Dinamica de la partıcula

Practica 4. Comprobacion de las ecuaciones que describen el tiroparabolico (Segunda Parte).

Mauricio Arredondo Soto, Ricardo Martınez Martınez y Jose Marıa Rico MartınezDepartamento de Ingenierıa Mecanica.

Division de Ingenierıas, Campus Irapuato-Salamanca. Universidad de GuanajuatoCarretera Salamanca-Valle de Santiago Km. 3.8 + 1.5

CP 36730, Salamanca, Gto., MexicoE-mail: m.arredondosoto@ugto.mx, r.martinezm@ugto.mx, jrico@ugto.mx

1 Objetivo

Demostrar experimentalmente la validez de las ecuaciones que describen el movimiento parabolico de un proyec-til.

2 Material y Equipo

1. Documento “Instalacion del Equipo para el Tiro Parabolico”.

2. Todo el equipo especificado en el documento “Instalacion del Equipo para el Tiro Parabolico”.

3. Bascula de precision

4. Cinta metrica o flexometro

5. Calculadora.

6. Cinta adhesiva

7. Papel carbon o pasante

3 Desarrollo de la practica

1. Lea detenidamente el documento “Instalacion del Equipo para el Tiro Parabolico” y proceda a instalarel equipo siguiendo los pasos allı indicados y bajo la supervision del profesor. Al terminar la instalacion,verifique que el equipo se vea como el mostrado en la figura 1.

Figura 1. Panoramica central del equipo instalado.

1

Dinamica de la partıcula

2. Compruebe con ayuda del profesor que la ecuacion (1) describe la trayectoria del proyectil en el plano x-y.

O

f

0

0

yy

m axy

X

yx

q

v

Figura 2. Modelo fısico del Sistema.

gX2

2v20tan2θ −Xtanθ +

(gX2

2v20+ ∆y

)= 0 (1)

Donde ∆y = yf − y0De las ecuaciones parametricas X(t) y Y (t) que describen el tiro parabolico en las componentes x y ytenemos

X = v0xt (1) y = y0 + v0yt−1

2gt2 (2)

Despejamos t de (1)

t =X

v0x

y lo sustituimos en (2)

y = y0 + v0yX

v0x− 1

2g

(X

v0x

)2

(3)

Como v0x = v0Cosθ y v0y = v0Senθ escribimos la ecuacion (3) como

y = yo +voSenθX

v0Cosθ− 1

2g

X2

v20Cos2θ

y simplificando tenemosg

2v20Cos2θX2 − tanθX + yf − y0 = 0

Ahora comprobamos que la ecuacion (1) es otra forma de escribir la ecuacion anteriorSustituyendo 1/Cos2θ = Sec2θ en la ecuacion anterior tenemos

gX2

2v20Sec2θ − tanθX + ∆y = 0

2

Dinamica de la partıcula

y como Sec2θ = 1 + tan2θ tenemos que la ecuacion anterior se puede escribir como

gX2

2v20(1 + tan2θ) − tanθX + ∆y = 0

y por ultimo la escribimos como

gX2

2v20tan2θ −Xtanθ +

(gX2

2v20+ ∆y

)= 0

• ¿Que consideraciones tomo en cuenta para obtener la ecuacion (1)? Despreciar la friccion del viento y

otras fuerzas de friccion• Discuta en grupo en que situacion se requiere la ecuacion (1) Al ser una ecuacion cuadrtica en lavariable tanθ se puede utilizar para el caso en que se desconoce el angulo θ necesario para alcanzarlas coordenadas x y y conocidas, donde debe impactar el proyectil.

3. Como puede darse cuenta, el movimiento de este sistema depende de la aceleracion de la gravedad, se sabeque una buena aproximacion es 9.81m/s2. Pero tambien se sabe que no es constante en toda la superficiede la tierra y tiene variaciones pequenas alrededor de este valor. Estas variaciones dependen de la latitudy altitud del lugar donde se encuentre. Investigue cual es la latitud y altitud del lugar donde se lleva acabo esta practica y obtenga la aceleracion de la gravedad correspondiente empleando la grafica GravityValue versus Latitude and Altitude mostrada en la figura 3.

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5/13/2015http://scienceblogs.com/startswithabang/files/2011/12/adamgravityversusaltitude1.jpeg

Figura 3. Grafica de la gravedad como funcion de la latitud y altitud.

• ¿A que altitud se encuentra? 1800m SNM aproximadamente. ¿A que latitud se encuentra? 20o

• ¿Que valor de la aceleracion de la gravedad obtuvo? 9.781m/s2

• Este valor es diferente del que habitualmente se emplea en la solucion de problemas academicos(9.81m/s2). ¿Cual es la diferencia entre ambos valores? 0.029m/s2

• ¿Que tan considerable cree que es el error que se comete al tomar como constante de aceleracion de lagravedad el valor de 9.81m/s2? Pequeno pero puede ser suficiente para ser perceptible en los resultados

3

Dinamica de la partıcula

4. Velocidades iniciales.Como ya debe saber, es posible elegir entre tres diferentes velocidades de disparo v0 ajustando la palanca enun costado del disparador (Vea documento “Instalacion del Equipo para el Tiro Parabolico”) las pruebashan demostrado que se obtiene una velocidad de inicial es independiente del angulo de disparo y constantepara cada posicion de la palanca y para un peso especıfico de proyectil. Estas velocidades se proporcionancomo dato

Proyectil de m = 27.7gr? Posicion 1, v0 ≈ 2.53m/s? Posicion 2, v0 ≈ 3.63m/s? Posicion 3, v0 ≈ 4.67m/s

5. Comprobacion de la trayectoria utilizando el marco cuadriculado.Como una actividad extra para cada experimento que realice con el equipo de tiro parabolico, puede grabaren video la trayectoria del proyectil al pasar frente al marco cuadriculado que se muestra en la figura 1 yde esta forma determinar si la altura maxima del proyectil coincide con la calculada teoricamente con laecuacion (2) que debe comprobar a continuacion con ayuda del profesor.

ymax = y0 +v20Sen

2θ

2g(2)

De las ecuaciones de velocidad en y posicion en y tenemos

vy = v0y − gt (1) y = y0 + v0yt−1

2gt2 (2)

En el punto maximo de altura tenemos quevy = 0

Sustituimos esto en la ecuacin (1) y despejamos t

t =v0yg

Luego lo sustituimos en la ecuacion (2)

ymax = y0 +v20yg

− 1

2gv2oyg2

Simplificando tenemos

ymax = y0 +1

2

v2oyg

Y finalmente

ymax = y0 +v20Sen

2θ

2g

6. Determinacion de los resultados teoricos y toma de resultados experimentales.En la figura 4 se muestra un esquema del equipo instalado con sus cotas en centimetros.

4

Dinamica de la partıcula

Figura 4. Esquema del equipo completo.

• Una vez que haya realizado la practica 3, conoce el error que existe entre resultados teoricos yexperimentales.

• Cambie la altura de la superficie donde cae el proyectil a una altura conocida yf = 117.8 cm

• Cambie la longitud horizontal X de la superficie donde cae el proyectil a una conocida X = 141.5 cm

• Elija la posicion 3 y utilice el proyectil de masa m = 27.7gr.

• Calcule los angulos θ1,2 con la ecuacion (1) (ecuacion cuadratica = dos soluciones), necesarios paraque el proyectil caiga en la superficie con un error menor de 5% y reportelos θ1 = 70 o, θ2 = 21.8 o

ademas reporte estos angulos en las Tablas 1 y Tabla 2.

• Realice tres pruebas con el mismo proyectil y el mismo angulo de disparo θ y reporte los resultadosexperimentales de la coordenada en X en las Tabla 1 y Tabla 2 correspondientes

• Para cada experimento calcule el porcentaje de error y reportelo en la Tabla 1 y Tabla 2 a partirde la formula.

Error% =RE −RT

RE100

donde RT es el resultado teorico y RE es el resultado experimental.

Table 1: Resultados teoricos, experimentales y porcentaje de error θ1Numero Resultado Porciento

de Experimental de

experimento X Error

123

• Reporte la velocidad mostrada en el display para cada experimento, en la Tabla 3.

• Calcule la altura maxima teorica para cada experimento anterior con la ecuacion (2) y reportelas enla Tabla 3.

• Analizando cuidadosamente el video de cada experimento anterior, determine la altura maxima quealcanza el proyectil en cada experimento y reporte los datos en la Tabla 3.

• Calcule el porcentaje de error para la altura maxima teorica vs experimental de cada experimento,en la Tabla 3.

7. Preguntas finales

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Dinamica de la partıcula

Table 2: Resultados teoricos, experimentales y porcentaje de error θ2Numero Resultado Porciento

de Experimental de

experimento X Error

123

Table 3: Resultados teoricos, experimentales y porcentaje de error ymax

Numero Velocidad ymax ymax Porciento

de de Teorica Experimental de

experimento Disparo cm cm Error

123

• ¿Cuan pequeno considera que debe ser el porcentaje de error entre resultados teoricos y experimen-tales para considerarlos validos? Debido a la gran cantidad de variables que existen en la practica,un 5% es un error bastante aceptable para nuestras pruebas.

• ¿Cree que los resultados experimentales obtenidos son validos y pueden considerarse un reflejo de losteoricos? Si, son bastante aceptables

• ¿Que cree que puede causar esta diferencia entre resultados teoricos y experimentales? Como ya semenciono anteriormente, existen muchos factores como: la resistencia del aire, la humedad,inexactitud del sensor de velocidad, errores en las mediciones de altura, etc.

• ¿Que recomendarıa para disminuir el porcentaje de error entre los resultados teoricos y practicosobtenidos? Siempre es posible mejorar las condiciones en las que se realiza un experimento aunquedifıcilmente obtendremos condiciones ideales, algunas mejoras serian; realizar el experimento en unlugar seco y sin viento, tener el dato exacto de gravedad en el lugar del experimento, medir con lamayor exactitud posible las alturas necesarias, etc.

• Proporcione sus conclusiones individuales.

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