preliminary number theory
TRANSCRIPT
![Page 1: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/1.jpg)
1
การห
าร
• การห
ารลงตว
•
การห
ารเหลอ
เศษ
• จานว
นค,จา
นวนค
การห
าห.ร.
ม.
• การห
าห.ร.
ม.โดยวธก
ารแยกต
วปร
ะกอบ
•
การห
าห.ร.
ม.โดยวธข
องยคลค
การห
าค.ร.
น.
• การห
าค.ร.
น.โดยวธก
ารแยกต
วปร
ะกอบ
•
การห
าค.ร.
น.โดยการใชห.ร.ม
.
การพ
สจนท
างทฤ
ษฎจานว
น โจทย
ปญหา
![Page 2: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/2.jpg)
2
ทฤษฎจานวนเบองตน
1. การหาร กาหนดให a,b เปนจานวนเตม ( , )a b I∈ a หาร b ลงตว เราเขยนสญลกษณ |a b หมายความวา b เปนพหคณของ a หรอเขยนไดวา
a หาร b ไมลงตว เราเขยนสญลกษณ |a b/ หมายความวา b ไมเปนพหคณของ a หรอ a หาร b แลวเหลอเศษ r เขยนไดวา
เราเรยก a วาตวหาร b วาตวตง n วาผลหาร และ r วาเศษจากการหาร ( ) + ตวอยาง เชน
1. จงพจารณาการหารตอไปน 1.1) 3 หาร 7
|a b b an= เมอ n I∈
|a b/ b an r= + เมอ n I∈ และ 0 r a< <
ตวตง = ตวหาร × ผลหาร เศษ
![Page 3: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/3.jpg)
3
ตวตง คอ 7 ตวหารคอ 3 หาผลหารกบเศษ โดยการเขยน 3 หาร 7 ใหอยในรป b an= หรอ b an r= + เพราะฉะนน ผลหารคอ 2 และ เศษคอ 1 1.2) -3 หาร 7 ตวตง คอ 7 ตวหารคอ -3 หาผลหารกบเศษ โดยการเขยน -3 หาร 7 ใหอยในรป b an= หรอ b an r= + เพราะฉะนน ผลหารคอ -2 และ เศษคอ 1 1.3) 3 หาร -7 ตวตง คอ -7 ตวหารคอ 3 หาผลหารกบเศษ โดยการเขยน 3 หาร -7 ใหอยในรป b an= หรอ b an r= + เพราะฉะนน ผลหารคอ -3 และ เศษคอ 2 1.4) -3 หาร -7 ตวตง คอ -7 ตวหารคอ -3 หาผลหารกบเศษ โดยการเขยน -3 หาร -7 ใหอยในรป b an= หรอ b an r= + เพราะฉะนน ผลหารคอ 3 และ เศษคอ 2
7=3(2)+1
7=-3(-2)+1
-7=3(-3)+2
-7=-3(3)+2
![Page 4: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/4.jpg)
4
2. ให a,b และ c เปนจานวนเตม โดยท 0a ≠ และ 0b ≠ จงพสจนวา ถา |a b และ |b c และ |a c
วธทา 1. |a b b an⇒ = เมอ n I∈ 2. | ,b c c bm m I⇒ = ∈ 3. จาก (1) และ (2)
( )( ),
|
c an mc a nm nm I
a c
== ∈
∴
3. ให m และ n เปนจานวนเตมบวก ถา 5 หาร m เหลอเศษ 4 และ 5 หาร n เหลอเศษ 2 แลว 5 หาร m+n เหลอเศษเทาใด
วธทา 1) ตความหมายของ 5 หาร m เหลอเศษ 4
2) 5 หาร n เหลอเศษ 2
3) 1 2(5 4) (5 2)m n k k+ = + + +
1 2
1 2
1 2
5 5 65( ) 5 15( 1) 1
k kk kk k
= + + = + + + = + + +
4) 1 2 1 25( 1) 1, ( 1)m n k k k k I+ = + + + + + ∈
……………แสดงวา 5 หาร m+n เหลอเศษ 1
1 15 4,m k k I= + ∈
2 25 2,n k k I= + ∈
![Page 5: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/5.jpg)
5
4. จงหาจานวนเตมตงแต 1 ถง 500 ทหารดวย 3 หรอ 5 ลงตว วามกจานวน วธทา ใชเรองเซตมาอธบายวธทาขอน
1) ใหเซต A = เซตของจานวนเตมตงแต 1 ถง 500 ท หารดวย 3 ลงตว เซต B = เซตของจานวนเตมตงแต 1 ถง 500 ทหารดวย 5 ลงตว A B∪ = เซตของจานวนเตมตงแต 1 ถง 500 ทหารดวย 3 หรอ 5 ลงตว
2) จาก ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩ {3,6,9,15,..., 498} ( ) 166{5,10,15,20,...,500} ( ) 100
{15,30,45,60,..., 495} ( ) 33( ) 166 100 33 233
A n AB n BA B n A B
n A B
= ⇒ == ⇒ =∩ = ⇒ ∩ =
∴ ∪ = + − =
5. ให A,B และ C เปนจานวนเตม จงแสดงวา ถา |a b และ |a c แลว | ( )a bm cn+ เมอ ,m n I∈ วธทา
1) 1 1| ,a b b ak k I⇒ = ∈
2) 2 2| ,a c c ak k I⇒ = ∈
3) 1 2( ) ( )bm cn ak m ak n+ = +
1 2
1 2
( ) ( )( )k m a k n ak m k n a
= + = +
4) 1 2 1 2( ) ,bm cn k m k n a k m k n I+ = + + ∈ | ( )a bm cn∴ + ลงตว
6. จงพสจนวา ถา a เปนจานวนเตมแลว 22 | ( )a a−
วธทา 1) กรณท a เปนจานวนค 2 ,a n n I⇒ = ∈
2 2
2
2
2 2 2 2
(2 ) (2 )4 22(2 )
2(2 ), 2 2 | ( )
a a n nn n
n na a n n n n I a a
− = −
= −
= −
∴ − = − − ∈ ⇒ −
![Page 6: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/6.jpg)
6
2) กรณท a เปนจานวนค 2 1,a n n I⇒ = + ∈ 2 2
2
2
2
2 2 2 2
(2 1) (2 1)4 4 1 2 14 22(2 )
2(2 ), 2 2 | ( )
a a n nn n nn n
n na a n n n n I a a
− = + − +
= + + − −
= +
= +
∴ − = + + ∈ ⇒ −
2. การหาตวหารรวมมาก (ห.ร.ม.)
การหา ห.ร.ม. ของ a และ b เขยนแทนดวย (a,b) คอ การหาจานวนเตมทมากทสดท
สามารถหารจานวนเตม a และ b ลงตว เมอ , 0a b ≠ มวธการหา 2 วธคอ 2.1 การหา ห.ร.ม. โดยวธการแยกตวประกอบ คอ การนาจานวนเตม a และ b มาแยกตวประกอบเปนจานวนเฉพาะ แลวพจารณาวา มจานวนเฉพาะรวมกนใดบาง ตวอยาง เชน
1. จงหา ห.ร.ม. ของ 30 และ 168 วธทา
30 2 3 5168 2 3 = × ×
= × × 3 × 3 × 3
จะเหนวา ทง 30 และ 168 มตวประกอบเฉพาะรวมกน คอ 2 และ 3 ∴ห.ร.ม.ของ 30 และ 168 คอ 2 3× เทากบ 6
2. จงหา ห.ร.ม. ของ 40 และ 180 วธทา
0 2 2 5180 2 4 = × 2 × ×
= × 2 × 3 × 3 × 5
∴ห.ร.ม.ของ 40 และ 180 คอ 2 2 5 20× × =
![Page 7: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/7.jpg)
7
3. จงหา ห.ร.ม. ของ 30 และ 73 วธทา
0 2 573 1 73
3 = × 3 × = ×
ทง 30 และ 73 ไมมจานวนเฉพาะรวมกนเลย
∴ห.ร.ม.ของ 30 และ 73 คอ 1 ขอสงเกต จานวนเตม a และ b ทห.ร.ม.ของ a และ b เทากบ (a,b)=1 เราเรยกวา “จานวนเฉพาะสมพทธ”
4. ให a เปนจานวนเตมบวก ซง 2|a และ 5|a ถา a และ 7 เปนจานวนเฉพาะสมพทธ แลว จงหา ห.ร.ม. ของ a และ 70
วธทา
1) 2|a a=2k1, 1k I∈
5|a a=5k2, 2k I∈
2) a และ 7 เปนจานวนเฉพาะสมพทธ หมายความวา ห.ร.ม.ของ a และ 7 เทากบ 1 คอ a และ 7 ไมมจานวนเฉพาะทเปนตวประกอบรวมกน ซงกหมายความวา a ไมใชพหคณของ 7
3) 3 32 5 ,a k k= × × ไมใชพหคณของ 7
70 2 5 7= × × ∴ห.ร.ม. ของ a และ 70 คอ 2x5=10
2.2 การหา ห.ร.ม. โดยวธของยคลค คอการหา ห.ร.ม. โดยใชวธการหารเหลอเศษตอๆกนไปเรอยๆ ตวอยาง เชน
1. จงหา ห.ร.ม. ของ 30 กบ 168 วธทา 168 30(5) 18= + ⇒
3 32 5 ,a k k I= × × ∈
30 18(1) 1218 12(1) 612 6(2)
= + ⇒= + ⇒= ⇒
30 หาร 168 ไมลงตว18 หาร 30 ไมลงตว18 หาร 30 ไมลงตว
12 หาร 18 ไมลงตว
6 หาร 12 ลงตว
เปน ห.ร.ม.ของ 30 กบ 168
![Page 8: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/8.jpg)
8
มเทคนคในการหา ห.ร.ม. โดยวธของยคลคดงน
2. จงหา ห.ร.ม.ของ 85 และ 20 วธทา 4 85 20 4 80 20 5 0
3. จงหา ห.ร.ม.ของ 85 และ -20 วธทา ให หา ห.ร.ม. ของ จานวนบวกคอ 85 และ 20 ซงกคอ 5 ∴ห.ร.ม.ของ 85 และ -20 กคอ 5
4. ถงใบหนงมสมอย 126 ผล และถงอกใบหนงมมงคด 198 ผล ถาตองการแบงผลไมเปนกองๆ โดยทแตละกองตองเปนผลไมชนดเดยวกน และแตละกองตองมจานวนเทากน อยากทราบวาแตละกองจะมผลไมไดมากทสดกผลและจะแบงไดกกอง
วธทา ทาไดโดยการหา ห.ร.ม. ของผลไมทง 2 ชนด⇒ ซงกคอ การหาห.ร.ม.ของ 126 กบ 198 ซงในทนจะใชวธของยคลค
30 16818 15012 12
1812
0 6
5
1
1
คอ ห.ร.ม.ของ 30 กบ 168
คอ ห.ร.ม.ของ 85 กบ 20
![Page 9: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/9.jpg)
9
1 126 198 1 72 126 3 54 72 1 54 54 0 18 ∴จะแบงผลไมไดมากทสดกองละ 18 ผล และแบงไดสม 7 กอง และแบงไดมงคด 11 กอง
3. การหาตวคณรวมนอย (ค.ร.น.) การหา ค.ร.น. สามารถทาได 2 วธ
3.1) การหา ค.ร.น. โดยวธการแยกตวประกอบ การแยกตวประกอบทาเหมอนการหา ห.ร.ม. โดยมตวอยางดงน
1) จงหา ค.ร.น.ของ 30 กบ 50 วธทา แยกตวประกอบของ 30 และ 50 ไดดงน
30 2 3 550 2
= × × = × 5 × 5
∴ ตวประกอบทซากนเอามาแคตวเดยว⇒ ค.ร.น.ของ 30 และ 50 คอ 2 5 3 5× × ×
การแยกตวประกอบ ค.ร.น.
ห.ร.ม.
วธการแยกตวประกอบ
วธการของยคลค
ตวซา
![Page 10: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/10.jpg)
10
2) จงหา ค.ร.น.ของ 100 กบ 150 วธทา
0 2 5 550 2
10 = × 2 × × 1 = × 3 × 5 × 5
∴ ตวประกอบทซากนเอามาแคตวเดยว⇒ ค.ร.น.ของ 100 และ 150 คอ
2 5 5 2 3× × × × 3.2) การหา ค.ร.น. โดยวธการหาห.ร.ม.กอน ใชหลกการทวาการใชวธการหา ห.ร.ม.กอน โดยอาจใชวธของยคลค แลวใชกฎทวา ผลคณของเลข 2 จานวน เทากบ ห.ร.ม.ของ เลข 2 จานวนนน× ค.ร.น.ของเลข 2 จานวนนน ตวอยาง เชน
1. จงหา ค.ร.น.ของ 12 และ 20 วธทา
1) หาห.ร.ม. ของ 12 และ 20 กอน โดยใชวธของยคลค 1 12 20 1 8 12 4 8 2
8 0
2) ผลคณของเลข 2 จานวน = ห.ร.ม. x ค.ร.น.
12x20 = 4 x ค.ร.น. 240 = 4 x ค.ร.น.
ค.ร.น. = 2404
ค.ร.น. = 60
ตวซา
![Page 11: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/11.jpg)
11
แบบฝกหด
1. จงใหเหตผลการหารลงตวและไมลงตวในแตละขอตอไปน 1.1) 4 | 20 1.2) 5 | 35 1.3) 7 | 49 1.4) 3 | 25/ 1.5) 8 | 52/ 1.6) 12 | 13/
![Page 12: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/12.jpg)
12
2. ใหเตมผลหารและเศษเหลอตอไปน
2.1) 5 8(..........) 5= + 2.2) 28 4(..........) 0= + 2.3) 43 5(8) .............= + 2.4) 24 7( 4) .........− = − + 2.5) 75 9(..........) .........− = + 2.6) 33 5(..........) ...........− = + 2.7) 50 10(..........) .........= + 2.8) 39 40(..........) .........− = + 2.9) 66 3(..........) ..........= + 3. เมอหารจานวนเตมบวก x ดวย 5 มเศษเหลอเปน 3 จงหาเศษเหลอเมอหาร 3x ดวย 5
![Page 13: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/13.jpg)
13
4. เมอหารจานวนเตมบวก x ดวย 9 มเศษเหลอเปน 5 จงหาเศษเหลอเมอหาร 7x ดวย 9 5. ให n เปนจานวนเตมบวก จงหาเศษเหลอเมอหาร n(n+1)(n+2) ดวย 3
![Page 14: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/14.jpg)
14
6. เมอหารจานวนเตมบวก x ดวย 7 มเศษเหลอเปน 3 จงหาเศษเหลอเมอหาร 5x ดวย 7 7. จงแสดงวา “กาลงสองของจานวนคเปนจานวนค” 8. จงแสดงวา ถา a เปนจานวนเตมแลว 2a a− เปนจานวนค
![Page 15: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/15.jpg)
15
9. จงแสดงวา ถา a เปนจานวนคแลว 24 | ( 1)a − 10. ให n เปนจานวนเตมบวก จงหาเศษเหลอเมอหาร n(n+1)(n+2) ดวย 3
![Page 16: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/16.jpg)
16
11. จงหาจานวนเตมบวกทงหมดทหาร 406 และ 379 แลวมเศษเหลอเทากน 12. จงหาจานวนเตมบวกทงหมดทหาร 830 และ 1,118 แลวมเศษเหลอเทากน
![Page 17: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/17.jpg)
17
13. จงหาห.ร.ม. ของ 3348 และ 2592 โดยใชขนตอนของยคลค 14. จงหาห.ร.ม. ของ 2244 และ 418 โดยใชขนตอนของยคลค
![Page 18: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/18.jpg)
18
15. จงหาจานวนเตมทมคามากทสดทหาร 325 , 229 และ 157 แลวมเศษเหลอเทากน 16. จงหาจานวนเตมทมคามากทสดทหาร 2479 , 1998 และ 1073 แลวมเศษเหลอเทากน พรอมทงหาเศษเหลอ
![Page 19: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/19.jpg)
19
17. จงหาจานวนเตมบวกทมคามากทสดทหาร 4770 แลวมเศษเหลอเปน 13 และหาร 3970 มเศษเหลอเปน 17 18. นกเรยนคนหนงมเหรยญบาท 198 เหรยญ เหรยญหาบาท 180 เหรยญ และเหรยญสบบาท 126 เหรยญ ตองการแบงเหรยญแตละชนดเปนกองใหมจานวนมากทสด จงหาวาจะไดเหรยญทงหมดกกองและกองละกเหรยญ
![Page 20: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/20.jpg)
20
19. จงหาจานวนเตมบวกทมคานอยทสดทหารดวย 6,9 และ 10 มเศษเหลอเปน 1 20. จงหาจานวนเตมบวกทมคานอยทสดทหารดวย 26,36 และ 39 มเศษเหลอเปน 5
![Page 21: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/21.jpg)
21
21. จงหาจานวนเตมบวกทมคานอยทสดทหารดวย 7,11 และ 13 แลวมเศษเหลอเปน 2,6 และ 8 ตามลาดบ 22. ทสถานรถโดยสารแหงหนง จะปลอยรถไปจงหวด A ทกๆ 15 นาท และปลอยรถไปจงหวด B ทกๆ 25 นาท ถาสถานนเรมปลอยรถไปจงหวด A และจงหวด B พรอมกน เมอเวลา 8.00 น. จงหาวาอกนานเทาไร สถานนจะปลอยรถไปสองจงหวดนพรอมกนอกครง
![Page 22: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/22.jpg)
22
23. จงหาเศษทเหลอจากการหาร 102 ดวย 23 24. จงหาเศษทเหลอจากการหาร 305 ดวย 31
![Page 23: Preliminary number theory](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022020301/587541211a28abb8208b50a3/html5/thumbnails/23.jpg)
23
25. จงแสดงวา 103 9+ หารดวย 51 ลงตว 26. จงแสดงวา ถา (n,7)=1 แลว 6 1n − หารดวย 7 ลงตว