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Porto S. Elpidio, martedPorto S. Elpidio, martedìì 28 agosto 200728 agosto 2007I concetti e gli strumenti della matematica.I concetti e gli strumenti della matematica.Verso una democrazia cognitivaVerso una democrazia cognitiva

Giorgio T. Bagni

Dipartimento di Matematica e InformaticaUniversità di [email protected]

UUNIVERSITASNIVERSITASSSTUDIORUMTUDIORUMUUTINENSISTINENSIS

Premessa: “ma se la matematica è da scoprire, qual è la differenza?”

Questa domanda mi è stata fatta in occasione diuna riflessione sulla dimensione “geografica” della matematica…… con riferimento al quesito:“è vero o no che ogni numero pari maggiore di 2 è la somma di due numeri primi”?Il mio interlocutore, pensando alla congettura di Goldbach, mi chiedeva: una simile proprietà ècertamente “vera” o “falsa”…… e lo è per tutti, indipendentemente dall’ambiente sociale e culturale in cui viene posta la domanda!

Introduzione: per “fare matematica”…… serve qualcosa?

“Give us enough chalk”(André Weil)

Introduzione: matematica e strumenti,un abbinamento… naturale!

Potremmo confondere, aprima vista, il “quadernodi italiano” e il “quadernodi storia”, o scambiare gliappunti di letteratura latinacon quelli di filosofia:ma i disegni del quadernodi geometria sonoinconfondibili.E ovviamente per realizzaretali disegni servono deglistrumenti!

Geometria e strumenti: da Platone (e Apollonio) un abbinamento essenziale!

“Sono state date varie spiegazioni circa la restrizione di usare nelle costruzioni soltanto riga e compasso.[…] È stata anche avanzata l’ipotesi che Platone si sia opposto all’uso di altri strumenti meccanici perchéessi avevano attinenza più con il mondo dei sensi che con quello delle idee” (Kline, 1991).La riga ha un (solo) bordo, è illimitata, non graduata: deve essere usata solo per tracciare la retta per due punti distinti. Il compasso permette di tracciare una circonferenza noti il suo centro e un suo punto.L’uso di alcuni software didattici ricalca i processi eseguibili usando (solo) riga e compasso: ad esempio Cabri, nella versione originaria.

Matematica e strumenti:concludiamo la nostra introduzione

In questa breve introduzione abbiamo già intravisto alcuni punti importanti:alcuni strumenti sono fondamentali, sia nella praticadidattica…che nella storia (e nella geografia) della geometria;tali strumenti possono essere usati “propriamente”oppure “impropriamente” rispetto a certe “regole”(dunque ad una procedura socialmente accettata).Andremo ora a presentare il sommario del nostro intervento, che richiederà innanzitutto la precisazione di un adeguato quadro teorico.

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Concetti e strumenti

Sommario

Un quadro teorico:Vygotskij, WartofskyUno “strumento” chiave:la storia della geometriaIl padre della semiotica:la lezione di PeirceInfine: una geometria……“senza strumenti”?

Riflettiamo sugli artefattiVygotskij riconosce funzioni dimediazione agli strumenti tecnicie psicologici (segni o strumentidi mediazione semiotica). Wartofsky identifica gli strumentitecnici come artefatti primari; gli artefatti secondari sono usati per fissare e trasmettere le modalità di azione.Una teoria matematica è un artefatto terziario che organizza i modelli costruiti come artefatti secondari. Didatticamente significativo è che l’uso degli artefatti primari richieda la loro manipolazione (ciò si accorda con i recenti lavori di Lakoff, Johnson e Núñez).

Il cerchio, il compasso, il bicchiere…Fin dai tempi più antichi l’uomo avrà individuato una figura “interessante”(un cerchio) ad esempio nella sezione di un tronco d’albero (un cilindro può rotolare facilmente).Oggi, i nostri allievi chiamati a tracciare una circonferenza possono usare sia il compasso…che, ad esempio, un(meno nobile) bicchiere.

Ma che differenza c’ètra l’uso del compassoe l’uso del bicchiere?

Il bicchiere è più facile da utilizzare, non si buca il foglio, si può usare la penna. Ma con un bicchiere si può tracciare una sola circonferenza (della quale peraltro non si identifica facilmente il centro); il compasso è uno strumento più generale.La principale differenza tra i due modi di procedere, e tra i due strumenti da utilizzare, è così riassumibile:il compasso “incorpora” la definizione euclidea di circonferenza,mentre accarezzando il bordo rotondo di un bicchiere possiamo solo percepire una curvatura “regolare”: il bicchiere, insomma, incorpora soltanto quella che si può definire, in un approccio elementare, una caratteristica (Chassapis, 1999).

Artefatti e strumentiNon si tratta di sinonimi…

Il compasso è un artefatto primario; ma non basta averlo in mano per disegnare un cerchio: si potrebbe usare un tale artefatto per scrivere, come se fosse una semplice matita, oppure in altri modi non significativi geometricamente.Un bicchiere vienein generale utilizzatonon per tracciare unacirconferenza, ma peraltri scopi (come faHans Georg Gadamerin questa foto).

Artefatti e strumentiNon si tratta di sinonimi…

Per utilizzare uno strumento bisogna conoscere le “istruzioni per l’uso” (e darsene una giustificazione).La presenza di un artefatto secondario è indispensabile perché l’artefatto primario possa funzionare “bene”, dunque “esistere”, in particolare, come strumento.Nell’approccio strumentale di Pierre Rabardel(1995), per poter considerare un artefatto alla stregua di un vero e proprio “strumento” è necessaria infatti un’attività costruttiva da parte del soggetto, attivitàche dipende da vari aspetti concettuali e sociali.Anche una semplice figura va interpretata…

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Strumenti da interpretare“Guardiamo” una figura…

Lo svedese Oscar Reutersvärd(1915-2002) disegnò la prima “figura impossibile” nel 1934…… e oggi è presente con le sue opere in molti dei più importanti musei di arte moderna. Reutersvärd affronta i temi dell’ambiguità percettivariprendendo la problematica spazio-temporale del Cubismoe l’iconografia medioevale,ricca di rappresentazioni a multipla lettura spaziale.


Osserviamo la figura qui sotto a sinistra: nessun problema nel percepire un insieme di cubetti…Ma se la figura fosse quella a destra (Opus 1)?


Se eliminiamo due cubetti da uno deitre lati, l’ambiguità si dissolve…


Possiamo ripetere l’operazione perun secondo lato…


… e infine per il terzo lato, sempreriuscendo a “suggerire” un’interpretazione tridimensionale chiara.


Ma se cerchiamodi “unire” le treletture…

?

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Già queste considerazioni ci possonosuggerire che la stessa lettura di un’immaginerichiede una specifica attività interpretativa.L’opera esaminata diReutersvärd (Opus 1,1934) è stata peraltroripresa dal matematicoRoger Penrose neglianni Cinquanta…… e si collega al nastrodi Möbius (FerdinandMöbius, 1790-1868).


Un punto chiave: non esistono figure “oggettive”, universalmente valide secondo regole e modalitàfisse e valide per tutte le tradizioni culturali.La matematica richiede l’interpretazione di segni, di immagini, la gestione (contemporanea) di diversi registri rappresentativi.Esamineremo più avanti il ruolo essenziale della semiotica di Peirce.Anticipiamo comunque che tutto ciò non può essere considerato indipendentemente da un contesto socio-culturale.


Sommario


La storia, “strumento” per la didatticaLa storia è stata applicata in ambito didattico dalla fine del XIX secolo (nel 1896 è stato pubblicato un volume di F. Cajori dedicato a tali applicazioni).Ma ci sono importanti questioni epistemologiche:è corretto concepire la storia come un percorso che porta alla sistemazione moderna?Quale ruolo va attribuito ai fattori culturali e sociali?Le fasi che consideriamo di passaggio verso la formazione della matematica “compiuta” (la nostra?) costituivano la matematica “compiuta” dell’epoca, in base a precise concezioni culturali.Iniziamo da Euclide…

300 a.C.1700 a.C.

Opere diOmero:700 a.C.

La grande stagione della matematicaculminata negli Elementi di Euclide

Euclide è il punto di arrivo di una grande stagione della matematica, iniziata quasi tre secoli prima con Talete. Ma la preistoria della matematicagreca (anche facendola decorrere solodalle tavolette di Festo) è lunga…

Euclide(300 a.C.)

Talete(585 a.C.)

PH-11, Festo(1700 a.C.)

HT-117(1450 a.C.)

IncendioTroia:

1250 a.C.

Tra “algebra” e geometria: l’algebra geometrica

Euclide usa la visualizzazione geometrica (anche)per dimostrare delle proprietà algebriche.Nello spirito del II libro degli Elementi, ad esempio, dimostriamo che:

a2–b2 = (a+b)(a–b)

a2 (a+b)(a–b)

Un approccio recentemente rivalutatodalla didattica della matematica!

b2

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Tra “algebra” e geometria: l’algebra geometrica

Nello spirito dell’algebra geometrica, la matematica araba costruisce le tecniche per risolvere equazioni algebriche come: x2+8x = 105

(x+4)2 = 105+16 da cui: x+4 = 11 quindi: x = 7

Il rapporto tra algebra e geometria è della massimaimportanza e non può ridursi alla considerazione

platonistica di un’algebra “ideale”!

Equazioni di III grado nel XV secolo:la poesia “algebrica” di Tartaglia

Quando che ’l cubo con le cose appressose agguaglia à qualche numero discretotrovan dui altri differenti in esso.Da poi terrai questo per consuetoche ’l lor produtto sempre sia ugualeal terzo cubo delle cose neto.El residuo poi suo generaledelli lor lati cubi ben sottrattivarrà la tua cosa principale.

x³+px = qp>0, q>0q = u–v

uv = (p/3)³

x = u v3 3−

Questa semplificazione è delicata

L’Algebradi Bombelli

La semplificazione dei radicali doppi fu studiata in alcuni casi particolari da Rafael Bombelli(1526-1573).Bombelli, bolognese (èstato trovato il certificato di battesimo a Borgo Panigale), pubblicò il proprio capolavoro, Algebra, nel 1572-1579.

“Più di meno”, “meno di meno”

Queste “regole” si trovano a pagina 179 di Algebra.Come le possiamo interpretare modernamente?

? ?× = –1

pdm = i mdm = –i

Ma… che cosa ha a che fare tutto ciò con la geometria?

Nel presentare pdm e mdm, Bombelli scrive:“Ho trovato un’altra sorte di R. c. legate molto differenti dall’altre, la qual nasce dal Capitolo dicubo eguale a tanti e numero […] la quale parerà a molti più tosto sofistica che reale, e tale opinione ho tenuto anch’io, sin che ho trovato la suadimostrazione in linee”.Dunque la “dimostrazione in linee” costituisce per Bombelli un essenziale elemento per l’accettazione della correttezza del risultato algebrico. In questo senso è chiara un’analogia con l’approccio greco.

Bombelli e l’impostazione grecaE nelle altre tradizoni?

Se qui Bombelli attribuisce importanza all’aspetto geometrico, in tutta la sua opera la “costruzione in linee” è successiva rispetto al ricavo algebrico.Dunque per i Greci la geometria era lo strumento primario, ma già per Bombelli (e poi per Cartesio) il ruolo dell’algebra viene rivalutato. Nella storia della matematica occidentale, quindi, algebra e geometria sono legate da un rapporto delicato. Situazioni di questo tipo (a volte molto diverse) appaiono in altre tradizioni culturali: si pensi ad esempio alla vivacissima algebra “posizionale”cinese!

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Sommario


Peirce e la semiosi illimitataDue diverse interpretazioni

Il triangolo semiotico è alla basedell’approccio peirceano:

L’oggetto è rappresentato da un segno (icona, indiceo simbolo a seconda che si abbia una rassomiglianza, una connessione causale o una convenzione) e suscita un interpretante, cioè una reazione in chi interpreta.

Oggetto

Segno

Interpretante


Per Peirce il segno non fa conoscere direttamente un (nuovo) oggetto; quest’ultimo deve essere già in qualche modo accessibile all’interprete, in modo che il segno porti ulteriore informazione su di esso e susciti un interpretante (in questo senso c’è un riferimento al circolo ermeneutico e alla presenza di presupposizioni).L’interpretante non è dunque una sorta di realtà da contemplare per comprendere il segno e quindi per conoscere l’oggetto. Fondamentale è l’aspetto attivo, inferenziale: Peirce introduce il segno come mediazione fra l’oggetto e l’interpretante.


Ad esempio:

Non si confonda l’interprete (chi percepisce il segno, in questo caso chi sente abbaiare il cane) con l’interpretante, cioè la sua reazione (lo spavento, il grido “attenti al cane”).

Oggetto

Segno

InterpretanteUn caneUn cane

AbbaiaAbbaia

Suscita pauraSuscita paurain chi ascolta il quale gridain chi ascolta il quale grida

““attenti al caneattenti al cane””


Ma l’interpretante è a sua volta un segno e può essere interpretato:

Oggetto

Segno

InterpretanteSegno 2Segno 2

Interpretante 2Interpretante 2 …e così via!


Ad esempio:

Oggetto

Segno


Interpretante 2Interpretante 2 …e così via!

Un caneUn cane

AbbaiaAbbaia

Suscita pauraSuscita paurain chi ascolta il quale gridain chi ascolta il quale grida

““attenti al caneattenti al cane””

Chi sente Chi sente ““attenti al caneattenti al cane””chiama lchiama l’’accalappiacaniaccalappiacani

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Ma qual è… … l’oggetto del secondosegno? L’oggettooriginale o l’oggettooriginale in relazionecon il primo segno?

Oggetto

Segno


Interpretante 2Interpretante 2

Oggetto 2Oggetto 2

…e così via!

Cane in quantoCane in quantoabbaiaabbaia ““Attenti al caneAttenti al cane””

Chiama lChiama l’’accalappiacaniaccalappiacani


In Peirce (Grammatica speculativa) si trovano passi che possono condurre a entrambe le interpretazioni.Non riteniamo che le due modalità siano alternative:la prima sottolinea il fatto che un segno non corrisponde a un significato unico, “bloccato”, ma porta a considerare altri segni mediante i quali il significato stesso si arricchisce progressivamente.la seconda sottolinea che l’oggetto rappresentato si lega in termini decisivi con i vari segni.Infine, per la didattica della matematica è importante la potenziale presenza di più interpreti.

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Matematica e segninella semiotica peirceana

«Le parole, sebbene indubitabilmente necessarie al pensiero già sviluppato, giocano un ruolo solo secondario nel processo; mentre il diagramma, o icona, che può venire manipolato e sul quale si possono fare esperimenti, è importantissimo. […]A cosa servono questi diagrammi? Servono per compierci sopra esperimenti. […] Non esiste ragionamento che non abbia la natura del ragionamento diagrammatico, o matematico; e dunque non dobbiamo ammettere alcun concetto che non sia suscettibile di venire rappresentato in forma diagrammatica» (Peirce, MS 956).


Il diagramma rappresenta iconicamente la relazione matematica: l’icona costituita dal diagramma trasmette una caratteristica generale, pur essendo un soggetto individuale e osservabile (sul quale il matematico può operare per ottenere ulteriori caratteristiche generali del diagramma stesso). Rimane tuttavia il problema dell’individualitàdell’oggetto sul quale si sviluppa la dimostrazione contrapposta all’universalità delle conclusioni.Una dimostrazione matematica, con la sua fondamentale universalità, non può ridursi a un diagramma iconico.


Il punto è che il diagramma ha le caratteristiche di un’icona, ma dovrà associarsi (come ogni segno segno) a un interpretante e questo è simbolico ed ègenerale. Possiamo dunque riassumere:Il diagramma-icona tracciato per dimostrare ad esempio un teorema geometrico è interpretante dell’enunciato simbolico che traduce secondo alcune convenzioni (un’intenzione, dice Peirce).Questo diagamma-icona determina infine un nuovo interpretante simbolico e universale quando èrecepito alla luce della stessa intenzione convenzionale.

Un esempio didatticoper illustrare la semiotica peirceana

L’icona è dunque una fase transitoria fra due momenti simbolici: le caratteristiche di somiglianza dell’icona rendono possibile operare attraverso di essa sulla forma generale. Peirce dunque si riferisce al fare matematica come ad un processo semiotico che coinvolge, in alternanza e successivamente, sia simboli che icone. L’aspetto didattico però può collocarsi in questo quadro teorico con caratteristiche specifiche: in particolare, il ruolo dell’indice potrà essere rivalutato didatticamente.Teniamo per ora presente che…

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«Pure icone – così come puri indici o puri simboli –non si danno nella realtà attuale. Esse rimangono un limite del pensiero-segno, carattere più o meno predominante in un oggetto effettivo, ma mai del tutto privo di mescolanza con le altre due entità della partizione semiotica. […] Un diagramma matematico è essenzialmente iconico nel suo rappresentare la configurazione relazionale degli elementi in questione, ma necessita tuttavia di indici per ancorarsi agli elementi raffigurati, e non può prescindere da un carattere simbolico che gli permetta di proporsi quale garante di una legge generale» (Marietti, 2001, p. 36).


Enunciato (universale): in ogni triangolo rettangoloil quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti (teor. Pitagora).Da qui passiamo ad un interpretante iconico (Cina).Diagramma: i quadrati a sinistra e a destra sono

congruenti e ilconfronto dellescomposizioni porta alla verifica delteorema (inquesto caso).


Ma questo interpretante iconico è a sua volta un segno, e induce un (nuovo) interpretante di carattere generale, la dimostrazione del teorema, veicolata da un elemento geograficamente situato.Possiamo però, come anticipato, notare che:un segno porta a utilmente considerare altri segnimediante i quali viene ottenuta la dimostrazione; il contenuto matematico rappresentato si lega in termini decisivi con i segni (icone o simboli).L’indice, collegato alla categoria della secondità, per la connessione causale con l’oggetto è alla base di procedimenti matematici orientali (cinesi).

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Sommario


Ancora Euclide: davvero la geometria greca rinuncia agli “strumenti”?

Ci resta da capire che cos’è l’“oggetto” che sta alla base delle rappresentazioni (segni) della matematica.Consideriamo la definizione euclidea di cerchio (Elementi, I, Def. XV) come figura piana racchiusa da una linea (circonferenza) tale che i segmenti tirati da un punto interno ad essa siano tutti uguali:«Cerchio è una figura piana compresa da un’unica linea [che si chiama circonferenza] tale che tutte le rette, le quali cadano sulla [stessa] linea [, cioè sulla circonferenza del cerchio,] a partire da un punto fra quelli che giacciono internamente alla figura, sono uguali fra loro».


Essa è molto vicina alla moderna nozione di luogo geometrico e può apparire diversa dalla definizione euclidea di sfera (Elementi, Libro XI, Definizione XIV) che si riferisce alla figura solida generata da un semicerchio quando questa ruota attorno al proprio diametro:«Sfera è la figura che viene compresa quando, restando immobile il diametro di un semicerchio, si faccia ruotare il semicerchio intorno al diametro finché non ritorni nuovamente nella stessa posizione da cui si cominciò a farlo muovere».

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Quest’ultima descrizione, nota Enrico Giusti (1999, p. 23), «evoca più il tornio dell’operaio che il compasso del geometra» (avremmo potuto attenderci un riferimento alla proprietà dei punti della superficie sferica che hanno distanza fissa dal centro).Ma un esame dell’introduzione euclidea della linea retta (Libro I, primi tre postulati) è significativo:«Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto; e che una retta terminata si possa prolungare continuamente in linea retta; e che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza».


Questi postulati (Giusti, 1999, p. 25) «riproducono quasi esattamente le operazioni dell’agrimensore»: condurre una linea retta tra due punti dati, prolungare un segmento, tracciare una circonferenza. Sullabase di ciò avanziamo un’ipotesi importanteper interpretare le definizioni euclidee…… che gli oggetti matematiciprovengano non dall’astrazionedi oggetti reali, dei quali essidescriverebbero le caratteristiche,bensì da un processo dioggettualizzazione di procedure.

Possiamo pensare ad una geometriache faccia a meno di “strumenti”?

“Capire una frase –potremmo dire– è comprenderne l’uso. (…) Tutti i calcoli della matematicasono stati inventati per assecondare l’esperienzae poi sono stati resi indipendenti dall’esperienza”

Ludwig Wittgenstein(Lezioni sui fondamenti

della matematica:Cambridge 1939.

Cornell Univ. Press,Itacha 1986.

Boringhieri, Torino 1982)

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Con il celebre cogito ergo sum Cartesio affermava: penso, dunque esisto.Osservando che la matematica “funziona”, potremmo essere indotti ad affermare che essa “esiste” e magari che il lavoro del matematico si riduce a quello dello scopritore.Questa conclusione non ci sembra però giustificata:il fatto che la matematica funzioni significa che…funziona, nulla di più.Potremmo limitarci a dire che essa funziona in quanto è stata concepita (ovvero “creata”) in un certo modo, con la compresenza di due aspetti:


(ispirandoci idealmente a Wittgenstein)un collegamento con il mondo reale(sebbene tale connessione non possa essereridotta ad un semplice “rispecchiamento”);la scelta di alcune posizioni convenzionali,socialmente (geograficamente!) elaborate,le quali rendono possibile stabilire proprietà e analogie, con la conseguente costruzione di“oggetti matematici” astratti.

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e poi sono stati resi indipendenti dall’esperienza”“inventati per assecondare l’esperienza

Graziea Paolo Boero,

a Willibald Dörflere a Jean-Philippe Drouhard

Per risorse, materiali eindicazioni bibliografiche

si può consultare il sito:www.syllogismos.it

A tutti VoiA tutti Voigraziegrazie

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premessa: “ma se la matematica è da porto s. elpidio ... · dipartimento di matematica e...

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