práticas de ensino com ênfase na resolução de problemas e sua aplicação ao cotidiano

7/29/2019 Prticas de ensino com nfase na resoluo de problemas e sua aplicao ao cotidiano

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Virgnia Haeser


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Sumrio

Introduo..................................................................................................................... 3

1. Aspectos conceituais, tericos e metodolgicos .......................................... 4

2. Situaes Mediadas e Contextualizadas na Educao Matemtica ..... 8

3. A resoluo de problemas e sua aplicao ao cotidiano......................... 13

4. A coleta e organizao de dados para o tratamento da informao e

modelagem matemtica .......................................................................................... 17

5. O manuseio de dobraduras e modelos de estruturas geomtrica ....... 20

6. Alguns questionamentos em sala de aula ................................................... 26

Sites Interessantes ................................................................................................... 28

Referncias.................................................................................................................. 29


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Prticas de ensino com nfase na resoluo de problemas e suaaplicao ao cotidiano

Introduo

O processo de reformulao curricular tem como alicerce a Leide Diretrizes e Bases para a Educao Nacional LDBEN (Lei 9.394, de1996). Depois de firmadas as novas diretrizes curriculares para oEnsino Mdio, estabeleceram-se alteraes curriculares com vistas adotar essa etapa da educao escolar com sua prpria identidade. Osprincpios e fundamentos, assim instaurados, ensejam promover umaviso de ensino adequada ao preparo dos jovens brasileiros para oexuberante cenrio cultural, social e poltico que advm da conjunode elementos determinados pelo crescimento econmico do pas. Apromoo de competncias mais abrangentes faz parte de princpiosestabelecidos para atender o que est presente na vida de todo cidado

(BRASIL, 2006 e 2007).

Antes no papel de nvel intermedirio entre duas etapas deformao, o Ensino Mdio assume, a partir da LDBEN, e suas diversasalteraes, o carter de etapa final da Educao Bsica. Esta etapacompreende, inicialmente, a Educao Infantil e o Ensino Fundamental.Conforme preconiza o Art. 35 da LDBEN, com isso possvel obtersustentao para que o aluno prossiga seus estudos com condiespara enfrentar o mercado de trabalho e exercer sua cidadania. Com issoaperfeioa-se como pessoa humana, incluindo a formao tica e odesenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crtico.Saliente-se, tambm, para cada rea de estudos, a incluso derecomendaes sobre a necessidade de valorizar os conceitos cientfico-tecnolgicos, sempre relacionados teoria e prtica (BRASIL, 1996).

Portanto, os novos sistemas educacionais balizam-se emdiretivas preconizadas nos textos legais, com o propsito de promoveruma educao cidad e procurando desencadear uma sequncia deacontecimentos que favoream a construo de conhecimentossistematizados.

Procura-se imprimir aprendizagem toda a fora advinda dosprincpios de convivncia e da gesto democrtica. Isto para que aeducao seja acessvel a todos, de modo amplo e irrestrito, e possaconcorrer para a formao de uma nova cidadania. Nesse sentido,insere-se o respeito s diferenas culturais, raciais, de gnero,regionais, sociais, religiosas, polticas, econmicas, ou quaisquer outrasque possam interferir na promoo do pensamento livre e nacapacidade de o educando realizar projetos prprios (FREIRE, 1996).


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1. Aspectos conceituais, tericos e metodolgicos

O Ministrio da Educao e Desporto MEC, quando apresentaas Orientaes Curriculares Nacionais para o Ensino Mdio PCNEM,destaca, como principal objetivo da publicao do material, propiciar

espao para o dilogo entre professor e escola sobre a prtica docente,[uma vez que] qualidade da escola condio essencial de incluso edemocratizao das oportunidades no Brasil (BRASIL, 2006).

Novos panoramas e paradigmas so percebidos a contar dosajustes apresentados pelos PCN+ (BRASIL, 2007). Principalmente osvislumbrados nos discursos sobre a promoo do incentivo formaocontinuada realizada no contexto escolar e vinculada mltiplaparticipao, envolvendo todos os atores que participam do contextoescolar, familiar e social circundante.

Para melhor aplicar os pressupostos que agora se apresentam,principalmente no que se referem qualidade do ensino, precisoavaliar as vises mais crticas sobre a interdependncia entre educaoe sociedade, e como estas foram exaustivamente examinadas a partir de1960, com foco na realidade brasileira.

Em anlise sobre a obra de Paulo Freire, Gadotti (2013) cita,simplificadamente, os eixos do "Mtodo desenvolvido pelo pedagogo:

a) A investigao temtica, pela qual aluno e professorbuscam, no universo vocabular do aluno e da sociedade

onde ele vive, as palavras e temas centrais de sua biografia.Esta a etapa da descoberta do universo vocabular, em queso levantados palavras e temas geradores relacionadoscom a vida cotidiana dos alfabetizandos e do grupo social aque eles pertencem. Essas palavras geradoras soselecionadas em funo da riqueza silbica, do valorfontico e principalmente em funo do significado socialpara o grupo. A descoberta desse universo vocabular podeser efetuada atravs de encontros informais com osmoradores do lugar em que se vai trabalhar, convivendocom eles, sentido suas preocupaes e captando elementos

de sua cultura.b) A tematizao, pela qual professor e aluno codificam edecodificam esses temas; ambos buscam o seu significadosocial, tomando assim conscincia do mundo vivido.Descobrem-se assim novos temas geradores, relacionadoscom os que foram inicialmente levantados. nesta fase queso elaboradas as fichas para a decomposio das famliasfonticas, dando subsdios para a leitura e a escrita.

c) A problematizao, na qual eles buscam superar umaprimeira viso mgica por uma viso crtica, partindo para a

transformao do contexto vivido. Nesta ida e vinda do


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concreto para o abstrato e do abstrato para o concreto,volta-se ao concreto problematizando-o. Descobrem-seassim limites e possibilidades existenciais concretascaptadas na primeira etapa. Evidencia-se a necessidade deuma ao concreta, cultural, poltica, social, visando superao de situaes-limite, isto , de obstculos aoprocesso de hominizao. A realidade opressiva experimentada como um processo passvel de superao. Aeducao para a libertao deve desembocar na prxistransformadora.

Alm das aes que envolvem, na educao, a investigaotemtica, a tematizao e a problematizao, os discursos que fazemreferncia educao frente s transformaes sociais so, muitasvezes revestidas de carter excessivamente excludente. Isto analisadopor DAmbrosio (2006) quando afirma:

A sociedade, e em particular a educao, passa por grandestransformaes. Essas transformaes so resultado deuma nova geopoltica e dos grandes questionamentos sobreo conhecimento dominante, que se mostra insuficiente paralidar com a complexidade do mundo atual. Hoje falamos emeducao bilngue, em medicinas alternativas, no dilogointer-religioso. So relaes entre diferentes culturas, nosentido amplo, Isto , cultura nas concepes antropolgicae epistemolgica.

Nesse sentido, o mesmo autor conceitua multidisciplinaridade,

transdisciplinaridade e interdisciplinaridade como viseshorizontalizadas da relao entre disciplinas, o meio e a vivncia decada aluno. Contempla o carter holstico, que envolve novascompreenses do mundo possibilitadas pela aplicao de uma educaomultidisciplinar. Existe a alternativa de, pelo enfoque transdisciplinar,construir intensos questionamentos. Tambm, pode-se perceber atransferncia entre contedos das diversas disciplinas, ensejada pelainterdisciplinaridade, possibilitando anlises inusitadas e criativas,favorveis construo do conhecimento e suas aplicaes(DAMBROSIO, 2006).

Sobre aprendizagem, Moyss (2009) destaca a formao deconceitos, oriundos do confronto estabelecido entre os de naturezaespontnea e os cientficos. Afirma que a questo da formao deconceitos insere-se nos trabalhos de Vygotsky e seus colaboradores(notadamente Luria) como uma extenso das suas prprias pesquisassobre o processo de internalizao. Interligar o desenvolvimentohumano com processos de aprendizagem possibilita a aquisio deexperincias transformadoras, de modo que a ao de educar, realizadaa partir de prticas de ensino, permite o necessrio confronto entreatividade reprodutiva e atividade criativa (MOYSS, 2009).


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Dada a complexidade inerente formao de uma imaginaocriativa, Moyss (2009) enumera as etapas necessrias sua efetivao,decorrentes de percepes internas e externas, conforme apresentaVygotsky:

1) reorganizao do material j existente no crebro, comconsequente dissociao das impresses sensoriais (lembraque toda impresso experienciada como um todocomplexo, composto por numerosas partes);

2) divises de impresses em diferentes partes, das quaisumas sero retidas na mente e outras deixadas de lado;

3) alterao ou distoro das partes retidas;

4) unio ou associao dos elementos que foramdissociados e alterados;

5) combinao de diferentes formas em um sistema,constituindo um quadro complexo.

A autora sintetiza sua compreenso sobre a necessidade dodesenvolvimento da capacidade humana para enfrentar situaesinusitadas: a atividade criativa da imaginao depende primariamentede quo rica e variada a experincia prvia que a pessoa armazenouno seu crebro. E mais: que ela uma funo vitalmente necessria(MOYSS, 2009).

Assim, a manipulao de materiais concretos, considerada devital importncia para a vivncia do aluno na aprendizagem e fixao deconceitos, merece especial ateno por parte do educador. O uso de ummaterial figurativo-concreto, subsidirio ao processo de ensino-aprendizagem, precisa ser seguido de processos que levem aabstraes e a amplas generalizaes. Isso implica se passar das formasfigurativo-concretas do pensamento, para o pensamento lgico-conceitual (MOYSS, 2009).

A criao de contextos que possibilitem a aprendizagem parececaminho difcil de seguir. So muitas as situaes a explorar, conceitos

que parecem inexplicveis, dificuldades para construir atividades e anecessidade de imaginao na construo de materiais. E,principalmente, sempre falta tempo para inseri-los durante as aulas.Mas, segundo Moyss (2009), tm sido desenvolvidas diversaspesquisas que falam de contextualizao, abordam questes como osignificado, a relao entre conceito cientfico e conceito espontneo,fazendo uma nova forma de encarar o ensino. Como exemplo, nestetexto, so apresentados alguns ttulos de obras e endereos de sitesqueversam sobre atividades e construo de materiais para auxiliar aconstruo e fixao de conhecimentos em sala de aula.


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Novas expectativas, com relao ao caminho traado para supriras necessidades da educao brasileira, embasam-se numconhecimento scio-histrico, a partir de mltiplos olhares. Isto seevidencia, especialmente, quando a Histria da Matemtica insere-secomo motivadora e fator de aperfeioamento da aprendizagem.

Conforme estabelece Baroni (2004), uma abordagem de aspectoshistricos do desenvolvimento da Matemtica no processo de ensino-aprendizagem apresenta caractersticas significativas quando:

a)o desenvolvimento histrico da Matemtica mostra que asideias, dvidas e crticas que foram surgindo no devem serignoradas diante de uma organizao linear da Matemtica.Ele revela que esse tipo de organizao axiomtica surgeapenas aps as disciplinas adquirirem maturidade, deforma que a Matemtica est em constante reorganizao;

b)a Histria da Matemtica levanta questes relevantes efornece problemas que podem motivar, estimular e atrair oaluno;

c)a Histria fornece subsdios para articular diferentesdomnios da Matemtica, assim como expor inter-relaesentre a Matemtica outras disciplinas, a Fsica, porexemplo;

d)o envolvimento dos alunos com projetos histricos podedesenvolver, alm de sua capacidade matemtica, o

crescimento pessoal e habilidades como a leitura, escrita,procura por fontes e documentos, anlise e argumentao.

Baroni (2004) refere-se ao Movimento Internacional de Atuaoda Histria da Matemtica na Educao Matemtica, como ao deinteresse de professores e educadores. Estes, por meio de pesquisas eexperincias, tm produzido reflexes permitindo o desenvolvimento deatitudes diferenciadas em sala de aula. Com isso, possvel vislumbraras inmeras possibilidades de originar perspectivas de pesquisa atravsda incluso da Histria da Matemtica no ambiente educacional.


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2. Situaes Mediadas e Contextualizadas na Educao Matemtica

O novo papel do professor ser o degerenciar, de facilitar o processo deaprendizagem e, naturalmente, de interagircom o aluno na produo e crtica de novos

conhecimentos [...] (DAMBROSIO, 2006).

Frente ao cenrio, que agora se apresenta com vistas construo de prticas de ensino no Ensino Mdio, pertinente discutiros desafios inerentes viabilizao de caminhos para a educao.DAmbrsio (2006) considera alguns dos paradigmas da sociedade doconhecimento e da pesquisa, quando salienta:

O grande desafio para a educao pr em prtica hoje oque vai servir para o amanh. Pr em prtica significa levarpressupostos tericos, isto , um saber/fazer acumulado ao

longo de tempos passados, ao presente. Os efeitos daprtica de hoje vo se manifestar no futuro. Se essa prticafoi correta ou equivocada s ser notada aps o processo eservir como subsdio para uma reflexo sobre ospressupostos tericos que ajudaro a rever, reformular,aprimorar o saber/fazer que orienta nossa prtica. [...]Sendo a pesquisa o elo entre teoria e prtica, parte-se paraa prtica, e, portanto, se far pesquisa, fundamentando-seem uma teoria que, naturalmente, inclui princpiosmetodolgicos que contemplam uma prtica (DAMBROSIO,2006).

No entanto, propiciar a necessria harmonia entre os conceitosdesenvolvidos em sala de aula e a investigao em ambientes dedesenvolvimento de prticas constitui o grande desafio. Skovsmose(2008) destaca a importncia da efetivao do contrato didtico, capazde gerar a necessria concordncia e trazer ao ambiente deaprendizagem a harmonia entre a maneira como o significado produzido, as tarefas so organizadas, o livro didtico estruturado, acomunicao desenvolvida [...] [e] aceita tanto pelo professor quantopelos alunos.

preciso considerar que a enumerao de recursos didticos,passveis de utilizao nas diversas situaes a serem abordadas emsalas de aula de matemtica, no Ensino Mdio, no pode aparecer comodada por uma varinha de condo. Ou apresentar solues mgicas efceis de seguir. Inclusive, preciso superar algumas dificuldades,inerentes atividade docente. Constata-se uma inter-relao dealgumas circunstncias tais como a remunerao inadequada,extenuantes jornadas de trabalho, ou materiais/espaos imprprios. Asuperao de muitos problemas pode ser alcanada pela mediao.Esta efetivamente direcionada para a promoo da aprendizagemmatemtica quando inclui a participao mltipla dos seguintes atores:


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os partcipes do meio em que a escola est inserida (atravs dapromoo de palestras proferidas por profissionais liberais, porempresrios, etc., por visitas guiadas a empresas, rgos pblicosetc.);

a famlia, na busca da necessria de integrao com a escola; a prpria escola (por aes conjuntas entre direo, coordenao,

funcionrios e professores, planejadas no projeto poltico-pedaggico da instituio);

os professores, por meio de atividades interdisciplinares; os alunos, como produtores de parte fundamental das atividades

constituintes do processo de ensino-aprendizagem.

Vale, pela mediao, dividir experincias (vividas pelos alunos,pela escola, por seus parentes ou pela sociedade envolvente). Istopermite estabelecer contextualizaes e criar estratgias que possamenvolver situaes-problema. Entre tantas outras, esto as que ocorremnas experincias vividas na escola, na participao em redes sociais,nas compras de supermercado, no clculo e entendimento dos impostospagos, na dinmica de transporte urbano, na construo de padres dedesign, da informtica, da aviao, no lanamento de projteis, daspesquisas em gentica e todas as reas de sade, nas possibilidades deganho em jogos de azar, nos dados estatsticos apresentados pelosmeios de comunicao, na variedade de tecnologias e de tcnicas

utilizadas no cotidiano, que apresentem desafios a serem desvendadospelos alunos e pelo educador em Matemtica. Portanto, os conceitos demultidisciplinaridade, transdisciplinaridade e interdisciplinaridadevoltam a interpor-se como fundamentais para permear todo o processoa ser instalado em sala de aula.

Todavia, mesmo revestidos de extrema originalidade, todos osaperfeioamentos introduzidos no ambiente educacional nadarepresentam sem a atuao dos professores como agentes detransformao (estes profissionais, colocados como responsveis porconduzir o ensino atravs da reflexo e da crtica). A efetividade daprtica profissional possibilita ao educador no s espao para atransmisso de conhecimento, mas uma excepcional oportunidade detransformar-se em agente condutor de uma nova sociedade.

A viso curricular para o ensino da Matemtica, quandoapresentada de forma no linear, enseja criativas prticas pedaggicaspassveis de mediao. Considerar-se-o contextos em que osestudantes possam observar e construir os eventos possveis, por meiode experimentao concreta (LOPES, 2008). A autora sustenta arelevncia dos estudos da probabilidade e da estatstica como auxiliares

na quebra de hierarquias conteudistas, quando, por pesquisas em


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Estocstica as pessoas possam analisar ndices de custo de vida,realizar sondagens, escolher amostras e tomar decises em vriassituaes do cotidiano.

So inmeros os autores brasileiros preocupados em expandir

conceitualmente toda a evoluo e a reformulao de teoriaseducacionais vigentes no pas at perodos muito recentes. Apresenta-se, como uma dessas anlises, a seguinte, de autoria de Santos (2008):

Dentro ou fora da escola h razovel acordo sobre anecessidade de se ensinar e aprender matemtica, dado quese reconhece que noes matemticas esto na base de boaparte das atividades desenvolvidas na vida. Tal acordo estexpresso nos arrazoados da legislao sobre educao eensino na escola bsica, nas justificativas e fundamentaodos currculos oficiais, nas formulaes encontradas emestudos realizados e textos produzidos em diferentestempos, como os de Niss (1995), DAmbrsio, Machado eSantos, entre outros. Os argumentos e formulaesressaltam a utilidade da matemtica para ativar o raciocnioe ajudar a pensar, sua importncia em quase tudo o que sefaz e, em razo disso, sustenta-se que no sabermatemtica significa ser, praticamente, analfabeto e quedominar esse conhecimento no empreitada fcil(SANTOS, 2008).

Na busca de uma educao matemtica de qualidade, obtida emsituaes mediadas, Moyss (2009) conclui que, para isso, necessrio:

1) contextualizar o ensino da matemtica, fazendo com queo aluno perceba o significado de cada operao mental quefaz;

2) levar o aluno a relacionar significados particulares com osentido geral da situao envolvida;

3) que, nesse processo, se avance para a compreenso dosalgoritmos envolvidos;

4) propiciar meios para que o aluno perceba, na prtica,

possibilidades de aplicao desses algoritmos.

Sobre as inmeras maneiras em que a mediao e a formao deconceitos podem ser realizadas e orientadas pedagogicamente, Moyss(2009) situa: as possibilidades apresentadas pelo enfoque scio-histrico, as realizadas por meio da linguagem oral e escrita, pelautilizao dos objetos reais (como slidos ou outros construdos emsala), por meio do desenho, pela discusso entre sentido e significado, eavalia para melhor se aquilatar o papel dessas mltiplas formas demediao na conduo do processo de ensinar/aprender pautado poresse enfoque, seria interessante que o confrontssemos com o modelo


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tradicional. interessante acompanhar Moyss (2009) quando citaprocedimentos utilizados em algumas pesquisas que situam aimportncia da educao mediada e contextualizada. A autora desvendamuitas dvidas relativas contextualizao ao confrontar o dia a dia deprofissionais de diversas reas com situaes que favoream a

aprendizagem de conceitos matemticos. Lembra Vygotsky quandoafirma que so valorizados o uso de imagens mentais, representaes,diagramas, descries mentais e at mesmo operaes gestuais para sechegar compreenso da situao matemtica envolvida ou problema aser resolvido. Como exemplo, cita o conceito de proporcionalidade e anoo de escalas, necessrios, por exemplo, para que um mestre deobras estabelea todas as relaes necessrias para a construo de umprdio. Outras situaes analisadas pela autora envolvem:

- pescadores que, ao comercializarem camares, tambmprecisam calcular proporcionalmente quantos quilos do

produto (in natura) so necessrios para corresponder aalguns quilos de camaro descascado;

- as diversas situaes que envolvem o trabalho em umafazenda;

- o marceneiro, no clculo do volume de madeira, medidade circunferncias, permetros, materiais necessriospara confeco de mobilirio por metro quadrado,propores, e muitas outras situaes;

- a dona de casa, em todas as possibilidades que seapresentam na gesto de compras, gastos, atividades deauxiliares etc.;

- os trabalhadores rurais, ao utilizarem insumos, comdosagens proporcionais quantidade de outros materiaisa serem a eles adicionados;

- as costureiras (ou alfaiates), que, por apenas algumasmedidas (cintura, comprimentos, etc.), calculam aquantidade de tecido necessrio para o modelo de roupaescolhido pelas clientes;

- os trabalhadores de feiras, que, ao utilizarem balanasde dois pratos, recorrem a contrapesos para calcularmedidas para as quais no tm o peso correspondente(MOYSS, 2009).

Esta ltima situao permite algumas investigaes, inclusivequanto s propriedades de no enumerabilidade dos nmeros reais, decompletude, de aproximao ou quanto noo de erro. A mesmaautora salienta aspectos diferenciados para anlise de aes mediadas,tais como: o tipo de recurso utilizado para fazer os clculos (oral ou por

escrito) e o nvel de razoabilidade do resultado encontrado (MOYSS,


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2009). Esta segunda discusso mostra-se profundamente profcua, poispossibilita uma verificao da possibilidade de cometer-se erro durantea resoluo de um problema. Investigar se est razovel o resultadoencontrado para certa situao significa analisar em que universo esteresultado deve estar includo e em qual foi encontrado. Tambm a

possibilidade de realizao de clculos mentais mostra-seextremamente til para situar o nvel da aprendizagem do aluno.


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3. A resoluo de problemas e sua aplicao ao cotidiano

A resoluo de problemas citada por Huete e Bravo (2006)como um dos quatro princpios1i que possibilitam a aprendizagem emmatemtica. De um modo mais geral, consideram-na como um

processo no qual se combinam diferentes elementos que o aluno possui,como os pr-conceitos, as regras, as habilidades [...] grande dose dereflexo e depende de uma excelente proviso de conhecimentos ecapacidades, para sua clara compreenso.

Lopes (2008) concebe o papel da resoluo de problemas comoprincpio norteador da aprendizagem matemtica, [que] podepossibilitar o desenvolvimento do trabalho com estatstica eprobabilidade em sala de aula [...] em situaes que envolvaminterpretao e estabelecimento de uma estratgia para a resoluo.

A preocupao com a formao de professores de matemtica,capacitados para a aplicao de uma metodologia de resoluo deproblemas, consolidada por Grebot (2013), quando analisa asseguintes questes: Como formar professores capazes de seguir osparmetros curriculares em situaes diversas de trabalho? Comopermitir que um futuro professor possa experimentar e avaliardeterminadas metodologias ao longo de sua formao?

Os ideais de transformao da escola em espao formador dodocente e da criao de prticas para que essa formao seja contnuaso preconizados pelos PCN+:

A formao tcnica permanente, assim, como a imerso emprticas culturais diversificadas, uma necessidade dequalquer categoria profissional e dela no h de se excluir oprofessor. A escola que prov essa formao, de formainstitucional, planejada e clara, est cumprindo partefundamental de seu projeto pedaggico, ainda que partedessa formao, especialmente no ensino pblico, pode oumesmo deve ser provida pelas redes escolares. Aparticipao do professor no projeto educativo da escolaassim como seu relacionamento extraclasse com alunos e

com a comunidade so exemplos de um trabalho formativoessencial, porque so atividades que podero construir osvnculos sociais da escola que se deseja. A pesquisapedaggica, que na formao inicial vista, em geral, deforma predominantemente acadmica e quase sempredissociada da prtica, pode, na escola ser deflagrada econduzida a partir de problemas reais de aprendizado, decomportamento, da administrao escolar ou da articulaocom questes comunitrias (BRASIL, 2007).

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Os princpios, enumerados pelos autores, so: memorizao, aprendizagemalgortmica, aprendizagem de conceitos e resoluo de problemas.


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Neste contexto, um professor disposto a construir atividadesinvestigativas expostas em situaes-problema estabelece osnecessrios vnculos entre teoria e prtica. Desse modo, sua prpriaconstruo profissional perpetua-se nos projetos pedaggicos, sempreassociados a instigantes questes que envolvam toda a comunidade

escolar. Mas as circunstncias que acompanham a construo de novasmetodologias de ensino-aprendizagem podem conter (ainda) ideiasarcaicas. Como destaca Santos (2008), so as que sempre cercaram aaprendizagem da matemtica, qualificando-a como tarefa rdua,massacrante, tediosa, difcil e idealizada apenas para alguns eleitos:

As presses presentes na escola tambm do ao ensino dematemtica um carter disciplinador, responsvel pelacriao de interesses e expectativas, reforando ecristalizando imagens logo no incio da formaomatemtica dos alunos: a matemtica difcil, abstrata,

exata, no para mim, chata, etc. No raramente, hentre os professores aqueles que sinceramente acreditamnisso e tambm colaboram com a difuso desse ponto devista. (SANTOS, 2008).

Para Muniz (2013), a explorao de situaes desafiadoras,capazes de originar uma aventura de superao da dificuldadeproposta pelo educador precisa fugir da simples seleo ou produode problemas (ditos matemticos) [...] a partir de contextos nem sempresignificativos [...] [distantes] do contexto cultural e/ ou do interesse doaluno. E acrescenta: o professor, como mediador, deve sempre

questionar o processo de mediao que descarta a possibilidade deproduo das situaes-problema pelo prprio aluno, produo quepode ser fundamental no processo de ensino-aprendizagem dematemtica (MUNIZ, 2013).

Para que situaes, criadas como parte de processos educativose com forte valor sociocultural agregado, contribuam para a construode um real significado dos conceitos em matemtica, necessrio quenelas se envolvam todos os partcipes, desde o planejamento, at suaexecuo e consequente avaliao. Muniz (2013) afirma:

[...] a apresentao de situaes-problema pelo professor sempre uma traduo do conhecimento matemtico emtermos de proposta didtico-pedaggica: o professor traduzo conhecimento matemtico, seja ele produto cientfico oucultural, estruturando e adaptando-o para possibilitar osucesso na aprendizagem. A matemtica tratada na escola antes de tudo um produto da escola, visando aprendizagem e o desenvolvimento e deve guardar aomximo as suas caractersticas como produto cientfico ecultural.


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Considere-se que encontrar uma ou mais solues para umasituao-problema em matemtica significa perceber um processo,obter um algoritmo ou estabelecer uma via lgica vlida no prprioproblema. A postura investigativa possibilita a estimulao dos muitosmodos de resolver uma mesma questo e instiga a produo do saber

matemtico. Sendo o problema tomado como o incio de uma atividade,em vez da definio de um conceito, fica o educando estimulado abuscar sua prpria resposta, a questionar os dados, a procurar fontesde outros problemas, a buscar na interdisciplinaridade as fontes paraanalisar problemas abertos e a comparar seus resultados com os deoutros alunos. Muniz (2013) refuta o aparente paradoxo de como oaluno pode resolver um problema se ele no aprendeu o contedonecessrio sua resoluo, ao lembrar que, historicamente, oconhecimento em Matemtica surge a partir de problemas a seremresolvidos.

O controle de uma atividade, que envolva uma situao-problema, pode ser realizado pela elaborao de uma sequncia-didtica apresentada aos alunos, com a possibilidade de sertransformada e aperfeioada pelos grupos formados para tal, e que podeconter:

1. a identificao da escola, do professor, do grupo e data derealizao da atividade;

2. o nome da atividade;3. o tempo previsto para a realizao da atividade;4. o objetivo da atividade;5. uma anlise prvia sobre os dados do problema, sobre as

variveis envolvidas e informaes coletadas;

6. a verificao sobre as possibilidades de transformar asinformaes em tabelas, grficos, desenhos ou outrasrepresentaes;

7. a verificao de interdependncia entre as informaes, isto , sepodem ser relacionadas por alguma lei de formao (funo), oupor sistemas de equaes, matrizes, ou por relaes geomtricasetc.;

8. a utilizao de um software grfico, como Winplot, GraphEq, oumesmo o Excel, que possibilite uma melhor anlise dos dados;

9. a concluso de cada grupo e apresentao dos resultados paraque a classe possa discutir, identificar e avaliar todas aspossibilidades de soluo encontradas e os registros realizadospelas equipes.


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Nas informaes com que se depara, diariamente, o alunocomea a descobrir o que pode ser explicado pelo conhecimento que jpossui, ao transformar informaes em tabelas, grficos ou associando-as ao comportamento de alguma funo.

Assim, entre tantas situaes que podem ocorrer na vivnciadiria de um grupo de alunos, a anlise de dados que envolvamlogaritmos e exponenciais pode explicar, entre muitas outras aplicaes:

as realizadas no mercado financeiro e o que significa pagar umemprstimo bancrio ou financiar um veculo automotivo;

o crescimento populacional em uma comunidade, ou mesmo, ocrescimento de uma colnia de bactrias (interdisciplinar com oprofessor de biologia);

a frmula da alcalinidade (interdisciplinar com o professor dequmica); o decaimento radioativo (interdisciplinar com o professor de

qumica);

a frmula do nvel de intensidade sonora (interdisciplinar com oprofessor de Fsica).

Visite os endereos:

http://www.ifi.unicamp.br/~knobel/f105/fono7.pdf

http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/aulas/Ernesto19agosto-Logaritmo.pdf

O que se pretende, com estes exemplos, instigar o profissionala buscar, no convvio escolar, outros exemplos e novas aplicaes paraos contedos a serem desenvolvidos em sala de aula.
http://www.ifi.unicamp.br/~knobel/f105/fono7.pdfhttp://www.ifi.unicamp.br/~knobel/f105/fono7.pdfhttp://www.feg.unesp.br/extensao/teia/aulas/Ernesto19agosto-Logaritmo.pdfhttp://www.feg.unesp.br/extensao/teia/aulas/Ernesto19agosto-Logaritmo.pdfhttp://www.ifi.unicamp.br/~knobel/f105/fono7.pdf


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4. A coleta e organizao de dados para o tratamento dainformao e modelagem matemtica

A preocupao humana em descrever, entender, prever e, muitasvezes, controlar os fenmenos naturais, nas diversas reas de

conhecimento, tem sido evidenciada pela construo de modelosmatemticos. Construdo a partir de hipteses formuladas entrealgumas variveis que representam a realidade, um modelo matemtico cientificamente til quando permite obter dados e interpret-los.Como metodologia de ensino-aprendizagem, a realizao de modelagenspermite realizar a confirmao ou rejeitar hipteses criadas pelo grupo,redundar em situaes contraditrias ou confirmar as suposiesiniciais sobre o fenmeno analisado.

Segundo os PCNs:

Em anos recentes, os estudos em educao matemticatambm tm posto em evidncia, como um caminho para setrabalhar a Matemtica na escola, a ideia de modelagemmatemtica, que pode ser entendida como a habilidade detransformar problemas da realidade em problemasmatemticos e resolv-los interpretando suas solues nalinguagem do mundo real. A modelagem matemtica, comoestratgia de ensino, apresenta fortes conexes com a ideiade resoluo de problemas apresentada anteriormente. Anteuma situao-problema ligada ao mundo-real, com suainerente complexidade, o aluno precisa mobilizar um lequevariado de competncias: selecionar variveis que serorelevantes para o modelo a construir; problematizar, ouseja, formular o problema terico na linguagem do campomatemtico envolvido; formular hipteses explicativas dofenmeno em causa; recorrer ao conhecimento matemticoacumulado para a resoluo do problema formulado, o que,muitas vezes, requer um trabalho de simplificao quando omodelo originalmente pensado muito complexo; validar,isto , confrontar as concluses tericas com os dadosempricos existentes; e, eventualmente, ainda, quando surgea necessidade, modificar o modelo (BRASIL, 2006).

O mesmo documento refora outras orientaes oficiais, quandoressalta a oportunidade de construir modelagem atravs do trabalhorealizado por projetos. Neste caso, tanto a multidisciplinaridade quantoa interdisciplinaridade so campos plenos para desenvolver atividadesprevistas em projetos, de modo a criar estratgias de aprofundamentoem temas relativos aos diversos saberes escolares e que envolvam,principalmente a participao do aluno. Dizem os PCN: So situaes aserem trabalhadas sob uma viso interdisciplinar, procurando-serelacionar contedos escolares com assuntos do quotidiano dosestudantes e enfatizar aspectos da comunidade, da escola, do meioambiente, da famlia, da etnia, pluriculturais etc. (BRASIL, 2006).


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Bassanezi (2002) reproduz o seguinte esquema, paraexemplificar, de uma forma simplificada, o processo acima citado:

O que inspira dvidas so as reais possibilidades de aplicaodessa metodologia no contexto escolar. Enfocando a necessidade decriar critrios de qualidade na aplicao de qualquer que seja ametodologia aplicada em sala de aula, Bassanezi (2002) afirma:

Partimos da premissa de que no necessariamente ocontedo matemtico, mas o estilo e atitudes consideradosem um curso de Matemtica Aplicada que proporcionamcondies favorveis para que os estudantes se sintaminteressados e motivados pelas aplicaes. A atividade dematematizao de situaes reais no diferente emBiologia ou mesmo em Histria daquela obtida emaplicaes tradicionais como a Fsica (BASSANEZI, 2002).

Como etapas para formular problemas, encontram-se algumasestratgias citadas por Bassanezi (2002):

Escolha de temas por meio de levantamento das possibilidadesde estudo a serem realizados pela turma.

Coleta de dados quando so obtidas informaes sobre oassunto escolhido, sejam qualitativas ou quantitativas.

Formulao de modelos quando a natureza dos dados obtidosdetermina a formulao matemtica condizente com a anlisepretendida.

Tanto a organizao quanto a representao de dados coletados

ensejam estudos estatsticos iniciados pela organizao das informaesobtidas em tabelas e representadas em grficos. Assim, conformeesperam os PCNs, os estudantes devem entender a relao entresntese estatstica, representao grfica e dados primitivos [...] e sercapazes de explicar como o ponto mdio influenciado por valoresextremos num intervalo de dados, e o que acontece com o ponto mdioe a mediana em relao a esses valores. No texto, ainda especificadaa importncia da percepo aprofundada sobre os papis das medidasde posio e das medidas de disperso. Tambm os estudos sobreprobabilidades, das operaes combinatrias e dos diagramas dervores so lembrados quando preciso dominar a linguagem de

Inter reta o

Formaliza o

Mundo

Matemtico

Mundo

Real


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eventos, levantar hipteses de equiprobabilidade, associar a estatsticados resultados observados e as frequncias dos eventoscorrespondentes e utilizar a estatstica de tais frequncias para estimarprobabilidades de um evento dado (BRASIL, 2006).

Como exemplos interessantes, vale consultar, entre outras, asatividades propostas pelos PCN+ (BRASIL, 2007). O desenvolvimento deprojetos interdisciplinares, citado na pgina 109, em Qumica, comoconstruo de um projeto interdisciplinar, com o ttulo Os estudos domeio, sugere:

visitas a indstrias, usinas geradoras de energia, estaesde tratamento dgua, podem surgir em funo de umaproblemtica ou tema em estudo. Uma vez definido o estudoa ser feito, importante a busca de informaespreliminares sobre diferentes aspectos tcnicos, sociais,

ambientais, econmicos do tema em questo e, a partirdas informaes obtidas, planejar em conjunto com osalunos as diferentes etapas, de modo que sua participaono se restrinja a uma visita passiva, estando preparadospara observar e interagir ativa e criticamente com acomunidade local, coletar e analisar dados e se expressar arespeito deles por meio de apresentaes orais e painis,discusses e relatos escritos (BRASIL, 2007).

Barbosa (2004) apresenta trs estudos de caso investigatrios.No primeiro, sem que saiam da sala de aula, os alunos analisam planosde pagamento para acesso internet, devendo decidir qual o maisvantajoso. Para a turma de alunos, apresentou a seguinte tabela:

Assinaturamensal

(R$)

Tempo de acesso

includo (h)

Tempoadicional

por hora (R$)

Plano 1 17,95 - 0,73

Plano 2 27,95 15 0,53

Plano 3 49,95 60 0,35

Plano 4 75,95 150 0,35

A construo e discusses de estratgias e resultadosdemandaram 150 minutos (3 aulas). No Caso 2, ao professor, coubeapenas a tarefa de formular o problema inicial, quando apresentou aquesto: Quanto custa ter acesso internet?, sem fornecer os preos econdies, de modo que recasse sobre os grupos a responsabilidadesobre a busca de informaes. O autor revela que, neste caso, todas asetapas do processo de modelagem ficaram a cargo dos alunos. No Caso3, deixou, inclusive, a formulao do problema como tarefa para osgrupos. Estes, inicialmente sem ideia clara sobre os tpicos a tratar,


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optaram por situaes, de fato reaiscomo subjacentes a eles a partirde uma postura crtica e pela mediao do professor, responsvel peloconvite para o debate e pelas anlises realizadas durante todo oprocesso de modelagem. (BARBOSA, 2004).

Visite os endereos

http://www.somatematica.com.br/artigos/a8/p2.php

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=19699

Quanto avaliao realizada no decorrer das atividades, valelembrar a importncia de sua caracterstica diagnstica, de modo queacontea durante todo o processo de ensino-aprendizagem. Os PCN+apresentam quatro itens bsicos, como fundamentais para que ocorra

uma avaliao consequente:

A avaliao dever ocorrer no decorrer das aulas, demaneira diagnstica, processual e contnua.

1. contribuio na discusso inicial: apresentou hipteses,fez questionamentos ou dvidas;

2. cooperao no laboratrio de informtica: auxiliou oparceiro, auxiliou outras duplas;

3. realizao das atividades: fez as tarefas;

4. trabalho em grupo: interao no grupo, desenvolvimentodo problema (BRASIL, 2007).

5. O manuseio de dobraduras e modelos de estruturas geomtrica

Ao tratar de conhecimentos disciplinares e interdisciplinares, osPCN+ recomendam o incentivo compreenso da Matemtica comocincia que promove a pesquisa de relaes, formas e eventos e

desenvolve maneiras prprias de descrever e interpretar o mundo.Nesse sentido, ainda afirmam: a forma lgica dedutiva que a Geometriautiliza para interpretar as formas geomtricas e deduzir propriedadesdessas formas um exemplo de como a Matemtica l e interpreta omundo a nossa volta.

Com intensa preocupao quanto importncia de desenvolver-se uma linguagem cientfica e cultural, capaz de descrever, representare dimensionar objetos e fazeres, alm de possibilitar ao alunoreconhecer seu universo e construir ideais ticos e estticos, os PCN+(BRASIL, 2007) citam o conhecimento da Geometria como meio para tal:
http://www.somatematica.com.br/artigos/a8/p2.phphttp://www.somatematica.com.br/artigos/a8/p2.phphttp://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=19699http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=19699http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=19699http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=19699http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=19699http://www.somatematica.com.br/artigos/a8/p2.php


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A abordagem tradicional, que se restringe mtrica doclculo de reas e volumes de alguns slidos, no suficiente para explicar a estrutura de molculas e cristaisem forma de cubos e outros slidos, nem tampouco justificaa predominncia de paraleleppedos e retngulos nasconstrues arquitetnicas ou a predileo dos artistaspelas linhas paralelas e perpendiculares nas pinturas eesculturas. Ensinar Geometria no ensino mdio devepossibilitar que essas questes aflorem e possam serdiscutidas pelos alunos (BRASIL, 2007).

As temticas relacionadas s geometrias: plana, espacial,mtrica e analtica, incentivam a resoluo de questes da Matemticae outras disciplinas [e] como parte integrante desses temas, o alunopoder desenvolver habilidades de visualizao, de desenho, deargumentao lgica e de aplicao na busca de soluo paraproblemas (BRASIL, 2007).

As dobraduras so um dos processos atualmente utilizados parao desenvolvimento da observao, do raciocnio lgico e abstrato, dasvises espaciais ou artsticas e da criatividade do aluno. Construespossibilitadas pelos Origami 2 so conhecidas como capazes de permitir,atravs de vincos em papel, uma compreenso de alguns conceitoscomo os de ponto, reta, ngulo, retas paralelas, retas concorrentes,retas perpendiculares, plano etc.

Outra abordagem que permite clareza para entender algunspadres espaciais, que seguem o princpio chamado deautossimilaridade (muito encontrado na natureza) dada pelaconstruo de formas fractais3. A anlise das repeties nas formas dasfolhas de samambaias, no sistema vascular humano, em pedaos decouve-flor, nas voltas de alguns caramujos etc., permite visualizarpadres e simetrias que repetem inmeras vezes a forma original.

Portanto, so muitas as possibilidades de desenvolver projetos,que permitam relacionar conhecimentos geomtricos com atividades

interessantes para o aluno, conduzindo obteno de significaespara a resoluo de problemas envolvendo aspectos espaciais.

Como atividade capaz de proporcionar uma vivncia integradorade muitos dos conceitos aqui analisados, encontra-se em Salvador(2013) uma prtica, a seguir descrita, envolvendo conceitos geomtricos

2 Palavra composta pelos termos oru(dobrar) e kami(papel).3 O termo fractal foi utilizado por Benoit Mandelbrot para designar as formasgeomtricas que, vistas sob qualquer distncia ou em qualquer escala, sempre

apresentam a mesma estrutura. Sua origem est na palavra latina fractus, quesignifica quebrado.


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e numricos, que prepara o aluno para o entendimento do princpio daconstruo de fractais.

NOME DA ATIVIDADE: Dobras e cortes: preparando para construirfractais.

OBJETIVO GERAL: explorar a lgica e intuio, bem como as ideiasiniciais de fracionamento de figuras geomtricas com dobraduras ecortes de materiais reciclveis.

OBJETIVOS ESPECFICOS: Desenvolver os conceitos de medida, frao,razo, congruncia, semelhana, permetro, rea, sequncia, progressoaritmtica, progresso geomtrica, limite, simetria, autossimilaridade,entre outros.

MATERIAIS UTILIZADOS: Tesoura, lpis, rgua, 5 folhas A4

reaproveitadas, 5 folhas de papel recortadas em forma de quadrado, 5folhas de revistas velhas.

DESENVOLVIMENTO:

1. Pegue uma folha de papel A4, dobre-a e recorte em doisretngulos de mesmas medidas.

2. Pegue uma folha de revista (ou jornal), dobre-a e recorte em doisretngulos de mesmas medidas.

3.

Pegue uma folha quadrada, dobre-a e recorte em dois retngulosiguais.

4. Repita os passos 1, 2 e 3, com as segundas folhas de cada tipo,dobrando-as e recortando-as, em quatro partes.

5. Repita os passos 1, 2 e 3, com as terceiras folhas de cada tipo,dobrando-as e recortando-as, em oito partes.

6. Repita os passos 1, 2 e 3, com as quartas folhas de cada tipo,dobrando-as e recortando-as, em dezesseis partes.

7. Observe a existncia de algum padro e se existe algumasemelhana entre as figuras menores e cada folha inicial.

8. Construa uma tabela contendo:A. as medidas das folhas iniciais e das partes obtidas;B.o permetro de cada uma delas;C.a rea de cada uma delas;


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D.a existncia de alguma proporo entre as medidas: delados, de permetro e de rea da folha inicial com aspartes obtidas em cada etapa de corte.

Uma tabela conveniente para anlise dos dados obtidos pode

conter as seguintes informaes:

FolhaA4

Comprimento Largura Permetro Propores rea Propores OBS

Inicial

1corte

2corte

3corte

4corte

FolhaRev/Jornal

Comprimento Largura Permetro Propores rea Propores OBS

Inicial

1 corte

2 corte

3 corte

4 corte


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9. Calcule a soma dos permetros da folha inicial e de suas partes.10. Calcule a soma das reas da folha inicial e de suas partes.11. Verifique as relaes entre os valores medidos e calculados.12. Explore/recorde os conceitos matemticos envolvidos naatividade, lembrando os conceitos de frao, razo, permetro, rea,congruncia, semelhana, PA (e soma da PA), PG (e soma da PG).

13.

Disponha as folhas recortadas no cho ou sobre uma mesa everifique se ocorreu o princpio de autossimilaridade, discutindo oconceito de fractal.

Como decorrncia da atividade desenvolvida com os recortes, possvel realizar, com o professor de Artes, uma explorao do materialconstrudo com anlise de algumas obras de arte. Veja o quadro daMona Lisa ou o estudo do Homem Vitruviano, de Leonardo da Vinci, oua obra de Pieter Mondrian, entre outros. Tambm possvel verificarcom o professor de biologia outras formas da natureza que seapresentam em forma de espiral.

Quanto interatividade com os meios eletrnicos decomunicao, intrigante para os alunos construir um blog com ascuriosidades encontradas na internet. Como exemplo, vale visitar o Blogda Katia, encontrado no endereo:

FolhaQuadrada

Lado Permetro Propores rea Propores OBS

Inicial

1 corte

2 corte

3 corte

4 corte


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Abaixo, est uma representao do caramujo Nautilus e umacomparao com uma espiral. Esta forma foi obtida pela juno deformas quadradas e pelo desenho de arcos entre dois vrtices opostosem cada uma delas. Na realidade, esta construo tem origem na buscado retngulo ureoe do nmero de ouro.

Disponvel em http://www.musica.ufrn.br/somdaciencia/?page_id=106Consultado em 05/02/2013.

Algumas obras de arte, de engenharia e elemento da naturezaque podem ser analisados so, entre outros, os seguintes:

Composio com vermelho, azul eamarelo, de Pieter Mondrian

Disponvel emhttp://www.allposters.com.br/-sp/

Composicao-com-Vermelho-Azul-Amarelo-

posters_i4848279_.htmConsultado em 05/02/2013.

O Homem Vitruviano, de Leonardoda Vinci.

Disponvel emhttp://hermeticrose.wordpress.com/

2012/02/01/pentagrama/Consultado em 05/02/2013.
http://www.allposters.com.br/-sp/http://www.allposters.com.br/-sp/http://www.allposters.com.br/-sp/http://hermeticrose.wordpress.com/http://hermeticrose.wordpress.com/http://hermeticrose.wordpress.com/http://hermeticrose.wordpress.com/http://www.allposters.com.br/-sp/http://www.allposters.com.br/-sp/


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Foto de escada em forma de caracol.

Disponvel emhttp://www.flickr.com/photos/suluz/6832810929/.

Consultado em 05/02/2013.

Planta aloe polyphylla.

Disponvel emhttp://olabirintocientifico.blogspot.com.br/2011/11/perfeicao-na-natureza-fibonacci.html.

Consultado em 05/02/2013

6. Alguns questionamentos em sala de aula

Vale refletir sobre questionamentos feitos por alunos durante odesenvolvimento da tradicional Batalha Naval, por mim mediada, paratrabalhar a equao da reta em relao aos eixos cartesianos.

O principal objetivo da situao-problema, aqui descrita, foipossibilitar uma maior vivncia entre a representao geomtrica e a

representao algbrica da equao da reta determinada por doispontos. A situao colocada para a turma foi a seguinte: em umabatalha naval, para que um torpedeiro atinja um alvo, qual a relaoentre as coordenadas da posio de cada um deles?

Depois de alguns debates entre os alunos, com mediao doprofessor, foram desenhados dois eixos perpendiculares em umtabuleiro. Sobre esse sistema de eixos, criou-se uma malharepresentando as possibilidades de coordenadas inteiras, como mostrao desenho a seguir:

Figura A Figura B
http://www.flickr.com/photos/suluz/http://olabirintocientifico.blogspot.com.br/http://olabirintocientifico.blogspot.com.br/http://olabirintocientifico.blogspot.com.br/http://olabirintocientifico.blogspot.com.br/http://olabirintocientifico.blogspot.com.br/http://www.flickr.com/photos/suluz/


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Num primeiro momento, um torpedeiro foi colocado na origemdos eixos (como mostra a figura A acima). O conhecimento prvio daturma sobre propores, e as relaes mtricas no tringulo retngulo,demonstrou eficcia para determinar a razo entre as coordenadas doponto-alvo. Deste modo, depois de determinado o coeficiente angular a

da reta que passava pela origem e pelo ponto a atacar, verificou-se quebastava criar a equao y = ax para que o aluno obtivesse a soluoprocurada. Partiu dos prprios alunos a verificao de que ascoordenadas da origem e do ponto alvo satisfaziam a equao y = ax.

Neste caso no ocorreu a esperada existncia de dificuldades dearticulao, por parte dos alunos, entre a linguagem geomtrica e aalgbrica (BRASIL, 2006), quando as figuras so explicadas porequaes e estas visualizadas como entes geomtricos. A atividaderealizada levou os alunos a realizar processos diferenciados deraciocnio. Assim, no foram verificados grandes problemas paraentendimento por parte dos alunos. Por outro lado, toda a discussopromoveu o uso do pensamento lgico estratgico, de modo que, entreas muitas perguntas elaboradas pelos alunos, destacaram-se asseguintes:

1. Por que os eixos construdos so chamados de cartesianos?2. As equaes so as mesmas se os eixos no forem

perpendiculares?

3. E se as unidades escolhidas para os eixos coordenados no foremas mesmas?

4. O que acontece se o alvo estiver em outro quadrante?5. Qual a relao do que vimos com o uso de um GPS?6. Podemos jogar colocando o torpedeiro fora da origem dos eixos?

Esta ltima pergunta fundamentou toda a construo daequao da reta determinada por dois pontos. Quanto s outrasquestes, foram criadas mediaes com o uso de pesquisas na internet

sobre o trabalho de Descartes e sobre outras geometrias. Tambmforam realizadas palestras com profissionais que utilizam GPS, tantopara localizao de propriedades agrcolas como motoristasprofissionais que, atualmente, fazem uso desses equipamentos.

Note-se que o jogo propiciou, tambm, a interdisciplinaridadecom conhecimentos geogrficos, medida que, ao marcar os pontos,que representam as embarcaes, se fez necessrio o uso decoordenadas.


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Sites Interessantes

Entre tantas possibilidades para acesso a informaes, vdeosetc., pela Internet, recomenda-se uma visita aos seguintes endereos:

A.http://www.facil.webs.com/canudos/canudos.htmB.http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula

=7316

C.http://www.matematicahoje.com.br/telas/sala/didaticos/recursos_didaticos.asp?aux=B

D.http://blogdoprofessornovaes.blogspot.com.br/2012/03/construcao-de-poliedros-atraves-de.html#!/2012/03/construcao-de-poliedros-atraves-de.html

E.http://www.howtomakestars.com/instructions4.htmlF. http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Station/8228/artm.ht

m

G.http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/07/MC10721746500. pdfH.http://www.mat.ibilce.unesp.br/graduacao/pcc_2006-2007.pdfI. ftp://ldc.feis.unesp.br/silvia/matematica_elementar/textos/mat_

elem_texto_02.pdfJ. http://www.pucsp.br/pos/edmat/ma/dissertacao/setsuko_mabu

chi.pdf

K.http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/48/48134/tde-04072011-145346/pt-br.php

L. http://www.senept.cefetmg.br/galerias/Anais_2010/Artigos/GT2/O_ORIGAMI_ARQUITETONICO.pdf

M.http://sites.unifra.br/Portals/35/2012/08.pdfN.http://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96593/

Clair.pdf?sequence=1

O.http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/cnem/cnem/principal/re/PDF/RE83.pdf

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práticas de ensino com ênfase na resolução de problemas e sua aplicação ao cotidiano

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