predicciÓn de la distribuciÓn de tamaÑo de partÍculas …
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VIII CAIQ2015 y 3 JASP
AAIQ Asociación Argentina de Ingenieros Químicos - CSPQ
PREDICCIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN DE TAMAÑO DE
PARTÍCULAS EN UN GRANULADOR INDUSTRIAL PARA LA
PRODUCCIÓN DE UREA GRANULADA
Carlos Renaudo, Diego Bertín, Verónica Bucalá
Planta Piloto de Ingeniería Química
(Universidad Nacional del Sur - CONICET)
Camino La Carrindanga km. 7 - 3000 Bahía Blanca - Argentina
E-mail: [email protected]
Resumen. En este trabajo se propone un modelo matemático basado en
balances de masa y población para describir un granulador industrial
multicámaras para producción de urea granulada. Se considera que las
partículas crecen por recubrimiento y aglomeración, y los mecanismos de
cambio de tamaño se modelan mediante cinéticas que intervienen en el
balance de población. Se utilizan datos de una planta industrial de gran
escala para ajustar la cinética de aglomeración. La herramienta desarrollada
resulta de utilidad para calcular los caudales y granulometrías de los
productos que abandonan cada cámara, así como la fracción de aglomerados
presente en cada corriente granular. Los resultados obtenidos demuestran
que el modelo es capaz de reproducir aceptablemente las granulometrías del
producto, y puede ser utilizado para explorar diferentes escenarios de
operación y establecer ventanas operativas que conduzcan a productos
granulares con la calidad granulométrica deseada.
Palabras clave: Granulador industrial, urea, balance de población.
1. Introducción
Dentro de las técnicas de granulación, la granulación fundida consiste en atomizar
una solución de un material fundido (ligante) sobre partículas sólidas para aumentarles
su tamaño y/o conferirle propiedades especiales. Dentro de las industrias que utilizan el
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proceso de granulación cabe mencionar la industria minera, alimenticia, farmacéutica y
la de fertilizantes (Litster et al., 2004). La formulación de fertilizantes granulares es de
particular importancia para la Argentina, por su intensa actividad agropecuaria. La urea,
uno de los fertilizantes más utilizados en el agro, es el más eficiente en cuanto al
suministro de nitrógeno. Desde el comienzo de la actividad industrial de la empresa
PROFERTIL S.A. en el año 2000, en el mercado argentino se encuentra urea granulada
de producción nacional.
En la producción de urea granulada, existen dos mecanismos diferentes para producir
el aumento de tamaño de las partículas: recubrimiento (adherencia exitosa de las gotas
de ligante sobre el material particulado y posterior solidificación de las mismas) y
aglomeración (colisión de dos partículas mojadas por ligante y solidificación del puente
líquido formado entre ellas) (Litster et al., 2004). El recubrimiento es el mecanismo
deseado de crecimiento debido a que permite obtener gránulos prácticamente esféricos,
de tamaños similares y adecuada resistencia a la rotura. El fenómeno de aglomeración
debe ser minimizado para evitar productos granulares con distribuciones de tamaño de
partículas no aceptables comercialmente o bien con propiedades mecánicas
desfavorables.
Tanto el mecanismo de recubrimiento como el de aglomeración se modelan mediante
la ecuación del balance de población (population balance equation, o PBE). Esta
ecuación está basada en leyes de conservación y permite calcular la distribución de
tamaño de partículas (particles size distribution, o PSD) del producto granular en
función de la PSD inicial y de las condiciones de operación del granulador
(Ramkrishna, 2000, Bertin et al., 2014). Las cinéticas de recubrimiento y aglomeración
deben ser introducidas en el PBE en forma de ecuaciones constitutivas. En la literatura,
frecuentemente se asume una cinética de recubrimiento en la que cada partícula recibe
una cantidad de ligante proporcional a su área superficial (Bertin et al., 2013; Litster et
al., 2004; Mörl et al., 2007; Villa et al., 2015). Sin embargo, para la obtención de la
cinética de aglomeración es necesario contar con datos experimentales.
En este trabajo se propone un modelo matemático basado en balances de masa y
población para describir el proceso de granulación de urea en un granulador industrial
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multicámaras de lecho fluidizado. Utilizando diferentes caudales de una solución muy
concentrada de urea (prácticamente urea fundida), se establece la cinética de
aglomeración con el fin de predecir correctamente la PSD del producto granular. El
modelo propuesto contiene dos parámetros de ajuste, los cuales se determinan mediante
una optimización por cuadrados mínimos, definiendo como función objetivo (a
minimizar) el error cuadrático entre las PSDs medida y calculada.
2. Descripción de la unidad de granulación estudiada.
En la Fig. 1 se presenta un granulador de urea de lecho fluidizado industrial (Bertin
et al., 2007). Esta unidad está formada por cámaras consistentes en lechos de partículas
fluidizadas mediante aire. En la primera cámara, ingresan continuamente semillas
(partículas de urea de pequeño tamaño, producto fuera de especificación) sobre las que
se deposita material a partir de una solución de urea líquida concentrada que se atomiza
desde el fondo del equipo. Una solución acuosa muy concentrada en urea (96 % p/p),
comúnmente llamada fundido, pasa a la fase sólida por enfriamiento y evaporación de
agua (Nijsten et al., 1998; Niks et al., 1997). Este fenómeno es responsable del aumento
de tamaño de los gránulos. El régimen de operación del lecho (fluidización
burbujeante), facilita la circulación repetida de los gránulos por la zona de atomización
de la solución de urea como consecuencia del fuerte movimiento que las burbujas
imparten a los sólidos. Además, el flujo de aire actúa como una corriente de despojo del
agua evaporada. La energía para la evaporación es provista por la propia solución de
urea que ingresa a una temperatura relativamente alta (≈ 130 °C) (Nijsten et al., 1998;
Niks et al., 1997). El aire se suministra al lecho a través de un plato distribuidor. Para
aumentar el tiempo de residencia y obtener distribuciones de tamaño de partículas
relativamente estrechas, los equipos industriales poseen varias cámaras de crecimiento
(donde se atomiza la solución concentrada de urea) seguidas de algunas cámaras de
enfriamiento (Bertin et al., 2010).
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Fig. 1. Esquema de un granulador industrial de lecho fluidizado para producción de urea
granulada.
3. Modelo Matemático del Granulador
3.1. Modelo de una Cámara de Crecimiento
Se asumen las siguientes hipótesis para formular el modelo de una cámara de
crecimiento:
Las partículas aumentan de tamaño por recubrimiento.
Las fases sólida y líquida están perfectamente mezcladas.
Los gránulos de urea tienen densidad constante y son esféricos. Las partículas
están libres de aditivos, i.e están compuestas de urea pura.
Se desprecian los fenómenos de elutriación de finos, atrición y ruptura de
partículas. Se considera que todas las gotas del ligante se adhieren de modo
Grilla de
distribución
de aire
Semillas
Aire de
fluidización
Gránulos
Aire de
salida
Solución
líquida
+
Aire de
atomización
Cámaras de
crecimiento
Cámaras de
enfriamiento
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exitoso sobre la superficie de las semillas y, por ende, no se tiene en cuenta la
generación de nuevos núcleos sólidos por solidificación de gotas.
La evaporación del agua presente en las gotas es completa (Bertin et al.,
2007).
Balances de Masa
De acuerdo a la hipótesis de mezclado perfecto de las partículas, el balance de masa
para los sólidos en cada cámara es:
𝑑𝑚
𝑑𝑡= �̇�𝑖𝑛 + �̇�𝐿(1 − 𝑥𝑤) − �̇�𝑜𝑢𝑡 (1)
donde 𝑚 es la masa de urea granulada dentro de la cámara, 𝑡 es el tiempo y �̇�𝑖𝑛 y �̇�𝑜𝑢𝑡
son los caudales másicos de urea granulada que entran y salen de la cámara,
respectivamente. �̇�𝐿 es el caudal másico atomizado de la solución concentrada de urea
y 𝑥𝑤 es la fracción de agua en la solución.
Balance de población
En este trabajo se utiliza la formulación del PBE propuesta por Bertin et al. (2014).
Dicha formulación involucra una discretización del tamaño de partículas (i.e., el
dominio de tamaños se divide en rangos denominados clases) y un método numérico
para predecir el número de partículas correspondiente a cada una de las clases y el
diámetro representativo en el cual se concentran dichas partículas. Siguiendo el
procedimiento presentado por Bertin et al. (2014), es posible obtener PSDs que
satisfacen simultáneamente los balances en número y masa de partículas por clase.
De acuerdo a Bertin et al. (2014), el número de partículas en cada clase varía en el
tiempo según la siguiente ecuación:
𝑑𝑁𝑖
𝑑𝑡= 𝐹𝑖
𝐺+ − 𝐹𝑖𝐺− + 𝐻𝑖
𝐴+ − 𝐻𝑖𝐴− (2)
donde 𝑁𝑖 es el número de partículas en la clase 𝑖, 𝐹𝑖𝐺+ y 𝐹𝑖
𝐺− representan la velocidad de
aparición y desaparición de partículas en la clase 𝑖 por recubrimiento y 𝐻𝑖𝐴+ y 𝐻𝑖
𝐴−
describen la aparición y desaparición de partículas en la clase 𝑖 por aglomeración,
respectivamente.
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A su vez, el número de partículas por clase 𝑁𝑖 está asociado a un diámetro
representativo 𝑑𝑝𝑖, el cual se calcula como (Bertin et al., 2014):
𝑑𝑑𝑝𝑖
𝑑𝑡= 𝐺 (𝑑𝑝𝑖
) +𝑑𝑝𝑖
−2
3𝑁𝑖
[𝐹𝑖𝐺+ (𝐷𝑝𝑖
3 − 𝑑𝑝𝑖
3) − 𝐹𝑖𝐺− (𝐷𝑝𝑖+1
3 − 𝑑𝑝𝑖
3) + 𝐻𝑖𝐴+ (𝐷𝑝
𝐴̅̅ ̅̅𝑖
3− 𝑑𝑝𝑖
3)] (3)
donde 𝐷𝑝𝑖y 𝐷𝑝𝑖+1
son los diámetros inferior y superior de la clase 𝑖, 𝐺 es la velocidad
de crecimiento por recubrimiento y 𝐷𝑝𝐴̅̅ ̅̅
𝑖es el diámetro medio de la clase 𝑖 en el que
aparecen las partículas aglomeradas (Bertin et al., 2014).
Los términos 𝐹𝑖𝐺+, 𝐹𝑖
𝐺−, 𝐻𝑖𝐴+ y 𝐻𝑖
𝐴− de las ecuaciones 2 y 3 se calculan
respectivamente como:
𝐹𝑖𝐺+ = 𝛼𝑖−1𝐺(𝐷𝑝𝑖
) (𝐶1𝑖−1𝐷𝑝𝑖
+ 𝐶2𝑖−1) (4)
𝐹𝑖𝐺− = 𝛼𝑖𝐺(𝐷𝑝𝑖+1
) (𝐶1𝑖𝐷𝑝𝑖+1
+ 𝐶2𝑖) (5)
𝐻𝑖𝐴+ =
1
2∑ ∑ 𝛽(𝑑𝑝𝑗
, 𝑑𝑝𝑘) 𝑁𝑗𝑁𝑘
𝑘 (𝑗,𝑘→𝑖)⁄𝑗
(6)
𝐻𝑖𝐴− = 𝑁𝑖 ∑ 𝛽(𝑑𝑝𝑗
, 𝑑𝑝𝑘) 𝑁𝑗
𝑗
(7)
donde 𝛽(𝑑𝑝𝑗, 𝑑𝑝𝑘
) (llamado kernel de aglomeración) representa la velocidad de
nacimiento de aglomerados por unión de partículas de las clases 𝑗 y 𝑘. 𝐶1𝑖, 𝐶2𝑖
y 𝛼𝑖 son
variables asociadas al esquema numérico utilizado (Bertin et al., 2014). En la Ecuación
6, la expresión 𝑘 (𝑗, 𝑘 → 𝑖)⁄ indica: todas las partículas de clase 𝑘 tal que, al
aglomerarse con partículas de clase 𝑗, generan partículas de clase 𝑖. El diámetro medio
de la clase 𝑖 en el que aparecen las partículas aglomeradas es:
𝐷𝑝𝐴̅̅ ̅̅
𝑖= [
∑ ∑ 𝛽(𝑑𝑝𝑗, 𝑑𝑝𝑘
) 𝑁𝑗𝑁𝑘 (𝑑𝑝𝑗
3 + 𝑑𝑝𝑘
3)𝑘 (𝑗,𝑘→𝑖)⁄𝑗
∑ ∑ 𝛽(𝑑𝑝𝑗, 𝑑𝑝𝑘
) 𝑁𝑗𝑁𝑘𝑘 (𝑗,𝑘→𝑖)⁄𝑗]
13
(8)
Por último, las variables 𝐶1𝑖, 𝐶2𝑖
y 𝛼𝑖 se calculan como:
𝛼𝑖 = {1 𝑠𝑖 (𝐶1𝑖
𝐷𝑝𝑖+1+ 𝐶2𝑖
) > 0
0 𝑠𝑖 (𝐶1𝑖𝐷𝑝𝑖+1
+ 𝐶2𝑖) ≤ 0
(9)
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𝐶1𝑖=
𝐷𝑝𝑖+1
4 − 𝐷𝑝𝑖
4
𝐷𝑝𝑖+1− 𝐷𝑝𝑖
− 4𝑑𝑝𝑖
3
12 (𝐷𝑝𝑖+1
+ 𝐷𝑝𝑖) (𝐷𝑝𝑖+1
4 − 𝐷𝑝𝑖
4) −45
(𝐷𝑝𝑖+1
5 − 𝐷𝑝𝑖
5)𝑁𝑖 (10)
𝐶2𝑖=
𝑁𝑖 −𝐶1𝑖
2 (𝐷𝑝𝑖+1
2 − 𝐷𝑝𝑖
2)
𝐷𝑝𝑖+1− 𝐷𝑝𝑖
(11)
Cinéticas de recubrimiento y aglomeración
La velocidad de crecimiento 𝐺(𝑑𝑝) es la velocidad de cambio de tamaño de las
partículas como consecuencia de la deposición y solidificación de las gotas sobre la
superficie de las partículas. Asumiendo que las partículas crecen en forma proporcional
a su fracción de área superficial, se obtiene la siguiente función que resulta ser
independiente del valor del tamaño de los gránulos (Mörl et al., 2007):
𝐺(𝑑𝑝) =2�̇�
𝜋𝜌𝑝 ∑ 𝑁𝑖𝑑𝑝𝑖
2𝑖
(12)
donde 𝜌𝑝 es la densidad de partículas.
Con respecto a la cinética de aglomeración, Roy et al. (2009) estudiaron la
aglomeración de partículas de urea en un lecho fluidizado escala laboratorio, y
propusieron un kernel empírico de aglomeración proporcional al producto de los
volúmenes de las partículas que se aglomeran. Para este trabajo, se asume una expresión
similar a la de Roy et al. (2009):
𝛽 (𝑑𝑝𝑗, 𝑑𝑝𝑘
) = 𝛽0 (𝑑𝑝𝑗𝑑𝑝𝑘
)𝑎
(13)
donde 𝛽0 es un parámetro que puede depender de las condiciones de operación del
granulador y de las propiedades del sistema partículas-gas (pero no del tamaño de
partículas). 𝑎 es un exponente que describe la influencia del tamaño de las partículas
sobre la probabilidad de aglomerarse. Específicamente, un valor 𝑎 = 0 indica que la
aglomeración es independiente del tamaño de las partículas que se aglomeran. Por otro
lado, si 𝑎 = 3 se obtiene la cinética propuesta por Roy et al. (2009). Para el presente
trabajo, 𝛽0 y 𝑎 son parámetros de ajuste del modelo.
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3.2. Modelo del Granulador Multicámaras
Debido a que el granulador industrial está formado por 3 cámaras de crecimiento en
serie, el modelo matemático formulado en la sección 3.1 debe resolverse 3 veces.
Debido a la configuración en serie, el caudal másico y la PSD de salida de la cámara 1
son el caudal y PSD de entrada de la cámara 2. Análogamente, el caudal másico y la
PSD de salida de la cámara 2 se convierten en el caudal y PSD de entrada de la cámara
3. Debido a que en las cámaras de enfriamiento las partículas no cambian de tamaño, no
es necesario resolver el modelo matemático para estos compartimientos.
4. Ajuste de los parámetros del modelo
Las constantes de aglomeración 𝛽0 y 𝑎 se ajustan utilizando información
experimental proveniente de un granulador industrial. Se dispone de 9 conjuntos de
condiciones operativas en estado estacionario, para los cuales se conoce los valores de
las variables de entrada y salida del granulador. Las corrientes de ingreso y egreso
fueron monitoreadas regularmente, de modo que la información experimental se
dispone a diferentes tiempos de operación. El modelo del granulador es simulado para
cada escenario de condiciones operativas. Para el ajuste, se plantea una optimización
por cuadrados mínimos y, para definir la función objetivo de la optimización, se
considera que: a) la calidad granulométrica de la urea se establece a partir de la PSD
expresada en masa (la cual se transforma a PSD expresada en número a los efectos de
resolver el PBE, y luego la PSD en número del producto se transforma a PSD basada en
masa para comparación con datos experimentales) y b) cuando las grillas de
discretización poseen rangos de tamaños diferentes a la grilla usada para analizar
granulométricamente los datos experimentales, las PSDs deben representarse a través de
la variable llamada función densidad (i.e., cociente entre la masa o número de partículas
y el ancho de la clase en que se encuentran). En base a estas dos observaciones, la
función objetivo para el ajuste se define como:
𝐹𝑂 = min𝛽0,𝑎
∑ ∑ (𝑤𝑖|𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 − 𝑤𝑖|𝐸𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙
𝐷𝑝𝑖+1− 𝐷𝑝𝑖
)
2
𝑖𝐸𝑠𝑐𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠
(16)
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donde 𝑤𝑖 es la fracción en peso de partículas en la clase 𝑖. Como se menciona
anteriormente, los valores experimentales se obtuvieron por tamizado. Las fracciones en
peso calculadas se determinan a partir del número de partículas proveniente de la
solución numérica del modelo matemático:
𝑤𝑖|𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 =𝑁𝑖𝑑𝑝𝑖
3
∑ 𝑁𝑖𝑑𝑝𝑖
3𝑖
(17)
En la Fig. 2 se muestra el ajuste realizado para tres, en donde se observan las PSDs
medidas de las corrientes de semillas y producto y las obtenidas del modelo con y sin
aglomeración. Cuando se considera aglomeración, el modelo utiliza los parámetros
ajustados. Como se observa, la incorporación del mecanismo de aglomeración produce
una mejora considerable en el cálculo de las PSDs del producto granular, especialmente
en la región de partículas de mayor tamaño.
(a)
(b)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 0,002 0,004 0,006
Fu
nci
ón
den
sid
ad
en
masa
(1/m
)
dp (m)
Semillas
Producto - medido
Producto - Modelo
sin aglomeraciónProducto - modelo
con aglomeración
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 0,002 0,004 0,006
Fu
nci
ón
den
sid
ad
en
masa
(1/m
)
dp (m)
Semillas
Producto - medido
Producto - Modelo
sin aglomeraciónProducto - modelo
con aglomeración
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(c)
Fig. 2. PSDs de la corriente de semillas y de la corriente de salida medida, obtenida del
modelo sin considerar aglomeración y obtenida del modelo con aglomeración y
parámetros ajustados, para tres de los escenarios analizados (a, b y c).
A partir del ajuste de la cinética de aglomeración, se encuentra que el valor óptimo
del exponente 𝑎 varía en cada escenario, dentro de un rango comprendido entre 0.5 y
4.5. El factor 𝛽0 también varía en cada escenario; más aún, el valor óptimo de 𝛽0 no es
independiente del exponente 𝑎, como puede observarse en la Fig. 3. Por lo tanto, la
cinética de aglomeración puede expresarse en función de un único parámetro (el
exponente 𝑎), mientras que 𝛽0 puede ser determinado a partir de la siguiente ecuación:
ln 𝛽0 = 11.8 𝑎 − 26.6 (18)
donde 𝛽0 tiene unidades de (m-2as-1).
El último paso para completar el ajuste de la expresión cinética del mecanismo de
aglomeración es relacionar el exponente 𝑎 con las condiciones de operación del
granulador. De las variables analizadas (caudales de semillas, fundido y aire de
fluidización, fracción de agua en la solución, temperaturas de las cámaras de
crecimiento, diámetro medio de la PSD de semillas), se encontró una relación entre 𝑎 y
el caudal en número de semillas que ingresa al granulador. En la Fig. 4 se grafican los
valores de 𝑎 en función del caudal de semillas observándose una tendencia que, por
simplicidad, puede aproximarse a una función lineal. Para los datos de la Fig. 4, resulta:
𝑎 = 6.96 − 6.91 × 10−7�̇�𝑠𝑒𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 (19)
donde �̇�𝑠𝑒𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 es el caudal en número de semillas y tiene unidades de (#/s).
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 0,002 0,004 0,006
Fu
nci
ón
den
sid
ad
en
ma
sa
(1/m
)
dp (m)
Semillas
Producto - medido
Producto - Modelo
sin aglomeraciónProducto - modelo
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Combinando las ecuaciones 13, 18 y 19, se obtiene la siguiente expresión para el
kernel de aglomeración:
𝛽 (𝑑𝑝𝑗, 𝑑𝑝𝑘
) = 2.80 × 10−12 (1.33 × 105𝑑𝑝𝑗𝑑𝑝𝑘
)6.96−6.91×10−7�̇�𝑠𝑒𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
(20)
La Ec. 20 es válida solamente para el rango de operación al que corresponden los
escenarios estudiados. En dichos escenarios, y como se observa en la Fig. 4, el caudal
en número de semillas varía aproximadamente entre 4x106 y 9 x106 #/s.
Fig. 3. Relación entre el factor 𝛽0 y el exponente 𝑎 en la expresión propuesta para el
kernel de aglomeración.
Fig. 4. Exponente 𝑎 de la expresión propuesta para el kernel de aglomeración en
función del caudal en número de semillas
ln y = 11,8x - 26,6
R² = 1,00
1,E-10
1,E-07
1,E-04
1,E-01
1,E+02
1,E+05
1,E+08
1,E+11
0 1 2 3 4 5
β0
(m-2
as-1
)
a (-)
y = -6,91E-07x + 6,96
R² = 0,85
0
1
2
3
4
5
3,E+06 5,E+06 7,E+06 9,E+06 1,E+07
a (-
)
(#/s)�̇�𝑠𝑒𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
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A partir de la Ec. 20 se observa que la velocidad de aglomeración es mayor cuando
los diámetros de partícula dentro del granulador aumentan. Además, debido a que la
base de la potenciación en la Ec. 20, (1.33 × 105𝑑𝑝𝑗𝑑𝑝𝑘
), suele ser menor a 1, la
velocidad de aglomeración es mayor cuando el caudal en número de semillas aumenta.
Debe aclararse también que el nacimiento de aglomerados (como variable extensiva)
depende no sólo de 𝛽 sino también de los números de partículas de cada clase que se
aglomeran (ver ecuaciones 6 y 7). Por lo tanto, se espera que la formación de
aglomerados sea mayor cuanto mayor sea el número de partículas dentro de la cámara.
5. Análisis de sensibilidad
A partir de un conjunto de condiciones operativas típicas industriales, se define un
caso base con el propósito de estudiar el efecto de algunas variables de entrada sobre la
aglomeración. La Fig. 5 muestra el cociente entre los caudales en número de partículas
de salida y entrada del granulador en función de cambios porcentuales (en el rango
±15%) realizados en los caudales másicos de semillas y ligante y en el diámetro medio
de la corriente de semillas. El cociente entre caudales en número es una variable
directamente relacionada con la ocurrencia de aglomeración debido a que en ausencia
de aglomeración y operando en estado estacionario los caudales en número de entrada y
salida deben iguales. Según la Fig. 5, cuando el caudal másico de semillas aumenta, el
cociente de caudales en número disminuye indicando una mayor formación de
aglomerados. Este comportamiento se debe a que el caudal en número de semillas
aumenta y al mayor número de partículas dentro del granulador.
Cuando la perturbación se produce en el caudal de ligante, la Fig. 5 muestra que
incrementos en dicho caudal ocasionan una tendencia decreciente en el cociente de
caudales en número salida/entrada, aunque menos pronunciada que cuando se varió el
caudal de semillas. En este caso, el caudal en número de semillas no varía al perturbar el
caudal de ligante. Sin embargo, las partículas crecen más al aumentar el caudal de
fundido, lo que resulta en un mayor kernel de aglomeración.
Cuando se aumenta el diámetro medio de la PSD de semillas (manteniendo constante
el caudal másico de entrada y la desviación estándar de la distribución), disminuye el
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caudal en número de semillas y, en consecuencia, también lo hace el número de
partículas dentro de las cámaras. Por lo tanto, al aumentar el diámetro medio de semillas
disminuye la formación de aglomerados, por esta razón el cociente de caudales en
número salida/entrada se acerca a 1 (ver Fig. 5). Para valores muy bajos del diámetro
medio de semillas, se observa que el caudal en número de partículas que abandona la
cámara disminuye considerablemente respecto al valor de entrada, indicando la
formación de una gran cantidad de aglomerados. Este resultado es indeseado para
granuladores de urea y debería ser evitado en la práctica.
Fig. 5. Cociente entre los caudales en número de salida y entrada del granulador para
cambios porcentuales en los caudales másicos de semillas y ligante y en el diámetro
medio de semillas
6. Conclusiones
Cuando no se considera el mecanismo de aglomeración en el modelo, la distribución
de tamaños de partículas predicha es similar a la experimental en la región de las
partículas más pequeñas pero presenta desviaciones importantes para partículas grandes.
La inclusión del mecanismo de aglomeración en el modelo permite mejorar
sustancialmente la predicción de la PSD del producto que abandona el granulador. A
partir del ajuste con datos experimentales obtenidos en una planta industrial, se derivó
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-15 -10 -5 0 5 10 15
Co
cie
nte
en
tre
los
cau
dal
es
de
salid
a y
en
trad
a e
n n
úm
ero
de
par
tícu
las
Perturbación en la variable respecto a su valor de caso base (%)
Caudal másico de semillas
Caudal másico de ligante
Diámetro medio de semillas
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una expresión para el kernel de aglomeración según la cual la velocidad de
aglomeración aumenta con los diámetros de partículas. Si bien el kernel propuesto está
basado en una expresión reportada en la literatura para urea granulada, fue necesario
incluir la influencia del caudal en número de semillas en la ecuación cinética para lograr
una adecuada representación de la PSD del producto.
En las plantas industriales de producción de urea granulada, el granulador forma
parte de un circuito de granulación en el que el caudal de semillas constituye una
corriente de reciclo. Específicamente, esta corriente de reciclo está formada por dos
caudales que no satisfacen la especificación granulométrica para su comercialización,
uno de los cuales proviene de un molino de rodillos. En función del comportamiento del
circuito de granulación, la corriente de reciclo suele variar significativamente en caudal
y PSD por lo que se espera que también afecte la performance del granulador. Cuando
la corriente de semillas está formada por una gran cantidad de finos, los resultados de la
simulación indican que la tendencia a aglomerarse será mayor. Debido a que la
aglomeración es un mecanismo de cambio de tamaño no deseado, debería evitarse que
la corriente de semillas esté formada por partículas demasiado pequeñas y/o presente un
caudal demasiado alto. Por otro lado, también es aconsejable no aumentar
considerablemente el caudal de urea líquida en el granulador ya que favorece la
formación de aglomerados, aunque este efecto es el menor de los tres comportamientos
estudiados. El modelo propuesto en este trabajo constituye una herramienta de gran
utilidad para predecir el comportamiento de granuladores de lecho fluidizado
industriales e identificar los parámetros críticos de operación de estas unidades.
Nomenclatura
𝑎 Exponente del kernel de aglomeración (-)
𝐶1𝑖 Parámetro del término de crecimiento en las ecuaciones 4 y 5 (m-2)
𝐶2𝑖 Parámetro del término de crecimiento en las ecuaciones 4 y 5 (m-1)
𝐷𝑝𝑖 Diámetro inferior de la clase 𝑖 (m)
𝐷𝑝𝐴̅̅ ̅̅
𝑖 Diámetro medio de aglomerados que nacen en la clase 𝑖 (m)
𝑑𝑝𝑖 Diámetro medio de partículas en la clase 𝑖 (m)
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𝐹𝑖𝐺+ Término de aparición de partículas por recubrimiento en la clase 𝑖 (s-1)
𝐹𝑖𝐺− Término de desaparición de partículas por recubrimiento en la clase 𝑖 (s-1)
𝐹𝑂 Función objetivo
𝐺 Velocidad de recubrimiento
𝐻𝑖𝐴+ Término de nacimiento de partículas por aglomeración (s-1)
𝐻𝑖𝐴− Término de muerte de partículas por aglomeración (s-1)
𝑚 Masa de urea granulada dentro de una cámara de crecimiento (kg)
�̇�𝑖𝑛 Caudal de entrada de partículas a una cámara de crecimiento (kg/s)
�̇�𝐿 Caudal de solución líquida concentrada de urea alimentada a una cámara (kg/s)
�̇�𝑜𝑢𝑡 Caudal de salida de partículas de una cámara de crecimiento (kg/s)
𝑁𝑖 Número de partículas de clase 𝑖 (#/s)
�̇�𝑠𝑒𝑒𝑑𝑠 Caudal en número de semillas (#/s)
𝑡 Tiempo (s)
𝑤𝑖 Fracción en peso de partículas de clase 𝑖 (-)
𝑥𝑤 Fracción másica de agua en la solución concentrada de urea (-)
𝛼𝑖 Parámetro del término de crecimiento en la Ec. 9 (-)
𝛽 Kernel de aglomeración (s-1)
𝛽0 Factor en el kernel de aglomeración (s-1)
𝜌𝑝 Densidad de la urea (kg/m3)
Subíndices
𝑖 Clase de partículas
𝑗 Clase de partículas
𝑘 Clase de partículas
Referencias
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