1

F S K S - P R I M I J E N J E N A M A T E M AT I K A I S T A T I S T I K A

Najvei dio onoga to znamo

je samo mali dio onoga to

ne znamo.

(Temisti )

P r e d a v a n j a u akademskoj 2010/2011. godini

G L A V A 14

D I N A M I K A A N A L I Z A

U okviru poglavlja Dinamika analiza prouava se otkrivanje varijacije pojava u

odnosima tokom vremena i ukazivanje na razvojnu tendenciju pojave. Metode ove analize

primjenjuju se samo u istraivanjima onih pojava koje se u toku vremena mijenjaju (variraju). Dakle, u oblasti dinamike analize se prouava ispitivanje tendencije kretanja pojave u

vremenu. Statistiki podaci koji su predmet istraivanja dinamike kretanja pojava postavljeni su u obliku vremenske serije (vremenskog niza).

Za iskazivanje vremenskih serija koriste se: grafiki metod, metoda indeksnih brojeva, tempo razvoja, pokretne srednje vrijednosti i metoda trenda.

.14.1. Relativni brojevi i indeksni brojevi/indeksi

Pod relativnim brojem podrazumijeva se odnos (omjer) izmeu dvaju brojeva. Izraunavaju se tako da se podijele dva broja. Razlikujui to je u brojniku a to u nazivniku

dijele se na:

I) PROPORCIJA u brojniku relativnog broja je broj elemenata skupa a u nazivniku

ukupan broj elemenata. Tako izraunate proporcije zovu se RELATIVNE FREKVENCIJE (prikazuju se razdijeljenim stupcima). Mnoenjem sa 100 dobije se postotak, a sa 1000 promil.

II) RELATIVNI BROJ KOORDINACIJE pokazuje odnos dviju koordinatnih veliina. Relativna vanost frekvencija jednog niza prosuuje se na osnovi usporedbe s

frekvencijama drugog niza. Taj broj pokazuje koliko jedinica jedne mase dolazi na 1,

100, 1000 itd. jedinica druge mase u svakoj grupi obiljeja prema kojem su grupirane jedinice obaju nizova. Grafiki se prikazuju Varzarovim znakom. Na apscisu se u

nekom mjerilu nanese baza (nazivnik) relativnog broja a na ordinatu relativni broj

koordinacije. Baza je razmjerna s nazivnikom relativnog broja koordinacije, visina sa

relativnim brojem koordinacije a povrina s brojnikom relativnog broja koordinacije.

2

III) INDEKSNI BROJEVI Kada se eli izmjeriti smjer ili intenzitet varijacija frekvencija nekog niza sa smjerom i intenzitetom varijacija frekvencija drugog niza.

Pokazuje odnose izmeu lanova nekog statistikog niza. Dijele se na sljedee vrste:

1) INDIVIDUALNI INDEKSNI BROJEVI:

a) Lanani svako idue stanje stavljeno je u odnos sa prethodnim. b) Bazni (sa stalnom bazom) Izraunavaju se tako da se sve frekvencije

podijele sa frekvencijom one grupe koja je uzeta kao bazna (ona je 100) i

pomnoi se sa 100.

1) SKUPNI INDEKSNI BROJEVI: Kada se pojava sastojji od vie individualnih

pojava (npr. proizvodnja, prodaja,uvoz...) govori se o skupnoj pojavi. Skupne pojave

analiziraju se pomou skupnih indeksa (index vrijednosti, index koliina, index cijena...) do kojih se dolazi metodom agregiranja ili metodom aritmetike sredine

individualnih indexa.

Kada se od indexnog broja oduzme 100, dobije se za koliko % je pojava relativno

manja ili vea od pojave kojom se usporeuje (kod lananih to je prethodna pojava a kod baznih to je bazna pojava).

Indexi jedne baze mogu se lako preraunati u indexe druge baze tako da se podijele s

indexom grupe koja je uzeta za novu bazu.

Dakle, indeksni brojevi (I) predstavljaju procentualne (relativne) veliine promjene pojave

izmeu dva ili vie vremenskih perioda. Dobijaju se poreenjem veliine pojave iz jednog vremenskog perioda sa veliinom iste pojave bilo kojeg drugog vremenskog perioda. Bazni

indeks se rauna na osnovu baze koja se ne mijenja u posmatranom vremenskom periodu. Dobiva se pojedinanim poreenjem lanova niza sa njegovim jednim lanom. Za bazu se obino uzima vrijednost izmeu dvije ekstremne vrijednosti, a najbolje da to bude broj koji

predstavlja aritmetiku sredinu serije podataka.

Formula za raunanje baznih indeksnih brojeva:

Ib Yi

x 100 Y0

Yi vrijednost pojave u tekuem periodu

Y0 vrijednost pojave u baznom periodu

100 procentualno iskazivanje

Lanani (verini) indeks je indeks koji se izraunava na osnovu baze koja se mijenja iz perioda u period. Dobije se poreenjem podataka iz serije tako to se u svakom vremenskom

intervalu mijenja baza. Za bazu se uzimaju podaci iz prethodnog perioda pa se ovi indeksi

nazivaju i indeksi sa pokretnom (promjenljivom) bazom

Formula za raunanje lananih indeksnih brojeva:

Il Yi

x 100 Yi -1

3

i = 1,2,,n

Yi vrijednost pojave u tekuem periodu

Yi -1 vrijednost pojave iz prethodnog perioda

100 procentualno iskazivanje

Relativni brojevi kojima se mjere relativne promjene skupine pojava u vremenu

Najee se raunaju 3 vrste skupnih indeksa:

skupni indeksi koliina,

skupni indeksi cijena,

skupni indeksi vrijednosti

Kako je broj podataka u pojedinim skupinama esto golem, izabire se njihov uzorak, odnosno reprezentativni dio skupine, a dinamika se prati na podacima iz uzorka

U statistici i njenm primjenama u drugim oblastima koriste se razne vrste indeksa

(Bowley Index, Fisher Index, Geometric Mean Index, Harmonic Mean Index, Laspeyres'

Index, Marshall-Edgeworth Index, Mitchell Index, Paasche's Index, Walsh Index, ... ).

Laspeyresov indeks cijena pokazuje kolike su prosjene relativne promjene cijena

skupine k pojava koje ine neku loginu cjelinu (potronja, proizvodnja, izvoz, ...) polazei od koliina odabranog baznog razdoblja

gdje su sa 0 su oznaene sve veliine baznog razdoblja, a sa i veliine tekueg razdoblja koliine su oznaene sa q, a cijene sa p

produkti koliina i cijena qi0 pi0 ine vrijednosti baznog razdoblja .

Laspeyresov indeks koliina pokazuje kolike su prosjene relativne promjene

koliina skupine k pojava koje ine neku loginu cjelinu (potronja, proizvodnja, izvoz, ...) polazei od cijena odabranog baznog razdoblja

gdje su sa 0 su oznaene sve veliine baznog razdoblja, a sa i veliine tekueg razdoblja

koliine su oznaene sa q, a cijene sa p, produkti koliina i cijena qi0 pi0 ine vrijednosti

baznog razdoblja.

4

Paascheov indeks cijena:

Paascheov indeks koliina:

5

Rjeenje:

6

7

14.2. Trend

Pojave promatrane u vremenu obino pokazuju odreeno kretanje ili dinamiku.

Trend je kretanje pojave u vremenu (koja nije u skladu sa vremenom). Trend je opa

razvojna tendencija pojave, odnosno trend je metoda kojom se prikazuje tendencija kretanja

neke pojave u posmatranom vremenskom periodu. Po obliku ta tendencija moe biti linearna ili krivolinijska, po smjeru + ili -, a po intenzitetu razliitih gradacija, to ovisi o karakteru pojave. Analizom neke pojave pomou trenda eli se otkriti zakonitost razvoja pojave te na

temelju uoene zakonitosti predvidjeti daljnja kretanja i opti razvoj. S obzirom da se kretanje iskazuje prosjenim vrijednostima, moe se rei da je trend dinamika srednja vrijednost.

Kod dinamikih vremenskih serija esto se pokuava na pogodan analitiki nain izraziti tendencija razvoja pojave u vremenu

Vremenska se serija Y uobiajeno predstavlja kao zbir nekoliko komponenti:

Y = T + C + S + R

T oznaka za dugoronu tendenciju razvoja pojave u vremenu (trend komponenta)

C ciklika komponenta kojom su izraena odstupanja od trenda koja se pripisuju

optim poslovnim i ekonomskim uslovima

S sezonska komponenta kojom se opisuju fluktuacije vremenskog niza koje se

ponavljaju u odreenim razdobljima

R rezidualna komponenta koja se moe pripisati nepredvidivim rijetkim dogaajima

Linearni trend

Linearni trend pokazuje tendenciju kretanja pojave gdje se u razliitim vremenskim razdobljima javlja razlika koja je konstantno ista. Ukoliko pojava pokazuje u istim

vremenskim razdobljima priblino isti apsolutni pad ili rast, kretanje je priblino linearno.

Opti oblik funkcije linearnog trenda je:

bxaYc ,

8

gdje su:

x - nezavisna varijabla (vrijeme)

Yc zavisna varijabla, iskazana vrijednost trenda (pojava)

a , b parametri trenda, a na kom mjestu prava sijee y-osu; b ocjena , najvanija u

istraivanju tendencije kretanja neke pojave.

Parametar b je promjena u jednoj vremenskoj jedinici, u n - toj jedinici ova pojava sadru n puta tu istu promjenu. Parametar b pokazuje prosjean apsolutni porast pojave u

posmatranom periodu.

Parametre a , b odreujemo iz sistema jednaina:

y = na + b x

xy = a x + b x2.

Dobijemo da je:

a =

y x2 - x

xy

N x2 - (x)2

b = N xy-xy

N x2 - (x)2

[odnosno,

1) ako je ishodite koordinatnog sistema na poetku vremskog razdoblja, imamo da je:

bxYa

bxk

xa

xxx

yxyxb

i

ii

iii

2

2) ako je ishodite koordinatnog sistema u sredini vremskog razdoblja:

Yk

ya

x

yxb

i

i

ii

2

parametar a jednak je visini ordinate u ishoditu i njegova se vrijednost mijenja u zavisnosti s

promjenom ishodita parametar b koeficijent smjera (nagib), pokazuje prosjenu veliinu za koju se mijenja ordinata ako se x promjeni za jedinicu (uvijek je isti)].

9

Dakle, ako se npr. na osnovi grafikog prikaza pojave Y zakljui da se pojava linearno mijenja u vremenu, pravac trenda s procijenjenim parametrima je kao kod linearne regresije.

Ocjena reprezentativnosti izraunatog trenda provodi se na isti nain kao ocjena reprezentativnosti linearne regresije.

Transformacija godinje jednaine u mjesenu za intervalni niz: xba

Yc14412

Transformacija godinje jednaine u mjesenu za trenutani niz: xb

aYc12

Stepen reprezentativnosti linearnog trenda utvruje se apsolutnim i relativnim mjerama reprezentativnosti.

Apsolutne mjere su:

varijansa ( 2 ) i

standardna devijacija (

k

YY cin

2

)

Yi je lan vremskog niza za razdoblje i, Yc je trend vrijednosti razdoblja c, k-broj vremenskih grupa.

Koeficijent varijacije (Vn) je relativna mjera: 100*Y

V nn

to je standardna devijacija i koeficijent varijacije manje vrijednosti to je trend reprezentativniji.

Krivolinijski trend

Kad pojava ne pokazuje uvijek priblino isti porast ili pad, radi se o krivolinijskom kretanju, obino oblika parabole 2. stepena:

2cxbxaYc .

Exponencijalni trend

Kada lanovi vremenskog niza rastu ili padaju za priblian relativni iznos (postotak), analiza se vri exponencijalnom funkcijom.

x

c ABY .

Ishodite na poetku:

BxN

yA

xxx

yxyxB

i

ii

iii

loglog

log

logloglog

2

Ishodite u sredini:

10

N

yA

x

yxB

i

i

ii

loglog

loglog

U parametru B sadrana je prosjena stopa pada ili rasta pojave u jedinici vremena :

100*)1( BS [%].