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Práticas de Investigação Quantitativa

FUNÇÕES

Apontamentos Teóricos

FEUC - 1o Sem. 2010/2011

Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 1 / 35

Funções - de�nição

Uma função é uma regra que a cada elemento de um conjunto Aassocia um e um só elemento de um conjunto B.

Exemplo: Considere A = f1, 2, 3g , B = f1, 2, 3, 4, 5, 6g e aexpressão "dobro de x".

A B

1 12

2 34

3 56

Figura 2.1. Aplicação de A em B


Funções - de�nição

De�nição: Dados 2 conjuntos, A e B, chama-se aplicação ou funçãode A em B a toda a correspondência que a cada elemento x de Aassocia um e um só elemento y de B.

y é a imagem de x pela função f e designa-se por f (x).

Exemplo: f (1) = 2, isto é, 2 é a imagem do objecto 1 por f .

f : A �! Bx ,! y = f (x)

Indica que f faz corresponder a cada elemento de A um e um só elemento de Be que f faz corresponder a x o valor y = f (x) ou que f transforma x em f (x).

x = variável independente; y = variável dependente ou função.

A = domínio da função f (Df ) ou conjunto de partida.

B = conjunto de chegada.Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 3 / 35

Funções - contradomínio

Note que todos os elementos de A têm que ser considerados,...

... mas nem todo o elemento de B tem que ser imagem de algumelemento de A.

Assim sendo, convém considerar o conjunto f (A):

f (A) = ff (x) : x 2 Ag � BConjunto dos elementos que são transformados de algum elemento de A

A este conjunto chama-se contradomínio da função f (CDf ).

Com base no exemplo dado acima temos:

Domínio = Df = A = f1, 2, 3g ;Conjunto de chegada = B = f1, 2, 3, 4, 5, 6g;Contradomínio = CDf = f2, 4, 6g .


Funções - formas de de�nição

Diagrama sagital - usado no exemplo acima.

Tabela de correspondência - f = (1 2 34 6 8)

Pares ordenados - f = f(1, 2), (2, 4), (3, 6)g. Este é o grafo da função.

De�nição geométrica:

Atendendo à função genérica f , tal que:

f : A �! Bx ,! y = f (x)

considera-se um sistema de dois eixos ordenados:� o referencial cartesiano

e determinam-se os pontos de coordenadas: (x1, y1), (x2, y2),...em que y1 = f (x1), y2 = f (x2),...e x1, x2,... (que pertencem ao domínio de f ).



y

x yy2 P2(x2,y2)

x1 y1x2 y2

y1 P1(x1,y1)… …

0 x1 x2 x

Figura 2.2. Representação grá�ca de uma função f qualquer



Ao conjunto de todos os pontos, P1(x1, y1),P2(x2, y2), ...,Pn(xn, yn),chama-se imagem geométrica da função.

Considerando o exemplo dado acima:

f : f1, 2, 3g �! f1, 2, 3, 4, 5, 6gx ,! dobro de x

y6

4

2

0 1 2 3 x

Figura 2.3. Função fVítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 7 / 35


De�nição geométrica - caso em que o conjunto de pontos forma

uma linha:f : R �! R

x ,! dobro de x

y y=dobro de x

6

4

2

0 1 2 3 xDg=IR

Figura 2.4. Função g



De�nição analítica - consiste em indicar o domínio e o conjunto dechegada e em de�nir a correspondência entre as variáveis por meio deuma expressão designatória.

f : Df �! Conjunto de Chegadax ,! expressao designatoria de f (x)

Exemplos:

f : R �! R

x ,! 2xe

g : Rnf2g �! R

x ,! 3x�2

Note que no caso da função g , a expressão designatória 3x�2 só tem

signi�cado se x 6= 2) Dg = Rnf2g.Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 9 / 35

Função sobrejectiva

De�nição: Uma função f de domínio A e conjunto de chegada Bdiz-se sobrejectiva se e só se o seu contradomínio coincide com oconjunto de chegada:

f é sobrejectiva , f (A) = B , 8y 2 B, 9x 2 A : y = f (x)

Todo o elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A.

A B X Yf g

a 1 x 1

b 2 y 2

c 3 z 3

d

Figura 2.5. Funções f e g

f é sobrejectiva, mas g não é sobrejectiva. Porque?Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 10 / 35

Função injectiva

De�nição: Uma função f de domínio A e conjunto de chegada Bdiz-se injectiva se e só se quaisquer dois elementos distintos de Atêm imagens distintas em B:

f é injectiva , 8x1, x2 2 A, x1 6= x2 ) f (x1) 6= f (x2)objectos diferentes ) imagens diferentes

ou , 8x1, x2 2 A, f (x1) = f (x2)) x1 = x2imagens iguais ) objectos iguais

f não é injectiva , 9x1, x2 2 A, x1 6= x2 ^ f (x1) = f (x2)objectos diferentes t em a mesma imagem

A B X Yf g

1 2 1 3

2 4 2 5

3 6 3 7

8

f é injectiva, mas g não é injectiva. Porque?Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 11 / 35

Função bijectiva

De�nição: Uma função f de domínio A e conjunto de chegada B éconsiderada bijectiva se e só se é injectiva e sobrejectiva.

A B X Yf g

a 5 x 2

b 7 y 4

c 9 z

Figura 2.7. Funções f e g

A função f é bijectiva, pois para cada elemento do conjunto B existe um e um só

elemento de A que tem esse elemento de B por imagem.

A função g não é bijectiva, pois não é injectiva (apesar de ser sobrejectiva).Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 12 / 35

Função bijectiva - exemplos

Averigue se são bijectivas as seguintes funções:

f : N ! N

x ,! y = 2x

h : [�0, 5; 1] �! [�1, 2] j : [�1; 2] �! R+0

h: j:

y y

3

2 2

1

0,5 0 1 x 1 x1 0 x2 1 2 x

1

Figura 2.8. Funções h e jVítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 13 / 35

Função inversa

De�nição: A função inversa de f é a função f �1 que tem pordomínio o contradomínio de f , tal que x = f �1(y), y = f (x):

f : A �! Bx ,! y = f (x)

� f �1 : CDf �! Ay ,! x = f �1(y)

Notas: (i) quando a função f é bijectiva ) CDf = B;

(ii) a inversa da inversa de uma função é a própria função:(f �1)�1 = f ;

(iii) só as aplicações injectivas (e, consequentemente, asbijectivas) é que admitem inversa.Assim sendo, nunca se coloca o problema de identi�car a inversa de

uma aplicação não injectiva, pois a correspondência inversa nesse

caso, por não ser unívoca, nunca é uma aplicação/função.


Função inversa - exemplos

A Bf

1 2

2 4

3 6f 1

A Bg

1 2

2 4CDg

g 1 6 8

A função f representa a função inversa de uma aplicação bijectiva:

f : f1, 2, 3g �! f2, 4, 6gx ,! y = f (x)

� f �1 : f2, 4, 6g �! f1, 2, 3gy ,! x = f �1(y)

A função g representa a função inversa de uma função (apenas) injectiva:

g : f1, 2g �! f2, 4, 6, 8gx ,! y = g(x)

� g�1 : f2, 4g �! f1, 2gy ,! x = g�1(y)


Função inversa - domínio e conjunto-chegada in�nitos

Exemplo: domínio e o conjunto de chegada são conjuntos in�nitos.

Considere-se, em N, a aplicação h : x �! y = 2x , cujo contradomínioé o conjunto P2 dos números pares positivos. Então, tem-se que:

h : N �! N

x ,! y = 2x� h�1 : P2 �! N

y ,! x = h�1(y) = y2

Atendendo a que é habitual representar-se a variável independente porx e a dependente por y , pode escrever-se:

h�1 : P2 �! N

x ,! y = x2


Funções reais de variável real

De�nição: Função real de variável real f é toda a aplicação de umsubconjunto de R em R, ou seja, é toda a aplicação cujo Df � R e oconjunto de chegada é R.

f : Df � R ! R

x ,! y = f (x)

(i) Determinação de domínios

f (x) = 2x+1x�2 tem Df = fx 2 R : x � 2 6= 0g = Rnf2g,

logo f : Rnf2g ! R

x ,! y = 2x+1x�2 .

g(x) = x + 3 tem Df = R, logo g : R ! R

x ,! y = x + 3.



(ii) Funções de�nidas por expressões analíticas diferentes

f (x) =�1� 3x se x � 23x + 2 se x < 2

) f (3) = 1� 3� 3 = �8f (1) = 3� 1+ 2 = 5

- Módulo ou valor absoluto

f (x) = jg(x)j =�

g(x) se g(x) � 0�g(x) se g(x) < 0

Exemplo:

f (x)=jx � 2j=�

x � 2 se x � 2 � 0�(x � 2) se x � 2 < 0 =

�x � 2 se x � 22� x se x < 2



(iii) Injectividade, função inversa e contradomínio

Exemplo: Considere-se, em R, a seguinte função: f (x) = 2xx�1

de domínio Df = fx 2 R : x � 1 6= 0g = Rnf1g.

� Injectividade:f é injectiva se e só se: f (x1) = f (x2)) x1 = x2, 8x1, x2 2 Df

f (x1) = f (x2), 2x1x1�1 =

2x2x2�1

, 2x1(x2 � 1) = 2x2(x1 � 1), 2x1x2 � 2x1 = 2x2x1 � 2x2, x1 = x2

O que prova que f é injectiva.



� Função inversa e contradomínio:Sendo que f é injectiva, então admite inversa.

y = 2xx�1 , y(x � 1) = 2x , yx � y = 2x

, yx � 2x = y , x(y � 2) = y, x = y

y�2

Tomando x como variável independente: f �1(x) = xx�2

e Df �1 = fx 2 R : x � 2 6= 0g = Rnf2g = CDf , então:f �1 : Rnf2g ! Rnf1g

x ,! xx�2

CDf não coincide com conjunto-chegada (R)) f não é sobrejectiva.

Mas... para determinar o CDf nem sempre se pode recorrer ao Df �1 .

� Exemplos: g(x) = 2+ x2 e h(x) = 5�px2 + 1.



(iv) Zeros de uma função

Os zeros de uma função f são os valores de x para os quais a funçãose anula: x1 é zero de f se e só se f (x1) = 0.

� Exemplos: f (x) = (x2 � 1)(x + 2) e g(x) = x 2+1x�1 .

(v) Sinal de uma função

Uma função diz-se positiva (negativa) num subconjunto A do seudomínio se e só se 8x 2 A, f (x) > 0 (f (x) < 0).

� Exemplos: f (x) = x2 + 1 e g(x) = x + 2.

(vi) Monotonia

Uma função diz-se crescente num subconjunto A do seu domíniose e só se 8x1, x2 2 A, x2 > x1 ) f (x2) > f (x1).

Uma função diz-se decrescente num subconjunto A do seu domíniose e só se 8x1, x2 2 A, x2 > x1 ) f (x2) < f (x1).



f: g:y y

y2 x2>x1=>f(x2)>f(x1), ∀x∈ℜ x2>x1=>f(x2)<f(x1), ∀x∈ℜ

y1

x1 x2

0 x1 x2 x 0 xy1

y2

Figura 2.11. Monotonia de uma função


Estudo e representação grá�ca de uma recta

Chama-se função a�m (recta) numa variável real x a toda a função:

f : R ! R

x ,! y = mx + b m, b 2 R

Função polinomial ) Domínio é R

Casos possíveis (m = 0 ou m 6= 0):

(i) m = 0 ) y = b (b 2 R)

� Grá�co: y = 2; y = �1. (Injectiva? Sobrejectiva? Zeros?)

(ii) m 6= 0 ) y = mx + b

� Grá�co: basta considerar pelo menos dois pontos, mas...



Para uma completa caracterização da função ) Identi�car:

1) Zeros:mx + b = 0, x = � b

m (um único zero)cruza o eixo dos xx no ponto (� b

m , 0).

2) Intersecção com o eixo dos yy :x = 0) y = m� 0+ b , y = b.cruza o eixo dos yy no ponto (0, b).

3) Sinal:

Positiva se: mx + b > 0,�x > � b

m se m > 0x < � b

m se m < 0;

Positiva se: mx + b < 0,�x < � b

m se m > 0x > � b

m se m < 0.

4) Monotonia:Se m > 0, a função é crescente em todo o seu domínio;Se m < 0, a função é decrescente em todo o seu domínio.



y m>0 y m<0

y=mx+bb

0 b/m x 0 b/m x

b y=mx+b

Figura 2.13. Grá�co da recta y = mx + b

� Injectiva (admite inversa) e sobrejectiva. Demonstração...



Injectiva:

y(x1) = y(x2), mx1 + b = mx2 + b, mx1 = mx2 , x1 = x2

Proposição 8x1, x2 2 Df , y(x1) = y(x2)) x1 = x2 é verdadeira.

Sobrejectiva:

Invertendo a função: y = mx + b , y � b = ax , x = y�ba

Contradomíno é R ) coincide com conjunto de chegada (R)

Inversa: f �1 : R ! R

x ,! y = x�ba

� Exemplo: y = �2x + 3


Estudo e representação grá�ca de uma função quadrática

Chama-se função quadrática a toda a função que pode ser de�nidapor um polinómio de 2o grau numa variável x , tal que:

f : R ! R

x ,! ax2 + bx + c

com a, b, c 2 R e a 6= 0.

Função polinomial ) Domínio é R

Para uma completa caracterização da função ) Identi�car:

(1) zeros (caso existam); (2) ponto de intersecção com o eixo dos yy ;

(3) vértice; (4) concavidade; (5) sinal; e (6) monotonia.



1) Zeros

Fórmula resolvente: ax2 + bx + c = 0, x = �b�pb2�4ac2a

(i) se b2 � 4ac > 0) x1 = �b+pb2�4ac2a _ x2 = �b�

pb2�4ac2a

função cruza o eixo dos xx nos pontos (x1, 0) e (x2, 0).

(ii) se b2 � 4ac = 0) x = � b2a

função cruza o eixo dos xx no ponto (� b2a , 0).

(iii) se b2 � 4ac < 0) a função não tem zeros reais.

não cruza o eixo dos xx .

2) Intersecção com o eixo dos yy :

x = 0) f (0) = a� 02 + 0� b+ c = cfunção cruza o eixo dos yy no ponto (0, c).



3) Vértice:

A função f (x) = ax2 + bx + c é uma parábola.

Sabe-se que a(x � h)2 + k é parábola com vértice no ponto (h, k).

ax2 + bx + c = a�x2 + b

a x�+ c

= a�x2 + b

a x +b24a2 �

b24a2

�+ c

= a�x2 + b

a x +b24a2

�� b2

4a + c

= a�x + b

2a

�2 � b2�4ac4a

= a�x �

�� b2a

��2+�� b2�4ac

4a

�Assim: h = � b

2a e k = � b2�4ac4a

Logo, o vértice da função é: (h, k) =�� b2a ,�

b2�4ac4a

�Vítor Castro (Apontamentos Teóricos) Funções FEUC - 1o Sem. 2010/2011 29 / 35


4) Concavidade:

O sentido da concavidade da função quadrática (parábola) depende

apenas do sinal do coe�ciente a.

Se a > 0) a função tem a concavidade voltada para cima ([)) é convexa.

Se a < 0) a função tem a concavidade voltada para baixo (\)) é côncava.



5) Sinal:

(i) b2 � 4ac > 0 ) dois zeros reais diferentes (x1 e x2);

e atendendo ao sentido da concavidade (i.e. ao sinal de a):

a > 0 a < 0

+ + x1 + x2

x1 x2 x x

x �∞ x1 x2 +∞f (x) sinal de a 0 sinal de �a 0 sinal de a



(ii) b2 � 4ac = 0 ) um único zero (duplo): x = � b2a ;


a > 0 a < 0

b/2a x

+ + b/2a x

x �∞ � b2a +∞

f (x) sinal de a 0 sinal de a



(iii) b2 � 4ac < 0 ) a função não tem raízes reais;


a > 0 a < 0

x

+ + +x

x �∞ +∞f (x) sinal de a



6) Monotonia:

Depende também do sinal do coe�ciente a.

Se a > 0) concavidade voltada para cima ([) )) decrescente até ao vértice (isto é, até x = � b

2a )) e crescente a partir desse ponto;

x �∞ � b2a +∞

f (x) & � b2�4ac4a %

Se a < 0) concavidade voltada para baixo (\) )) crescente até ao seu vértice (isto é, até x = � b

2a )) e decrescente a partir desse ponto.

x �∞ � b2a +∞

f (x) % � b2�4ac4a &



Com base em toda esta informação é possível representargra�camente uma função quadrática (parábola) com todo o rigor.

Veja-se o seguinte exemplo:

� Estudar e representar gra�camente:

f (x) = x2 � 3x + 2

� Averiguar ainda se é injectiva e/ou sobrejectiva.


prÆticas de investigaçªo quantitativa - fe.uc.pt · indica que f faz corresponder a cada...

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