºne sve tri vremenske ose: (1) i obuhvatasve ²tete sa istom godinom nastanka; (2) j opisuje isplate sa istim ka²njenjem uodnosu na godinu nastanka ²tete; i (3) k = i + j opisuje isplate koje se realiziju uistoj obra£unskoj godini (stoga su pod uticajem istih spolja²njih faktora, kao ²to jeinacija). Prema tome, isplate u obra£unskoj godini k se mogu predstaviti kao

Xk =∑i+j=k

Xi,j =t∧k∑

i=1∨(k−J)

Xi,k−i =

J∧(k−1)∑j=0∨(k−t)

Xk−j,j. (3.1)

U trenutku t ∈ N osiguravaju¢a kompanija ima plateºne obaveze na ime ²teta koje suse realizovale u toku godina i ≤ t. Ove ²tete se nazivaju ²tete otkrivene u pro²losti.Za neke od ovih ²teta do trenutka t je ve¢ do²lo do poravnanja (ako je datumporavnanja T3 ≤ t), druge mogu imati datum prijavljivanja T2 ≤ t, ali datumporavnanja T3 > t ili mogu imati datum prijavljivanja T2 > t.Na ukupnom nivou, osiguravaju¢a kompanija u trenutku t ∈ N raspolaºe slede¢om


informacijom o ²tetama otkrivenim u pro²losti

Dt = Xi,j; i+ j ≤ t, 1 ≤ i ≤ t, 0 ≤ j ≤ J. (3.2)

Ova informacija odgovara gornjem trouglu (ako je t = J + 1) ili gornjem trapezu(ako je t > J + 1) Tabele 1. tete otkrivene u pro²losti generi²u tokove novca ubudu¢im obra£unskim godinama koji su oblika

Dct = Xi,j : i+ j > t, 1 ≤ i ≤ t, 0 ≤ j ≤ J. (3.3)

Prethodni skup podataka odgovara donjem trouglu u Tabeli 1, pri £emu donji trou-gao Dct predstavlja plateºne obaveze osiguravaju¢e kompanije, ²to je glavni predmetinteresovanja. Te plateºne obaveze £ine pasivu u bilansu stanja osiguravaju¢e kom-panije i ona poti£e od premija koje su osiguranici uplatili kompaniji. Kompanija bitrebalo da odredi odgovaraju¢e provizije da bi bila u mogu¢nosti da realizuje svenov£ane tokove u budu¢nosti. Ove provizije se nazivaju iznosi rezervi i trebalo bida ispune slede¢e zahteve:

• iznosi rezervi bi trebalo da budu procenjeni tako da uzimaju u obzir sve rele-vantne informacije iz pro²losti;

• iznosi rezervi treba da budu najbolja ocena plateºnih obaveza koja je uskladjenasa vremenskom vredno²¢u novca.

U osnovi, ovo zna£i da se mora predvideti donji trougao Dct , koji se zasniva nasvim dostupnim informacijama Ft ⊃ Dt do trenutka t. Konkretno, potrebno je de-nisati stohasti£ki model na stohasti£kom bazisu (Ω,F ,P,F):(i) koji uzima u obzir informacije iz pro²losti Ft ⊂ F pomo¢u ltracije F = (Ft)t;(ii) koji odraºava karakteristike pro²lih realizacija Dt;(iii) na osnovu koga se mogu predvideti budu¢e isplate na ime plateºnih obavezaDct ;(iv) koji uzima u obzir vremensku vrednost novca za budu¢e nov£ane tokove Xi,j,i+ j > t.Naravno, takav model je veoma sloºen i zbog toga se konstrui²e korak po korak.Uticaj vremenske vrednosti novca na nov£ane tokove ¢e biti zanemaren, tako dase razmatraju samo nominalne vrednosti isplata. Ukupan nominalni iznos ²tetanastalih u godini i je

J∑j=0

Xi,j ” = ”

Ni∑l=1

Yl = Si. (3.4)

Dakle, za odredjivanje ukupnog iznosa ²teta Si u obra£unskoj godini i, potrebnoje opisati niz svih ²teta nastalih u godini i, £iji je datum poravnanja u godinamai, i+1, ..., i+J, tj. Xi,0, ..., Xi,J . Drugim re£ima, potrebno je predvideti budu¢e nov-£ane tokove koje su u vezi sa plateºnim obavezama da bi se odredio ukupan iznos²teta Si u obra£unskoj godini i. U ovom slu£aju se razmatra nominalna vrednost Sii zbog toga se koristi simbol ” = ” u gornjem identitetu (3.4). Na osnovu navedenogse moºe zaklju£iti da je ukupan iznos ²teta u ksiranoj obra£unskoj godini i daleko


sloºeniji od sloºene raspodele.

Neka je poslednja godina nastanka ²tete/ obra£unska godina u kojoj su vr²ena po-smatranja t = I i neka se sva razmatranja odnose na ovu (ksiranu) obra£unskugodinu.

Nominalna vrednost najbolje ocene rezerve u trenutku t = I > J za ²tete otkri-vene u pro²losti se, prema pretpostavkama modela, deni²e kao

R =∑i+j>I

E[Xi,j|FI ] =∑

(i,j)∈IcI

E[Xi,j|FI ],

gde su indeksni skupovi I,II i IcI denisani kao

I = 1, ..., I × 0, ..., J,II = (i, j) ∈ I; i+ j ≤ I, IcI = I \ II .

Skup IcI odgovara donjem trouglu DcI Tabele 1, (Ft)t≥0 je ltracija na prostoruverovatno¢e (Ω,F ,P), pri £emu se pretpostavlja da je Xi,j Fi+j-merljiva slu£ajnapromenljiva za svako (i, j) ∈ I.

Najbolja ocena rezerve R predstavlja prognozu nominalne vrednosti plateºnih oba-veza u trenutku t = I, koje se odnose na naknade ²teta otkrivenih u pro²losti iiznose ∑

(i,j)∈IcI

Xi,j.

Prognoza R se zasniva na raspoloºivim informacijama FI u trenutku I. esto seskupovi Ft i Dt identikuju tj. pretpostavlja se da ne postoje druge informacije,osim informacija o ²tetama.Slede¢e pitanje koje treba razmotriti je neizvesnost u predvidjanju. To zna£i da jepotrebno razmatrati odstupanja kretanja nov£anih tokova od njihove najbolje ocene,tj. ocene rezerve.

3.2 Algoritmi za predvidjanje i odredjivanje rezervi

U po£etku su aktuari konstruisali algoritme koji omogu¢avaju odredjivanje re-zervi R. Ovi algoritmi se mogu shvatiti kao postupci za odredjivanje rezervi. Mnogokasnije aktuari su po£eli da razmi²ljaju o stohasti£kim modelima koji su u osnoviovih algoritama. Dva najpoznatija algoritma su takozvani chain-ladder (CL) algo-ritam i algoritam Bornheutter-Fergusona (BF). Ova dva algoritma imaju razli£itagledi²ta. CL algoritam se bazira na informacijama iz skupa DI , dok se u okviru BFalgoritma koriste informacije iz skupa DcI , i to nezavisno od opservacija DI , ali naosnovu stru£nog mi²ljenja. Samo aktuarsko iskustvo moºe biti od koristi pri odlu-£ivanju kom algoritmu treba dati prednost u konkretnoj situaciji. Zbog toga su unastavku predstavljena oba algoritma.


3.2.1 CL algoritam

Za prou£avanje CL algoritma potrebno je denisati nominalne kumulativne is-plate

Ci,j =

j∑l=0

Xi,l.

Dakle, suma svih isplata Xi,l, l ≥ 0, za ksiranu godinu nastanka ²tete i je Ci,J = Si,gde Si ozna£ava ukupan nominalni iznos ²teta koji odgovara godini nastanka ²teta i.Pritom se Ci,J se naziva krajnji nominalni iznos ²tete koji odgovara godini nastanka²tete i.

CL ideja. Sve godine u kojima su nastale ²tete i ∈ 1, ..., I su sli£ne u pogledubroja nastalih ²teta i kumulativne isplate imaju pribliºnu vrednost

Ci,j+1 ≈ fjCi,j, (3.5)

za date faktore fj > 0. Faktori fj nazivaju se CL faktori.

Na osnovu (3.5) se intuitivno moºe predvideti krajnji iznos ²tete Ci,J zasnovan naposmatranju DI . Naime, za svaku godinu i, u kojoj je nastala ²teta, bira se opser-vacija Ci,I−1 i mnoºi sa sukcesivnim CL faktorima fI−1, ..., fJ−1.

U daljem razmatranju potrebno je proceniti nepoznate CL faktore. Na osnovuizraza (3.5), jedna od pouzdanih ocena ovih faktora je

fCLj =

∑I−j−1i=1 Ci,j+1∑I−j−1i=1 Ci,j

=

I−j−1∑i=1

Ci,j∑I−j−1n=1 Cn,j

Ci,j+1

Ci,j. (3.6)

Jasno je da se iznosi Ci,j, i ∈ 1, 2, ..., I, j ∈ 0, 1, ..., J mogu predstaviti u vidumatrice. Tada, formula (3.6) ukazuje na to da je fCLj koli£nik zbira elemenatasusednih kolona te matrice, ²to je u skladu sa relacijom (3.5). Pored toga, onaukazuje na to da je fCLj ponderisani prosek relativnih gubitaka Fi,j+1 = Ci,j+1/Ci,j,koji se mogu odrediti na osnovu informacija iz DI .Zajedno sa ovim ocenama CL faktora, prognoza krajnjeg (nominalnog) iznosa Ci,J ,za i+ J > I, u trenutku t = I je

CCLi,J = Ci,I−i

J−1∏j=I−i

fCLj , (3.7)

i, u op²tem slu£aju, dobija se

CCLi,n = Ci,I−i

n−1∏j=I−i

fCLj , (3.8)


za i+ n > I.

Ocena CL rezerve u trenutku t = I, za godinu nastanka ²tete i > I − J , je

RCLi = CCL

i,J − Ci,I−i = Ci,I−i

(J−1∏j=I−i

fCLj − 1

).

Objedinjuju¢i ove rezultate za svaku godinu nastanka ²teta, moºe se dobiti slede¢aprognoza nominalnog iznosa plateºnih obaveza na ime ²teta otkrivenih u pro²losti.

RCL =I∑

i=I−J+1

RCLi .

3.3 BF algoritam

BF metodi, koji su uveli Ronald Bornhuetter i Ronald E. Ferguson sezasniva na pretpostavci da su unapred dostupne informacije µi, za o£ekivani iznoskrajnje ²tete nastale u godini i. Ove informacije omogu¢avaju predvidjanje DcI poduslovom da postoji ²ema (γj)j=0,...,J , koja opisuje procentualne udele isplata u svakojgodini razvoja.

BF ideja. Sve godine u kojima su nastale ²tete i ∈ 1, ..., I su sli£ne u pogledubroja nastalih ²teta i pribliºne vrednosti isplata su

Xi,j ≈ γjµi, (3.9)

za unapred dostupne informacije µi i datu ²emu (γj)j=0,...,J , koja zadovoljava uslovnormiranosti

∑Jj=0 γj = 1. Vrednost µi bi trebalo da odraºava ocenu ukupne o£eki-

vane vrednosti krajnjeg iznosa ²teta E[Ci,J ] u obra£unskoj godini i. Pretpostavljase da je ova vrednost odredjena na osnovu spoljnog stru£nog mi²ljenja, koje ne bitrebalo da se zasniva na informacijama iz Di. Ostaje samo da se oceni ²ema (γj)j. Sobzirom na CL metod, deni²u se slede¢e ocene

βCLj =J−1∏l=j

1

fCLl=

∏j−1l=0 f

CLl∏J−1

l=0 fCLl

.

Ovaj koli£nik predstavlja udeo isplata realizovanih nakon prvih j perioda razvoja,primenom ocena dobijenih u skladu sa CL metodom. Zbog toga se deni²u ocene:

γCL0 = βCL0 ,

γCLj = βCLj − βCLj−1, j = 1, ..., J − 1,

γCLJ = 1− βCLJ−1.

Zajedno sa ovim ocenama, moºe se predvideti krajnji iznos ²tete Ci,J za i + J > I


u skladu sa BF metodom, tj.

CBFi,J = Ci,I−i + µi

J∑j=I−i+1

γCLj = Ci,I−i + µi

(1− βCLI−i

). (3.10)

Ocena BF rezervi u trenutku t = I, koja odgovara godini nastanka ²tete i > I − J ,je

RBFi = µi

J∑j=I−i+1

γCLj = µi

(1− βCLI−i

).

Objedinjuju¢i ove rezultate za sve godine nastanka ²teta, moºe se izvesti prognozanominalne vrednosti plateºnih obaveza na ime ²teta otkrivenih u pro²losti, tj.

RBF =I∑

i=I−J+1

RBFi =

∑(i,j)∈IcI

µiγCLj .

Ovaj odeljak se zavr²ava uporedjivanjem CL i BF prognoza. Zbog toga, treba mo-dikovati CL formulu (3.7) na slede¢i na£in

CCLi,J = Ci,I−i + Ci,I−i

J−1∏j=I−i

fCLj

(1−

J−1∏j=I−i

1

fCLj

).

Odatle sledi

CCLi,J = Ci,I−i +

(1− βCLI−i

)CCLi,J ,

CBFi,J = Ci,I−i +

(1− βCLI−i

)µi.

Dakle, obe prognoze imaju istu strukturu. Jedina razlika je u tome ²to BF metodakoristi unapred dostupne informacije µi za opisivanje krajnjih iznosa ²teta, a u skladusa CL metodom se primenjuje ocena CCL

i,J , dobijena na osnovu opservacija.

3.4 Stohasti£ke metode za odredjivanje rezervi

U prethodnom odeljku predstavljeni su algoritmi za izra£unavanje rezervi R.Naravno, treba proceniti i preciznost ovih predvidjanja, tj. koliko stvarne isplate∑(i,j)∈IcI

Xi,j mogu odstupati od ovih predvidjanja R. Najpoznatija mera rizika je

uslovna srednje kvadratna gre²ka predvidjanja (MSEP), koja se moºe izra£unatiili oceniti eksplicitno u mnogim primerima. Neka je X DI-merljivo predvidjanjeslu£ajne promenljive X. Uslovna srednje kvadratna gre²ka predvidjanja se deni²ekao

msepX|DI(X)

= E

[(X − X

)2 ∣∣∣DI] . (3.11)


Ova mera rizika je mera rastojanja u L2-prostoru i moºe se predstaviti kao zbir mereneizvesnosti i gre²ke pri ocenjivanju parametara, tj.

msepX|DI(X)

= D(X∣∣∣DI)+

(E[X∣∣∣DI]− X)2

. (3.12)

Ako su svi parametri poznati i ako se moºe eksplicitno izra£unati E[X∣∣∣DI], tada

je predvidjanje X = E[X∣∣∣DI], zbog toga ²to u tom slu£aju izraz (3.12) dostiºe

minimum. U svakom slu£aju je potrebno oceniti E[X∣∣∣DI] ²to preciznije, a zatim

odrediti mogu¢e izvore gre²aka pri ocenjivanju parametara i neizvesnosti ovog oce-njivanja. U cilju analize navedenih neizvesnosti predvidjanja, potrebno je uskladitialgoritme za odredjivanje rezervi sa njihovom stohasti£kom prirodom. Za CL me-todu postoje razli£iti stohasti£ki modeli koji omogu¢avaju odredjivanje rezervi:

• Mackov model (Thomas Mack [7]),

• ODP (over-dispersed Poisson) model (Renshaw, Verrall [8] i England, Verrall [9])

• Bayesov CL model (Gisler, Wuthrich [10] i Buhlmann, De Felice, Gisler, Mori-coni, Wutrich [11]).

Mackov model [7] je najpopularniji stohasti£ki model za odredjivanje rezervi. Jed-nostavan je sa stohasti£ke ta£ke gledi²ta i lako se implementira. Klju£ni doprinosMacka je odredjivanje ocene gre²ke pri odredjivanju parametara. U nastavku ne¢ebiti razmatran Mackov model, ve¢ ¢e detaljno biti opisan gama-gama Bayesov CLmodel. Ovaj model pripada klasi Bayesovih CL modela, kod kojih se uslovna sred-nje kvadratna gre²ka predvidjanja moºe eksplicitno izra£unati. U nastavku ¢e bitiuporedjena formula za odredjivanje uslovne srednje kvadratne gre²ke predvidjanjau gama-gama Bayesovom CL modelu sa Mackovom formulom.Za BF metodu postoje razli£iti pristupi kao ²to su:

• BF ODP model (Alai, Merz, Wuthrich [12, 13]),

• Mackov BF model [14],

• BF model koji su uveli Saluz, Gisler, Wuthrich [15],

• Bayesov BF model koji su uveli England, Verrall, Wuthrich [16].Neki od ovih modela koriste ocene γj koje se razlikuju od prethodno prou£avanih.

3.4.1 Gama-gama Bayesov CL model

U ovom odeljku se razmatra gama-gama Bayesov CL model, koji daje mogu¢nosteksplicitnog odredjivanja veli£ina koje su od zna£aja u neºivotnom osiguranju.


Pretpostavke modela 4.1 (Gama-gama Bayesov CL model). Neka su σj > 0,j = 0, ..., J − 1, date ksirane konstante.

(a) Pod uslovom Θ= (Θ0, ...,ΘJ−1), (Ci,j)j=0,...,J su nezavisni (po i) procesi Mar-kova (po j), pri £emu

Ci,j+1|Ci,j,Θ ima Γ(Ci,jσ−2j ,Θjσ

−2j ) raspodelu.

(b) Θj su nezavisne slu£ajne promenljive sa Γ(γj, fj(γj − 1)) raspodelom sa datimparametrima fj > 0 i γj > 1, za j = 0, ..., J − 1.

(c) Θ i C1,0, ..., CI,0 su nezavisne slu£ajne promenljive i Ci,0 > 0, s.i., za svakoi = 1, ..., I.

Za dati parametar Θ je

E [Ci,j+1|Ci,j,Θ] = Θ−1j Ci,j.

Na osnovu ove relacije se moºe zaklju£iti da Θ−1j ima ulogu CL faktora u (3.5). Tada

je

E[Θ−1j

]=

1

γj − 1fj(γj − 1) = fj.

Ova relacija obja²njava izbore parametara raspodele slu£ajne promenljive Θj. Prematome, fj odgovara o£ekivanju slu£ajne promenljive Θ−1

j i γj se primenjuje za opisi-vanje neizvesnosti.Uslovna disperzija je

D (Ci,j+1|Ci,j,Θ) = Ci,jσ2jΘ−2j . (3.13)

Zajedni£ka gustina raspodele za DI i parametre Θ je

h(DI , θ) =∏

(i,j)∈II,j≥1

(θj−1

σ2j−1

)Ci,j−1

σ2j−1

Γ

(Ci,j−1

σ2j−1

) C

Ci,j−1

σ2j−1

−1

i,j e−θj−1

σ2j−1

Ci,j

×g(C1,0, ..., CI,0)J−1∏j=0

(fj(γj − 1))γj

Γ(γj)θγj−1j e−θjfj(γj−1).

gde g(C1,0, ..., CI,0) ozna£ava gustinu raspodele slu£ajnih promenljivih C1,0, ..., CI,0.Primenjuju¢i Bayesovo pravilo dobija se raspodela slu£ajnog vektora Θ, pod uslovomDI

h(θ|DI) =J−1∏j=0

θ

γj+∑I−j−1i=1

Ci,jσ2j

−1

j e−θj

fj(γj−1)+∑I−j−1i=1

Ci,j+1

σ2j

.

Na taj na£in je dokazana slede¢a lema.


Lema 18. Ako vaºe Pretpostavke modela 4.1, slu£ajne promenljive Θ0, ...,ΘJ−1 sunezavisne pod uslovom DI , pri £emu

Θj|DI ima Γ

(γj +

I−j−1∑i=1

Ci,jσ2j

, fj(γj − 1) +

I−j−1∑i=1

Ci,j+1

σ2j

)raspodelu.

Posledica 19. Ako vaºe Pretpostavke modela 4.1, Bayesovi CL faktori su odredjeniformulama

fBCLj ≡ E[Θ−1j

∣∣∣DI] = αj fCLj + (1− αj)fj,

pri £emu su ocene CL faktora fCLj date u (3.6) i ponderi kredibiliteta su oblika

αj =

∑I−j−1i=1 Ci,j∑I−j−1

i=1 Ci,j + σ2j (γj − 1)

∈ (0, 1). (3.14)

Dokaz. Dokaz direktno sledi iz osobine gama raspodele, tj.

E[Θ−1j

∣∣∣DI] =1

γj +∑I−j−1

i=1

Ci,jσ2j

− 1

[fj(γj − 1) +

I−j−1∑i=1

Ci,j+1

σ2j

]

=γj − 1

γj − 1 +∑I−j−1

i=1

Ci,jσ2j

fj +

∑I−j−1i=1

Ci,jσ2j

γj − 1 +∑I−j−1

i=1

Ci,jσ2j

∑I−j−1i=1

Ci,j+1

σ2j∑I−j−1

i=1

Ci,jσ2j

.

Ovim je dokazano tvrdjenje.

Pretpostavke modela 4.2 (Buhlmann-Straubov (BS) model [17]) Neka je I brojklasa rizika i T broj slu£ajnih promenljivih po klasi rizika i neka su ωi,t, i = 1, ...I it = 1, ...T ksirane vrednosti.

• Pod uslovom Θi, komponente slu£ajnog vektora Xi = (Xi,1, ..., Xi,T ) su nezavisneslu£ajne promenljive sa prva dva uslovna momenta data izrazima

E[Xi,t|Θi] = µ(Θi),

D(Xi,t|Θi) =σ2(Θi)

ωi,t.

• Uredjeni parovi (Θ1, X1), ..., (ΘI , XI) su nezavisni i Θ1, ...,ΘI su nezavisne slu£ajnepromenljive sa istom raspodelom.Dodatna pretpostavka je E[X2

i,t] <∞, za svako i, t.


Za BS ocenu kredibiliteta deni²u se slede¢i parametri

µ0 = E[µ(Θ1)] kolektivna sredina (3.15)τ 2 = D(µ(Θ1)] volatilnost izmedju klasa rizika (3.16)σ2 = E[σ2(Θ1)] (o£ekivana) volatilnost unutar klasa rizika. (3.17)

Denicija 22. (Nehomogena i homogena ocena kredibiliteta) Neka vaºe Pretpo-stavke modela 4.2 i neka je ispunjen uslov o£ekivane vrednosti µ0 ∈ R.Nehomogena (linearna) ocena kredibiliteta µ(Θi) za X1, ...,XI je

µ(Θi) = arg min

µ∈L(X,1)E[(µ− µ(Θi))

2] .Homogena (linearna) ocena kredibiliteta µ(Θi) za X1, ...,XI je

µ(Θi)

hom

= arg minµ∈Lµ0 (X)

E[(µ− µ(Θi))

2] .Teorema 20. (Nehomogena i homogena BS ocena) Ako vaºe Pretpostavke modela4.2 sa parametrima µ0, τ

2 i σ2 datim u (3.16)-(3.17), tada je nehomogena ocenakredibiliteta

µ(Θi) = αi,T Xi,1:T + (1− αi,T )µ0,

pri £emu su ponderi kredibiliteta αi,T i ocene Xi,1:T oblika

αi,T =

∑Tt=1 ωi,t∑T

t=1 ωi,t +σ2

τ 2

, Xi,1:T =1∑T

t=1 ωi,t

T∑t=1

ωi,tXi,t.

Homogena ocena kredibiliteta je

µ(θi)hom = αi,T Xi,1:T + (1− αi,T )µT ,

gde je

µT =1∑I

i=1 αi,T

I∑i=1

αi,T Xi,1:T .

Napomena 8.

• Lema 18 i Posledica 19 su klju£ne za odredjivanje rezervi. U gama-gama Bayeso-vom CL modelu, Bayesovi CL faktori se ocenjuju ponderisanom sredinom klasi£nihCL ocena fCLj i ocene fj kojoj odgovara αj ∈ (0, 1). tavi²e, za j ≥ 0, u obzir semoºe uzeti proizvod ocena fBCLj , imaju¢i u vidu njihovu uslovnu nezavisnost.

• Parametar γj opisuje stepen informacija sadrºanih u raspodeli slu£ajne promen-ljive Θj. Ako γj → 1, tada αj → 1. U ovom slu£aju potpuni kredibilitet se dodeljujeoceni koja se zasniva na opservacijama tj. fBCLj → fCLj , γj → 1.


• Faktori razvoja Fi,j+1 = Ci,j+1/Ci,j zadovoljavaju BS model: pod uslovima Θj iC1,j, ..., CI,j, slu£ajne promenljive Fi,j+1 su nezavisne, pri £emu je

E [Fi,j+1|Ci,j,Θj] = µ(Θj) = Θ−1j , (3.18)

D (Fi,j+1|Ci,j,Θj) =σ2j (Θj)

Ci,j=σ2jΘ−2j

Ci,j. (3.19)

Dakle, Ci,j ima ulogu vrednosti ωi,j u BS modelu i σ2j (Θ) = σ2

jΘ−2j igra ulogu

funkcije disperzije. Kako je

τ 2j = D(µ(Θj)) = f 2

j

1

γj − 2,

∼σ2j = E

[σ2jΘ−2j

]= σ2

j f2j

γj − 1

γj − 2,

sledi da je koecijent kredibiliteta

κj =

∼σ2j

τ 2j

= σ2j (γj − 1).

Prema tome, Posledica 19 daje klasi£nu BS formulu i na osnovu Teoreme 20 i (3.14),sledi da je

αj =

∑I−j−1i=1 Ci,j∑I−j−1

i=1 Ci,j + κj.

Treba imati na umu da BS formula zahteva uslov γj > 2. U suprotnom, koecijentkredibiliteta κj se ne moºe izra£unati. Medjutim, formula (3.14) je op²tija u tomsmislu, zbog toga ²to drugi moment slu£ajne promenljive Θ−1

j ne mora postojati uPosledici 19.

Teorema 21. Ako vaºe Pretpostavke modela 4.1, Bayesovo CL predvidjanje za Ci,J ,pri £emu je i+ J > I, je

CBCLi,J = E [Ci,J |DI ] = Ci,I−i

J−1∏j=I−i

fBCLj .

Dokaz. Na osnovu uslovne nezavisnosti izmedju razli£itih godina nastanka ²teta,Markovskog svojstva i osobine kule, dobija se

CBCLi,J = E[E[Ci,j|Ci,0, ..., Ci,I−i,Θ]|DI ] = Ci,I−i E

[J−1∏j=I−i

θ−1j

∣∣∣DI] .Na osnovu Leme 18 i Posledice 19 sledi tvrdjenje teoreme.


Napomena 9. Teorema 21 obja²njava da Pretpostavke modela 3.1 daju mogu¢nostodredjivanja CL rezervi ako γj → 1, j = I − i, ..., J − 1. Tada

CBCLi,J → CCL

i,J . (3.20)

Iz tog razloga, moºe se primenjivati gama-gama Bayesov CL model kao stohasti£kopredstavljanje CL algoritma (3.7). Ta analogija omogu¢ava prou£avanje neizvesnostiu okviru Pretpostavki modela 3.1 u asimptotskom smislu.

Na osnovu (3.12) sledi da je

msepCi,J |DI(CBCLi,J

)= D (Ci,J |DI) +

(E [Ci,J |DI ]− CBCL

i,J

)2

= D(Ci,J |DI).

Time je dokazana optimalnost Bayesovog CL predvidjanja CBCLi,J u okviru pretpo-

stavki modela i ostaje da se izra£una uslovna disperzija krajnjeg iznosa ²tete Ci,J .Neka je

Ψj =σ2j

σ2j (γj − 2) +

∑I−j−1l=1 Cl,j

.

Tada je slu£ajna promenljiva Ψj DI−1-merljiva.

Slede¢a teorema ¢e biti navedena bez dokaza. Dokaz se moºe na¢i u [19].

Teorema 22. Ako vaºe Pretpostavke modela 4.1, tada za i > I − J , Bajesovo CLpredvidjanje zadovoljava relaciju


)= CBCL

i,J

J−1∑j=I−i

σ2j

J−1∏n=j

(fBCLn (1 + Ψn)

)+(CBCLi,J

)2(

J−1∏j=I−i

(1 + Ψj)− 1

),

sa dodatnom pretpostavkom γn +∑I−n−1

l=1 Cl,n/σ2n > 2, za svako I − i ≤ n ≤ J − 1;

²to implicira da je drugi moment kona£an. Ukupna uslovna srednje kvadratna gre²kapredvidjanja je

msep∑i Ci,J |DI

(∑i

CBCLi,J

)=∑i


)+2∑i<l

CBCLi,J CBCL

l,J

(J−1∏j=I−i

(1 + Ψj)− 1

),

gde se sumiranje vr²i po I − J + 1 ≤ i ≤ I i I − J + 1 ≤ i ≤ l ≤ I, respektivno.


U nastavku se analiziraju izrazi u Teoremi 22 koji sadrºe Ψj. Pod pretpostavkom

σ2j

I−j−1∑l=1

Cl,j, (3.21)

dobija se0 ≤ Ψj 1.

Pretpostavka (3.21) je stroºa od pretpostavke γj+∑I−j−1

l=1 Cl,j/σ2j > 2 koja garantuje

kona£nost uslovnih disperzija u Teoremi 22. Pretpostavka (3.21) za svako j implicirada za prvi izraz u Teoremi 22 vaºi

CBCLi,J

J−1∑j=I−i

σ2j

J−1∏n=j

(fBCLn (1 + Ψn)

)≈ CBCL

i,J

J−1∑j=I−i

σ2j

J−1∏n=j

fBCLn

=(CBCLi,J

)2J−1∑j=I−i

σ2j

CBCLi,j

.

Desna strana prethodne pribliºne jednakosti je donja granica izraza na levoj straniza bilo koje γj > 1, za koje drugi moment postoji. Za drugi izraz u Teoremi 22, naosnovu pretpostavke (3.21), vaºi

(CBCLi,J

)2(

J−1∏j=I−i

(1 + Ψj)− 1

)≈(CBCLi,J

)2J−1∑j=I−i

Ψj.

Izraz na desnoj strani prethodne pribliºne jednakosti je donja granica izraza na levojstrani, za bilo koje γj > 1.

Tada, pod pretpostavkom (3.21), za svako I − i ≤ j ≤ J − 1, vaºi aproksimacija


)≈(CBCLi,J

)2J−1∑j=I−i

[σ2j

CBCLi,j

+ Ψj

], (3.22)

gde je izraz na desnoj strani donja granica izraza na levoj strani za bilo koje γj > 1.

Kako se ova formula odnosi na bilo koje γj > 1, razmatrati grani£ni slu£aj kadaγj → 1. U ovom slu£aju, Bajesovo CL predvidjanje konvergira ka klasi£nom CLpredvidjanju, odnosno

limγj→1

Ψj = limγj→1

σ2j

σ2j (γj − 2) +


=σ2j

−σ2j +


≈σ2j∑I−j−1

l=1 Cl,j,

(3.23)gde se u poslednjem koraku primenjuje (3.21). Poslednja aproksimacija takodjepredstavlja donju granicu izraza koji se razmatra. Tada se, za γj → 1, dobija


slede¢a aproksimacija i donja granica u (3.22) i Teoremi 22, respektivno:

msepMackCi,J |DI

(CCLi,J

)=(CCLi,J

)2J−1∑j=I−i

[s2j/(f

CLj )2

CCLi,j

+s2j/(f

CLj )2∑I−i−1

l=1 Cl,j

], (3.24)

gde je σ2j = s2

j/(fCLj )2. Ova formula je poznata kao Mackova formula [7].

Sumiranjem po godinama nastanka ²teta, pod pretpostavkom (3.21), dobija se sle-de¢a aproksimacija i donja granica u Teoremi 22:

msepMackCi,J |DI

(∑i

CCLi,J

)=∑i

msepMackCi,J |DI

(CCLi,J

)(3.25)

+2∑i<l

CCLi,J C

CLl,J

J−1∑j=I−i

s2j/(f

CLj )2∑I−j−1

n=1 Cn,j.

3.4.2 ODP model

Jo² jedan stohasti£ki model koji je privukao veliku paºnju u osiguranju je tako-zvani ODP model. Ovaj model su uveli Renshaw i Verrall [8]. Peter D. Englandi Richard J. Verrall [9] su u zna£ajnoj meri popularizovali ovaj model. ODPmodel pripada familiji op²tih linearnih modela.

Pretpostavke modela 4.3 (ODP model) Neka su µ1, ..., µI , γ0, ..., γJ i φ pozi-tivni parametri, tako da su Xi,j nezavisne slu£ajne promenljive, pri £emu

Xi,j

φima P(µiγj/φ) raspodelu.

Tada jeE[Xi,j] = µiγj,

D(Xi,j) = φµiγj.

Da bi se parametri µi i γj odredili na jedinstven na£in, uvode se ograni£enja

µ1 = 1 iliJ∑j=0

γj = 1.

Prvo ograni£enje olak²ava primenu op²tih linearnih modela, dok drugo daje ekspli-citno zna£enje ²eme (γj)j, koja odgovara nov£anom toku.Najbolja ocena rezerve u trenutku I je

R =∑

(i,j)∈IcI

E[Xi,j|DI ] =∑

(i,j)∈IcI

µiγj.

Dakle, treba oceniti parametre µi i γj, metodom maksimalne verodostojnosti. Nekaje J + 1 = I zbog pojednostavljivanja zapisa. Logaritam funkcije verodostojnosti za


µ = (µ1, ..., µI), γ = (γ0, ..., γJ) i φ je

lDI (µ, γ, φ) =∑

(i,j)∈II

−µiγj/φ+ (Xi,j/φ) log(µiγj/φ)− log((Xi,j/φ)!).

Izvodi prethodnog izraza po µ i γ se izjedna£avaju sa nulom, ²to implicira da jepotrebno re²iti slede¢i sistem jedna£ina kako bi se odredile ocene maksimalne vero-dostojnosti:

γj

I−j∑i=1

µi =

I−j∑i=1

Xi,j, j = 0, ..., J, (3.26)

µi

I−i∑j=0

γj =I−i∑j=0

Xi,j, i = 1, ..., I, (3.27)

gde se, bez gubljenja op²tosti pretpostavlja da je∑J

j=0 γj = 1. Sistem jedna£ina(3.26)-(3.27) se moºe eksplicitno re²iti, £ime se odredjuju CL rezerve. Konstantanparametar disperzije φ se poni²tava, tako da nije relevantan za ocenu rezervi.

Teorema 23. Ako vaºe Pretpostavke modela 4.3, ocene maksimalne verodostojnostiza µ i γ, sa ograni£enjem

∑Jj=0 γj = 1, pod uslovom DI , su

µMLEi = CCL

i,J , γMLEj =

J−1∏k=j

1

fCLk

(1− 1

fCLj−1

),

za i = 1, ..., I i j = 1, ..., J (ako je proizvod prazan, podrazumeva se da je jednakjedinici). tavi²e, γMLE

0 =∏J−1

k=0 1/f . Ocena rezervi je

RODPi = µMLE

i

J∑j=I−i+1

γMLEj = RCL

i .

Dokaz ovog tvrdjenja je izostavljen zbog sloºenosti, a moºe se na¢i u [18].

Zaklju£ak

Poslednjih godina u svetu su zabeleºene velike materijalne ²tete kao posledicezagadjenja ºivotne sredine, zemljotresa i terorizma, izmedju ostalog. Zbog toga suse osiguravaju¢a dru²tva susrela sa velikim izdacima. Centralni zadatak u tom smi-slu je odredjivanje premija osiguranja koje su u direktnoj vezi sa ukupnom ²tetom uodredjenom portfoliju neºivotnog osiguranja nekog osiguravaju¢eg dru²tva. Premijaje nov£ani iznos koji osiguranik upla¢uje osiguravaju¢em dru²tvu prilikom sklapanjaugovora o osiguranju.

U ovom radu su razmatrani razli£iti principi za izra£unavanje premija koji sezasnivaju na srednjoj vrednosti i disperziji procesa ukupne ²tete, primeni funkcijekorisnosti, kao i na odredjenim merama rizika. Pored toga predstavljeno je i neko-liko modela rezervi, koje imaju zna£ajnu ulogu u poslovanju osiguravaju¢eg dru²tva.Rezerve se javljaju kao posledica ka²njenja naknada ²teta u odnosu na trenutke pri-javljivanja ²teta i predstavljaju obaveze osiguravaju¢eg dru²tva sa odredjenim da-tumom dospe¢a u budu¢nosti.

Na osnovu razmatranja u ovom radu se moºe zaklju£iti da ne postoje univerzalnimodeli premija niti rezervi, ve¢ je primena konkretnog modela uslovljena karakteri-stikama portfolija neºivotnog osiguranja koji se razmatra.

57

LITERATURA 58

Literatura

[1] Resnick, S.I. (2002). Adventures in Stochastic Processes. 3rd printing. Birkhau-ser.

[2] Schmidli.H. (2007). Risk Theory. Lecture Notes, University of Cologne.

[3] Due, D. (2011). Dynamic Asset Pricing Theory. 3rd edition. Priceton Univer-sity Press.

[4] Buhlmann, H. (1992). Stochastic discounting. Insurance: Mathematics and Eco-nomics 11/2, 113-127.

[5] Buhlmann, H. (1995). Life insurance with stochastic interest rates. In: FinancialRisk in Insurance G. Ottaviani (ed.), Springer, 1-24.

[6] Buhlmann, H. (2004). Multidimensional valuation. Finance 25, 15-29.

[7] Mack, T. (1993). Distribution-free calculation of the standard error of chainladder reserve estimates. ASTIN Bulletin 23/2, 213-225.

[8] Renshaw, A.E., Verrall, R.J. (1998). A stohastic model underlying the chain-ladder technique, British Actuarial Journal 4/4, 903-923.

[9] England, P.D., Verrall, R.J. (2002). Stochastic claims reserving in general insu-rance. British Acturial Journal 8/3, 443-518.

[10] Gisler, A., Wutrich, M.V. (2008). Credibility for the chain ladder reservingmethod. ASTIN Bulletin 38/2, 565-600.

[11] Buhlman, H., De Felice, M., Gisler, A., Moriconi, F., Wuthrich, M.V. (2009).Recursive credibility formula for chain ladder factors and the claims developmentresult. ASTIN Bulletin 39/1, 275-306.

[12] Alai, D.H., Merz, M., Wuthrich, M.V. (2009). Mean square error of prediction inthe Bornhuetter-Ferguson claims reserving method. Annals of Actuarial Science4/1, 7-31.

[13] Alai, D.H., Merz, M., Wuthrich, M.V. (2010). Prediction uncertainty in theBornhuetter-Ferguson claims reserving method: revisited. Annals of ActuarialScience 5/1, 7-17.

[14] Mack, T. (2008). The prediction error of Bornhuetter/Ferguson. ASTIN Bulle-tin 38/1, 87-103.

LITERATURA 59

[15] Saluz, A., Gisler, A., Wuthrich, M.V. (2011). Development pattern and predic-tion error for the stohastic Bornhuetter-Ferguson claims reserving model. ASTINBulletin 41/2, 279-317.

[16] England, P.D., Verrall, R.J., Wuthrich, M.V. (2012). Bayesian overdispersedPoison model the Bornhuetter-Ferguson claims reserving method. Annals of Ac-tuarial Science 6/2, 258-283.

[17] Buhlmann, H., Straub, E. (1970). Glaubwurdigkeit fur Schadensatze. Bulletinof the Swiss Association of Actuaries 1970, 111-131.

[18] Wuthrich, M.V., Merz, M. (2008). Stochastic Claims Reserving Methods in In-surance. Wiley.

[19] Wuthrich, M.V. Non-Life Insurance: Mathematics and Statistics, ETH Zurich,2016.

[20] Fortuin, C.M., Kasteleyn, P.W., Ginibre, J. (1971). Correlation inequalities onsome partially ordered sets, Communication Mathematical Physics 22/2, 89-103.

[21] Milo²evi¢, M. Teorija rizika, autorizovana predavanja, Univerzitet u Ni²u,Prirodno-matemati£ki fakultet, Ni².

60

Biograja

Miljana ivkovi¢ rodjena je 12.03.1992. godine u Pirotu. Osnovnu ²kolu "Du²anRadovi¢" u Pirotu zavr²ila je 2007. godine kao nosilac Vukove diplome. Gimnazijuu Pirotu, prirodno-matemati£ki smer zavr²ila je 2011. godine sa odli£nim uspehom.Tokom pohadjanja osnovne i srednje ²kole u£estvovala je na raznim takmi£enjima.

Osnovne akademske studije je upisala 2011. godine na Departmanu za matema-tiku Prirodno-matemati£kog fakulteta u Ni²u, koje je zavr²ila 2015. godine. Istegodine upisala je master akademske studije takodje na Departmanu za matematikuPrirodno-matemati£kog fakulteta u Ni²u, studijski program: Verovatno¢a, statistikai nansijska matematika, na kojim poslednji ispit polaºe juna 2017. godine i timestekla pravo na odbranu master rada.

Прилог 5/1

ПРИРОДНO - MАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ НИШ

КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА

Редни број, РБР:

Идентификациони број, ИБР:

Тип документације, ТД: Монографска Тип записа, ТЗ: текстуални Врста рада, ВР: мастер рад Аутор, АУ: Mиљана Живковић Ментор, МН: Марија Милошевић Наслов рада, НР:

ПРЕМИЈЕ И РЕЗЕРВЕ У ПОРТФОЛИЈУ НЕЖИВОТНОГ ОСИГУРАЊА

Језик публикације, ЈП: Српски Језик извода, ЈИ: Енглески Земља публиковања, ЗП: Р. Србија Уже географско подручје, УГП: Р. Србија Година, ГО: 2017. Издавач, ИЗ: ауторски репринт Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33. Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/

60 стр.

Научна област, НО: Математика Научна дисциплина, НД: Примењена математика Предметна одредница/Кључне речи, ПО: Неживотно осигурање, принципи за израчунавање

премијa, резерве УДК 519.21 : 368.1

Чува се, ЧУ: Библиотека

Важна напомена, ВН: Извод, ИЗ: У овом раду су разматрани различити принципи за

израчунавање премија који се заснивају на средњој вредности и дисперзији процеса укупне штете, примени функције корисности, као и они који се заснивају на одређеним мерама ризика. Поред тога, представљено је и неколико модела резерви.

Датум прихватања теме, ДП:

Датум одбране, ДО:

Чланови комисије, КО: Председник: Др Миљана Јовановић Члан: Др Јасмина Ђорђевић

Члан, ментор:

Др Марија Милошевић Образац Q4.09.13 - Издање 1

Прилог 5/2

ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ НИШ

KEY WORDS DOCUMENTATION

Accession number, ANO: Identification number, INO: Document type, DT: monograph Type of record, TR: textual Contents code, CC: Master thesis Author, AU: Miljana Živković Mentor, MN: Marija Milošević Title, TI: PREMIUMS AND RESERVES IN THE PORTFOLIO OF NON-

LIFE INSURANCE

Language of text, LT: Serbian Language of abstract, LA: English Country of publication, CP: Republic of Serbia Locality of publication, LP: Serbia Publication year, PY: 2017 Publisher, PB: author’s reprint Publication place, PP: Niš, Višegradska 33. Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes) 60 p.

Scientific field, SF: Mathematics Scientific discipline, SD: Applied mathematics Subject/Key words, S/KW: Non-life insurance, premium calculation principles, claims

reserving

UC 519.21 : 368.1

Holding data, HD: Library

Note, N: Abstract, AB: In this paper various premium calculation principles

based on the mean value and dispersion of the process of total claims, application of the utility function, as well as those based on the certain risk measures are considered. A few models of claims reserves are presented.

Accepted by the Scientific Board on, ASB: Defended on, DE: Defended Board, DB: President: Dr Miljana Jovanović Member: Dr Jasmina Đorđević Member, Mentor: Dr Marija Milošević

Образац Q4.09.13 - Издање 1

premije i rezerve u portfoliju neºivotnog osiguranja...premija osiguranja za ove ugovore se obi£no...

Documents