Labratorio de Fısica Atomica y Molecular

Practica 6: Rayos X

Luis Felipe Gualco CentenoEscuela Politecnica Nacional

Quito-Ecuador

Abstract

Con el descubrimiento de los rayos X en 1895 se amplio el conocimiento del espectro electromagnetico y nopaso mucho tiempo desde su descubrimiento para encontrarle aplicabilidad a esta nueva forma de radiacion.Ya que William Bragg padre e hijo en 1913 formularon la famosa ley de Bragg que relacionaba la difraccionde rayos X con la estructura cristalina por la que atravieza la luz. Dicha ley es de vital importancia paraconocer la estructura de la materia porque nos permite deducir la dispocision de los atomos en la materia einversamente si se la conoce reconocer la radiacion incidente.En este trabajo se describe los tipos de radiacion X en la naturaleza y un pequeno vistazo a sus aplicaciones.Se uso el cristal de floruro de litio como fuente dispersora de los rayos X procedentes del molibdeno. Se calculopor conveniencia la longitud de onda de la emision Kβ = 65.15pm y se la comparo con valores de la literaturaobteniendose un error del 3.2% que resulto muy bueno si tomamos en cuenta que los equipos utilizados noestaban debidamente calibrados y la resolucion usada tampoco nos permitıa diferenciar entre las lıneas Kα yKβ . Adicionalmente se calculo la constante de Planck suponiendo que la energıa de los fotones era la de loselectrones incidentes; y se encontro un error del 5.09% con respecto al reportado.

1 Objetivo

• Verificar la naturaleza ondulatoria de la luz y confir-mar la ley de reflexion de Bragg.

• Investigar la reflexion de Bragg en un cristal de LiFusando la radiacion caracterıstica del Molibdeno.

• Determinar las longitudes de onda caracterısticas Kα

y Kβ de la radiacion del Molibdeno.

2 Introduccion

Los rayos X, nombrados por Wilhelm Rontgen, su des-cubridor; debido a su naturaleza desconocida en el sigloXV III. Ahora sabemos que se trata de radiacion con-tenida en el espectro electromgnetico de longitud de ondamenor a 1 A◦ que es capaz de atravezar cuerpos opacos.

Las aplicaciones de los rayos X en el campo de la medic-ina han sido muy desarrolladas a traves de la radiografıa,ya que aporta informacion de la estructura osea sin necesi-dad de recurrir a procedimientos quirurgicos complicados.El uso de los rayos X se ha extendido tambien a la crista-lografıa que es una tecnica experimental para el estudio yanalisis de materiales, basada en la difracccion de rayos Xpor solidos en estado cristalino, dado que los rayos X tienenlongitudes de onda similares a las distancias interatomicasen los cristales.

De hecho esta tecnica permitio descubrir la estructurade doble helice del ADN en 1953 y se utiliza para deterinarla estructura cristalina de las proteınas. [6]

3 Marco Teorico

3.1 Produccion de Rayos X

3.1.1 Rayos X Caracterısticos

La radiacion caracterıstica consiste en un conjunto de lıneasde emision que se da cuando un electron de las capas ex-teriores cae a ocupar un espacio disponible dejado por unelectron de capa interna.Ya que el electron exterior tiene energıa de enlace muchomayor que el de un interno. Cuando se situe en una capainterna debe abandonar esa energıa de enlace en forma defoton que caracteriza la carga y la diferencia de energıaentre los niveles de trancision.Esta emision ocurre en todos los atomos pero ya que lafrecuencia del foton obedece [2]:

ν = RZ2(1/n2 − 1/n′2

)(1)

Es notorio que el foton emitido sera mas energetico siproviene de un elemento pesado, razon por la cual la emisionde rayos X de elementos con Z > 20 es de gran interes praconocer la estructura de la materia.

La produccion de rayos X tıpicamente involucra el bom-bardeo de un objetivo metalico en un tubo de vacıo conelectrones de alta velocidad que han sido acelerados a unagran diferencia de potencial. Los electrones de bombardeo,puede expulsar electrones de las capas internas de los atomosdel objetivo de metal.

3.1.2 Rayos X por Bremsstrahlung

Los electrones bombardeados pueden interactuar con losatomos del blanco en varia formas. Una de ellas; en la que

1

Figure 1: Espectro de emision de rayos X del atomo deMolibdeno como resultado del descenso de un electron denivel 2 a 1 (Kα) y de 3 a 1 (Kβ)

Figure 2: Nomeclatura historica de las trancisiones derayos X caracterısticos.

los electrones se aceleran al pasar por el nucleo cargado.Cuando una carga se acelera produce radiacion, la cual deacuerdo con el esquema cuantico, estara en forma de fotoncon energıa hν igual que el cambio en la energıa cinetica delelectron, es decir hν = Ki−kf . Esta forma de radiacion esllamada ”bremsstrahlung” de origen aleman que significa”de frenado”. [1]El foton mas energetico posible ocurre cuando un electronpierde toda su energı cinetica inicial en una sola interaccionproduciendo un foton de frecuencia maxima.

Ki −Kf = eV = hνmax =hc

λmin(2)

Por tanto el proceso bremsstrahlung produce radiacion conun esprectro continuo que tiene una frecuencia de corte quedepende del voltaje de aceleracion. [1]

3.2 Ley de Bragg

Cuando los rayos X son dispersados por una red cristalina,se observan picos de intensidad dispersada, que correspon-den a las siguientes condiciones [5]:

• angulo de incidencia = angulo de dispersion.

• La diferencia de longitud de trayectorias es igual aun numero entero de longitudes de onda.

Figure 3: Espectro de emision continuo de rayos X pro-ducidos por Bremsstrahlung

nλ = 2dsinθ (3)

La condicion de maxima intensidad contenida en la leyde Bragg, nos permite calcular detalles sobre la estructuracristalina, o si se conoce la estructura cristalina, deter-minar la longitud de onda del rayos X incidente sobre elcristal.

Figure 4: Se tiene interferencia constructiva cuando secumple la ley de Bragg.

3.2.1 Espectrometro de Bragg

Para obtener rayos X casi monocromaticos y producir losrayos X caracterısticos, se usa un tubo de rayos X. Conel fin de eliminar la mayor cantidad de radiacion continuabrehmsstrahlung posible, se usan sobre el haz de rayos Xfiltros enmparejados, para optimizar la fraccion de energıaque esta en las lıneas Kα y Kβ . Tales filtros, utilizan ele-mentos que estan justo por encima, y justo por debajo, delmetal objetivo de los rayos X, haciendo uso de los fuertes”bordes de absorcion”.Los rayos X estan colimados con aberturas en un fuerte ab-sorbente de rayos X, y el estrecho haz de rayos X se hacegolpear el cristal objeto del estudio. La disposicion del es-pectrometro, acopla la rotacion del cristal con la rotaciondel detector, de manera que el angulo de rotacion del de-tector es el doble que el del cristal. Esto satisface las condi-ciones de la ley de Bragg para la difraccion de los rayos Xpor los planos de la red cristalina [4].

4 Equipo y Diseno Experimental

El diseno del experimento viene casi establecido por elaparato de rayos X, la configuracion se la tomo de [4],teniendo en cuenta los aspectos de seguridad.

2

Figure 5: En el diagrama se muestra el principio dedifraccion de rayos X en un monocristal y un acoplamientode 2θ entre el angulo del detector y el angulo de dispersion.Elementos: (1)Colimador, (2) Monocristal, (3)Detector.

• Aparato de Rayos X

• Contador Geiger-Muller

• Contador de pulsos

En el experimento verificaremos la ley de Bragg inves-tigando la difraccion de rayos X en un cristal de LiF dondelos planos reticulares son paralelos a las superficies cubicasde las celdas unitarias del cristal [3].

2d = 402[pm] = 0.402[nm] (4)

Los rayos X son detectados con un contador GM que esgirado en conjunto con el cristal de LiF en un acople doblecon respecto a los rayos incidentes, lo que significa queel tubo contador siempre avanza un angulo doble con re-specto al de incidencia de la radiacion. Segun [4] las lıneascaracteristicas del Molibdeno(Z = 42) de rayos X corre-spondientes a las trancisiones Kα y Kβ se las presenta enla Tabla 1.

E[keV ] λ[nm]Kα 17.443 0.07108Kβ 19.651 0.063095

Table 1: Energıa y longitud de onda de la radiacion Xcaracterıstica del molibdeno

Figure 6: Configuracion del equipo para la verificacion dela ley de Bragg segun [4].

Es necesario conocer el angulo de difraccion caracterısticode rayos X del molibdeno cuando se dispersan en el cristalde LiF(d = 0.202[nm]), si sabemos sus energıas para laslıneas Kα y Kβ . Dichos angulos se los calculan hasta el3er orden usando la ecuacion (3):

n θ(Kα) θ(Kβ)1 10.18◦ 9.03◦

2 20.71◦ 18.29◦

3 32.03◦ 28.09◦

Table 2: Angulo de difraccion carcaterıstico de la radiacionX del molibdeno en un monocristal de LiF hasta 3er orden.

5 Resultados y Discusion

Se hizo incidir electrones de energıa 20[keV ], sobre unaplaca de molibdeno. En la primer arreglo se utilizo un fil-tro de Zirconio segun lo indica la grafica 6 y en la otra sehizo incidir directamente los electrones. En concordancia ala seccion 3.2.1 se usa Zr40 que esta debajo del Mo42 comomaterial apto para atrapar la radiacion Bremsstrahlungprocedente de este ultimo. El filtro reduce la cantidad debremsstrahlung y esto se nota porque los picos de intensi-dad encontrados son mas finos.

Se obtuvieron las graficas (7) y (8) de donde se notandos cosas: la primera es que en ambos casos se puede ex-hibir que en el espectro de emision se encuentran ambostipos de radiacion estudiadas y segundo que los angulos demaxima intensidad son para 0, 3, 11, 18, 25◦ usando el filtrode Zr, la primera y segunda opcion corresponde a fotonesque pasaron directamente sin sufrir ninguna desviacion yno cumplen la ley de Bragg. Mientras que para aquellos sinfiltro se tienen los angulos 1, 3, 12, 18, 25◦ donde el igual-mente los dos primeros angulo se descartan porque el hazno esta totalmente colimado y escapan hacia el detector.

Comparando estos angulos de difraccion con aquellosmostrados en la Tabla 2 directamente relacionamos con laradiacion Kβ ya que es la que mas se acerca. Eso se debea que no se pudo obtener un espectro de mayor resoluciondebido a la falta de automatizacion en el registro de datosy por falta de calibracion del detector.

Ası pues tomando los angulos 11, 18, 25◦ para los tresordenes de difraccion se tiene una longitud de onda prome-dio de λ = 65.15[pm] = 0.0651495[nm] que en comparacioncon la longitud de onda usada en la literatura de λ =0.063095[nm] se tiene un error aproximado de 0.03[nm]correspondiente a apenas el 3.26%, que para nuestras prim-itiva recoleccion de datos es muy buena.

Asumiendo que la radiacion tiene una energıa 20[keV ]igual a la energıa cinetica de los electrones incidentes cal-culamos la constante de Planck en base a la longitud deonda encontrada1 con c = 299792458[m/s] [7] se encontroun valor h = 4.3463 × 10−15[eV.s] que corresponde a unerror del 5.09% con respecto al valor reportado [7].En comparacio con la practica de medicion de la constantede Planck se obtiene un error aceptable, ya que se supusodirectamente la energıa de los fotones.

1Usando:E = Ek =hc

λ

3

n θ(Kβ) λ[pm]1 11◦ 76.712 18◦ 62.113 25◦ 56.63

Table 3: Angulos de vista en la difracion medidos de lalınea Mo Kβ y sus longitudes de onda calculadas para lostres primeros ordenes.

Figure 7: Intensidad vs Angulo de desviacion(2θ) usandoel filtro de zirconio

Figure 8: Intensidad vs Angulo de desviacion(2θ) tal quelos rayos X del molibdeno emisor no usaban filtro.

6 Conclusiones

Como conociamos de antemano en el espectro de emisioncon filtro se tiene menor intensidad debido a que el zirconioabosorbe toda la radiacion bremsstrahlung.

Para unas determinadas longitudes de onda, el valorde la intensidad crece de forma abrupta. Debido a que,junto al espectro continuo de rayos X estamos recogiendotambien el espectro discreto correspondiente al molibdeno.

Se ha comprobado que el espectro obtenido tiene doscomponentes: el espectro continuo, producido por la ra-diacion de frenado de los electrones y el espectro discreto,correspondiente a las transiciones del molibdeno.

La difraccion de rayos X caracterısticos del molibdenocuando pasan por un cristal de LiF se lo entiende si apli-camos las propedades ondulatorias a la radiacion donde ladiferencia de camino optico recorrido en la celda cristalinaes igual a un multiplo entero de la longitud de onda.

Se tuvo una buena medicion de la constante de Planckya que se asumio que toda la energıa del electron incidenteera la energı del foton, notese que la energıa del foton quese tomo de referencia difiere muy poco de la mostraba enla tabla 4

El equipo utilizado en la practica necesita ser calibradoy automatizado tanto para mejorar las mediciones y obtenermejores resultados en la prediccion de la estructura delcristal difractor y del metal productor de rayos X, tantocomo para en proximos estudios tener una mejor resoluciony poder distinguir entra las lıneas Kα y Kβ .

References

[1] Gautreau & Savin William, Fısica Moderna. McGraw-Hill Editores, Segunda edicion Version en espanol,Mexico, 2001.

[2] Haken Hermann & Wolf Hans C., -The Physics ofAtoms and Quanta- Introduction to Experiments andTheory, Springer, Berlin-Germany, 2004.

[3] Handbook of Chemistry and Physics, 52nd Edition,The Chemical Rubber Company, Cleveland OHIO-USA, 1972.

[4] Leyfold Physics Leaflets, P6.3.3.1 ”Bragg reflection:diffraction of X-rays at a monocristal”

[5] Thornton, Steven T. and Rex, Andrew, ModernPhysics for Scientists and Engineers. Saunders CollegePublishing, 1993.

[6] Watson J.D. & Crick F.H.C. Una estructura para elacido desoxirribonucleico Nature 171: 737–738, 1953.

[7] Fundamental Physical Constants: Speed of light in vac-uum; c, c0.http://physics.nist.gov.

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