8/18/2019 Pred_09

1/25

Primjena inženjerskih softverskih paketa

Doc. dr. Emir Skejić

Predavanje 10: Rješavanje električnih kola uMatlabu

8/18/2019 Pred_09

2/25

Kratak pregled

(1) Klasične metode

(2) Algoritamski pristup(3) Implementacija algoritma

(4) Primjeri

2

8/18/2019 Pred_09

3/25

Električna kola

• Najčešći problem u električnim kolima je računanjenepoznatih napona i struja.

Problem se svodi na rješavanje sistema jednačina Jednačine se pišu na osnovu zakona o održanju energije

Jednačine se mogu formulirati na različite načine, ali jerješenje jedinstveno (pod uslovom da su sve jednačine

linearne)

3

8/18/2019 Pred_09

4/25

Rješavanje kola metodom

konturnih struja• Ova metoda se zasniva na II Kirchoffovom zakonu, a

broj jednačina je sveden na broj zatvorenih petlji.

• Procedura

1. Odabrati nezavisne konture

2. Označiti i orijentirati konture

3. Za svaku konturu napisati naponske jednačine prema IIKirchoffovom zakonu

4. Ukoliko se u nezavisnoj grani nalazi strujni izvor tada sesistem jednačina smanjuje za jedan budući da je

strujom tog izvora definirana jedna konturna struja5. Odrediti konturne struje rješavanjem sistema jednačina

4

8/18/2019 Pred_09

5/25

Primjer: Metoda konturnih struja

5

8/18/2019 Pred_09

6/25

Kratak pregled

(1) Klasične metode

(2) Algoritamski pristup(3) Implementacija algoritma

(4) Primjeri

6

8/18/2019 Pred_09

7/25

Metoda pogodna za algoritamsku

implementaciju• Kao nepoznate veličine tretiraju se naponi svih

čvorova i struje naponskih izvora

• Procedura1. Odabrati referentni čvor (obično zemlja) i označiti

preostalih (n-1) čvorova. Označiti i struje krozstrujne izvore.

2. Dodijeliti imena strujama kroz naponske izvore. Pokonvenciji označiti smjer struje od plusa kaminusu.

3. Napisati jednačine za svaki čvor prema I

Kirchoffovom i Ohmovom zakonu (kao funkcijunepoznatih napona i struja). Struje koje izlaze izčvorova označiti kao pozitivne.

4. Napisati naponske jednačine za svaki naponski

izvor (kao funkciju nepoznatih napona)5. Riješiti sistem jednačina 7

8/18/2019 Pred_09

8/25

Primjer 1

Korak 1 Korak 3Korak 2

Korak 4 Korak 5

8

8/18/2019 Pred_09

9/25

Primjer 2

Koraci 1 i 2 Koraci 3 i 4

Korak 5

9

8/18/2019 Pred_09

10/25

Primjer 3

Koraci 1 i 2 Koraci 3 i 4

Korak 5

10

8/18/2019 Pred_09

11/25

Kratak pregled

(1) Klasične metode

(2) Algoritamski pristup(3) Implementacija algoritma

(4) Primjeri

11

8/18/2019 Pred_09

12/25

Opservacije

Primjer 2

Primjer 3

12

8/18/2019 Pred_09

13/25

Formulacija krajnjeg sistema

• Za kolo koje ima m naponskih izvora i n  čvorova imamo

» A matrica je dimenzija ( m+n)x( m+n) G matrica dimenzija nxn, sadrži samo provodnosti

– Otpori vezani sa zemljom pojavljuju se samo na dijagonali– Otpori nevezani sa zemljom pojavljuju se na i van dijagonale

B matrica dimenzija nxm, sadrži elemente 1, 0 i -1 u zavisnostikako su povezani naponski izvori

C matrica dimenzija mxn, je transponovana B matrica D matrica dimenzija mxm, sadrži samo nule

» x vektor je dimenzija ( m +n)x1 i sadrži nepoznateveličine

Prvih n elemenata su naponi u  čvorovima Zadnjih m elemenata su struje naponskih izvora

» z vektor je dimenzija ( m +n)x1 i sadrži poznateveličine

Prvih n elemenata su ili nule ili algebarska suma strujanezavisnih strujnih izvora

Zadnjih m elemenata su naponi nezavisnih naponskih izvora13

8/18/2019 Pred_09

14/25

Formulacija matrice G

• Matrica G je dimenzija nxn i formulira se:» Dijagonalni element G(i ,i ) je suma svih konduktansi spojenih

na i -ti čvor

» Vandijagonalni element G(i , j ) je negativna vrijednostkonduktanse koja povezuje čvorove i i j 

14

8/18/2019 Pred_09

15/25

Formulacija matrica B i C

• Matrica B je dimenzija nxm a formulira se na sljedeći način:» B(i,j) = 1 ukoliko je pozitivni izvod j-tog naponskog

izvora povezan na i-ti čvor

» B(i,j) = -1 ukoliko je negativni izvod j-tognaponskog izvora povezan na i-ti čvor

» B(i,j) = 0 ukoliko j-ti izvor nije vezan za i-ti čvor

• Matrica C je transponovana B matrica

15

8/18/2019 Pred_09

16/25

Formulacija matrice z

• z je vektor dimenzija (m+n)x1» Za prvih n elemenata z(i) je jednak

Algebarskoj sumi struja nezavisnih strujnih izvora koje ulaze u i -tičvor

0 ako niti jedan strujni izvor nije spojen na i -ti čvor

» Zadnjih  m  elemenata su vrijednosti napona naponskih

izvora

16

8/18/2019 Pred_09

17/25

Ulazni parametri za MATLABprogram

• Električno kolo se specificira u obliku MATLAB strukture kojasadrži sljedeća polja:» R je matrica dimenzije broj_otpora x 3 – opisuje

raspored i vrijednost otpornika R( j ,1) – definira vrijednost j -tog otpora u omima (može biti i simbolička

vrijednost) R( j ,2) – je broj čvora koji je lijevi priključak j -tog otpora R( j ,3) – je broj čvora koji je desni priključak j -tog otpora

» V je matrica dimenzije broj_nap_izvora x 3 – opisuje

raspored i vrijednost naponskih izvora V( j ,1) – definira vrijednost j -tog naponskog izvora u voltima (može biti

i simbolička vrijednost) V( j ,2) – je broj čvora na koji je spojen pozitivni izvod j -tog naponskog

izvora V( j ,3) – je broj čvora na koji je spojen negativni izvod j -tog naponskog

izvora» I je opciona matrica dimenzije broj_strujnih_izvora x 3

– opisuje raspored i vrijednost strujnih izvora

I( j ,1) – definira vrijednost j -tog strujnog izvora u amperima (može bitii simbolička vrijednost)

I( j ,2) – je broj čvora iz kojeg izlazi strelica j -tog strujnog izvora I( j ,3) – je broj čvora u koji ulazi strelica j -tog strujnog izvora

17

8/18/2019 Pred_09

18/25

Programska implementacija

• Program je implementiran u obliku dvije funkcije» [G,B,C,D,A] = amatrica(sistem)

Vraća matricu A električnog kola zajedno s njenimkomponentama

» z = zmatrica(sistem)

Vraća vektor z poznatih varijabli električnog kola

• Obje funkcije uzimaju kao parametar strukturusi st emkoja sadrži polja R, V i opciono polje I (s

prethodnog slajda)

• Dodatni parametar u strukturi je varijabla si mbkoja ima vrijednost 1 ako se radi simboličkaanaliza i 0 ukoliko se radi numerička analizaelektričnog kola

18

8/18/2019 Pred_09

19/25

Kratak pregled

(1) Klasične metode

(2) Algoritamski pristup

(3) Implementacija algoritma

(4) Primjeri

19

8/18/2019 Pred_09

20/25

R = [ 1000 1 2;2000 2 0;2000 2 0] ;

V = [ 12 1 0] ;kol o. V = V;kol o. R = R;kol o. si mb = 0;[ G, B, C, D, A] = amat r i ca( kol o) ;z = zmat r i ca( kol o) ;

x = A\ z;di sp( ' x = ' ) ;di sp( x) ;

pr i mj er 1num. m

>> pr i mj er 1numx =12. 00006. 0000

- 0. 0060

V1 = 12 VV2 = 6 VI _V1 = - 0. 006 A

Primjer 1: Numerička analiza

20

8/18/2019 Pred_09

21/25

syms R1 R2 R3 V1 r ealR = [ R1 1 2;

R2 2 0;R3 2 0] ;

V = [ V1 1 0] ;

kol o. V = V;kol o. R = R;kol o. si mb = 1;[ G, B, C, D, A] = amat r i ca( kol o) ;z = zmat r i ca( kol o) ;x = si mpl e( A\ z) ;

di sp( ' x = ' ) ;pretty(x);

>> pr i mj er1si mx =

[ V1~ ][ ][ V1~ R2~ R3~ ][ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ][ R2~ R3~ + R1~ R3~ + R1~ R2~ ][ ][ V1~ ( R3~ + R2~) ]

[ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ][ R2~ R3~ + R1~ R3~ + R1~ R2~]

pr i mj er 1si m. m

Primjer 1: Simbolička analiza

21

8/18/2019 Pred_09

22/25

R = [ 1 1 2;4 2 0;2 3 0] ;

V = [ 6 3 2;4 1 0] ;

I = [ 1 1 2] ;kol o. V = V;kol o. R = R;kol o. I = I ;kol o. si mb = 0;[ G, B, C, D, A] = amat r i ca( kol o) ;z = zmat r i ca( kol o) ;

x = A\ z;di sp( ' x = ' ) ;di sp( x) ;

pr i mj er 2num. m

>> pr i mj er 2num

x = 4. 00001. 14297. 1429

- 3. 5714- 3. 8571

V1 = 4 V

V2 = 1. 143 VV3 = 7. 143 VI _Vx = - 3. 571 AI _Vg = - 3. 857 A

Primjer 2: Numerička analiza

22

8/18/2019 Pred_09

23/25

syms R1 R2 R3 Vx Vg I t r ealR = [ R1 1 2;

R2 2 0;R3 3 0] ;

V = [ Vx 3 2;Vg 1 0] ;

I = [ I t 1 2] ;kol o. V = V;kol o. R = R;kol o. I = I ;kol o. si mb = 1;[ G, B, C, D, A] = amat r i ca( kol o) ;

z = zmat r i ca( kol o) ;x = si mpl e( A\ z) ;di sp( ' I _Vx = ' ) ;pretty(x(4)) ;

>> pr i mj er2si mI _Vx =

Vg~ R2~ + Vx~ R1~ + R2~ Vx~ + I t ~ R1~ R2~- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

R1~ R2~ + R1~ R3~ + R2~ R3~

pr i mj er 2si m. mPrimjer 2: Simbolička analiza

23

8/18/2019 Pred_09

24/25

8/18/2019 Pred_09

25/25

Kratak pregled

(1) Klasične metode

(2) Algoritamski pristup

(3) Implementacija algoritma

(4) Primjeri

Sada znate GOTOVO SVE!