HUSE FATKI

V J E R O V A T N O A I S T A T I S T I K A

P R V I D I O

TEORIJA VJEROVATNOE

SARAJEVO, 2012.

Huse FATKI

VJEROVATNOA I STATISTIKA

PRVI DIO

TEORIJA VJEROVATNOE

PRVI SVEZAK1

1 Ovaj rad je pomognut od strane Plana za podrku istraivanja (Research Support Scheme)

Centralnoevropskog univerziteta, SOROS fondacije-FOND OTVORENO DRUTVO Bosna i

Hercegovina, Potprojekat Grupnog projekta ,,Savremeni problem: matemaikkih nauka* (odgovorni

istraziva prof. dr. Muharem Avdispahi), br. RSS-43/96, od 31.10.1996.

SADRAJ/CONTENTS Strana/Page

1. UVOD U TEORIJU VJEROVATNOE

1.1.Pojam, predmet, poeci i znaaj teorije vjerovatnoe ............................................................ 1

1.2. Stanovita u teoriji vjerovatnoe. Prosta vjerovatnoa i skupne vjerovatnoe ................... 4

1.3. Sluajni dogaaji. Prostor elementarnih dogaaja ............................................................ 5

1.4. Klasina definicija vjerovatnoe a priori (Laplaceova definicija pojma

vjerovatnoe)............................................................................................................................ 8

1.5. Klasina definicija vjerovatnoe a posteriori (statistika definicija pojma vjerovatnoe)... 12

1.6. Jo o prostoru elementarnih dogaaja (O prvom pogledu na teoriju vjerovatnoe,

jednako mogui dogaaji, prostor uzoraka i vjerovatnoa dogaaja) ......................

1.7. Neke osnovne teoreme klasine teorije vjerovatnoe ..................................................

1.8. Nezavisni dogaaji. Multiplikativna teorema u sluaju kad su dogaaji nezavisni .........

1.9. Uslovna (relativna) vjerovatnoa. Multiplikativna teorema u sluaju kad su dogaaji

zavisni ..................................................................................................................................

1.10. Formula totalne (potpune, pune) vjerovatnoe ..............................................................

1.11. Bayesova formula ...............................................................................................................

1.12. Geometrijska definicija pojma vjerovatnoe ....................................................................................

2. OPSTA TEORIJA VJEROVATNOE

2.1.Aksiomatska definicija pojma vjerovatnoe ................,.....................................................,...........

2.2. Neke osnovne teoreme opte teorije vjerovatnoe ................................................................

2.3. Diskretni vjerovatnosni prostor ..............................................................................................

2.4. Uslovna vjerovatnoa i nezavisnost dogaaja u optem prostoru vjerovatnoe .................

3. SLUAJNE VELIINE

3.1. Pojam sluajne veliine ....................................................................:....................

3.2. Sluajne veliine na konanom prostoru vjerovatnoe (Uvodni pojmovi, funkcija

vjerovatnoe, oekivanje i varijansa) ................................................................

3.3. Funkcije distribucije ............................................................................................................

3.4. Klasifikacija sluajnih veliina ............................................................................................

3.5. Vanije klase distribucija ....................................................................................................

3.6. Jo o binomnoj distribuciji. Bernoullijevi pokuaji (Bernoullijeva ema)............................

LITERATURA ........................................................................................................................

1. UVOD U TEORIJU VJEROVATNOE

1.1. Pojam, predmet, poeci i znaaj teorije vjerovatnoe

U novije vrijeme teorija vjerovatnoe (teorija vjerovatnosti) jedno je od najvanijih i najsadrajnijih podruja savremene matematike, koje se mnogo primjenjuje i u drugim matematikim disciplinama, posebno u (matematikoj statistici, kao i u raznim podrujima fizikalnih i biolokih nauka, tehnike (elektrotehnike, saobraaja i dr.), genetike, u izuavanju razliitih sluajnih pojava, njihovih zakonitosti, njihove prirode i uinka, i drugdje. Teorija vjerovatnoe, a i teorije koje se zasnivaju na pojmovima vjerovatnoe odnosno, koje crpe osnovne ideje iz teorije vjerovatnoe, vrlo su znaajne grane matematike i imaju primjenu u irokom podruju savremenih djelatnosti. Manje je poznata injenica da se pojmovi vjerovatnoe sve vie koriste i u drutvenim naukama. Stohastike metode, npr., primjenjuju psiholozi u istraivanju procesa uenja. Statistikom teorijom se koriste ekonomisti u ispitivanju nasljednih rizika u raznim poslovnim planiranjima. Teorija igara. vjerovamoa i statistika su vrlo znaajne i u vojnim disciplinama. Spisak svih oblasti u kojima teorija vjerovatnoe i statistika analiza se primjenjuju je suvie dug da bismo ga pokuavali izloiti. Dovoljno je samo istai da su teorija vjerovatnoe, njeni pojmovi, ideje i metode danas vrlo iroko rasprostranjeni i da se procjenjuje da e njihov uticaj u budunosti biti jo daleko vei..

Poznato nam je da su idealne linije i trouglovi, u geometriji ravni, matematiki predstavnici ili ,,matematiki modeli", odgovarajuih fizikih objekata u stvarnom svijetu. Na isti nain moemo, govoriti o matematikim modelima problema iz teorije vjerovatnoe i moemo izuavati te modele slino kao to dokazujemo teoreme u geometriji na osnovu Euklidovih aksioma. Teorija vjerovatnoe je matematika disciplina koja se bavi zakonitostima u sluajnim pojavama, odnosno teorija vjerovatnoe je zasnovana na modelima koji odraavaju pitanja i pojave stvarnoga svijeta, na osnovu odreivanja zakonitosti i predvianja dogaaja. Zapravo moemo rei da je statistika nauka sakupljanja i analiziranja podataka, a teorija vjerovatnoe-matematika struktura na kojoj su zasnovane statistike metode. Teorija vjerovatnoe spada u red najmlaih grana matematike. U starom vijeku antiki narodi nisu

poznavali teoriju vjerovatnoe. Kao i u mnogim drugim disciplinama i vjerovatnoa je nastala iz motiva

koji nisu bili vezani za nauku, niti su imali ikakve veze sa njom. Takoe postoji veliko arenilo meu

gleditima matematiara o pitanju ko i kada je prvi zapoeo prouavanje problema vjerovatnoe

na sistematian nain. Prvi radovi evropskih matematiara koji su sadravali osnovne ideje teorije vjerovatnoe pojavili su se u XVI i XVII vijeku i bili u vezi sa odreivanjem ansi

dobitka u igrama na sreu. Takve radove moemo nai kod Kardana, Paskala i Fermaa.

Sljedea etapa se vezuje za Jakoba Bernulija. Teorema koju je on dokazao, a koja se danas

naziva Bernulijev zakon velikih brojeva, predstavljala je teoretsku osnovu tada razmatranih

injenica. Znaajan doprinos razvoju teorije vjerovatnoe dali su takode Muavr, Laplas, Gaus,

Puason, kao i ebiev, Markov i mnogi drugi naunici. Aksiomatsko zasnivanje teorije

vjerovatnoe je rezultat radova Kolomogorova iz tridesetih godina XX vijeka.

Gerolamo Cardano (latinski: Hieronymus Cardanus) (1501-1576) je italijanski

matematiar, filozof i ljekar. U mladosti se bavio iskljuivo medicinom, da bi kasnije postao

profesor matematike u Bolonji i Milanu. Za Kardana se obino vezuju formule za odreivanje

korijena jednaine treeg stepena, koje je objavio 1545, mada je taj rezultat prvi dobio Nikolo

Tartalja (Niccol Fontana Tartaglia), takode italijanski matematiar tog doba. Kardano je

1526. godine napisao knjigu Liber de ludo aleae" ("Book on Games of Chance" ), koja je

objavljena tek 1663. godine, o igrama sa kockicama i sistematski obradio raunanje

vjerovatnoa dogadaja u tim igrama (ona sadri prvi sistematian tretman vjerovatnoe).

1

http://en.wikipedia.org/wiki/Niccol%C3%B2_Fontana_Tartagliahttp://en.wikipedia.org/wiki/Niccol%C3%B2_Fontana_Tartaglia

2 U mnogim dostupnim izvorima (udbenici, nauni i struni radovi i dr.) navodi se da je 1654.

godine poeo razvoj teorije vjerovatnoce. Ovaj datum zapravo oznaava poetak vrlo opsene

korespondencije izmeu dvojice velikih francuskih matematiara Blejza Paskala i Pjera Ferme, u

kojoj su razmjenjivali miljenja o nekim problemima kockanja2 koje je Pascalu postavio pariki

graanin Sevalie /Sevaljer/ d'Mere' (Chevalier de Mere). Iz ove prepiske potiu mnogi poetni rezultati

iz teorije vjerovatnoe. Pascal i Fermat su pokuali da utvrde neke zakonitosti koje vladaju u hazardnim igrama. Oni su tako savjesno prihvatili ovaj posao, da su ubrzo i sami zapazili da se ovdje

otvara jedan potpuno novi pristup prouavanju mnogih dogaaja iji se tok ne moe tano predvidjeti

i koji se pod odreenim okolnostima mogu ali ne moraju dogoditi.Takvi dogaaji nazivaju se

sluajnim, za razliku od onih dogaaja iji se tok zbivanja moze tano predvidjeti (tzv.

deterministikih dogaaja odnosno deterministikih pojava) jer se ovi pokoravaju odreenim

zakonima uzrone povezanosti u drugom obliku sa nekim drugim dogaajima ili faktorima.

Razvoj teorije vjerovatnoe u XVII vijeku, osim za Pascala i Fermata, vezan je i za ime holandskog

matematiara Hajgensa (Huyghens, 1625-1695). No, prvi znaajniji rezultati u teoriji vjerovatnoe

postignuti su u XVIII vijeku i poetkom XIX vijeka, a vezani su za imena Jakoba Bernoullija, De

Moivrea, Pierre-Simon de Laplacea, Poasona (S. D. Poisson, 1781-1840, francuski fiziar i

matematiar) i dr.

Medu prvim njemaki matematiar Carl Friedrich Gauss (1777-1855) doprinio je mnogo u praktinoj primjeni teorije vjerovatnoe. Ruski matematiari P.L. ebyshev (1821 -1894), A. A. Markov (1856-1922) i M. Ljapunov (1857-1918) dali su krupne doprinose u razvoju klasine teorije vjerovatnoe. Sovjetski matematiari A. N. Kolmogorov, Sergej Natanovi Bernstein (1880 -1968), A. J. Hinin i B. V. Gnedenko, dali su znaajne doprinose u savremenom razvoju teorije vjerovatnoe.

Zanimljiva je injenica da se teorija vjerovatnoe gotovo tri vijeka razvijala bez strogo utvrenih aksioma. Veina neuspjelih pokuaja strogog zasnivanja teorije vjerovatnoe sastojala se u tome da se pojam vjerovatnoe definira pomou intuitivno bliskog pojma relativne frekvencije. Opteprihvaenu aksiomatiku uveo je u teoriju vjerovatnoe godine 1933. veliki ruski matematiar Andrej Nikolajev Kolmogorov. Njegova aksiomatika obuhvatala je sve dotadanje rezultate iz teorije vjerovatnoe, a takoe se pokazalo da ona adekvatno reprezentira nae prirodne ideje, odnosno intuitivne predodbe o vjerovatnoi, tj. da postoji veza izmeu vjerovatnoe i relativne frekvencije. Osim toga Kolmogorovljeva aksiomatika je dobra osnova za razvoj novih sadraja teorije vjerovatnoe. Poslije uvoenja ove aksiomatike, teorija vjerovatnoe je doivjela izuzetan razvoj i danas je jedna od vodeih matematikih disciplina.

Napomenimo da je jedan od prvih problema u teoriji vjerovatnoe (kojeg je 1654. godine /to se najee uzima za poetak

teorije vjerovatnoe/ De Mere postavio Pascalu) bio:,,Da li je preporuljivo kladiti se da e u 24 uzastopna bacanja para igraih kocaka

bar jednom pasti dvostruka estica?" Blaise Pascal (1623 - 1662), francuski matematiar, fiziar i filozof. U porodici njegovih roditelja su se redovno sastajali matematiari i fiziari, to je kasnije preraslo u Parisku akademiju nauka. Prije Paskala niko od

matematiara nije raunao verovatnoe dogaaja na nain na koji se to i sada radi. Meu mnogim rezultatima koji

se vezuju za Paskalovo ime je i poznati Paskalov trougao, ema u kojoj su zapisani binomni koeficijenti. U

okviru evropske matematike to je bila znaajna novost i vaan rezultat. Interesantno je meutim da su Kinezi

poetkom XIV vijeka ve imali takvu emu.

Pierre cle Fermat (1601-1665), francuski pravnik i matematicar (po zanimanju pravnik, matematikom se bavio iz hobija). Bavio se teorijom brojeva, geometrijom, algebrom i teorijom verovatnoe. Njegova prepiska

sa Blejzom Paskalom je osnov teorije verovatnoe.

3

Vjerovatnoa i statistika postale su vrlo opirne matematike discipline i dijele se na vise raznih oblasti, odnosno novih grana, kao to su:

-Klasina i opta teorija vjerovatnoe

-Praktina teorija vjerovatnoe

-Matematika statistika

-Statistiko modeliranje

-Teorija masovnih opsluivanja

-Teorija pouzdanosti

-Stohastiki procesi

-Teorija informacija, Statistika kontrola i dr.

Neke od najnovije oblasti teorije vjerovatnoe su Teorija vjerovatnosnih metrikih i ultrametrikih prostora, Teorija vjerovatnosnih normiranih prostora, Teorija distribucionog haosa i dr.

Kao teorija i kao praktina matematika nauka, u posljednje vrijeme, teorija vjerovatnoe postie ubrzani razvoj i sve vee primjene u veini nauka (kako pnrodnih tako i tehnikih, biotehnikih i drutvenih nauka).

Na emu se zasniva teorijski i praktian znaaj teorije vjerovatnoe?

Pri analiziranju, opaanju i eksperimentu uvijek se trai uzrona veza izmeu kompleksnih uslova, recimo uslova () , i dogaaja D u cil ju odreivanja matematikih zakona koji vae za dogaaj D. U veini sluajeva ne moemo uspostaviti sigurnu vezu izmeu kompleksnih (sloenih)

uslova() i dogaaja D. Naime, postoji jo uvijek i uslovi, recimo (), koje mi ne znamo, a od kojih

takoe zavisi nastajanje dogaaja D. Teorija vjerovatnoe je, dakle, i matematiki aparat za prouavanje masovnih pojava s nepoznatim kompleksnim uzrokom. Takve pojave zovu se

stohastike pojave. Rije stohastian je grkog porijekla a znai ,,koji se nasluuje", pa se ta rije

upotrebljava umjesto rijei ,,vjerovatnoa". Gotovo u svim masovnim pojavama umijean je stohastiki

elemenat i time se objanjava principijelna mogunost teorije vjervatnoe za teoriju prouavanja

stohastikih pojava.

---------------------------------------- Jakob Bernuli I (1654-1705), vajcarski matematicar (holandskog porijekla). Njegov doprinos matematici

obuhvata razvoj analize beskonano malih velina, teorije redova, varijacionog rauna i teorije vjerovatnoe. U

teoriji verovatnoe Jakob Bernuli je dokazao jedan specijalan sluaj zakona velikih brojeva i konstruisao model za

opisivanje niza nezavisnih eksperimenata, tzv. Bernulijeva, ili binomna, ema.Otac Leonarda Ojlera, uvenog

matematiara, bio je uenik Jakoba Bernulija. Mnogi lanovi porodice Bernuli bavili su se matematikom: Johan

Bernuli I, Nikola BernuliI, Nikola Bernuli II, Danijel Bernuli, Johan Bernuli II, Johan Bernuli III, Jakob

Bernuli II.

Abraham de Moivre ((1667-1754), engleski matematicar, roden u Francuskoj. Dokazao je vanu teoremu iz teorije vjerovatnoe, i ta teorema postoji u svim vanijim udbenicima iz ove oblasti. U teoriju verovatnoe je

uveo pojam sluajnog dogadaja. Osim teorije vjerovatnoe bavio se teorijom redova i teorijom kompleksnih

brojeva.

Pierre-Simon de Laplace (1749-1827), francuski matematiar, astronom i fizicar. Uio je u koli benediktinskog monakog reda, ali je kasnije postao ateista. Njegovi rezultati su fundamantalni u matematici,

eksperimentalnoj i matematikoj fizici i astronomiji. Razvio je i sistematizovao rezultate Paskala, Fermaa,

Bernulija, dokazao teoremu koja se naziva Muavr-Laplasova teorema. Uveo je i pojam matematikog oekivanja. Njegova knjiga Analitika teorija vjerovatnoe je jo za

njegovog ivota imala tri izdanja.

4

Vjerovatnoa je u stvari dobila svoje mjesto u matematici i u nauci uopte kada je poela

njena matematika obrada, kada je na toj osnovi izgradeno nauno saznanje da se mnoge pojave i

procesi, koji su stohastikog karaktera, mogu nauno istrazivati bez krutih matematikih formula.

Takve pojave nauka procjenjuje, koristei pri tome sve savrenije metode da te procjene budu to priblinije, sto tanije. Greke koje se pri tome javljavju ili nastaju u manjoj ili veoj mjeri, po prirodi

stvari, nisu vie nepoznate i neuhvatljive za nauku. U svakom istraivanju moemo unaprijed da se

opredijelimo za odreen stepen tog odstupanja ili greke, zavisno od cilja istraivanja i od stepena

naunosti kojeg pri istraivanju elimo da postignemo.

Pojam i raun vjerovatnoe uao je i u na svakodnevni ivot. Termini kao to su: vjerovatno, nevjerovatno, ,,moda", sigurno itd. nisu nita drugo nego naa procjena oekivanja dogaaja sa vie ili manje osnova i saznanja. Ali da bi se pravilno sluili tim terminima, potrebno je da znamo ta oni znae, kada se mogu upotrijebiti i kako ih treba koristiti da bismo vjerno izrazili ili saoptili ono sto elimo, a da pri torn ne bi upali u greku.

1.2. Stanovita u teoriji vjerovatnoe. Prosta vjerovatnoa i skupne vjerovatnoe

Po pitanju koju vrstu problema rjeava teorija vjerovatnoe, uobiajena su dva stanovita: ,,objektivno" i ,,lino".

Gledano sa objektivnog stanovita, koje je popularnije od linog, teorija vjeovatnoe se moe primjenjivati samo na one pojave i dogaaje koji se mogu ponavljati vie puta pri istim uslovima. Prema torn stanovitu moe se govoriti o vjerovatnoi u problemima kao to su bacanje novia ili kocke. Oni koji zastupaju ovo gledite ne ele pripisivati neku vjerovatnou pojavama koje se dogaaju samo jedanput. (npr. oni odbijaju da govore o vjerovatnoi udaje njihove sestre za mladia po imenu Mahmud).

Zastupnici tzv. ,,linog" gledita smatraju da je vjerovatnoa izraz linog uvjerenja u odreenoj propoziciji i vjerovatnou primjenjuju na sve probleme koje obuhvata objektivno gledite, ali i na veliku klasu drugih problema koji se sa prvog stanovita ne uzimaju u obzir. (Npr., teoretski gledano, zastupnici linog gledita smatraju da se moe govoriti o vjerovatnoi udaje njihove sestre za mladia po imenu Mahrnud.).

Razliiti autori daju razne podjele vjerovatnoe. Najjednostavnija podjela vjerovatnoe, s obzirom na namjenu i mjesto vjerovatnoe u statistici, je podjela na prostu vjerovatnou i skupne vjerovatnoe.

Prostu vjerovatnou imamo u sluajevima kad se radi o masi prostih dogaaja, tj. onih dogaaja koji ne zavise i nisu uslovljeni nekim drugim dogaajima. Takav sluaj imamo kad se radi o masi dogadaja, medu kojim ima odreen broj onih za koje kaemo da su povoljni (oekivani), a zatim broj onih za koje kaemo da su nepovoljni (ne elimo njihovo deavanje).

Skupne vjerovatnoe su vjerovatnoe u svim onim sluajevima kada se pomou rauna vjerovatnoe (odnosno formula i pravila teorije vjerovatnoe) iznalaze razultati odnosa dvije ili vie grupa (elementarnih) dogaaja, bilo da su ti dogaaji meusobno zavisni ili nezavisni, bilo da su uslovljeni jedni drugim ili ne.

U kategoriju skupnih vjerovatnoa spadaju: parcijalna vjerovatnoa, totalna vjerovatnoa, sloena vjerovatnoa, uslovna vjerovatnoa, relativna vjerovatnoa, vjerovatnoa uzorka, vjerovatnoa ponovljenih pokuaja, vjerovatnoa skupa i vjerovatnoa izbora u uzorak.

5

Parcijalna vjerovatnoa izraunava se u onim sluajevima kada imamo vie dogaaja ali se svaki od njih moe posebno posmatrati, odnosno kada se za svaku vrstu tih dogaaja mogu izraunati odvojeno vjerovatnoe nastajanja ili nenastajanja. Totalna vjerovatnoa predstavlja oblik vjerovatnoe kod koga se deavanje nekog dogaaja, recimo A, povezuje sa deavanjem druga dva dogaaja, recimo B i C. Od oblika meusobne veze i uslovljenosti ovih dogaaja zavisi i metod izraunavanja (koji moe biti uz primjenu teoreme mnoenja /multiplikativne teoreme/ ili uz primjenu teoreme sabiranja

/aditivne teoreme/).

Napomenimo (kasnije e se to pitanje detaljno obraditi) da za dva dogaaja kaemo da su nezavisni ako

nastajanje jednog od njih ne zavisi od nastajanja drugog. Zavisni dogaaji su oni kod kojih deavanje ili

ostvarivanje jednog zavisi od prethodnog ostvarenja ili deavanja drugog. Dogaaji koji se iskljuuju

(disjunktni su, ne presijecaju se) su oni dogaaji kod kojih nastajanje ili nenastajanje jednog dogaaja iskljuuje

nastajanje ili nenastajanje drugog.

Dogaaji koji se deavaju ili ne deavaju po odreenom redu su oni dogaaji kod ijeg deavanja postoji, poznat je ili moe da postoji ili ne postoji red njihovog nastajanja.

Uslovna vjerovatnoa izraunava se onda kada nastajanje nekog dogaaja A predstavlja prethodno deavanje nekog drugog dogaaja B.

Relativna vjerovatnoa predstavlja odnos pojedinih vjerovatnoa prema sumi drugih pojedinih vjerovarnoa srodnih dogaaja koji su rneusobno vezani nekom vezom, pri emu se taj odnos izraunava kao prioritet po nastajanju ili oekivanju nastajanja.

1.3. Sluajni dogaaji. Prostor elementarnih dogaaja

Svaka nauka polazi od nekog skupa osnovnih pojmova i na osnovu njih dalje se razvija (npr., u

elementarnoj (euklidskoj) geometriji se polazi od osnovnih pojmova - taka, prava, ravan). Slino i u teoriji

vjerovatnoe se polazi od nekih osnovnih pojmova: pojava. U teoriji vjerovatnoe izuavamo sluajne

pojave i to izuavaanje je vezano za neki eksperiment. U tzv. raunu vjeorvatnoe (tj. u elementarnom

prilazu pojmovima vjerovatnoe), esto se kae da se pojmovi pokus (opit, eksperiment, ogled) i

dogaaj ne definiu. Kae se da se svaki opit zavrava nekim ishodom ili dogaajem.

Pod sluajnim pokusom ili sluajnim eksperimentom podrazumijeva se takav pokus iji ishodi, tj. rezultati nisu jednoznano odreeni uslovima u kojima izvodimo pokus. Teorija vjerovatnoe je matematika disciplina iji je zadatak formiranje i prouavanje matematikog modela sluajmh pokusa.

Kod svakog pokusa osnovno je da se ustanovi odnos izmeu uzroka i posljedice. Samo poznavanje tog odnosa omoguuje definisanje uslova pokusa i predvianje ishoda pri svakom realiziranju tih uslova. Vezano za to, pokuse dijelimo u dvije osnovne grupe: deterministike i sluajne pokuse. Kod deterministikih pokusa ishod je jednoznano odreen uslovima pokusa. Primjer deterministikih pokusa je zagrijavanje vode pod normalnim atmosferskim pritiskom na temperaturu viu od 100C (rezultat je promjena agregatnog stanja vode).

Pri prouavanju sluajnih pokusa u teoriji vjerovatnoe vano je pretpostaviti da je kompleks uslova u kojima se pokus izvodi tano odreen u smislu da svaka realizacija tog kompleksa uslova omoguuje da se pokus moe ponoviti tako da je ponovljeni pokus identian datom pokusu. Dakle, doputamo mogunost ponavljanja datog sluajnog pokusa proizvoljno konano mnogo puta.

Prilikom razmatranja pojedinog sluajnog pokusa potrebno je na poetku dogovoriti se o tome ta se smatra moguim ishodom tog pokusa.

6

Svaki sluajni pokus zavrava se nekim ishodom ili dogaajem. Rezultati sluajnih pokusa zovu se sluajni dogaaji (ili krae dogaaji). Dakle, sluajni dogaaj je svaka injenica koja se kao rezultat izvoenja nekog pokusa desi (dogodi) ili da se ne desi (ne dogodi). Dogaaji se najee oznaavaju sa velikim slovima (sa ili bez indeksa) latinice (npr., A, B, C, ...; 1 2, , ...A A ).

Primjer 1. Pokus se sastoji u bacanju novia uvis iznad ravne plohe. Napomenimo da se pod noviem u teoriji vjerovatnoe podrazumijeva idealan homogen novi tako da kad se baci mogu da se realizuju jedina dva mogua dogaaja (da padne na grb ili pismo tj, nakon to je novi pao na plohu, na njegovoj gonjoj strani je grb (G ) ili pismo (P ), jer, na osnovu iskustva, razumno je pretpostaviti da druge mogunosti ne dolaze u obzir (npr., da padne na rub).

Primjer 2. Neka se pokus sastoji u bacanju igrae kocke. I ovdje kocku zamiljamo da je idealno napravljena i sa idealnim stranama (1,2, ...,6 - broj taaka). Moe se desiti jedan od 6 sluajeva. Pri tome ne moemo predvidjeti koji e to sluaj biti.

Razlikovaemo sloene (razloive) dogaaje i elementarne (nerazloive) dogaaje. Naime, u optem sluaju kad izvodimo eksperiment onda kao rezultat tog eksperimenta moe da se desi jedan i samo jedan dogaaj, od vie njih eventualno, a pri tome svaki od tih dogaaja ima istu ansu da se pojavi. Upravo te dogaaje zovemo elementarnim dogadajima. Proizvoljni elementarni dogaaj oznaavat emo esto sa (ili sa {}, u skupovnoj terminologiji), a skup svih elementarnih dogaaja sa , tzv. prostor elementarnih dogaaja. Dakle, prostor je skup svih elementarnih dogaaja koji se mogu dogoditi pri izvoenju nekog pokusa.

Tako, npr., bacanje novia (u primjeru 1 .) je pokus kod kojeg e svaki ishod biti element dvolanog skupa = {P, G}, ali unaprijed ne znamo koji e to element biti.

Elementarni dogaaji se, dakle, ne mogu dogoditi istovremeno, tj. oni se iskljuuju (disjunktni su), dok se sloeni dogaaji mogu dogoditi istodobno, tj. mogu da se uzajamno ne iskljuuju (npr., pri sluajnom pokusu bacanja dviju igraih kocki, ako kao ishod dobijemo (3,3), tada se dogodio i dogaaj ,,suma brojeva na obje kocke je 6" i dogaaj ,,na obje kocke pao je isti broj").

Svaki sloeni dogaaj moemo razloiti na elementarne dogaaje.

Sada emo uvesti pojmove koji e nam trebati u ,,konstrukciji matematike teorije vjerovatnoe. Osnovni polazni objekat u teoriji vjerovatnoe je neprazan skup koji zovemo prostor elementarnih dogaaja i koji reprezentira skup svih ishoda sluajnog pokusa.

Skup i njegove elemente (koje emo zvati i takama skupa ) nadalje emo smatrati da su zadani, tj. oni su osnovni i nedefinisani pojmovi u teoriji vjerovatnoe.

Take (odnosno, jednolane skupove {}) emo zvati elementarni dogaaji.

Prostor elementarnih dogaaja slui modelu idealiziranja sluajnog pokusa u smislu da po definiciji svako

rjeenje pokusa mora dati ishod koji odgovara jednom i samo jednom elementarnom dogaaju, tj. jednoj i samo

jednoj taki u . Dakle, je jednostavno skup taaka (za sada nema matematikih uslova za ).

Primjer 3. Ako novi bacamo jednom, moemo uzeti = {P,G}. Ako novi bacamo dvaput

to je drugi pokus, pa treba drugi , recimo = {PP, PG, GP, GG}.

Primijetimo da istome sluajnom pokusu moemo pridruiti razne prostore elementarnih dogaaja. Npr., ako

jednom bacamo igrau kocku onda je prirodno uzeti = {1, 2, ..., 6}. Ali, ovom pokusu moemo pridruiti drugi

prostor elementarnih dogaaja koji ima samo dva elementa: ,,n je paran" i ,,n je neparan", gdje je n broj koji padne

na kocki. Meutim, ako nas pri datom rjeenju ovog pokusa zanima da li je n 4, ovaj drugi prostor elementarnih

dogaaja nee biti od koristi. Prema tome priroda konkretnog problema koji nas zanima u datom trenutku

odreuje kojim emo se prostorom elementarnih dogaaja koristiti.

7

Prostor elementarnih dogaaja moe biti konaan, tj. moe imati oblik = {1, ..., n}, moe

biti beskonaan ali prebrojiv, tj. = {1, ..., n, ...}, ali moze biti beskonaan i neprebrojiv

(,,neprekidan"), = { |P()}.

Svaka taka (elementarni dogaaj) koja pripada dogaaju A zove se povoljna za A. Dogaaj A dogodit e se u datom vrenju pokusa ako ishodu pokusa odgovara jedna od taaka iz A, tj. taka povoljna za A.

Dakle, na skupu elementarnih dogaaja moemo definisati i druge sloenije dogaaje. Npr., pri opitu

bacanja kocke neka se dogaaj A desi kad padne paran broj, a dogaaj B se desi kad padne broj manji od 5. Tada je

A ={2,4,6}, B ={ 1,2,3,4}.

U skupu elementarnih dogaaja posebno se izdvajaju ova dva dogaaja:

1) Siguran ili pouzdan dogaaj. Cijeli prostor elementarnih dogaaja zove se siguran ili pouzdan dogaaj i on se realizuje kada se realizuje bilo koji od

elementarnih dogaaja, tj. on se mora dogoditi u svakom vrenju opita. Dakle, ako

neki opit a priori izaziva pojavu dogaaja A, onda se taj dogaaj zove pouzdan. Obino

ih oznaavamo sa U.

2) Nemogu dogaaj. Prazan skup zovemo nemogu dogaaj. On se nikada ne desi. Njega ne realizuje ni jedan elementarni dogaaj. Dakle, ako se dogaaj A sigurno ne desi pri datom opitu onda se on zove nemogu dogaaj. Sve nemogue dogaaje oznaavamo

sa ili V.

Dogaaj se, dakle, zove sluajan ako se on moe, a ne mora, pojaviti kao rezultat nekog opita.

Dogaaje moemo okarakterizirati na dva naina: ili tako da navedemo sve njihove take ili tako da opiemo uslove

uz koje e se oni dogoditi. Takou gornjem primjeru imamo A= {2,4,6} ili A={na kocki pao paran broj}.

Definiimo sada operacije sa dogaajima pomou kojih se od datih dogaaja dobivaju svi dogaaji. Za sve dogaaje smatramo da su podskupovi istog prostora elementarnih dogaaja , pa je prirodno operacije nad dogaajima definisati pomou operacija nad odgovarajuim skupovima.

Za dogaaj A kaemo da povlai (implicira, ili A je specijalan sluaj od B) dogaaj B ako je A B . Ako A B i B A onda kaemo da su dogaaji A i B ekvivalentni (ili da su jednaki) i piemo A = B. B A

Za dogaaje A stavimo Ac = \A, tj. Ac je komplement od A. Dogaaj Ac se zove suprotan

(komplementaran) dogaaj od A. Dogaaj Ac se oznaava esto i sa A' ili A i on se dogodi u datom

vrenju pokusa ako i samo ako se A ne dogodi.

Za dogaaje A, B skup A B (ili A + B) zove se unija (ili zbir) dogaaja A i B, tj.

dogaaj A B je dogaaj koji se dogodi sko i samo ako se dogodi bar jedan od dogaaja A i B.

Analogno se definira i unija ili zbir konano mnogo dogaaja 1 2, , ..., nA A A kao 1

n

ii

A

ili

1

n

i

i

A

odnosno od prebrojivo mnogo dogaaja :nA nN kao 1

nn

A

ili

1n

n

A

.

Za dogaaje A, B skup BA (ili BA , ili AB) zovemo presjek (ili proizvod) dogaaja A i B, tj.

dogaaj BA je dogaaj koji se sastoji u tome da se A i B pojavljuju skupa (dogaaj BA dogodi se

ako i samo ako se dogode oba dogaaja A i B). Analogno se definira presjek od konano ili prebrojivo

mnogo dogaaja.

Za dogaaje A i B kaemo da se uzajamno iskljuuju (disjunktni, nespojivi) ako je

8

BA ( BA = V ). U torn sluaju A i B ne mogu se istovremeno dogoditi. Za konano ili

prebrojivo mnogo dogaaja (An) kaemo da se uzajamno iskljuuju ako je i jAA za ji .

Za dogaaje A, B skup A \ B zovemo razlika dogaaja A i B. Jasno, A \ B = cBA , pa

otuda slijedi da se dogaaj A \ B dogodi ako i samo ako se A dogodi i B ne dogodi, tj. razlika dva

dogaaja A i B se zove dogaaj koga realizuju elementarni dogaaji koji pripadaju A a ne pripadaju B.

Kako su operacije nad dogaajima definisane pomou operacija nad odgovarajuim podskupovima

prostora elementarnih dogaaja, to za njih vrijede sva (odgovarajua) pravila iz teorije skupova. Npr., za niz dogaaja

(An, n N) vrijede de Morganove formule (zakoni):

c

nA

= c

nA , ( )c

nA = c

An

,

pa otuda vrijedi ( )c c

A Ai i .

Primjer 4. Neka je : 0x x R i (An, n N) niz dogadaja u zadan formulom

An = [0, 1-

1

n], (n = 1, 2, ...).

Lako se vidi da je 0, 1An

i 0nA .

1. 4. Klasina definicija vjerovatnoe a priori (Laplaceova definicija pojma vjerovatnoe)

Prije nego to preciziramo intuitivna, neformalna razmatranja uvodnih pojmova teorije vjerovatnoe,

naglasimo da je pri prouavanju sluajnih eksperimenata u teoriji vjerovatnoe nuno na poetku dogovoriti se o

tome koji su elementarni (nerazloivi) dogaaji mogui ishodi datog sluajnog eksperimenta. Svi dogaaji vezani

uz taj eksperiment mogu se opisati pomou elementarnih dogaaja.

Ako se poe isto od iskustva onda je jasno da se dogaaji mogu uporeivati po stepenu njihove

mogunosti pojavljivanja. Npr., jasno je da pri gaanju nekog cilja, cilj e se prije pogoditi na manjem rastojanju,

nego sa dueg. Ili ako na nekoj lutriji imamo 50 televizora, 5 motocikla, 20 automobila, onda je vea ansa da e

se dobiti televizor a manja motocikl. Ako bacamo novi anse da se pojavi grb ili pismo su potpuno jednake.

Postavlja se pitanje da li postoji neka numerika vrijednost koja se moe da pripie svakom dogaaju i koja bi

nam sluila kao objektivna mjera realizacije nekog dogaaja pri izvoenju nekog sluajnog pokusa. Takva brojna

vrijednost postoji i ona se zove vjerovatnoa dogaaja.

Da bi definirali pojam vjerovatnoe sa klasinog, elementarnog aspekta, treba pretpostaviti sljedee:

Kada izvodimo ogled svaki prostor elementarnih dogaaja je konaan i taj prostor elementarnih dogadaja

moemo odrediti. i u torn smislu pretpostavimo da imamo neki sluajni opit i da su dogovorno ustanovljeni svi

elementarni dogaaji (tj. mogui nerazloivi ishodi) tog opita. Neka je A proizvoljan dogaaj vezan uz taj sluajni

opit. Kae se da je neki elementarni dogaaj povoljan za dogaaj A ako pojavljivanje tog elementarnog dogaaja

kao ishoda opita povlai i realizaciju dogaaja A (da se dogodio dogaaj A).

Vjerovatnoa ,,a priori ili apriorna vjerovatnoa (ponekad se zove i matematika vjerovatnoa) je teorijska

vjerovatnoa kqja govori jezikom odreenih matematikih cifara o tome kakva je mogunost nastajanja oekivanog

dogaaja s obzirom na unaprijed poznate podatke o ukupnom broju svih moguih dogaaja i o broju povoljnih, oekivanih

dogaaja koji u tom ukupnom broju mogu nastupiti. Zbog toga se ova vjerovatnoa zove teorijska, jer u praksi se ne mora

ostvariti onaj rezultat kojega nam je unaprijed davala apriorna vjerovatnoa. Tako, npr., ako bacimo novi "apriorna"

vjerovatnoa nam govori da je 50% mogunosti da padne glava ili pismo jer su to dvije mogunosti od kojih jedna

9

mora da se ostvari. Meutim, u vie ponavljanja bacanja ne mora da se ostvari takav odnos, nego e tek u veoma

velikom broju bacanja da se zapazi pribliavanje odnosa 50% : 50%. Slian je sluaj kod igranja lutrije, izvlaenja karata,

bacanja kocke itd.

Jedna od moguih verzija klasine (Laplaceove) definicije pojma vjerovatnoe (a priori) glasi : Neka je zadan sluajni opit s konano mnogo elementarnih dogaaja i neka su svi ti elementarni dogaaji jednako mogui. Tada se vjerovatnoa P(A) proizvoljnog dogaaja A vezanog uz taj opit definira kao kolinik broja m svih elementarnih dogaaja povoljnih za taj dogaaj i bro ja n svih moguih (ukupnog broja) elementarnih dogaaja (koji mogu nastupiti pri tom pokusu) , tj.

( ) .m

P An

= (*)

Primijetimo odmah slabosti ove klasine definicije vjerovatnoe (koju je u teoriju vjerovatnoe uveo Pierre-Simon de Laplace, a poznata je i pod nazivima matematika definicija i teoretska definicija pojma vjerovatoe). Ona je prije svega restriktivna u smislu da se odnosi samo na eksperimente s konano mnogo elementarnih dogaaja. S druge strane, Laplaceova definicija vjerovatnoe je kruna jer ona u sebi sadri pojam jednako mogu, koji zapravo znai jednako vjerovatan. Otuda ova definicija nije dobra kao baza aksiomatske teorije vjerovatnoe. Napomenimo da je vrlo interesantna i njenica da je od poetka teorije vjerovatnoe pa do uvoenja aksiomatike u tu teoriju (koju je uveo veliki ruski matematiar A N D R E J N IK O L A J E V I KOLMOGOROV 1933. godine u svom fundamentalnom radu: " Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Berlin, 1933.") bilo potrebno da prou gotovo tri stoljea.

Primjer 1. U posudi se nalazi 6 bijelih i 4 crne kuglice. Ako se sluajno izvue jedna kuglica, nai vjerovatnou da izvuena kuglica bude bijele boje.

Rjesenje: Neka je A dogaaj da je kuglica bijele boje. Tada je, prema klasinoj definiciji vjerovatnoe a priori, vjerovatnoa P(A) dogaaja A zadana formulom (*). Kako je, oigledno, m = 6, n = 10,

( ) ( 60%).

6

10P A = =

Iz klasine definicije vjerovatnoe a priori, odnosno iz formule (*), odmah slijede ove osnovne osobine vjerovatnoe:

(i) Vjerovatnoa je nenegativna, tj. ( ) 0,P A (za svaki dogaaj A);

(ii) Vjerovatnoa nije vea od 1 , tj. ( ) 1,P A , jer je .m n

Otuda (za svaki dogaaj A) vrijedi

0 ( ) 1.P A (**)

Ako se radi o sigurnom dogaaju, onda svaki elementarni dogaaj realizuje taj dogaaj, tj. m = n, pa je njegova vjerovatnoa jednaka 1 .Vjerovatnoa nemogueg dogaaja je 0 (jer je sada m = 0, budui da

nemogu dogaaj ne realizuje ni jedan elementarni dogaaj ).

Ako je vjerovatnoa manja od 1

2, onda se za taj dogaaj kae da nije vjerovatan (ili da je nevjerovatan), ako je

----------------------------- Ovdje ( a i nadalje) P(A) znai vjerovatnoa (francuski probabilite odnosno engleski probability dogaaja A.

10

1( )

2,P A = kae se da je A neizvestan ili sumljiv dogaaj, a ako je

1( )

2,P A > kae se da je A vjerovatan dogaaj (kao to

je dogaaj A u primjeru 1).

U prethodnoj taki smo uveli pojmove koji trebaju u ,,konstrukciji" matematike teorije vjerovatnoe.

Pri tome smo ukazali na injenicu da je osnovni polazni objekt u teoriji vjerovatnoe neprazan skup, kojeg smo

oznaili sa i nazvali prostor elementarnih dogaaja, a koji reprezentira skup svih ishoda sluajnog pokusa. Skup

i njegove elemente smatramo kao zadane, oni su osnovni i nedefinirani pojmovi u teoriji vjerovatnoe. Elemente

skupa (esto emo elemente skupa zvati i takama) zovemo elementarni dogaaji. Prostor elementarnih

dogaaja slui modelu idealiziranog sluajnog ogleda u smislu da po definiciji svako vrenje ogleda mora dati ishod

koji odgovara jednom jedinom elementarnom dogaaju, tj. jednoj i samo jednoj taki iz .

Prostor elementarnih dogaaja nije uvijek konaan. Neka se, npr., ogled sastoji u registriranju broja

razgovora koje u toku jednog dana obavi jedna automatska telefonska centrala. Tada je za prostor elementarnih

dogaaja prirodno uzeti skup

{ } 0: 0,1,2,... NW= = .

Ovaj skup je (oigledno) prebrojiv. Ovdje je za uzet beskonaan skup, iako se zna da e broj razgovora

biti konaan, da bi se izbjegla pitanja u vezi s tim koji je prirodan broj mogu kao ishod ogleda, a koji nije.

No, prostor elementarnih dogaaja moe biti i neprebrojiv. Naime, uzmimo da se ogled sastoji od

mjerenja temperature zraka tokom jednog dana. Tada se radi o mjerenju funkcije neprekidnog parametra

(vremena). Kao prostor elementarnih dogaaja moemo uzeti skup svih moguih rezultujuih funkcija, ali i iri

skup, recimo skup svih realnih funkcija na datom vremenskom intervalu ili skupu svih realnih neprekidnih funkcija. U

ovom sluaju smo svjesno poveali, jer znamo da medu svim realnim funkcijama na datom intervalu sigurno

ima takvih funkcija koje ne mogu predstavljati kretanje temperature kao funkcije vremena tokom jednog dana.

No, u sluaju jednostavnih ogleda s konano mnogo ishoda izbjegava se dodavanje suvinih elemenata.

O dogaaju A vezanom uz neki opit moemo govoriti samo u sluaju da je za svaki mogui ishod opita

poznato da li se A dogodilo ili nije, tj. svaki dogaaj A vezan uz neki sluajni opit odgovara pitanju u vezi s tim

opitom koji ima odgovor ,,DA" ili ,,NE", i to u smislu da poslije svakog vrenja opita na pitanje ,,da li se A dogodio"

moe odgovoriti sa ,,da" ili ne". Ako je pri tome prostor elementarnih dogaaja tog sluajnog opita, onda skup

taaka koji reprezentuje sve ishode opita za koje je odgovor ,,da" u potpunosti opisuje dogaaj A. Obratno,

proizvoljan podskup A prostora elementarnih dogaaja moemo tretirati kao dogaaj (koji se dogodi ili ne dogodi

ovisno o tome da li ishod opita reprezentira taku koja je u A ili koja nije u A).

Zato u daljnjem neemo razlikovati dogaaj A vezan uz sluajni pokus i odgovarajui podskup skupa

elementarnih dogaaja koji se sastoji od svih taaka iz koje reprezentuju one ishode pokusa ije pojavljivanje

vodi na pojavljivanje dogaaja A. Dakle, dogaaj je podskup prostora elementarnih dogaaja . Cijeli prostor

zovemo siguran (pouzdan) dogaaj (on se mora dogoditi u svakom vrenju opita), a prazan skup zovemo nemogu

dogaaj (on se nikad nee dogoditi).

Za sve dogaaje smatramo da su podskupovi istog prostora elementarnih dogaaja , pa se prirodno

operacije nad dogaajima definiraju pomou operacija nad odgovarajuim skupovima, to za njih vrijede sva pravila

iz teorije skupova, tj. sva pravila iz algebre skupova vrijede i u algebri dogaaja (npr., vrijede De Morganovi

zakoni).

Aksiomatsku definiciju vjerovatnoe na prostoru elementarnih dogaaja obradiemo u narednom

poglavlju (ukazujui na injenicu da nije uvijek mogue sve podskupove od uzeti za dogaaje, jer se moe

dogoditi da za neki podskup A od ne moemo decidno odgovoriti na pitanje: ,,Da li je Aw ?".

Zadatak 1. Neka su baene tri kocke. Kolika je vjerovatnoa da je broj koji se pojavi na svakoj od tri kocke

11

neparan broj ?

Rjeenje: Za prostor uzoraka u ovom pokusu se moe uzeti skup svih ureenih trojki (i, j, k) prirodnih

brojeva i, j, k { 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Otuda skup ima 6 3 = 216 elemenata. Dogaaj E, da broj koji se pojavi na

svakoj od tri kocke bude neparan, sastoji se od svih trojki (i, j, k) prirodnih brojeva izmeu 1 i 6, takvih da su i, j,

k svi neparni. Otuda skup E ima 3 3 = 27 elemenata, pa je 33

3 1 1

3 826

( )( )

( )12,5%.

k EP E

k==

W=

= =

Zadatak 2. U kutiji se nalazi 5 loptica oznaenih brojevima od 1 do 5, od kojih su prve tri crne, a posljednje dvije crvene. Vri se izvlaenje uzorka od dvije loptice s ponovnim vraanjem u kutiju izvuenih loptica. Neka je B

1 dogaaj koji odgovara injenici da je prva izvuena loptica crne

boje, a B2 dogaaj koji odgovara injenici da je druga izvuena loptica crne boje.

a) Opiite prostor uzoraka eksperimenta i prikazati dogaaje B1, B

2 i B

1* B

2.

b) Naite vjerovatnoe dogaaja u a).

c) Ponovite a) i b) za sluaj izvlaenja loptica bez ponovnog vraanja u kutiju izvuenih loptica.

Zadatak 3. (Problem roendana): Odaberimo r studenata na nekom fakultetu i zabiljeimo njihove dane roenja, bez podataka o godini roenja. Neka nijedan od tih studenata nije roen 29. februara prestupne godine (odnosno ne uzmimo u obzir studente roene 29. februara prestupne godine). Oznaimo dane u godini brojevima 1, 2, ... , 365. Odrediti odgovarajui prostor uzoraka u ovom sluaju i izvesti formulu za

vjerovatnou ( )rP E dogaaja rE da bar dva studenta od r odabranih studenata imaju roendan istog dana, a

zatim izraunati vjerovatnoe 22( )P E i 23( )P E i komentirati dobijene rezultate.

Rjeenje. Odgovarajui prostor uzoraka posmatranog ogleda je :

S : ={ (x1, x2 , ... , xr) : ix { 1, 2, ... , 365} za i = 1, 2, ... , r}

i ima 365r

elemenata. Pretpostavimo da svaki od 365r

rasporeda roendana

studenata po datumima ima vjerovatnou 1/ 365r

. Broj rasporeda studenata po

razliitim datumima je 365 364 ... (365 - r + 1), a broj povoljnih

rasporeda da bar dva studenta imaju roendan istog dana iznosi

365r

- 365 364 ... (365 - r + 1), pa je traena vjerovatnoa ( )rP E

data formulom ( )rP E .1 365 364 ... (365 1) 365/r

r= - - +

Koristei se logaritamskim tablicama ili depnim raunarima, lako se provjeri da u ovom problemu

imamo da je ( )22 0, 467P E , ( )23P E 0,507. Prema tome, ako na posmatranom fakultetu ima vie od 22 studenta , onda je vea vjerovatnoa da postoje dva studenta sa istim roendanom, nego da takva dva studenta ne

postoje. Zadatak 5. Telefonski broj sastoji se iz est cifara. Izraunajte vjerovatnou da su sve cifre

takvog telefonskog broja meusobno razliite.

Rjeenje. Broj svih telefonskih estocifrenih brojeva iznosi n = 6

10 kao ukupan broj svih

varijacija klase k = 6 od 10 elemenata: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 s ponavljanjem, a broj svih

telefonskih estocifrenih brojeva s razliitim ciframa iznosi m = 10! 10!

(10 6)! 4!-= (broj svih

varijacija 6-te klase od 10 elemenata bez ponavljanja). Ako sa D oznaimo posmatrani dogaaj, a sa

P(D) njegovu vjerovatnou, onda je 6

10!( ) ... .

4!10

m

nP D = = =