UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

VERONIKA MIHELAK

PRAVILNI IKOZAEDER

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2016

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

DVOPREDMETNI UČITELJ

VERONIKA MIHELAK

MENTOR: izr. prof. dr. Marko Razpet

PRAVILNI IKOZAEDER

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2016

v

Zahvala

Zahvaljujem se mentorju izr. prof. dr. Marku Razpetu za strokovno pomoč in usmerjanje

pri nastajanju diplomskega dela.

Iskrena hvala mami Darinki za finančno pomoč skozi celoten študij, hvala sestri Mariji za

spodbudo in pomoč.

Hvala tudi vsem ostalim, ki so kakorkoli pripomogli pri nastajanju diplomskega dela..

vi

vii

Izvleček

V diplomskem delu so zbrane lastnosti pravilnega ikozaedra, ki študentom matematike

približajo snov, hkrati pa lahko učitelji matematike pripravijo naloge za nadarjene učence v

osnovni ali srednji šoli. V začetnem delu so opisane osnovne lastnosti poliedrov, ki so

značilne tako za ikozaeder kot za ostale pravilne poliedre (tetraeder, kocka, dodekaeder,

oktaeder). Dokazali smo, da obstaja le pet pravilnih ali platonskih teles in preverili, da

zanje velja Eulerjeva poliedrska formula. Nadalje smo se osredotočili le na izbran polieder.

Za izračun prostornine smo potrebovali zlato število, ki je pozitivna rešitev Fibonaccijeve

enačbe, zato smo le-to izpeljali iz številčnega zaporedja. V zadnjem delu smo ikozaedru

priredili graf v ravnini in se posvetili Hamiltonovemu Potovanju okoli sveta oziroma

Ikozaedrski igri ter raziskali simetrije ikozaedra.

Ključne besede: pravilni poliedri

Eulerjeva karakteristika

zlato razmerje

ikozaeder

ikozaedrska igra

viii

ix

Abstract

Here are collected properties of regular icosahedron which are useful for students of

mathematics or mathematics teachers who can prepare exercises for talented students in

elementary or middle school. The initial section describes the basic properties of regular

polyhedra: tetrahedron, cube, dodecahedron, octahedron and of course icosahedron. We

have proven that there are only five regular or platonic solids and have verified Euler's

polyhedron formula for them. Then we focused on selected polyhedron. To calculate the

volume we need the golden number which is a positive solution of the Fibonacci equation.

In the last part we have made planar graph for icosahedron and have told something about

Hamilton's trip around the world (Icosian game) and explore symmetry of icosahedron.

Key words: regular polyhedra

Euler's polyhedron formula

the golden ratio

icosahedron

icosian game

x

xi

Kazalo

Kazalo slik ..................................................................................................................... xiii

1. Uvod .............................................................................................. 1

2. Zgodovina pravilnih poliedrov .................................................. 3

3. Osnovne lastnosti poliedrov ....................................................... 5

3.1. Dokaz obstoja petih platonskih teles .............................................................. 6

3.2. Eulerjeva formula ............................................................................................ 8

3.3. Dualnost poliedrov ......................................................................................... 10

4. Ikozaeder .................................................................................... 13

4.1. Površina ikozaedra ........................................................................................ 13

4.2. Prostornina ikozaedra ................................................................................... 14

4.2.1. Fibonaccijeva kvadratna enačba ..................................................................... 14

4.2.2. Izračun prostornine ikozaedra ......................................................................... 16

4.3. Kot med sosednjima mejnima ploskvama ................................................... 19

4.4. Graf ikozaedra ............................................................................................... 20

4.5. Simetrije ikozaedra........................................................................................ 20

4.6. Ikozaedrska igra ............................................................................................ 23

5. Zaključek.................................................................................... 25

6. Literatura ................................................................................... 27

xii

xiii

Kazalo slik

Slika 1: Prvi primeri pravilnih poliedrov [1]. ..................................................................................... 3

Slika 2: Dual dodekaedra je ikozaeder [11]. .................................................................................... 11

Slika 3: Dual ikozaedra je dodekaeder [11]. .................................................................................... 11

Slika 4: Mreža pravilnega ikozaedra. ............................................................................................... 13

Slika 5: Zlati pravokotnik [13]. ........................................................................................................ 16

Slika 6: Paroma pravokotni zlati pravokotniki [8]. .......................................................................... 16

Slika 7: Izmerjen kot med dvema sosednjima ploskvama v GeoGebri. ........................................... 19

Slika 8: Ravninski graf ikozaedra [15]. ............................................................................................ 20

Slika 9: Prikaz šestih osi rotacijske simetrije skozi nasprotna oglišča. ............................................ 21

Slika 10: Prikaz ene izmed rotacijskih osi, ki poteka skozi središči nasprotnih mejnih ploskev. .... 22

Slika 11: Prikaz ene izmed rotacijskih osi, ki poteka skozi središči nasprotnih robov. ................... 22

Slika 12: Dodekaeder. ...................................................................................................................... 23

Slika 13: Graf za igro Potovanje okoli sveta [19]. ........................................................................... 24

Slika 14: Primer Hamiltonovega cikla na grafu dodekaedra. ........................................................... 24

xiv

1

1. Uvod

Pravilni oziroma platonski poliedri so konveksna geometrijska telesa, katerih ploskve so

med seboj skladni pravilni večkotniki. V vsakem oglišču se stika enako število skladnih

pravilnih večkotnikov. Najbolj znan platonski polieder je kocka, ki je poznana otrokom že

pred vstopom v osnovno šolo. Platonska telesa je poznal že Platon okoli leta 400 pred

našim štetjem. Dokaz, da je samo pet platonskih teles, izhaja iz tega, da mora biti vsota

kotov ploskev, ki se stikajo v enem oglišču, manjša od 360°.

Pravilni ikozaeder je sestavljen iz dvajsetih skladnih enakostraničnih trikotnikov, v enem

oglišču se jih stika pet.

V diplomskem delu bom najprej nekaj besed namenila lastnostim ikozaedra ter nastanku

oziroma odkritju ikozaedra. V nadaljevanju bom izračunala površino in prostornino

ikozaedra, polmer včrtane in očrtane krogle ter kot med sosednjima ploskvama. Pri samih

izračunih bom potrebovala nekaj značilnih števil, razmerij, likov, lastnosti kot na primer:

zlato število (zlati rez) 𝜙 = 1 + √5

2,

zlati pravokotnik,

pravilni petkotnik.

2

V diplomskem delu želim poglobiti znanje iz osnov linearne algebre (skalarni, vektorski

produkt), nadgraditi znanje iz zgodovine matematike, kjer smo obravnavali izvor zlatega

števila ter konstrukcijo pravilnega petkotnika.

Poudariti je potrebno, da v diplomskem delu obravnavamo le pravilne poliedre. To

pomeni, da tetraeder, heksaeder, oktaeder, dodekaeder in ikozaeder predstavljajo pravilna

telesa v celotnem diplomskem delu, razen če je opredeljeno drugače.

3

2. Zgodovina pravilnih poliedrov

Prva odkritja izklesanih teles (slika 1), ki spominjajo na pravilne poliedre, so našli na

Škotskem. Znanstveniki ocenjujejo, da so kamnite skulpture nastale okoli 2000 let pred

našim štetjem, kar pomeni, da so tovrstna telesa poznali že pred Starimi Grki [1].

Slika 1: Prvi primeri pravilnih poliedrov [1].

Prvi zapisi o pravilnih konveksnih poliedrih segajo v čas Starih Grkov. Evklid je v knjigi

Elementi, ki je bila stoletja edina knjiga o geometriji, zapisal definicije osnovnih

geometrijskih pojmov, zaključil pa s študijo o petih pravilnih poliedrih [2].

Kasneje se je s pravilnimi poliedri ukvarjal tudi Platon v svojem delu Timaj in jih

poimenoval idealna geometrijska telesa. Platon celo postavi tezo, da so iz teh geometrijskih

teles sestavljeni štirje zemeljski elementi: ogenj iz tetraedrov, zemlja iz kock, zrak iz

oktaedrov in voda iz ikozaedrov (povezave določajo lastnosti geometrijskih teles – njihova

4

“ostrina”, “stabilnost”, “tekočnost” ipd.), in eter, sestavljen iz dodekaedrov, kot »peti

(nebesni) element« [3].

Platon o dodekaedru pravi: »Bog ga je uporabil za vesolje, ko ga je krasil s podobami« [4].

Grk Arhimed je bil največji matematik helenistične dobe. Živel je v Sirakuzah. Ohranilo se

je 8 njegovih knjig, ravno knjiga o polpravilnih telesih je izgubljena. Polpravilna telesa

imajo za mejne ploskve različne pravilne večkotnike, vendar imajo vsa oglišča enako

konfiguracijo. Imena vseh trinajstih polpravilnih oziroma arhimedskih teles, ki jih

poznamo danes, je poimenoval Kepler [5].

Skozi zgodovino se je zvrstilo kar nekaj pomembnih ljudi, ki so v svoje delo vključili

poliedre. Prvi, ki jih je podrobneje opisal, hkrati pa so se zapisi ohranili do danes, je bil

nemški astronom in matematik Johannes Kepler. Slednji je odkril, da se planeti gibljejo

okrog Sonca po eliptičnih tirih, razložil je tudi osnovne zakone tega gibanja. K

poglobljenemu razmišljanju o poliedrih ga je pripeljal poliedrski model (določen s petimi

pravilnimi poliedri), ki ga je Kepler imel za osnovo zgradbe Osončja. V njegovem

najpomembnejšem delu Harmonija sveta najdemo prvi poskus temeljitejše klasifikacije

poliedrov [6].

Kepler je poliedre delil na konveksne in nekonveksne. Med prvimi je posebej izpostavil pet

pravilnih in trinajst polpravilnih. Interesantno je predvsem to, da je tudi med

nekonveksnimi odkril pravilne poliedre [6].

5

3. Osnovne lastnosti poliedrov

Najprej razjasnimo, od kod izvira beseda polieder in kaj pomeni. Prvotna beseda

»polyhedron« je starogrškega izvora in v svojem osnovnem prevodu pomeni mnogo (poly)

ploskev (hedron).

Polieder je geometrijsko telo (torej tridimenzionalno), omejeno s končnim številom

večkotnikov. Po dva večkotnika se spajata v robovih, trije oziroma več večkotnikov se

spaja v ogliščih. Najbolj znani primeri poliedrov so prizme in piramide [7].

Pravilni ali regularni polieder je konveksno geometrijsko telo, njegovo površje je

sestavljeno iz enakih, pravilnih (med seboj skladnih) večkotnikov. Pravilne poliedre

imenujemo tudi platonska telesa.

Pravilni poliedri imajo nekaj posebnih lastnosti, po katerih se ločijo od ostalih poliedrov:

omejeni so s samimi med seboj skladnimi večkotniki;

v vsakem oglišču se stika enako število teh večkotnikov.

Kljub temu, da vemo, da je pravilnih večkotnikov (do podobnosti natančno) nešteto mnogo

(enakostranični trikotnik, kvadrat, pravilni petkotnik, pravilni šestkotnik, ...), pa obstaja le

pet pravilnih poliedrov (do podobnosti natančno).

Pravilni poliedri so imena dobili glede na število mejnih ploskev. Tako poznamo: pravilni

tetraeder (četverec), pravilni heksaeder (šesterec oziroma kocka), pravilni oktaeder

(osmerec), pravilni dodekaeder (dvanajsterec), pravilni ikozaeder (dvajseterec).

6

Da je pravilnih poliedrov le pet, je znano že iz antičnih časov; dokaz za to izhaja iz tega, da

mora biti vsota kotov ploskev, ki se stikajo v enem oglišču, manjša od 360° [8].

3.1. Dokaz obstoja petih platonskih teles

Izrek

Edini pravilni poliedri, ki obstajajo v Ԑ3, so tetraeder, heksaeder (kocka), dodekaeder,

oktaeder in ikozaeder [9].

Dokaz

Oglejmo si, koliko enakih pravilnih večkotnikov se lahko stika v enem oglišču poliedra, če

mora veljati, da je vsota kotov pravilnih konveksnih večkotnikov v oglišču strogo manjša

od 360°.

Najprej izračunamo notranji kot pravilnega večkotnika po znani formuli:

𝑛−2

𝑛 · 180°,

pri čemer n predstavlja število oglišč večkotnika. V oglišču se stika k mejnih ploskev, zato

mora veljati:

k · 𝑛−2

𝑛 · 180° < 360°.

Za nastanek telesa se morajo v enem oglišču stikati najmanj trije večkotniki, zato velja:

3 ≤ k < 2𝑛

𝑛−2.

Iz neenačbe sledi, da je n < 6, hkrati pa mora veljati n ≥ 3. V nadaljevanju bomo

obravnavali vsak primer posebej.

Prvi primer: n = 3, 3 ≤ k < 6

a) k = 3

V oglišču se stikajo trije enakostranični trikotniki, zato velja:

3 · 60° = 180° < 360°.

Dobimo tetraeder – polieder, pri katerem se v vsakem oglišču stikajo trije skladni

enakostranični trikotniki.

7

b) k = 4

V oglišču se stikajo štirje enakostranični trikotniki, zato velja:

4 · 60° = 240° < 360°.

Dobimo oktaeder – polieder, pri katerem se v vsakem oglišču stikajo štirje skladni

enakostranični trikotniki.

c) k = 5

V oglišču se stika pet enakostraničnih trikotnikov, zato velja:

5 · 60° = 300° < 360°.

Dobimo ikozaeder – polieder, pri katerem se v vsakem oglišču stika pet skladnih

enakostraničnih trikotnikov.

Drugi primer: n = 4, 3 ≤ k < 4

a) k = 3

V oglišču se stikajo trije kvadrati, zato velja:

3 · 90° = 270° < 360°.

Dobimo kocko – polieder, pri katerem se v vsakem oglišču stikajo trije skladni kvadrati.

Tretji primer: n = 5, 3 ≤ k < 𝟏𝟎

𝟑

a) k = 3

V oglišču se stikajo trije pravilni petkotniki, zato velja:

3 · 108° = 324° < 360°.

Dobimo dodekaeder – polieder, pri katerem se v vsakem oglišču stikajo trije skladni

pravilni petkotniki [10]. □

Dokazali smo, da obstaja natanko pet parov (n, k), ki ustrezajo pogojem. Da za vsak par

obstaja natanko eno platonsko telo, pa sledi iz Eulerjeve formule.

8

3.2. Eulerjeva formula

Definicija

Enostaven polieder je polieder, pri katerem je površina poliedra povezana, torej kadar je

mejna ploskev taka, da bi jo bilo moč, če bi bila iz primerno prožnega materiala, napihniti

v krogelno ploskev – sfero.

Izrek

Za poljuben enostaven polieder velja Eulerjeva formula v – e + f = 2, pri čemer v

predstavlja število oglišč, e število robov, f pa število stranskih ploskev.

Za nekonveksen polieder velja v – e + f = χ, kjer je χ Eulerjeva karakteristika. Zato bomo

izrek dokazali le za konveksne poliedre, za katere je χ = 2.

Dokaz

Vzemimo konveksen polieder in oglišča predstavimo na sferi kot točke, robove pa kot

krožne loke na sferi. S tem dobimo enako število ploskev, robov in oglišč, kot jih ima

prvoten polieder, robovi pa se med sabo ne sekajo. Nato izberemo poljubno točko znotraj

poljubne ploskve in prezrcalimo sferni polieder na ravnino s pomočjo stereografske

projekcije, ki je bijektivna. (Točka, iz katere projiciramo, ne sme biti na nobeni stranici

sfernega poliedra. V nasprotnem primeru se slika raztegne v neskončnost).

Tako dobimo ravninsko razporeditev točk z robovi brez križanja, ki jo bomo poimenovali

graf p1. Vedno je omejena s sklenjeno krivuljo. Dejanska lega oglišč ni pomembna,

pomembne so le povezave med njimi [9].

Graf p1 ima enako število oglišč in robov kot začeten polieder, manjkajoča ploskev ustreza

skrajni legi grafa. To pomeni, da se mejna ploskev ne vidi, saj graf narišemo v ravnini.

Zato moramo za graf pokazati, da velja: v – e + f = 1 [9].

Izberemo poljubno n-kotno ploskev in jo skrčimo v eno samo točko (disjunktni robovi

ostanejo disjunktni). S tem se število ploskev zmanjša za eno, n robov izgine, n oglišč pa

se zreducira v eno [9]. □

V nadaljevanju lahko za pravilne poliedre preverimo, če zanje velja Eulerjeva formula.

9

Lastnosti pravilnih poliedrov se nahajajo v tabeli 1.

Tabela 1: Število robov, oglišč, ploskev posameznega pravilnega poliedra.

10

V tabeli n predstavlja število oglišč za večkotnik, iz katerih je sestavljen pravilen polieder

(na primer število 5 za dodekaeder pove, da je telo sestavljeno iz samih pravilnih

petkotnikov). V zadnjem stolpcu k predstavlja število večkotnikov, ki se stikajo v enem

oglišču [8].

Izkaže se, da se iskane količine: površina (S), prostornina (V), polmer včrtane krogle (r),

polmer očrtane krogle (R), kot med sosednjima stranskima ploskvama (ϑ) vse izražajo s

številoma n in k ter robom stranske ploskve a, vendar precej zapleteno [8].

Brez težav najdemo povezavo med P (ploščina osnovne ploskve), V in r. Pravilni polieder

lahko namreč razrežemo na f skladnih pravilnih piramid, ki imajo skupni vrh v

poliedrovem središču, za osnovno ploskev pa imajo mejne ploskve pravilnega poliedra [8].

Osnovna ploskev take piramide ima ploščino P = 𝑆

𝑓 in višino r [8].

Njena prostornina je zato enaka 𝑆𝑟

3𝑓, prostornina obravnavanega poliedra pa V = f

𝑆𝑟

3𝑓 =

𝑆𝑟

3

[8].

Torej velja za vsak pravilen polieder formula: V = 1

3 Sr [8].

3.3. Dualnost poliedrov

Za pravilne poliedre pa velja še ena zanimivost. Če povežemo središča mejnih ploskev

pravilnega poliedra, zopet dobimo pravilni polieder. S povezavo teh točk pri pravilnem

tetraedru nastane pravilni tetraeder, pri pravilnem heksaedru (kocki) nastane pravilni

oktaeder, pri pravilnem oktaedru nastane kocka, v pravilnem dodekaedru nastane pravilni

ikozaeder (slika 2) in obratno, v pravilnem ikozaedru s povezavo središč mejnih ploskev

nastane pravilni dodekaeder (slika 3) [11].

Pravimo, da ima vsak pravilni polieder za svoje dualno telo tudi pravilni polieder (na

primer: dualna sta si pravilni dodekaeder in pravilni ikozaeder) [8].

11

Slika 2: Dual dodekaedra je ikozaeder [11].

Slika 3: Dual ikozaedra je dodekaeder [11].

12

13

4. Ikozaeder

4.1. Površina ikozaedra

V nadaljevanju se bomo posvetili izbranemu pravilnemu poliedru – ikozaedru, včasih

poimenovan tudi kot dvajseterec, ker ga omejuje dvajset skladnih enakostraničnih

trikotnikov. Površino pravilnega ikozaedra si bomo najlažje predstavljali, če izdelamo

mrežo (slika 4).

Slika 4: Mreža pravilnega ikozaedra.

Vidimo, da je izračun površine precej preprost. Izračunamo jo tako, da ploščino enega

enakostraničnega trikotnika z robom a pomnožimo z dvajset. Če formulo okrajšamo,

dobimo: S = 20 𝑎2√3

4 = 5a2 √3 [8].

14

4.2. Prostornina ikozaedra

Prostornine pravilnega ikozaedra ne moremo izračunati neposredno, tako kot površino. Pri

tem bomo uporabili koordinatno metodo, pri kateri nam bodo pomagale lastnosti zlatega

pravokotnika.

Zlati pravokotnik ima stranici v razmerju zlatega števila: 𝜙 = 1 + √5

2. Zlato število dobimo

kot pozitivno rešitev Fibonaccijeve kvadratne enačbe: 𝜙2 – 𝜙 – 1 = 0 [12].

Najprej si bomo pogledali, kako dobimo Fibonaccijevo kvadratno enačbo, zatem pa sledi

še izračun prostornine ikozaedra.

4.2.1. Fibonaccijeva kvadratna enačba

Zlato število se izpelje s preprostimi operacijami med števili. Osnovni elementi, iz katerih

izpeljemo zlato razmerje, so številska zaporedja.

Številsko zaporedje je preslikava množice naravnih števil v množico realnih (kompleksnih)

števil: n ↦An.

Zaporedje označimo s simboli (𝐴𝑛)𝑛=0∞ . An je n-ti člen tega zaporedja.

Ena izmed metod za generiranje številčnega zaporedja je uporaba ene ali več začetnih

vrednosti in rekurzivne formule. Pomemben je primer: Fn+2 = Fn+1 + Fn.

To pomeni, da je vsak člen enak vsoti prejšnjih dveh členov. Zaporedje ima dve začetni

vrednosti: F0 in F1. Primer, ko je F0 = 0 in F1 = 1, nam da Fibonaccijevo zaporedje:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Prav tako ga lahko nadaljujemo za negativne indekse. S tem dobimo zaporedje, ki gre v

neskončnost v obe smeri:

... 34, - 21, 13, - 8, 5, - 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

15

V tem primeru so vrednosti členov z negativnim predznakom numerično enake kot ustrezni

členi s pozitivnim predznakom, vendar se predznaki spreminjajo.

Naslednje preprosto številčno zaporedje je generirano z naslednjo rekurzijo: An+1 = qAn.

Člen zaporedja izračunamo tako, da predhodni člen pomnožimo s konstanto q. To

zaporedje je generirano na osnovi ene začetne vrednosti in vrednosti konstantnega faktorja.

Če vzamemo A0 = 1 in q = 2, dobimo naslednje člene:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, ...

Zopet lahko zelo enostavno izračunamo člene zaporedja z negativnimi indeksi:

... 1

32,

1

16, 1

8, 1

4, 1

2, 1, 2, 4, ...

Splošni člen Fibonaccijevega zaporedja poiščemo v obliki Fn = λn.

Ker je Fn+1 = λn+1, Fn+2 = λn+2, dobimo:

λn+2 = λn+1 + λn in po krajšanju λ2 = λ + 1.

Ta enačba je znana kot Fibonaccijeva kvadratna enačba, ki ima dve rešitvi:

λ 1 = 1+ √5

2, λ 2 =

1− √5

2 .

Število λ 1 = 1+ √5

2 je zlato število in ga običajno označujemo s 𝜙. Torej velja:

Fn = c1 𝜆1𝑛 + c2 𝜆2

𝑛, F0 = 0, F1 = 1. Iz začetnih členov izračunamo c1 = 1/√5 = − c2.

Splošni členi Fibonaccijevega zaporedja je torej:

Fn = 1

√5((

1+ √5

2)𝑛 − (

1− √5

2)𝑛).

Iz tega sledi:

lim𝑛→∞

𝐹𝑛+1

𝐹𝑛 = 𝜙.

S pomočjo zlatega števila lahko sedaj izračunamo prostornino pravilnega ikozaedra.

16

4.2.2. Izračun prostornine ikozaedra

Točka Z deli daljico AB v zlatem razmerju, če velja: 𝐴𝐵

𝐴𝑍 =

𝐴𝑍

𝑍𝐵, AZ > ZB. Če je AZ = a,

ZB = b, potem mora veljati: (a+b) / a = a / b. Iz te zahteve dobimo: a / b = 𝜙.

Zlati pravokotnik (slika 5) je pravokotnik, katerega stranice so v zlatem razmerju 𝐴𝐵

𝐵𝐶 = 𝜙

[13].

Slika 5: Zlati pravokotnik [13].

Vzemimo tri skladne zlate pravokotnike z daljšo stranico 𝜙a in krajšo stranico a, jih med

seboj prebodimo in vpeljimo pravokotni koordinatni sistem Oxyz, kot kaže slika 6.

Slika 6: Paroma pravokotni zlati pravokotniki [8].

17

Če gledamo z zelo oddaljene točke na pozitivni polovici osi x, vidimo oglišča:

Ax (0, 𝜙𝑎

2, 𝑎

2), Bx (0, –

𝜙𝑎

2,

𝑎

2), Cx (0, –

𝜙𝑎

2, –

𝑎

2), Dx (0,

𝜙𝑎

2, –

𝑎

2),

z zelo oddaljene točke na pozitivni polovici osi y, vidimo oglišča:

Ay (𝑎

2, 0,

𝜙𝑎

2), By (

𝑎

2, 0, –

𝜙𝑎

2), Cy (–

𝑎

2, 0, –

𝜙𝑎

2), Dy (–

𝑎

2, 0,

𝜙𝑎

2),

in z zelo oddaljene točke na pozitivni polovici osi z, oglišča:

Az (𝜙𝑎

2, 𝑎

2 , 0), Bz (–

𝜙𝑎

2,𝑎

2, 0), Cz (–

𝜙𝑎

2, –

𝑎

2, 0), Dz (

𝜙𝑎

2, –

𝑎

2, 0).

Opazimo, da so vsa oglišča glede na koordinate, oblike:

(0, ± 𝜙𝑎

2, ±

𝑎

2), (±

𝑎

2, 0, ±

𝜙𝑎

2), (±

𝜙𝑎

2, ±

𝑎

2, 0).

Število točk vsake vrste je 4, skupaj torej 12. Naštete točke predstavljajo ravno oglišča

pravilnega ikozaedra z robom a. Njegovih dvajset mejnih ploskev sestavljajo

enakostranični trikotniki. Naštejmo tistih pet, ki imajo skupno oglišče Ax: AxDyAy, AxAyAz,

AxAzDx, AxDxBz, AxBzDy .

Da je na primer trikotnik z oglišči AxDyAy enakostraničen, s stranico a, preverimo s

formulo za razdaljo:

|AxDy|2 = |AyAx|2 = (– 𝑎

2 – 0)2 + (0 –

𝜙𝑎

2)2 + (

𝜙𝑎

2 –

𝑎

2)2=

= a2

4 +

ϕ2a2

4 +

ϕ2a2

4 –

2ϕa2

4 +

a2

4 =

= 2𝑎2

4 +

2𝜙2𝑎2

4 –

2𝜙𝑎2

4 =

= 𝑎2

4 (2 + 2𝜙2 – 2𝜙) =

= 𝑎2

4 (2 + 2 (𝜙 + 1) – 2 𝜙 ) = a2 = |DyAy|2.

Središče oziroma težišče tega trikotnika dobimo s formulo:

A (1

3 (0 –

𝑎

2 +

𝑎

2),

1

3 (

𝜙𝑎

2 + 0 + 0),

1

3 (

𝑎

2 +

𝜙𝑎

2 +

𝜙𝑎

2)),

ko poenostavimo, dobimo: A (0, 𝜙𝑎

6, (1+ 2𝜙)𝑎

6).

18

Sedaj lahko izračunamo polmer včrtane krogle (r) in polmer očrtane krogle (R) za pravilni

ikozaeder.

Najprej velja:

r = |OA| = 𝑎

6 √𝜙2 + (1 + 2𝜙)2 =

𝑎

6 √𝜙2 + 1 + 4𝜙 + 4𝜙2 =

= 𝑎

6 √5(𝜙 + 1) + 1 + 4𝜙 =

𝑎

6 √6 + 9𝜙.

Ko namesto 𝜙 vstavimo (1+√5) / 2, dobimo:

r = 𝑎

12 √42 + 18√5 =

𝑎

12 (3√3 + √15).

Izračunajmo sedaj še polmer očrtane krogle (R) pravilnega ikozaedra:

R = |OAx| = √02 +(𝜙𝑎)

4

2+

a

4

2 =

= 𝑎

2 √𝜙2 + 1 =

𝑎

2 √𝜙 + 2 =

= 𝑎

2 √

8+2+2√5

4 =

𝑎

4√10 + 2√5.

Sedaj lahko po formuli V = 1

3 Sr izračunamo prostornino pravilnega ikozaedra.

V = 5𝑎3

36 √3 (3√3 + √15) =

5𝑎3

12 (3+√5).

S pomočjo mešanega produkta lahko prostornino izračunamo še nekoliko drugače.

Ikozaeder razdelimo na dvajset enakih tetraedrov in izračunamo prostornino enega

tetraedra. Vzemimo na primer tetraeder OAxDyAy [8]:

V = 20 · 1

6 (𝑂𝐴𝑥

, 𝑂𝐷𝑦 , 𝑂𝐴𝑦

) = 10

3 ·(

𝑎

2)3 |

0 𝜙 1−1 0 𝜙1 0 𝜙

| = 5𝑎3

12 (2 𝜙2) =

5𝑎3

12 (2𝜙 + 2) =

= 5𝑎3

6 (1+

1+ √5

2) =

5𝑎3

12 (3+√5).

19

4.3. Kot med sosednjima mejnima ploskvama

Za izračun kota ϑ med sosednjima mejnima ploskvama ikozaedra potrebujemo najprej

težišči sosednjih ploskev. Za trikotnik AxDyAy smo težišče izračunali že zgoraj. Izberimo si

torej sosednji trikotnik AxAyAz in poiščimo njegovo središče B. Dobimo:

B ((1+𝜙)𝑎

6, (1+𝜙)𝑎

6, (1+𝜙)𝑎

6).

Iskani kot ϑ je suplementaren kotu ϑ' med vektorjema 𝑂𝐴 in 𝑂𝐵 oziroma kotu med

vektorjema 𝑎 = (0, 𝜙, 1+2𝜙) in �� = (1+ 𝜙, 1 + 𝜙, 1+𝜙), ki smo ju dobili iz 𝑂𝐴 in 𝑂𝐵 s

krajšanjem s faktorjem 𝑎

6.

Torej velja:

cos ϑ' = �� ∙ ��

|�� | ∙ |�� | =

4+7𝜙

6+9𝜙 =

2𝜙−1

3 =

√5

3.

S tem smo dobili cos ϑ = – √5

3 in približek za kot med sosednjima ploskvama (slika 7) [8]:

ϑ = 138° 11' 23''.

Slika 7: Izmerjen kot med dvema sosednjima ploskvama v GeoGebri.

20

4.4. Graf ikozaedra

Med poliedri in teorijo grafov je zelo pomembna povezava. Vsakemu enostavnemu

poliedru lahko priredimo graf v ravnini. Najprej si poglejmo definicijo grafa.

Definicija

Graf G je množica točk v prostoru in povezav med temi točkami. Označimo ga z G = (V,

E), pri čemer je V(G) množica točk in E(G) množica povezav grafa G [14].

Graf G je ravninski, če se ga da narisati v ravnini tako, da se povezave ne sekajo, razen v

točkah [14].

Primer ravninskega grafa ikozaedra je na sliki 8.

Slika 8: Ravninski graf ikozaedra [15].

4.5. Simetrije ikozaedra

Simetrija telesa pomeni preslikavo telesa samega vase, pri čemer je slika enaka originalu.

Definicija

Grupa simetrij poliedra je množica vseh tistih izometrij prostora, ki ohranjajo polieder.

21

Primer simetrije poliedra je zrcaljenje preko točke. Če telo dvakrat prezrcalimo, dobimo

zopet prvotno telo. Telesa, za katera obstaja rotacija, ki telo preslika samo vase, so

rotacijska telesa [16].

Za poliedre obstaja le 5 sistemov rotacijske simetrije: ciklična, diedrska, tetraedrska,

oktaedrska in ikozaedrska. V našem primeru se bomo osredotočili na ikozaedrsko

rotacijsko simetrijo [16].

Oglišča ikozaedra si stoje nasproti, šest parov oglišč veže šest osi petega reda. Tudi

stranice so razdeljene na nasprotne pare, središči para veže os tretjega reda. Središči

nasprotnih robov veže os drugega reda, takih osi je 15. Vseh rotacij, ki ohranjajo

ikozaeder, je nazadnje [17]:

1 + 15·1 + 10·2 + 6·4 = 60.

Oglejmo si osi rotacij še s slikovnim prikazom:

a) 6 osi reda 5, ki potekajo skozi nasprotni oglišči prikazuje slika 9.

Slika 9: Prikaz šestih osi rotacijske simetrije skozi nasprotna oglišča.

22

b) Eno izmed 10 osi reda 3, ki potekajo skozi središči nasprotnih mejnih ploskev

prikazuje slika 10.

Slika 10: Prikaz ene izmed rotacijskih osi, ki poteka skozi središči nasprotnih mejnih ploskev.

c) Eno izmed 15 osi reda 2, ki potekajo skozi središči nasprotnih robov prikazuje slika

11.

Slika 11: Prikaz ene izmed rotacijskih osi, ki poteka skozi središči nasprotnih robov.

Poleg rotacijske je ena izmed pomembnejših simetrij tudi zrcalna simetrija. Telo ima

zrcalno simetrijo, če obstaja ravnina, ki zrcaljenje preko te ravnine ohranja telo [16].

23

4.6. Ikozaedrska igra

Ikozaedrsko igro je izumil William Hamilton, irski matematik (1805 – 1865). Preden si

pogledamo pravila te igre, ponovimo nekaj definicij v zvezi s Hamiltonovimi grafi.

Hamiltonova pot

Pot v neusmerjenem grafu, pri katerem obiščemo vsako točko danega grafa, vendar začetna

in končna točka nista enaki.

Hamiltonov cikel

Cikel, pri katerem obiščemo vsako točko danega grafa, začetna in končna točka pa je

enaka. Graf, ki vsebuje Hamiltonov cikel, imenujemo Hamiltonov graf.

Hamilton je za ikozaedrsko igro (imenovano tudi Potovanje okoli sveta) vzel graf

dodekaedra (slika 12), ki vsebuje dvajset točk, poimenovanih z začetnicami glavnih mest

držav sveta (slika 13). Naloga igralca je, da poišče Hamiltonov cikel, torej obišče vsa

mesta, vsako le enkrat, pri čemer potovanje začne in konča v istem mestu [18, 19, 20].

Slika 12: Dodekaeder.

24

Slika 13: Graf za igro Potovanje okoli sveta [19].

Hamilton je pokazal, da vedno obstaja tak cikel, ne glede na izbiro prvih petih zaporednih

mest (slika 13). Problem je rešil s pomočjo ikozaedrskega računa [19].

Slika 14: Primer Hamiltonovega cikla na grafu dodekaedra.

25

5. Zaključek

Pravilni ikozaeder in ostali pravilni poliedri niso zanimivi le za matematike, ampak tudi za

umetnike.

Pravilni ikozaeder je med drugimi upodobil nizozemski umetnik Maurits Cornelis Escher

(1898 – 1972). Prav tako pa je priznani nemški biolog leta 1880 na potovanju popisal več

enoceličnih organizmov. Eno izmed njih je poimenoval Circogonia icosahedra, saj ima

obliko pravilnega ikozaedra.

Mnogi modeli virusov imajo obliko ikozaedra, med njimi tudi model virusa HIV.

Spoznavanje pravilnih poliedrov lahko vključimo že v izobraževanje v osnovni šoli. Poleg

izdelovanja modelov in ugotavljanja lastnosti omenjenih geometrijskih teles v šoli, se

učenci lahko udeležijo delavnic v Hiši poliedrov, ki je namenjena prav temu.

V diplomskem delu smo se osredotočili le na pravilen ikozaeder. Možne razširitve bi bile:

obravnava ostalih pravilnih in nepravilnih poliedrov, uporaba v šoli, delavnice...

26

27

6. Literatura

[1] Poliedrski kamni [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/neolithic.html],

25.9. 2015.

[2] M. J. Weninger, Polyhedron Models (Cambridge, Cambridge University Press,

1974).

[3] Platonova obravnava pravilnih poliedrov

[http://www2.arnes.si/~mursic3/Renesansa-geometrija_Ursic-Marko_DMFA-

2014.pdf], 2.11.2015.

[4] Platon, Zbrana dela IV, Država; Timaj; Kritija (Ljubljana, kud Logos, 2009).

[5] Logika & razvedrilna matematika, Arhimed, letnik 17, 2007/08, št.3.

[6] V. Domajnko, Zvezdni poliedri, Presek – list za mlade matematike, fizike, astronome

in računalnikarje, 28 (2), 68-73 (2000 / 2001).

[7] Definicija poliedrov [https://en.wikipedia.org/wiki/Polyhedron], 6.10.2015.

[8] M. Razpet, Površine in prostornine pravilnih poliedrov, Presek - list za mlade

matematike, fizike, astronome in računalnikarje, 28 (4), 212-220 (2000 / 2001).

[9] I. Agricola, T. Friedrich, Elementary geometry (Wiesbaden, AMS, 2005).

[10] P. Svetlin: Matematično preiskovanje poliedrov v osnovni šoli, 2012, diplomsko

delo.

[11] Duali poliedrov [http://mathworld.wolfram.com/Icosahedron.html], 1.12.2015.

28

[12] R. A. Dunlap, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers (London, World Scientific,

2003).

[13] Zlati rez skozi zgodovino [http://www.educa.fmf.uni-

lj.si/izodel/sola/2005/ura/zakosek/stran/zlati_rez/zlati_rez.pdf], 6.4.2016.

[14] Teorija grafov [http://www.educa.fmf.uni-

lj.si/izodel/sola/2006/ura/oblak/html/Uvod.html], 30.11.2015.

[15] Ravninski graf ikozaedra [file:///C:/Users/User/Desktop/Mat-je-kul-11-Marusic.pdf],

30.11.2015.

[16] Simetrija ikozaedra [http://mars.famnit.upr.si/mars2008/pdf/cl-08-01-poliedri.pdf],

23.2.2016.

[17] F. Križanič, Nihalo, prostor, delci (Ljubljana, Slovenska matica, 1982).

[18] Eulerjevi in Hamiltonovi grafi

[http://compalg.inf.elte.hu/~tony/Oktatas/TDK/FINAL/Chap%203.PDF], 1.12.2015.

[19] K. Zupanc: Problem trgovskega potnika, 2012, diplomsko delo.

[20] Hamiltonov problem [http://www.educa.fmf.uni-

lj.si/izodel/sola/1999/ura/boldin/hamilton_problem.htm], 1.12.2015.