PRACTICA DIRIGIDA DE MATEMATICA BASICA I Nº 01

1. El Vector es el vector localizado del segmento cuyo punto medio es C = (3,1)

Hallar las coordenadas de los extremos .

SOLUCION:

Según el vector localizado del segmento , se tiene en la figura lo siguiente:

……………………. 1

…………………….. 2

Según proporcionalidad del punto medio de un segmento en la figura se tiene:

……………………….. 3

…….…………………. 4

Resolviendo 1 y 3

En 3

Resolviendo 2 y 4

Y

V1

A

B

1

Y2

X1 3 X2

X1X2 -

Y1Y2 -

Y

X0

C

Y

V3

A

B

1

Y2

X1 5/3 X2

X1X2 -

Y1Y2 -

Y

X0

C

Y )11/3(Y2 -

Y )12/3(Y2 -

X )11/3(X2 -X )12/3(X2 -

En 4

Por lo tanto las coordenadas de A y B son:

2. es el vector localizado del segmento y C = (5/3,3) el punto de Trisección

mas cercano de B de dicho segmento. Hallar las coordenadas de A y B.

Según el vector localizado del segmento , se tiene en la figura lo siguiente:

……………………. 1

………………….. 2

Por proporcionalidad en la figura se tiene:

………………….. 3

…….……………. 4

Resolviendo 1 y 3

En 3

Resolviendo 2 y 4

En 4

Por lo tanto las coordenadas de A y B son:

3. Sea el vector , cuya componente Horizontal es X3 y componente vertical es 6-X.

Hallar si = (9XY-Y3,Y) y .

Solución:

Según el grafico se tiene el vector donde se ha

considerado el punto “O” como el origen de coordenadas.

Además .

Como “O” es origen entonces se tiene que:

Como , entonces igualamos componentes:

a

Y

X

P

O X

6-X

3

…………………. 1

………………….. 2

Se sabe que: ) ………………….. 3

Remplazando 1 y 2 en 3:

Aquí volvemos a remplazar la ecuación 2 donde

para

para

4.-Hallar un vector cuya magnitud es igual a la del vector y cuyo ángulo es la

misma que del vector .

Solución:

Hallando el modulo de ;

Como Hallando el ángulo de ; Las componentes rectangulares del vector son:

5. a) cuya norma es 6 y . Hallar dicho vector.

b) Hallar un vector unitario en la dirección del vector de norma 17, que tiene su punto

inicial en (3,-12) y punto terminal tiene ordenada 3.Solución:

a) Hallando las componentes del vector ;

b) Sean los puntos

El vector unitario del es :

6. El segmento de una recta limitada por los puntos A = (-1,8,3), B=(9,-7,-2) esta dividido en 5 partes iguales por los puntos C,D,E,F. Hallar las coordenadas de dichos puntos.

Solución:

De la figura se tiene lo siguiente:

Sea el vector que divide en 5

partes iguales (condición del problema).

Z

Y

A

O

C

D

E

F

B

K

uK(-1,8,3)

(9,-7,-2)

K

K

K

K

K

X

Las coordenadas C, D, E y F son:

7. En un paralelogramo ABCD se designa expresar en términos de los

vectores donde M es punto de intersección de las diagonales.

Solución:

De la figura:

8. Demostrar que los puntos A = (6,3,4), B = (2,1,-2) Y C=(4,-1,10)son vértices de un triángulo isósceles.

Solución:

Para que A, B y C sean los vértices de un triangulo isósceles se debe verificar que dos de sus lados tengan longitudes iguales y formen ángulos iguales con el tercer lado.

A

B C

D

a

b

M

b

a

B

A

C

O

O

De los módulos encontrados se puede verificar que los lados AB y AC del triangulo ABC son iguales. Por lo que se trataría de un triangulo isósceles.Además en un triangulo isósceles los ángulos de los lados iguales también son iguales. De la figura:

Por lo tanto se pudo verificar que se trata de los ángulos iguales de un triangulo isósceles.

9. En el tetraedro OPQR que se muestra en la figura sea sea M el

punto medio de . Hallar en función de .

Solución:De la figura:

; ;

O

R

Q

P

c

b

a

M

10. En la figura se tiene un paralelepípedo de . Hallar

donde y .

Solución:

De la figura se tiene:

a

c be

d

A A'

C

DB

O

E

X

Z

Y

11. La figura es un cubo si A = (6,-2,4), C = (8,-2,-10) F = (-6,4,2), H=(8,4,4) hallar las demás coordenadas.

Solución:

De la figura hallaremos los puntos medios de los segmentos AC y FH respectivamente:

De la figura obtenemos el vector :

Hallamos las coordenadas de B,D,E y G de la siguiente manera:

B C

G

HE

F

DA

I

J

aa

a-a

-a

12. a) Si . Hallar .

b) Si . Calcular .

c) Dado . Hallar .

Solución:

a)

………………………………………. 1

Como obtenemos la siguiente figura.

En la figura aplicamos la ley de cosenos para hallar el modulo de un vector resultante.

………………………………………. 2

Remplazando 2 en 1 se tiene:

Y

XO

C

B

A

C B

O

b) como obtenemos la siguiente figura:

En la figura aplicamos la ley de cosenos para hallar el modulo de un vector resultante.

De la figura hallamos las coordenadas de los vértices del paralelogramo.

Y

XO

C

B

A

C B

O

c) Utilizando la ley de cosenos para obtener el modulo de la suma y diferencia de vectores se tiene:

13. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercero e igual a la mitad de su longitud.

Solución:

Para demostrar que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercero e igual a la mitad de su longitud. Se tiene la siguiente figura.

……………………………… 1

Por ser M y N puntos medios de AB y BC respectivamente se tiene lo siguiente.

Remplazando en la ecuación 1 se tiene.

14.-Dado un paralelogramo ABCD Es verdad

.

Solución:

A

B C

D

A

B

C

M N

…………. 1

Como se tiene:

………….. 2

SMAM las ecuaciones 1 y 2 se tiene:

¡Si es cierta esta expresión!

15.-Probar .

Para probar que . Utilizaremos la ley de

cosenos de la suma y diferencia de dos vectores, en la cual se tiene como expresión

común el . Por lo tanto aplicamos el rango de valores para la función coseno

de un ángulo.

Haciendo diversas operaciones a los miembros de la inecuación tenemos

16.-Probar que: son ortogonales si y solo si .

Si los vectores son ortogonales entonces

=

=

=

Por la ley de cosenos se tiene:

17-Tres vectores están orientados como en la figura donde .

Encuentre , y escribir en coordenadas polares.

Solución:

Obteniendo el ángulo del vector .

A

B

C

Y

X45º

45º

Expresando el vector en coordenadas polares se tiene: