Universidad Nacional de la Patagonia

Facultad de Ingeniería

Deparamento de Matemática

Catedra: Geometría Diferencial

T.P.No1: Curvas en el Plano y en el Espacio

Ejercicios

1. Una curva parametrizada α(t) tiene la propiedad de que la derivada segunda α′′(t) es idénticamentecero. ¾Qué se puede decir acerca de α(t) ?

2. Sea α(t) una curva parametrizada que no pasa por el origen. Si α(t0) es el punto del trazo de α(t)mas cercano al origen y α′(t) 6= 0 , mostrar que el vector posición α(t0) es ortogonal a α

′(t0) .

3. Sea α : I −→ <3 es una curva parametrizada y sea v ∈ <3 un vector �jo. Asuminos que α′(t) esortogonal a v∀t ∈ I y que α(0) es también ortogonal a v. Probar que α(t) es ortogonal a v ∀t ∈ I.

4. Sea α : I −→ <3 es una curva parametrizada, con α′(t) 6= 0 ∀t ∈ I. Mostrar que |α(t)| es unaconstante distinta de cero si y solo si α(t) es ortogonal a α′(t) ∀t ∈ I.

5. Mostrar que la recta tangente a la curva parametrizada regular α(t) = (3t, 3t2, 2t3) marca un ánguloconstante con la recta y = 0, z = x

6. Sea OA = 2a el diámetro del circulo S1 y Oy, AV tangentes a S1 en o y en A respectivamente.Una semirrecta r dibujada de o, con intersección o corte a S1 en C y a la recta AV en B. Sobre OBmarco el segmento Op = CB. Si nosotros rotamos r alrededor de o, el punto p describe la curvallamada Cisoide de Diocles.

a) Probar que el trazo es α(t) =

(2at2

1 + t2;

3at3

1 + t2

).

b) El origen (0,0) es el punto singular del Cisoide.

c) Para t −→∞ α(t) se acerca a la recta x = 2a y α′(t) −→ (0, 2a). Así para t −→∞ la curva yla tangente se acercan a la recta x = 2a; de donde decimos que x = 2a es asintota del cisoide.

7. Sea α : (−1,+∞) −→ <2, dada por: α(t) =

(2at

1 + t3;

3at2

1 + t3

), probar que:

a) Para t = 0,α es tangente a x.

b) Cuando t −→∞ α(t) −→ (0, 0) y α′(t) −→ (0, 0).

c) Tomo la curva con orientación opuesta. Ahora si t −→ 1 la curva y su tangente se aproximana la recta tangente x+ y + a = 0.

8. La curva α : < −→ <2 de�nida por: α(t) =(aebtcost ; aebtsent

), con a>0 y b>0 es llamada la

espiral logaritmica.

a) Calcular la funcion longitud de arco, para t0 ∈ <, relativa a t0.

b) Parametrizar esta curva por longitud de arco.

c) Dibuje su trazo.

9. Las siguientes curvas parametrizadas tienen como trazo la circunferencia de centro el origen yradio unidad: α(t) = (cost ; sent

), con t ∈ <, β(t) = (cos(−t) ; sen(−t)

), con t ∈ < y

γ(t) =(cos(t+

π

2) ; sen(t+

π

2)), con t ∈ <.

a) ¾Cuàles son los cambios de parámetros?. ¾Que ocurre con la velocidad en cada uno de ellos?.

b) Explicar porqué δ(t) = (cos(t3) ; sen(t3))no es una reparametrización de α(t) = (cost ; sent

),

con t ∈ <.

10. Sea β una reparametrizacion de una curva parametrizada diferenciable α.

a) Demuestre que β es regular si y solo si α lo es.

b) ¾Las rectas tangentes en culaquier punto coinciden?.

11. Calcular las curvaturas de una recta y de una circunferencia, parametrizadas por longitud de arco.

12. Sea α una curva plana parametrizada por longitud de arco s. Probar que α es un segmento de rectasi y solo todas sus rectas tangentes son paralelas.

13. Sea α una curva plana parametrizada por longitud de arco s. Probar que α es un arco de circun-ferencia si y solo si todas sus rectas normales pasan por un punto en común.

14. Veri�car cuales de las siguientes bases son positivas

a)

{(13

);

(42

)}

b)

1

35

;

237

;

483

.

15. El plano P contenido en <3 esta dado por la ecuación ax+ by + cz + d = 0. Mostrar que el vectorv = (a, b, c) es perpendicular al plano y que |d| =

√a2 + b2 + c2 mide la distancia del plano al origen

(0,0,0).

16. Determinar al ángulo de intersección de los planos 5x+ 3y + 2z − 4 = 0 y 3x+ 4y − 7z = 0.

17. Dados dos planos aix+ biy+ ciz+ di = 0 con i=1,2 que la condición necesaria y su�ciente para que

sean paralelos es que:a1

a2

=b1b2

=c1c2.

18. Dada la curva parametrizada α(t) =(acos

s

c; asen

s

c; b

s

c

), con s ∈ <, donde c2 = a2 + b2.

a) Mostrar que el parámetro s es la longitud de arco.

b) Determinar la curvatura y la torsión de α.

c) Determinar el plano oscilador de α.

d) Mostrar que la recta que contiene a n(s) y pasa a través de α e intersecta al eje z, mide un

ángulo interior constante e igual aπ

2.

e) Mostrar que la recta tangente a α mide un ángulo constante con el eje z.

19. Sea α : I −→ <3 una curva parametrizada por longitud de arco con curvatura k > 0,α es una hélicesi y solo si existe una constante c tal que τ(s) = ck(s) .

20. Consideremos la curva dada por α(t) = (t; t2; t3). Hallar su curvatura y su torsion en el origen(0,0,0). ¾En que punto tiene la curva una torsion (en valor absoluto) máxima?

21. Consideremos la curva dada por γ(t) = (et; e2t; t), con t ∈∈ <. Hallar su curvatura y torsion en elpunto (1,0,0).¾Es cierto que la curva tiene torsion negativa en todos sus puntos?.

22. Sea α : I −→ <3 una curva parametrizada por longitud de arco con curvatura k > 0, veri�candoademás que k′(s) 6= 0 y τ(s) 6= 0 . Demostrar que α esta contenida en una esfera de radio r > 0 si

y solo si1

k(s)2+

k′(s)2

k(s)4τ(s)2= r2

23. Consideremos α : I −→ <3 una curva parametrizada por longitud de arco con curvatura k 6= 0.Asumimos que toda normal a una curva parametrizada pasa a través de un punto �jo. Probar queel trazo de la curva esta contenido en un circulo.

24. Dada la función diferenciable k(s) ,mostrar que la curva parametrizada plana, teniendo a k(s) = k

como curvatura, esta dada por:α(t) =

(∫cosθ(s) + a ds ;

∫senθ(s) + b ds

),donde θ(s) =∫

k(s) + ϕ y que esta determinada por una traslación del vector (a,b) y una rotación del ángulo ϕ.

25. Consideremos α : I −→ <3 , curva parametrizada por longitud de arco con curvatura no nula .

a) Mostrar que el conocimiento del vector función b = b(s) (vector binormal) de la curva α, contorsión no nula en todas partes, determina la curvatura k(s) y al valor absoluto de la torsiónτ(s) de α.

b) Mostrar que el conocimiento del vector función n = n(s) (vector normal) de la curva α, contorsión no nula en todas partes, determina la curvatura de α k(s) y la torsión τ(s) de α.

26. En general una curva α es llamada hélice,si las rectas tangentes marcan en α un ángulo constantecon una dirección �ja. Asumimos que τ(s) 6= 0 , probar que:

a) α es una hélice si y solo sik

τ= cte.

b) α es una hélice si y solo si las recta que contienen a n(s) y pasan a través de α son paralelasa un plano �jo.

c) α es una hélice si y solo si las recta que contienen a b(s) y pasan a través de α producen unángulo constante con una dirección �ja.

d) La curva α(t) =

(a

c

∫senθ(s) ds ;

a

c

∫cosθ(s) ds ;

b

cs

)donde c2 = a2 + b2 es una

hélice yk

τ=a

b.

27. Sea α : I −→ <3 una curva parametrizada (no necesariamente por longitud de arco) con k(t) 6= 0y τ(s) 6= 0, con t ∈ I. La curva es llamada curva de Bertrand si existe una α : I −→ <3 tal que lasrectas normales de α y α en t ∈ I son iguales. En este caso α, es llamada Bertrand mate de α, ypodemos escribir: α = α(t) + rn(t). Probar que:

a) r es constante

b) α es una curva de Bertrand si y solo si existe la relación lineal Ak(t) +Bτ(t) = 1, t ∈ I dondeA y B son constantes no nulas y k y τ son la curvatura y la torsión de α.

c) Si α tiene mas de una mate Bertrand esta tiene in�nitas mates Bertrands.Este caso ocurre siy solo si es una hélice circular.