I Congresso Regional de Ensino Superior Culturas e Prticas

Prtica de Ensino em Matemtica IIAula 4Curso de Licenciatura em MatemticaProf. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreirafabricio@fafica.brIntroduoObservando a natureza o homem reconheceu certas formas que possuem caractersticas em comum.Como voc agruparia as imagens a seguir? Qual caracterstica voc utilizou para fazer seu agrupamento?

LuaMontanhaProlaFuracoTronco de rvorePinheiroConchaLimo muito provvel que a primeira manifestao matemtica do homem primitivotenha sido na rea da geometria, analisando as formas que o cercavae utilizando marcadores para se situar no tempo e no espao.As formas e o espao ao nosso redorVivemos num mundo tridimensional com diversas formas e espao.Apesar dos objetos que nos rodeiem no possurem uma forma geomtrica exata(uma laranja no uma esfera perfeita), a forma dos objetos nos auxilia a construirmosuma ideia de forma geomtrica perfeita. A Matemtica, e em especial a Geometria,se interessam por tais formas geomtricas, as definem e estudam suas propriedades.

Todos os pontos da casca da laranja parecem que esto a mesma distncia de um ponto central...Uma forma geomtrica em que todos os pontos situam-se a mesma distncia de um determinado ponto a esfera.A ideia de Slido Geomtrico

Qual a primeira ideia que voc tem quando pensa em Slido Geomtrico?Quais slidos geomtricos vocs reconhece com mais facilidade?Voc considera slido geomtricoapenas a superfcie ou o interior tambm?O qu necessrio paradefinirmos um slido geomtrico?Principais ideias associadas aos Slidos Geomtricos muito comum as pessoas confundirem figuras planas com figuras espaciais;Dentre as figuras espaciais deve-se classificar os poliedros dos corpos redondos;Deve-se lembrar que o ensino de geometria deve caminhar da Geometria Espacial para a Geometria Plana;De acordo com determinado autor pode-se ou no considerar a regio interna do poliedro;Em todas as definies de poliedros h a necessidade das faces serem regies poligonais (polgonos);Geralmente as pessoas citam os elementos de um poliedro para explic-lo (faces, vrtices e arestas);Contudo as definies devem ser bem claras e precisas para no suscitarem problemas de aprendizagemIdentificao entre Figuras Planas e Figuras Espaciais

PolgonosCorpos RedondosPrismasPirmidesPoliedros diversosO professor solicita que os alunos agrupemdiversos objetos de acordo com caractersticas comuns.

Poliedros, Corpos Redondos e Outros SlidosOs poliedros so slidos geomtricos compostos apenas por faces planas.A etimologia da palavra poliedro refere-se a POLI: muitas e HEDROS: faces.Os corpos redondos apresentam, pelo menos, uma face curva e possuem a capacidade de rolar.Existem slidos geomtricos que possuem faces planas e curvas e no rolam.

So poliedros A, C, D, F, G, I, N e O.So corpos redondos B, E, H, J, L e M.

Exemplos de outros poliedrosDefinindo Faces, Arestas e Vrtices

Os polgonos (regio poligonal) que formam o poliedro so chamados de faces do poliedro. A interseo de duas faces determina umaaresta do poliedro.O ponto de encontro de, pelo menos, trs arestas determina o vrtice do poliedro.Para que o aluno compreenda corretamente os principais elementos de um poliedro necessrio que ele tenha sua disposio variados tipos de representaes do mesmo poliedro.A relao de Euler-Descartes

Identifique os elementos dos poliedros a seguir e tente relacion-los atravs de uma expresso matemtica.Um pouco mais de histria

Ren Descartes(1596 a 1650)Leonard Euler(1707 a 1783)Uma das relaes mais importantes envolvendo os poliedros a chamada Relao de Euler-Descartes que relaciona os principais elementos dos poliedros, tais como: vrtices, arestas e faces. Descartes foi o primeiro a tentar generalizar a frmula para os poliedros convexos, mas foi somente em 1752 que Euler publica a famosa expresso: Nmero deVrticesNmero deArestasNmero deFacesPrismas (1)Identifique as caractersticas comuns dos poliedros a seguir.

Todos os poliedros possuem duas faces congruentes paralelas.As demais faces dos poliedros so quadrilteros.Prismas (2)Os prismas so poliedros que possuem duas faces congruentes paralelas. Tais faces so chamadas de bases.As demais faces so chamadas de faces laterais.

BaseBaseFace LateralPrisma triangularPrisma pentagonalPrisma octogonalDe acordo com o formato de sua base o prisma recebe denominao especfica.Qual a principal diferena entre os prismas apresentados anteriormente?Prismas (3)Caso as arestas que formam as faces laterais do prisma sejam perpendiculares base, o prisma reto.No caso contrrio ele chamado prisma oblquo.No prisma reto a altura coincide com as arestas laterais (no prisma oblquo isto no ocorre).

Prisma RetoPrisma Oblquo

Voc consegue identificar outra diferena entre os prismas a seguir?Nos prismas retos as faces laterais so retangulares,enquanto que nos prismas oblquos as faces so paralelogramos.RetnguloParalelogramoPrismas (4)Identifique as principais caractersticas dos prismas a seguir.Neste caso temos um prisma reto retangular.Todas suas faces so retngulos.As faces so congruentes duas a duas.Este prisma conhecido por paraleleppedo.Neste caso tambm temos um paraleleppedo.Suas arestas possuem a mesma medida.Logo todas suas faces so quadrados.Todas as faces so congruentes entre si.Este prisma conhecido por cubo ou hexaedro.

Prismas (5)Identifique os elementos dos prismas a seguir e tente relacion-los com os elementos das bases.

F = 5, V = 6, A = 9F = 6, V = 8, A = 12F = 7, V = 10, A = 15F = 8, V = 12, A = 18O nmero de faces do prisma 2 unidades maior do que o nmero de lados da base;O nmero de vrtices do prisma o dobro do nmero de vrtices da base;O nmero de arestas do prisma o triplo do nmero de lados da base.Pirmides (1)Quais principais diferenas entre os poliedros a seguir?Os poliedros da primeira fileira possuem apenas uma base.Enquanto os poliedros da segunda fileira possuem duas bases (so prismas).

Pirmides (2)As pirmides so slidos geomtricos que possuem apenas uma base.As demais faces da pirmide (faces laterais) so sempre triangulares.

BaseFace LateralPirmide quadrangularPirmide pentagonalPirmide hexagonalDa mesma forma que os prismas, dependendo do formato de sua baseas pirmides tambm recebem denominao especfica.Qual a principal diferena entre as pirmides acima?Pirmides (3)Caso as arestas que formam as faces laterais da pirmide sejam congruentes, esta ser considerada reta.No caso contrrio, a pirmide ser oblqua.

Pirmide RetaPirmide OblquaCaso a pirmide seja reta, com base triangular e com todas suas arestas congruentes,chamamos de tetraedro.Tetraedro

Pirmides (4)Identifique os elementos das pirmides a seguir e tente relacion-los com os elementos das bases.

F = 4, V = 4, A = 6F = 5, V = 5, A = 8F = 6, V = 6, A = 10F = 7, V = 7, A = 12O nmero de faces e vrtices de uma pirmide sempre coincidem.Tanto o nmero de faces, quanto o nmero de vrtices de uma pirmide uma unidade maior do que o nmero de vrtices da base.O nmero de arestas da pirmide o dobro do nmero das arestas da base da pirmide.Corpos Redondos (1)O que ocorre se rotacionarmos os polgonos a seguir em torno de um eixo fixo?

RetnguloTringulo retnguloSemicrculoCorpos Redondos (2)Podemos obter os corpos redondos a partir da rotao de um polgono ao redor de um eixo de rotao.

RetnguloCilindroTringulo retnguloConeSemicrculoEsferaCorpos Redondos (3)Qual a principal diferena entre os corpos redondos a seguir?

O cilindro o corpo redondo que possui duas bases, enquanto que o cone possui apenas uma nica base. recomendvel que o aluno faa uma analogia entre os poliedros vistos anteriormente,identificando as semelhanas e diferenas entre os prismas e o cilindro,e as pirmides e o cone.

Corpos Redondos (4)Qual a principal caracterstica da esfera?

A esfera o corpo redondo onde cada ponto de sua superfcie est equidistante do ponto central.Novamente importante realizar uma analogia com a principal caracterstica da circunferncia.Em ambos casos a distncia entre o ponto central e um ponto da esfera (ou da circunferncia) chamado de raio.raioOutros poliedros (1)Quais so as principais caractersticas dos poliedros a seguir?

As faces de cada poliedro possuem o mesmo formato.Cada um dos poliedros acima formado por faces congruentes.Em cada vrtice sempre concorrem o mesmo nmero de arestas.O ngulo de abertura (ngulo polidrico) sempre o mesmo.Os poliedros que apresentam tais caractersticas so chamados Poliedros de Plato.

A primeira reminiscncia que temos sobre os slidos geomtricos deve-se a Plato(427 a.C. 347 a.C.), em sua obra Timaeus, onde o mesmo relaciona os cinco poliedros(que atualmente conhecemos por poliedros platnicos) aos elementos naturais de Empdocles.

Tetraedro(Fogo)Hexaedro(Terra)Octaedro(Ar)Dodecaedro(Universo)Icosaedro(gua)Outros poliedros (2)