SVEUILITE U ZAGREBUFakultet prometnih znanosti

MEHANIKA II

Autorizirana predavanja

Prof. dr. sc. eljko Marui

2014.

1. UVOD2. UVOD U KLASINU MEHANIKU2.1. NEWTONOVI AKSIOMI OSNOVNI AKSIOMI MEHANIKE2.2. SILA2.3. MASA I TEINA3. KINEMATIKA4. KINEMATIKA ESTICE4.1. PRAVOCRTNO GIBANJE4.1.1. PRAVOCRTNO GIBANJE KONSTANTNOM (STALNOM) BRZINOM4.1.2. PRAVOCRTNO GIBANJE KONSTANTNOM (STALNOM AKCELERACIJOM4.1.3. POSEBNI ZADACI S PRAVOCRTNIM GIBANJEM4.1.4. HARMONIJSKO TITRANJE4.2. KRIVOCRTNO GIBANJE4.2.1. JEDNOLIKO GIBANJE PO KRUNICI4.2.2. PRIKAZIVANJE GIBANJA POMOU POLARNIH KOORDINATA4.2.3. PRIKAZIVANJE GIBANJA POMOU CILINDRINIH KOORDINATA4.2.4. PRIKAZIVANJE GIBANJA POMOU SFERNIH KOORDINATA5. KINEMATIKA KRUTOG TIJELA5.1. TRANSLACIJA5.2. ROTACIJA5.3. RAVNINSKO (PLANARNO) GIBANJE5.3.1. ODREIVANJE BRZINE5.3.1.1. TRENUTNI POL BRZINA5.3.2. ODREIVANJE UBRZANJA5.3.2.1. METODA PLANA BRZINA I UBRZANJA5.3.3. KOTRLJANJE BEZ KLIZANJA I RAVNINSKA GIBANJA KOLOTURA5.4. SFERNO GIBANJE5.5. SLOENO GIBANJE ESTICE6. DINAMIKA7. DINAMIKA ESTICE7.1. D'ALEMBERTOV PRINCIP7.1.1. CENTRIPETALNA I CENTRIFUGALNA SILA7.2. MEHANIKI RAD I SNAGA7.2.1. SNAGA7.3. ENERGIJA7.3.1. MEHANIKA ENERGIJA7.3.2. ZAKON OUVANJA MEHANIKE ENERGIJE7.3.3. ZAKON KINETIKE ENERGIJE7.4. IMPULS SILE, KOLIINA GIBANJA I ZAKON KOLIINE GIBANJA8. SUDARI9. DINAMIKA KRUTOG TIJELA9.1. DINAMIKI MOMENTI TROMOSTI (INERCIJE)9.1.1. MOMENTI TROMOSTI ZA PARALELNE OSI STEINEROVO PRAVILO9.2. TRANSLACIJA9.3. ROTACIJA9.3.1. KINETIKA ENEGIJA I ZAKON KINETIKE ENERGIJE ZA ROTACIJU9.4. PLANARNO (RAVNINSKO) GIBANJE TIJELA9.4.1. KINETIKA ENERGIJA I ZAKON KINETIKE ENERGIJE ZA PLANARNO GIBANJE

1. 2

2. UVOD

Ovaj je nastavni materijal namijenjen je studentima preddiplomskog studija Fakulteta prometnih znanosti, kolegij Mehanika II.

Mehanika je najvea i najstarija od osnovnih grana fizike, a pojam je starogrkih korijena (stroj, naprava, sprava). To je znanost o mirovanju i gibanju pod djelovanjem sila, dakle prouavaju se ope zakonitosti uzajamnog djelovanja izmeu tijela i sile, uzimajui u obzir gibanje tijela i ravnotea sila.

Prouava najjednostavnije oblikegibanja, odnosno promjene poloaja materijalnih tijela u prostoru ovisno o vremenu, u odnosu na neki referentni sustav. Gibanje je promjena poloaja tijela u odnosu na neki referentni sustav.

Zbog pojednostavljenja, u tehnici se esto gibanje dijeli na gibanje tijela i gibanje estice. Tijelo posjeduje masu i volumen, dok je estica materijalna toka (ima masu, a volumen joj je jednak nuli).

esto se gibanje tijela moe aproksimirati gibanjem estice. Ako su dimenzije tijela malene u odnosu na promatrano gibanje, moemo ih zanemariti. Problemi s esticom lake su rjeivi nego oni s tijelom.

PODJELA GIBANJA

GIBANJA ESTICE

pravocrtno krivocrtno sloeno

GIBANJA TIJELA

translacija rotacija ravninsko (planarno) sferno sastavljena gibanja ope (slobodno)

Mehanika se moe podijeliti na:

klasinu relativistiku kvantnu

Klasina mehanikaProuava materiju i pojave pri brzinama mnogo manjim od brzine svjetlosti. Pri malim brzinama masa ostaje nepromijenjena, a prostor i vrijeme su apsolutni.

Relativistika ili moderna mehanikaIzuava materiju i pojave pri brzinama do ukljuivo brzine svjetlosti.Poveanjem brzine poveava se masa tijela, vrijeme za tijelo koje se giba protjee sporije, a dimenzije tijela koje mjeri nepomini promatra se skrauju.Masa i energija zakrivljuju prostor i usporavaju protjecanje vremena.Einsteinova formula za pretvorbu mase u energiju i obrnuto:

Kvantna mehanikaOpisuje ponaanje subatomarnih estica (protoni, neutroni, elektroni, kvarkovi, neutrini...).

Energija se prenosi kvantima - minijaturnim paketiima energije.

Procese i pojave u fizikalnim istraivanjima opisujemo fizikalnim veliinama.

Fizikalna veliina je mjerljivo svojstvo nekog sustava. Moe biti skalarna ili vektorska.

skalarna fizikalna veliina u potpunosti je odreena samo jednim podatkom iznosom ili veliinom. Primjeri: masa, vrijeme, temperatura, rad, energija. vektorska fizikalna veliina odreena je s etiri podatka:

iznosom pravcem djelovanja orijentacijom na pravcu hvatitem

Primjeri: brzina, ubrzanje, sila, moment sile, naprezanje...

OSNOVNE MJERNE JEDINICE PREMA MEUNARODNOM SUSTAVU

Fizikalna veliinaUobiajena oznaka veliineNaziv mjerne jediniceOznaka mjerne jedinice

duljinal, smetarm

masamkilogramkg

vrijemetsekundas

jakost elektrine strujei, IamperA

temperaturat, TkelvinK

jakost svjetlostiIkandelacd

koliina tvariMmolmol

NEKEIZVEDENE MJERNE JEDINICEFizikalna veliinaUobiajena oznaka veliineNaziv mjerne jediniceOznaka mjerne jedinice

brzinav-

akceleracijaa-

silaF, PNewton

radWJoul

energijaEJoul

snagaPWatt

naprezanje, tlakp, , Pascal

moment sileM-

PREDMETCI DECIMALNIH MJERNIH JEDINICAPredmetakOznakaVrijednostPredmetakOznakaVrijednost

dekadadecid

hektohcentic

kilokmilim

megaMmikro

gigaGnanon

teraTpikop

2. UVOD U KLASINU MEHANIKU

Osnovne grane klasine mehanike:

Statika - znanost o ravnotei sila koje djeluju na tijelo ili na sustav tijela. Ravnotea moe biti statika ( ) i dinamika ( ).

Kinematika - prouava gibanja neovisno o uzrocima.

Dinamika - povezuje statiku i kinematiku, te prouava gibanja pod djelovanjem sila kao uzrocima gibanja.

2.1. NEWTONOVI AKSIOMI OSNOVNI AKSIOMI MEHANIKE

I Newtonov aksiom - princip tromosti (inercije ili ustrajnosti)

Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu sve dok ga neka vanjska sila ne prisili da to stanje promijeni.

II Newtonov aksiom - opisuje ponaanje tijela kad na njega djeluje vanjska sila

Promjena brzine (akceleracija) proporcionalna je sili koja djeluje na tijelo, zbiva se na pravcu djelovanja sile i iste je orijentacije kao i sila.

Konstanta proporcionalnosti sile i akceleracije je masa.Ako je rezultanta svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo razliita od nule ( ), tijelo e promijeniti brzinu ( ).

III Newtonov aksiom - aksiom akcije i reakcije, opisuje meudjelovanje dvaju tijela

Dva tijela djeluju jedno na drugo silama koje su po iznosu jednake, nalaze se na istom pravcu i suprotno (protivno) su orijentirane (usmjerene).

Tijelo A djeluje na tijelo B silom istog iznosa i suprotne orijentacije u odnosu na silu kojom tijelo B djeluje na tijelo A.Ove dvije sile nazivaju se akcija i reakcija.

2.2. SILA

Sila je meusobno djelovanje tijela.Sila je vanjski uzrok promjene stanja tijela. Moe uzrokovati akceleraciju i/ili deformaciju tijela.Vektorska je veliina, pa je odreena svojim iznosom, pravcem djelovanja, orijentacijom na pravcu i hvatitem.

FUNDAMENTALNE SILE

1. Gravitacijska najslabija, ali djeluje na velike udaljenosti i privlai sve.

2. Elektromagnetska - mnogo jaa od gravitacijske (oko puta) i djeluje na velike udaljenosti, ali ako se promatra dio materije mnogo vei od atoma tada se elektromagnetske sile izmeu pozitivnih protona i negativnih elektrona ponitavaju.

3. Jaka nuklearna - oko 100 puta jaa od elektromagnetske, ali djeluje na izuzetno malim udaljenostima (unutar jezgre atoma); dri zajedno kvarkove u protonima i neutronima; dri zajedno pozitivne protone u jezgri atoma, koji se meusobno odbijaju silom veom od jednog N.

4. Slaba nuklearna - oko 1000 puta slabija od elektromagnetske, takoer djeluje samo unutar jezgre.

5. Tamna energija - posljednjih se godina spoznalo da se svemir iri sve bre, a ne sve sporije pod djelovanjem gravitacijske sile.

2.3. MASA I TEINA

Masa (kg) je mjera inercije tijela, odnosno njegovog otpora promjeni brzine.

Teina (N) je sila kojom nebesko tijelo privlai neko drugo tijelo.

gdje je: m masa tijela, a g, ubrzanje sile tee u gravitacijskom polju nebeskog tijela.U naim tehnikim problemima uzet emo da je teina jednaka gravitacijskoj sili tei.

3. KINEMATIKA

Prouava gibanja neovisno o uzrocima

Prouava promjenu poloaja u ovisnosti o vremenu

Prostor i vrijeme su osnovni pojmovi kinematike

U naim tehnikim problemima brzine su mnogo manje od brzine svjetlosti, pa se vrijeme i prostor smatraju apsolutnim veliinama

Gibanje se obino promatra u odnosu na nepomini koordinatni sustav vezan uz nepominu povrinu planeta Zemlje

Pri gibanju tijela toke opisuju razliite krivulje koje se nazivaju putanjama ili trajektorijama

U sluaju kad se dimenzije tijela s obzirom na promatrani problem mogu zanemariti, dovoljno je poznavati gibanje samo jedne toke tijela

Razlikujemo kinematiku estice (materijalne toke) i kinematiku krutog tijela

Prema obliku putanje, estica se moe gibati pravocrtno ili krivocrtno

U kinematici krutog tijela osnovna su gibanja translacija i rotacija

4. KINEMATIKA ESTICE

Putnja je geometrijsko mjesto svih sila poloaja toke pri gibanju. radij vektor poloaja estice na putanjiZa vrijeme t promijenio se vektor za .Srednja sila ili prosjena brzina je:Ako je vremenski interval t beskonano mali (t = dt), tada je i = d, pa dobijemo trenutnu brzinu:Za vrijeme t promijeni se i vektor brzine za .

Srednje je ubrzanje omjer promjene brzine i vremena t:

Radij vektorom poloaja u potpunosti je odreeno gibanje estice. Brzina i ubrzanje jednostavno se dobiju iz poznate ovisnosti radij vektora poloaja od vremena, .

4.1. PRAVOCRTNO GIBANJE

Za poznavanje pravocrtnog gibanja dovoljno je poznavati ovisnost poloaja od vremena, ; ili .Pravocrtno gibanje je gibanje po pravcu pri emu su vektori brzine i ubrzanja na pravcu gibanja.Ako se ishodite radij vektora poloaja odabere u jednoj toki pravca, onda se ovaj vektor mijenja samo po iznosu, dok mu je pravac uvijek na pravcu gibanja. Tada se poloaj toke na pravcu moe odrediti samo udaljenou od ishodita - s. Ova se udaljenost mijenja s vremenom: s = s (t)

Pravocrtno je gibanje definirano s dvije diferencijalne jednadbe:

Ubrzanje je promjena brzine u vremenu.Brzina je promjena poloaja u vremenu.Pravocrtno se gibanje promatra u odnosu na pravac na kojem je odreeno ishodite, jedinina mjera i pozitivna orijentacija.

Primjetimo da brzinu i ubrzanje piemo bez vektora. Poto se ovi vektori mijenjaju samo poiznosu, piemo ih s pozitivnim ili s negativnim predznakom, ovisno o tome da li su orijentirani u pozitivnom ili negativnom smjeru pravca.

Ako su predznaci brzine i ubrzanje jednaki, estica ubrzava, a ako su suprotni, usporava.

Veliina s je poloaj toke na pravcu, a prijeeni se put obino oznaava sa (ukupni prijeeni put).Poloaj i prijeeni put su jednaki samo ako je gibanje poelo iz ishodita (za t = 0, s = 0) i ako je brzina stalno vea ili jednaka nuli!

Integriranjem diferencijalnih jednadbi se iz poznate akceleracije moe odrediti brzina i poloaj:

Konstante integracije i izraunaju se iz poetnih uvjeta, brzine i poloaja na poetkugibanja.

Jednostruki integral predstavlja povrinu ispod (iznad) krivulje, pa je povrina ispod krivulje u dijagramu akceleracije, u intervalu od do , promjena brzine:

Analogno vrijedi i za dijagram brzine i za promjenu poloaja (prijeeni put) u intervalu od do

4.1.1. PRAVOCRTNO GIBANJE KONSTANTNOM (STALNOM) BRZINOM

Tijelo u jednakim vremenskim intervalima prelazi jednake putoveza , je poetni poloaj!Ako gibanje poinje iz ishodita:

kinematiki dijagram

a