pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličinfast10.vsb.cz › krejsa › studium ›...
TRANSCRIPT
Nominální napětí v pásnici
Mean
Std Std
140 160 180 200 220 240 260
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Téma 2: Pravděpodobnostní
vyjádření náhodných veličin
Přednáška z předmětu:Spolehlivost a bezpečnost staveb
4. ročník bakalářského studia
Katedra stavební mechanikyFakulta stavební
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava
Osnova přednášky
Náhodný jev, pravděpodobnost náhodného jevu Náhodná veličina: diskrétní spojitá
Základní pojmy teorie pravděpodobnosti: Rozdělení pravděpodobnosti:
Parametrické Neparametrické (empirické)
Pravděpodobnostní funkce Hustota rozdělení pravděpodobnosti Distribuční funkce
Aproximace omezených rozdělení pravděpodobnosti, histogramy
Náhodná veličina v pravděpodobnostním výpočtuPravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 1 / 33
Pravděpodobnost
Náhodným jevem se rozumí opakovatelná činnost prováděná za stejných (nebo přibližně stejných) podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Příklady mohou být například házení kostkou, střelba do terče nebo losování loterie.
Pravděpodobnost náhodného jevu je číslo, udávající s jakou jistotou lze daný náhodný jev očekávat. Míra pravděpodobnosti náleží do uzavřeného intervalu <0, 1>, kde nula znamená, že událost nemůže nastat a jednička, že jev je jistý. Lze vyjádřit i procentuálně (po vynásobení 100)
V teorii spolehlivosti konstrukcí např.kde Pf ... pravděpodobnost, že nastane porucha Ps ... pravděpodobnost, že konstrukce zůstane zachovaná
Základní principy teorie pravděpodobnosti 2 / 33
1 sf PP
Náhodná veličina
Náhodná veličina je libovolná reálná funkce X definovaná na množině elementárních jevů ω pravděpodobnostního prostoru Ω.
Náhodná veličina je určena rozdělením pravděpodobnosti.
Spojité a diskrétní veličiny: Náhodné veličiny lze rozdělit na nespojité(diskrétní) a spojité. Diskrétní veličiny mohou nabývat pouze početný počet hodnot (konečný i nekonečný), zatímco spojité veličiny nabývají hodnoty z intervalu (konečného nebo nekonečného). Obor všech hodnot náhodné veličiny se nazývá definičním oborem.
Příklad: Výskyt daného jevu lze označit hodnotou 1. Pokud k výskytu daného jevu nedojde, náhodné veličině se přiřadí hodnota 0. Jedná se tedy o diskrétní náhodnou veličinu, která nabývá pouze hodnoty 0 nebo 1.
Základní principy teorie pravděpodobnosti 3 / 33
Náhodná veličina
0,000
0,015
0,030
0,045
0,060
0,075
0,090
0,105
0,120
0,135
0,150
0,165
0,180
P (x )
1 2 3 4 5 6 x
Pravděpodobnostní funkce hodu kostkou
Základní principy teorie pravděpodobnosti 4 / 33
Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny
Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny lze získat, pokud se každé hodnotě diskrétní náhodné veličiny, popř. intervalu hodnot spojité náhodné veličiny, přiřadí pravděpodobnost s pomocí pravděpodobnostní funkce P(x).
Znalost pravděpodobnostní funkce lzepoužít k výpočtu pravdě-podobnosti. Např. pravdě-podobnost, že náhodnáveličina X leží mezihodnotami x1 a x2 se určí:
Rozdělení pravděpodobnosti, pravděpodobnostní funkce
2
1
21
x
xxxPxxxP
Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny je pravidlo, kterým se každému jevu popisovanému touto veličinou přiřadí určitá pravděpodobnost.
x P(x)
x1 P(x1)
x2 P(x2)
... ...
xn P(xn)
Základní principy teorie pravděpodobnosti 5 / 33
Distribuční funkce diskrétní veličiny
Pomocí pravděpodobnostní funkce lze zavést tzv. distribuční funkcivztahem:
Distribuční funkce je neklesající a je spojitá zleva. Hodnoty distribuční funkce leží v rozsahu
Pro diskrétní náhodnou veličinu X lze pro libovolné reálné číslo x vyjádřit distribuční funkci vztahem
VlastnostiJestliže hodnoty náhodné veličiny leží v intervalu <a,b), pak F(a) = 0 a F(b) = 1.
xXPxF
10 xF
xt
tPxF
Základní principy teorie pravděpodobnosti 6 / 33
Pravděpodobnostní a distribuční funkce hodu kostkou
0,000
0,015
0,030
0,045
0,060
0,075
0,090
0,105
0,120
0,135
0,150
0,165
0,180
P (x )
1 2 3 4 5 6 x
Pravděpodobnostní funkce hodu kostkou
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
F (x )
1 2 3 4 5 6 x
Distribuční funkce hodu kostkou
Distribuční funkce
Pravděpodobnostní funkce
Základní principy teorie pravděpodobnosti 7 / 33
Hustota rozdělení pravděpodobnosti Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se určuje prostřednictvím funkce, kterou označujeme jako hustota rozdělení pravděpodobnosti (hustota pravděpodobnosti).
Je-li (x) hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X, pak platí kde Ω je definiční obor veličiny X.
(Pro hodnoty x mimo definiční obor Ω je hustota pravděpodobnosti nulová).
Ze znalosti hustoty pravděpodobnosti (x) lze určit pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude mít hodnotu z intervalu <x1,x2>, tedy
1d
xx
2
1
x
x21 dxxxXxP
Základní principy teorie pravděpodobnosti 8 / 33
Distribuční funkce spojité veličinyPro spojitou náhodnou veličinu s hustotou pravděpodobnosti (x)lze definovat distribuční funkci vztahem
VlastnostiPlatí, že a .Distribuční funkci lze použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť
Lze dokázat, že mezi hustotou pravděpodobnosti (x) a distribuční funkcí F(x) platí vztah
ttxF d
0F 1F
1221 xFxFxXxP
xxFx
dd
Základní principy teorie pravděpodobnosti 9 / 33
Distribuční funkce spojité veličiny
Distribuční funkce
Pravděpodobnostní funkce
Základní principy teorie pravděpodobnosti 10 / 33
Aproximace omezených rozdělení pravděpodobnosti, histogramy
1. Původní (originální)
rozdělení pravděpodobnosti
2. Diskrétní (discrete) rozdělení
pravděpodobnosti
3. Čistě diskrétní(pure discrete)
rozdělení pravděpodobnosti
4. Po částech rovnoměrné
rozdělení pravděpodobnosti
1. 2.
3. 4.
Intenzita
Pra
vděp
odob
nost
(č
etno
st)
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 11 / 33
Omezení definičního oboru rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
Neomezený obor rozdělení pravděpodobnosti náhodné
spojité veličiny
Omezený obor rozdělení pravděpodobnosti náhodné
spojité veličiny
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 12 / 33
Mez kluzu
MeanStd Std
220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
(Ne)parametrické rozdělení pravděpodobnosti
Parametry - charakteristiky rozdělení náhodné veličiny(např. střední hodnota a směrodatná odchylka)
2
2
2
21,
x
exfParametrická rozdělení pravděpodobnosti popsány
analytickou funkcí – např. obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělení
Nominální napětí v pásnici
Mean
Std Std
140 160 180 200 220 240 260
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti
definovány na základě měření, často i dlouhodobých
Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 13 / 33
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
Variable 1
MeanStd Std
240 260 280 300 320 340 360
0.005
0.01
0.015
0.02
Charakteristiky rozdělení náhodné veličiny -parametry
(např. střední hodnota a směrodatná odchylka)
Důležitá spojitá rozdělenípravděpodobnosti:• Rovnoměrné rozdělení • Normální rozdělení
(Gaussovo rozdělení) • Exponenciální rozdělení • Laplaceovo rozdělení• Logistické rozdělení • Maxwellovo rozdělení • Studentovo rozdělení • Fischerovo-Snedecorovo rozdělení • χ² rozdělení (Chí kvadrát)
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 14 / 33
Normální rozdělení pravděpodobnosti
2)(
21
21,
x
exf
Obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělenípravděpodobnosti:
... směrodatnáodchylka
... střední hodnota
n
iixn 1
1
n
iixn 1
21
2
2
2
21,
x
exf
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 15 / 33
2
2
2
21,
x
exf
Obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělenípravděpodobnosti
2
2
2ln
21,
x
ex
xf
Obecný vzorec funkce hustoty lognormálního rozdělení pravděpodobnosti
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1
s=0.5s=0.75s=1
... směrodatná odchylka ... střední hodnota
n
iixn 1
ln1
n
iixn 1
2ln1
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 16 / 33
Mez kluzu fy oceli S235
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 17 / 33
Tlaková pevnost betonu
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 18 / 33
Krycí vrstva betonu
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 19 / 33
Pevnost zdiva
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 20 / 33
Základní typy parametrických rozdělení pravděpodobnosti
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 21 / 33
Programový nástroj HistAnSlouží pro podrobnější analýzu vstupních histogramů.
Minimum a maximum funkční hodnoty (okrajové hranice histogramu) Počet tříd (intervalů) a četností v nich definovaných Jednoduché výpočty (stanovení funkční hodnoty s odpovídajícím
kvantilem a kvantilu pro zadanou funkční hodnotu) Určení kombinace několika
vstupních histogramů Určení tzv. sumárního
histogramu (výpočty s tzv. větrnou růžicí)
Tvorba histogramů s parametrickým rozdělením
Zpracování naměřených (prvotních) dat
Tvorba a analýza histogramů vstupních veličin 22 / 33
Histogram omezeného rozdělení pravděpodobnosti
Histogram omezeného diskrétního (discrete)
rozdělení pravděpodobnosti
Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 23 / 33
Histogram čistě diskrétního rozdělení pravděpodobnosti
Histogram čistě diskrétního (pure
discrete) rozdělení pravděpodobnosti
Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 24 / 33
Struktura datového souborus definicí histogramu
Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 25 / 33
Textový soubor s příponou *.dis (distribution), jenž obsahuje údaje následujícího tvaru:
[Description] (1. oddíl datového souboru)Identification= volitelný popis datového souboruType= Pure Discrete | Discrete | Continuous (typ empirického rozdělení)
[Parameters] (2. oddíl datového souboru)Min= minimální funkční hodnotaMax= maximální funkční hodnotaBins= celkový počet tříd daného histogramuTotal= součet četností ve všech třídách
[Bins] (3. oddíl datového souboru)četnost v 1. tříděčetnost ve 2. tříděatd. ...
Implementace modulu pro vkládání naměřených dat a pro jejich vyhodnocování.
Možnost tvorby histogramů s neparametrickým rozděleníms možností volby počtu intervalů.
Použití histogramů s parametrickým rozdělením.
K dispozici škála 23 typů s možností výběru nejvhodnějšího z nich pro daný soubor získaných či naměřených hodnot s využitím koeficientu těsnosti.
Parametrická rozdělení v programu HistAn (v systému ProbCalc)
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 26 / 33
Normální LogNormální Gumbel I a II Raised-Cosine Cauchy Fischer-Tippett Laplace Logistic Weibull Rayleigh Lévy Student Beta v nule Beta obecné Gama Snedecorovo Pareto Uniform Trianguler Exponenciální X2
Half-Logistic
Pravděpodobnost pro „useknutí“ parametrického rozdělení
Parametrická rozdělení v programu HistAn (v systému ProbCalc)
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 27 / 33
Histogram omezeného rozdělení pravděpodobnosti
Histogram aproximace parametrického
rozdělení pravděpodobnosti
omezeným diskrétním(discrete) rozdělením
pravděpodobnosti
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 28 / 33
Použití naměřených (primárních) dat, parametrické rozdělení
Výběr vhodného
rozdělení dle koeficientu
těsnosti
Charakteristiky odvozených parametrických dat
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 29 / 33
Koeficient těsnosti
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 30 / 33
2
2,
2
2 ..2
1y
iiiixy
y
Y
s
yYYyn
s
ss
i
iy yyn
s 22 .1
i
iY yYn
s 22 .1
i
iixy Yyn
s 22, .1
Yi ... hodnota funkce hustoty pravděpodobnostiparametrického rozdělení v příslušnéhodnotě xi
y ... střední hodnota ze všech yi
rozptyly pro nintervalů
1,02
2
y
Y
ss
Reziduální (zbytkový) součet čtverců
i
iixy Yyn
s 22, .1
Rozptyl ... žádoucí nejmenší hodnota
Yi ... hodnota funkce hustoty pravděpodobnostiparametrického rozdělení v příslušnéhodnotě xi
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 31 / 33
Tabulka vhodných parametrických rozdělení a jejich charakteristik
vhod
náne
vhod
ná
Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 32 / 33
Závěry
Přednáška:
byla zaměřena na základní pojmy teorie pravděpodobnosti, které souvisejí s pravděpodobností náhodného jevu,
ukázala možnosti pravděpodobnostního vyjádření náhodné veličiny formou neparametrického (empirického) a parametrického rozdělení pravděpodobnosti,
stručně zmínila způsoby definice histogramu náhodné veličiny v datových souborech pravděpodobnostních výpočtů,
nastínila použití programového prostředku HistAn.
Závěry 33 / 33
Nominální napětí v pásnici
Mean
Std Std
140 160 180 200 220 240 260
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
Děkuji za pozornost!