Universidade Federal do Par

Instituto de Cincias Exatas e Naturais

Programa de Ps-Graduao em Fsica

Exame de Seleo - Data: 25/01/2011

Nome do Candidato:

Nvel: Mestrado Doutorado

1. Seja uma partcula com energia potencial dada pela funo V (~r). Mos-

tre que possvel definir uma densidade de corrente de probabilidade~j(~r, t), de tal modo que, quando medida a posio da partcula, a

derivada temporal da probabilidade de obter um valor dentro de uma

dada regio compacta v sempre igual ao fluxo de probabilidade que

entra na regio v atravs da sua fronteira s. (Assuma que s, a fronteira

de v, uma superfcie suave).

2. Usando a descrio de Heisenberg para uma partcula com energia po-

tencial V (~r), (a) mostre que a derivada temporal do valor mdio do

momento igual ao valor mdio da fora clssica no estado quntico,

i.e.d

dt~p(t) = ~V (t),

onde A |A|. Assuma que a energia potencial V (~r) umafuno analtica em todo o espao, isto , pode ser expandida em srie

de potncias, por exemplo:

V (x, y, z) =

nx,ny ,nz

anxnynzxnxynyznz .

i

(b) Mostre tambm que se a fora for constante (~V = const.), ouelstica (~V = k~r), ento o valor mdio da fora clssica no estadoquntico igual fora clssica no valor mdio da posio da partcula,

i.e.

~V (t) = ~V (~r(t)).

3. Considere os campos vetoriais

~v1(~r) = [2y2i+ (4xy + 2z2)j] + [4yz + 2sinal(z)]k, ~v2(~r) = [4xyi+ 6yzj] + [3xz + sinal(z)]k,

sendo que e so constantes com unidades apropriadas para que

esses campos tenham a mesma dimenso de um campo eltrico, e a

funo sinal definimos como:

sinal(z) =

{1, se z > 01, se z < 0 .

Responda as questes formuladas nos itens a seguir, justificando, com

base nos seus clculos explicitados, cada uma de suas respostas.

(a) Um dos campos mencionados (~v1 ou ~v2) representa um certo campo

eletrosttico ~E(~r) (considere o campo magntico nulo). Qual dos

dois campos vetoriais listados representa ~E?

(b) Considerando o campo ~E identificado no item anterior, calcule

as densidades superficiais de carga localizadas em cada uma das

seguintes superfcies:

z = 0;

ii

z = 1.(c) Defina uma funo potencial (~r) associada ao campo eltrico

~E(~r), assumindo (0, 0, 0) = 0.

(d) Calcule o mnimo trabalho envolvido para movermos uma carga

eltrica q do ponto (a, a, a) ao ponto (b, b, b), na presena de ~E.

4. Considere uma superfcie em forma de casca esfrica, definida pela

equao ~r = Rr, imersa no vcuo, com uma densidade superficial

de carga eltrica uniforme prescrita , girando com velocidade an-

gular constante ~ = k, sendo i, j,k os vetores da base cartesiana.

Para esse modelo, o potencial vetor ~A na regio r R dado por~A(r, , ) = 0R

3rsen, onde r, , so as coordenadas esfricas, e

0 a permissividade magntica do vcuo. Responda as questes for-

muladas nos itens a seguir, justificando, com base nos seus clculos

explicitados, cada uma de suas respostas.

(a) Escreva a expresso para o campo eltrico ~E na regio r < R.

(b) Escreva a expresso para o campo magntico ~B na regio r < R

(dica: rcos sen = k).(c) Suponha que num instante t0 uma partcula puntiforme de massa

m e carga q encontra-se na origem do sistema de coordenadas,

com uma velocidade ~v dada por ~v = vj. Escreva a expresso para

a fora eletromagntica ~F que atua sobre a partcula no instante

t0.

(d) Considerando a situao da partcula mencionada no item ante-

rior, escreva, em funo dos dados do problema, o limite mximo

para |~v|, de modo que, a partir do instante t0, a partcula descreva

iii

sua trajetria sem chocar-se contra a casca esfrica (despreze em

sua anlise a radiao emitida pela carga q ao se mover sob a ao

da fora).

5. Considere uma tira elstica de comprimento L submetida a uma tenso

f . Sejam ainda U , N , S e T , respectivamente, a energia interna da tira,

o nmero de molculas que a compem, sua entropia e sua temperatura.

Num processo quase esttico com N constante, podemos escrever

dU = TdS + fdL.

Suponha que

U = cL0T,

onde c uma constante e L0, tambm constante, o comprimento de

repouso da tira (quando no submetida a nenhuma tenso). Suponha

ainda que a linearidade do comprimento com a tenso, entre o compri-

mento de repouso e o comprimento-limite L1 do regime elstico, possa

ser escrito como

f = g(T )L L0L1 L0 , L0 < L < L1,

onde L1 constante e g(T ) uma funo da temperatura.

Determine, a menos de constantes multiplicativas, a funo g(T ).

BOA PROVA !

iv

Formulrio

i~(~r, t)

t= H(~r, t) H = ~

2

2mr

2

r2+

L2

2mr2+ V (r)

~2

2m~2(~r)+V (~r)(~r) = E(~r) ~j =

(i~2m

)[(~)(~)]

d~x

dt=

1

i~[~x,H]

d~p

dt=

1

i~[~p,H]

px = i~ x

[x, px] = i~ Lz = xpy ypx

L = Lx iLy [Lx, Ly] = i~Lz Lz = i~

LYlm(, ) = ~l(l + 1)m(m 1)Ylm1(, )

~ ~D = ~ ~B = 0

~ ~E = ~B

t~ ~H = ~J +

~D

t

~D = 0 ~E + ~P = ~E ~B = 0( ~H + ~M) = ~H

~E = ~ ~B = ~ ~A

(~r) = [1/(4pi0)]

dv (~r )/|~r ~r | u = 1

2(0E

2 +1

0B2)

W = [1/(8pi0)]Ni=1

Nj=1;j 6=i

qiqj/|~ri ~rj| c = 1/00

~F = q[~E + ~v ~B

]

v

S = kB ln (VN

)T,p

=(p

)T,N

H(S, p,N) = U + pV F (T, V,N) = U TSf [1](S, V, ) = U N f [2](S, p, ) = U N+ pVG(T, p,N) = U TS + pV (T, V, ) = U TS N

1T

=(SU

)V,N

pT

=(SV

)U,N

T

= ( SN

)U,V

T =(US

)V,N

=(UN

)V,S

p = (UV

)S,N

S = (FT

)V,N

p = (FV

)T,N(

SV

)T,N

=(pT

)V,N

(Sp

)T,N

=(VT

)p,N

Expresses em coordenadas esfricas~ = r

r+

r

+

r sen

~ ~A = 1r2

r

(r2Ar

)+

1

rsen

(senA) +

1

rsen

A

~ ~A = 1rsen

[

(senA)

(A

)]r +

1

r

[1

sen

Ar (rA)

r

]+

1

r

[ (rA)

r Ar

]

~2 = 1r2

r

(r2

r

)+

1

r2sen

(sen

)+

1

r2sen2

2

2

Relaes envolvendo ~~ ( ~A) = ~ ~A+ ~ ~A ~ ( ~A) = ~ ~A+ ~ ~A~( ~A ~B) = ( ~A ~) ~B + ~A (~ ~B) + ( ~B ~) ~A+ ~B (~ ~A)~ ( ~A ~B) = ~A(~ ~B) ~B(~ ~A) + ( ~B ~) ~A ( ~A ~) ~B

~ ~ ~A = ~(~ ~A) ~2 ~A

vi