Estadstica II

Practica 2: Distribuciones condicionales

1. En relacion con el ejercicio 1 de la practica 1,

(a) Hallar la funcion de frecuencia condicional de X dado Y = 1 y la de Y dadoX = 1.

(b) Puede decirse que X e Y son independientes?

2. En relacion con el ejercicio 4 de la practica 1,

(a) Hallar las dos densidades condicionales.

(b) Son X e Y independientes?

(c) Hallar P(Y 1

2| 0 X 1

2

).

3. En relacion con el ejercicio 5 de la practica 1,

(a) Son X e Y independientes? Responder sin calcular.

(b) Hallar las dos densidades condicionales.

(c) Hallar E (Y | X = x) y E (X | Y = y) .(d) Hallar E (Y ) y E (X) de dos formas distintas, usando el tem anterior para una

de ellas.

(e) Calcular P(0 X 1 | Y = 1

2

).

(f) Calcular P(23 Y 1 | X = 1

4

).

4. Si X es uniforme en el [0, 1] e Y condicional a X tiene distribucion uniforme en [0, X],hallar la densidad conjunta y las marginales de X e Y .

5. Sea X una variable aleatoria binomial que representa el numero de exitos en n repeti-ciones independientes de un experimento. Sea Y el numero de exitos en las primerasm repeticiones, m < n. Hallar pY |X(y | x) y la esperanza condicional E (Y | X = 2) .

6. Tiramos una moneda equilibrada n veces. Sea X el numero de caras obtenidas. Acontinuacion la moneda se tira X veces. Hallar el valor esperado del numero total decaras generado por este proceso.

7. Sea Z una variable aleatoria que indica el resultado de tirar una moneda.

P (cara) = P (Z = 1) =1

3

P (ceca) = P (Z = 0) =2

3

Se considera el siguiente juego: se tira la moneda. Si sale cara el puntaje obtenido esuna variable aleatoria con distribucion Bi

(5, 1

2

). Si sale ceca el puntaje obtenido es

cero. Sea Y el puntaje obtenido.

1

(a) Hallar P (Y 1) .(b) Hallar E (Y | Z = 1) , E (Y | Z = 0) y E (Y ) .

8. Sea T una variable aleatoria con distribucion exponencial de parametro , y sea U |T = t uniforme en [0, t]. Hallar E(U).

9. En relacion al ejercicio 5 de la practica 1 calcular el coeficiente de correlacion, XY .

10. Mostrar que V ar(X Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) 2Cov(X, Y ).11. Sea X una variable aleatoria con distribucion uniforme en el intervalo [1, 1] y sea

Y = X2. Son X e Y independientes? Calcular XY .

12. Sea (X, Y ) un vector aleatorio con distribucion uniforme en la region: 0 x 1, x y x+ h para todo 0 < h < 1.

(a) Calcular E (X) , E (Y ) , E (XY ) .

(b) Hallar XY .

(c) Hay alguna razon intuitiva que explique por que cuando h se aproxima a cero,XY se aproxima a uno?

2