PODSTAWY ROBOTYKI

TREŚĆ WYKŁADU

Marek Wojtyra

Zakład Teorii Maszyn i Robotów Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki Stosowanej Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa PW

Ostatnie zmiany wprowadzono 31 stycznia 2014 r.

Prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie bez zgody autorów zabronione. 32

złożonego mechanizmu nie znalazłaby zastosowania. Obecnie do rozwiązania tego samego zadania wykorzystamy obliczenia rekurencyjne, czyli zastosujemy metodę, której z powodzeniem można użyć do dowolnie złożonego mechanizmu.

Układy odniesienia Rozwiązanie zadania rozpoczynamy od wprowadzenia układów odniesienia związanych z członem

poruszającym się wzdłuż prowadnicy (π1) oraz z obracającym się członem (π2).

Ruch punktu P względem układu π1 Wektor wodzący )2(

2,2s punktu P w układzie π2 jest stały:

const=)2(2,2s .

Wektor )1(2,1r wyznacza położenie początku π2 układu w układzie π1 i jest stale równy zeru, gdyż

początki układów pokrywają się: ( ) constt == ×13

)1(2,1 0r .

Orientacja układu π2 względem układu π1 opisana jest przez macierz kosinusów kierunkowych 12R :

( ) ( ) . 1000)(cos)(sin0)(sin)(cos

)(12

−== tt

tttt z ϕϕ

ϕϕϕRR

Prędkość i przyspieszenie kątowe układu π2 względem układu π1 obliczamy w następujący sposób, korzystając z faktu, że obrót następuje wokół pokrywających się osi z układów π1 i π0:

[ ][ ] . )(00)(

, )(00)(T)1(

2,1

T)1(2,1

tt

tt

ϕ

ϕ

=

=

ω

ω

Wektor wodzący punktu P w układzie π1 jest opisany następującym wzorem: ( ) ( ) ( ) )2(

2,212

)1(2,1

)1(2,1 sRrs ttt += .

Różniczkując powyższe równanie względem czasu, obliczamy prędkość i przyspieszenie liniowe punktu P względem układu π1 (wektory )2(

2,2s i )1(2,1r są stałe, mają zatem zerowe pochodne):

( )( ) .~~~~~~

,~

)2(2,2

12

)1(2,1

)1(2,1

)2(2,2

12

)1(2,1

)2(2,2

12

)1(2,1

)2(2,2

12

)1(2,1

)2(2,2

12

)1(2,1

)1(2,1

)2(2,2

12

)1(2,1

)2(2,2

12

)2(2,2

12

)1(2,1

)1(2,1

sRωωsRωsRωsRωsRωs

sRωsRsRrs

+=++=

=++=

t

t

Ruch punktu P względem układu π0 Wektor )0(

01r wyznacza położenie początku układu π1 w układzie π0:

( ) ( )[ ]T)0(1,0 00tdt =r .

Prędkość i przyspieszenie początku układu układu π1 w układzie π0 obliczamy różniczkując powyższą zależność:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] . 00

, 00T)0(

1,0

T)0(1,0

tdt

tdt

=

=

r

r

Macierz kosinusów kierunkowych opisująca orientację układu π1 względem układu π0 jest stała i równa macierzy jednostkowej:

( ) .3301 constt == ×IR

Orientacja członu poruszającego się wzdłuż prowadnicy względem podstawy nie ulega zmianie, zatem zarówno prędkość, jak i przyspieszenie kątowe układu π1 względem π0 są zerowe:

. )(

,)(

13)0(1,0

13)0(1,0

×

×

=

=

0

0

t

t

ω

ω

Wektor wodzący punktu P w układzie π0 jest opisany następującym wzorem: ( ) ( ) ( ) )1(

2,101

)0(1,0

)0(2,0 sRrs ttt += .

Różniczkując powyższe równanie względem czasu, obliczamy prędkość i przyspieszenie liniowe punktu P względem układu π0 (wykorzystujemy obliczone wcześniej wielkości opisujące ruch punktu P względem układu π1; uwzgledniamy też, że pochodne macierzy 0

1R są zerowe): ( )( ) .

,)1(2,1

01

)0(1,0

)1(2,1

01

)1(2,1

01

)0(1,0

)0(2,0

)1(2,1

01

)0(1,0

)1(2,1

01

)1(2,1

01

)0(1,0

)0(2,0

sRrsRsRrs

sRrsRsRrs

+=++=

+=++=

t

t