UNIVERSIDAD DE COLIMA

FACULTAD DE INGENIERA MECNICA Y ELCTRICA

Control Moderno

Retroalimentacin de Estado del Circuito RLC

Alumnos

Jairo Said Gonzlez Barahona

Salvador Barragn Aguirre

Francisco Javier Torres Romero

Felipe de Jess Medina Amezcua

Profesor Jaime Arroyo Ledesma

Coquimatlan, Colima, 10 de Abril del 2014

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1. OBJETIVO

En esta prctica, se analizar cul es el efecto que produce una retroalimentacin de estado. Para ello, realizaremos un circuito RLC al cual le aplicaremos una retroalimentacin a la salida del capacitor (VC (t)). La idea principal, es obtener la salida del capacitor sin retroalimentacin y con retroalimentacin para despus comparar dichas salidas.

2. INTRODUCCIN [1]

Los sistemas de control en lazo cerrado tambin llamados retroalimentados, son aquellos en el cual la seal de salida tiene un efecto sobre la accin de control. Ya que el error actuante es la diferencia entre la seal de entrada y la seal de retroalimentacin, el fin de la retroalimetacin es reducir el error y llevar la salida a un valor conveniente.

La seal de retroalimentacin (negativa o positiva) puede ser unitaria o una planta. Para este caso, utilizaremos una retroalimentacin unitaria. El esquema de realimentacin unitaria mantiene una relacin prescrita entre la salida y la entrada de referencia, comparndolas y usando la diferencia como medio de control. El diagrama de bloque del sistema es el que se muestra en la Figura 1.

Fig. 1 Diagrma de Bloques de Realimentacin Unitaria.

En este documento la planta corresponde a el circuito elctrico RLC, el cual se analizar sin retroalimentacin y con la respectiva retroalimentacin de estado en la salida del capacitor. Para el anlisis se realizarn las ecuaciones dinmicas que resultan de aplicar la ley de voltajes de Kirchhoff al circuito.

La respuesta del comportamiento del circuito se determinar recurriendo a las variables de estado. Utilizaremos los principios bsicos de circuitos elctricos a travs del almacenamiento y prdidas de energa en el circuito, debido a los elementos que lo componen tal como se describe a continuacin.

Captulo 4

Analisis en Lazo cerrado

Los sistemas de control en lazo cerrado tambien llamados realimentados, son aquellos

en el cual la senal de salida tiene un efecto sobre la accion de control. Por lo que el

error actuante es la diferencia entre la senal de entrada y la senal de realimentacion a

fin de reducir el error y llevar la salida a un valor conveniente.

La senal de realimentacion (negativa o positiva) puede ser unitaria o una planta.

A continuacion se describen cada una de ellas:

4.1 Realimentacion Unitaria

El esquema de realimentacion unitaria mantiene una relacion prescrita entre la salida y

la entrada de referencia, comparandolas y usando la diferencia como medio de conrol.

El diagrama de bloque del sistema es el siguiente:

Figura 4.1: Diagrama de Bloque Realimentacion Unitaria

En el simulador Orcad al cerrar el lazo del sistema, se procede de la siguiente

manera:

2

Resistencia En una resistencia, la relacin entre la tensin y la corriente viene expresada por la ley de ohm como se muestra en la ecuacin pene. La ecuacin (1) indica la proporcionalidad directa entre la tensin y la corriente en una resistencia.

! = (1)

Inductancia En una inductancia, la relacin entre la tensin y la corriente est representada por la ecuacin (2).

! = () (2)

Capacitancia En un condensador, la relacin entre la tensin y la corriente esta representada por la ecuacin (3).

! =1 (3)

3. DESARROLLO

3.1 Anlisis Terico 3.1.1 Circuito Serie RLC Partiendo del circuito que se muestra en la Figura 2, obtenemos las ecuaciones dinmicas aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff.

Fig. 2 Circuito RLC serie

3""

3. DESARROLLO [1]

3.1 Anlisis Terico 3.1.1 Circuito RLC serie. Para el circuito RLC serie indicado en la figura 1, consideramos que la bobina y el condensador estn inicialmente descargados y que la entrada es una seal cuadrada. Obtendremos como respuesta la tensin en bornes del condensador.

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"Fig. 1 Circuito RLC serie.

"

Aplicando la ley de voltajes de Kirchhoff al circuito RLC a partir de la ecuacin (4).

! ! = !! + !! + !! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4

Donde:

VR= Voltaje en terminales de la resistencia

VL= Voltaje en terminales de la bobina

VC= Voltaje en terminales del capacitor

Tomando en cuenta las ecuaciones (1), (2) y (3) del apartado anterior, tenemos que:

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1! ! ! !"!!

Ahora contemplamos las condiciones de las ecuaciones siguientes.

i(t) U (t)

3

Considerando que la fuente de entrada () = ! , y que la corriente del circuito es igual a la corriente de la bobina (() = ! ). La ecuacin obtenida del circuito es la que se muestra en la ecuacin (4).

! = ! + !() +

1 !()

!

! (4)

Determinando una ecuacin para simplificar los elementos diferenciales en la ecuacin (4), obtenemos la ecuacin (5).

!() =1 !()

!

! (5)

De la ecuacin (5), derivamos ambos miembros de la ecuacin y obtenemos la ecuacin (6) para el primer estado del sistema.

!() =

1 ! (6)

Hacemos un cambio de variable en la ecuacin (4) y obtenemos la ecuacin (7).

! = ! + !() + ! (7)

Despejando la derivada de la corriente !() de la ecuacin (7), obtenemos la ecuacin (8) para el segundo estado del sistema.

!() =

1 !

!

1 ! (8)

4

Utilizando la expresin general de la ecuacin (9) que nos determina los estados del sistema, obtenemos la representacin matricial de los estados del circuito RLC mostrado en (10).

() = + !!!!!!!!!!! (9)

! !

=0 1

1

! !

+01 ! ! !!!! !!!!! !" !

3.1.2 Circuito Serie RLC con Retroalimentacin de Estado Ahora, analizamos el circuito RLC con una retroalimentacin de estado en la salida del capacitor (VC (t)). La retroalimentacin es la que se muestra en la Figura 3.

Fig. 3 Circuito RLC serie con retroalimentacin de estado

Nota: El anlisis del circuito se hace de la misma manera que en el anlisis anterior, la nica diferencia consta de que al aplicar la retroalimentacin, la entrada del circuito cambia.

Haciendo una equivalente de la retroalimentacin, la entrada del circuito se expresa en la ecuacin (11).

= ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !! !

Aplicando ley de Voltajes de Kirchhoff al diagrama de la Figura 3, obtenemos la ecuacin (12).

5

! ! ! ! ! !! ! ! !! !! ! ! !

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Haciendo los cambios de variable correspondientes, obtenemos las ecuaciones (13) y (14).

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Aplicando las operaciones diferenciales necesarias y despejando las respectivas variables de estado pertenecientes al sistema, obtenemos las ecuaciones (15) y (16) de los estados del sistema.

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Finalmente, en la ecuacin (17), se tiene la representacin matricial de los estados del sistema para el circuito de la Figura 3.

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Como se puede observar, el hecho de hacer una retroalimentacin de estado para el voltaje del capacitor implica que la matriz planta del sistema se modifique en el elemento (A21), respecto a la que se tiene sin retroalimentacin del circuito. Esto a su vez, resulta en que los polos del sistema sean diferentes y por lo tanto su comportamiento ser diferente.

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Ya que se tiene la representacin matricial en variables de estado para ambos circuitos, se sustituyen los valores correspondientes de los elementos del circuito los cuales se muestran en la Tabla 1.

Tabla 1. Parmetros que conforman el circuito RLC

Los valores de las matrices con retroalimentacin de estado y sin retroalimentacin, se expresan a continuacin.

Valores de las matrices sin retroalimentacin.

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Valores de las matrices con retroalimentacin.

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Utilizando los valores de las matrices anteriores, calculamos los polos del sistema con la ecuacin (18), para as poder determinar el comportamiento del sistema en cada caso.

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Resistencia Inductor Capacitor 479 ohms 3.57 mH 9.8 nF

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Para el circuito RLC sin retroalimentacin, obtenemos los polos del sistema a travs de la expresin (19).

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De igual manera, para el circuito RLC con la retroalimentacin de estado, calculamos los polos del sistema con la expresin (20).

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3.1.3 Simulacin Con los valores que se tienen de las matrices, utilizamos el software MATLAB como herramienta para la simulacin del circuito en sus dos casos de estudio. Se utilizar el comando Step para poder obtener las grficas en cada caso.

En la Figura 4, se representa el voltaje del capacitor para el circuito RLC de la Figura 1 cuando se tiene una tensin de entrada tipo escaln unitario y magnitud de 1 V. Se puede observar como la seal presenta un pequeo transitorio y se estabiliza en el valor de la entrada (! ! ! ! ! ! ! ! ! ! .

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Fig. 4 Voltaje del capacitor sin retroalimentacin de estado

Ahora, en la Figura 5 se representa la seal del capacitor con una retroalimentacin a la salida del capacitor. En esta, se puede observar que la sobreelongacin (Mp) es de menor magnitud a la del circuito RLC sin retro. Tambin, el voltaje del capacitor es la mitad de la tensin de entrada, (! ! ! ! ! !

!

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Fig. 5 Voltaje del capacitor con retroalimentacin de estado

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3.2 Anlisis Prctico Partiendo del anlisis terico y de los parmetros obtenidos, construimos el circuito RLC para as realizar una comparacin entre los resultados tericos obtenidos, y los que se optuvieron en la parte prctica. Para obtener resultados prcticos, se construy el circuito RLC par estudiar los dos casos que se requieren (tanto con retroalimentacin, as como operando sin retro.). En la Figura 6 se representa el circuito que se obtuvo utilizando opamps. Los valores de la bobina, capacitor y resistencia son los mismos que se utilizaron en el anlisis terico.

Fig. 6 Circuito equivalente de la retroalimentacin del circuito RLC

Utilizando el circuito anterior, construimos en un protoboard el circuito equivalente y se obtuvieron las seales de salida con la retroalimentacin y sin retroalimentacin. Nota: El valor de la resistencia corresponde a la resistencia interna del inductor mas la resistencia de carga.

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Analizando el circuito primeramente sin la retroalimentacin de estado, en la Figura 7 se puede observar la salida del capacitor cuando se tiene una tensin de entrada de escaln unitario de magnitud igual a 0.9 V. Al igual que en los resultados obtenidos en el anlisis terico, es posible ver que la salida del capacitor se estabiliza en el valor de la seal de entrada siendo el (VC (t)= 0.9 V). Tambin se puede apreciar que el voltaje del capacitor presenta un transitorio antes de estabilizarse tal como se presentan en los polos obtenidos.

Fig. 7 Voltaje de salida del capacitor sin retroalimentacin y una entrada de 0.9 V

Ahora para el circuito con retroalimentacin, se utilizan las mismas condiciones de entrada. En la Figura 8 se puede apreciar como es la respuesta de salida del capacitor cuando se introduce la seal de 0.9 V de tipo escaln unitario.

Se puede decir que la seal del capacitor en el anlisis terico y en el prctico son del mismo tipo, ya que la tensin de salida del capacitor tambin se estabiliza en una tensin igual a 0.5 Vf (t), o lo que es lo mismo que el (VC (t)= 0.45 V) . Tambin se aprecia el transitorio que se forma antes de que la seal del capacitor se estabilice, esto se debe a que los polos que se obtuvieron son complejos conjugados.

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Fig. 8 Voltaje de salida del capacitor con retroalimentacin y una entrada de 0.9 V

Finalmente, por medio de la funcin de transferencia para el voltaje del capacitor con retroalimentacin que se muestra a en la expresin (21), podemos conocer el error de la salida del capacitor en retroalimentacin para el estado estacionario.

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La ecuacin (22), nos permite determinar el error en estado estacionario cuando se tiene la retroalimentacin o lazo cerrado.

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donde:

En realimentacin unitaria H(s) = K = 1.

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Al sustituir los valores correspondientes para;

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! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Por lo tanto, tenemos que el error de posicin en estado estacionario se muestra en la expresin (23). Lo que indica que los resultados obtenidos en la prctica son correctos.

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4. CONCLUSIONES

La conclusin que se lleg con este anlisis del circuito RLC, fue que la retroalimentacin modifica al circuito en su estructura y funcionamiento; todo esto para controlarlo y obtener los resultados que deseamos. En la estructura lo modifica en el hecho de que se le agrega una retroalimentacin unitaria a la salida del capacitor y entra en un sumador junto con la tensin de entrada. En funcionamiento la modificacin consta en el hecho de que al hacer la retroalimentacin de la salida (voltaje del capacitor), se obtiene que se compare con la entrada y se estabiliza la seal cambiando los tiempos de respuesta en la seal. Los polos que se obtuvieron en ambos casos, indican que es un sistema subamortiguado. En particular, los polos obtenidos representados por su parte real e imaginaria, de alguna forma le dan especificaciones al sistema. Esto significa que las respuestas asociadas a polos que conservan la misma parte real como es el caso, tienen la misma cantidad de tiempo de asentamiento (ts), pero el tiempo pico (tp), si ser diferente para los dos tal como lo determina la parte imaginaria de los polos.

5. REFERENCIAS

[1] http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/marquez/cursos/pdf/TP62004mary.pdf

[2] Katsuhiko, Ogata. (2003). Ingeniera de control moderna. Madrid, Espaa