QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH BẰNG ĐỒ THỊ

NHÓM THỰC HIỆN:

KIỀU THỊ PHƯƠNG LOAN

VÕ TRƯƠNG THANH QUYÊN

HUỲNH PHƯƠNG THẢO

- Tìm vecto làm cực tiểu (hoặc cực đại) hàm số f (X) , với các điều kiện

Với điều kiện

- Hàm f (X) gọi là hàm mục tiêu, các điều kiện trên gọi là điều kiện bắt buộc của bài toán

- Mỗi vecto X =(xj) Rn thỏa mãn hệ điều kiện ràng buộc gọi là một phương án. Ta kí ∈hiệu tập phương án là M.

- Một phương án làm cực tiểu hoặc cực đại, hàm mục tiêu gọi là phướng án tối ưu của bài toán.

- Khi f(X) và gi(X)(i=1,...,n) là các hàm tuyến tính, thì bài toán đã cho được gọi là Bài toán quy hoạch tuyến tính.

- Quy hoạch tuyến tính ( linear programming _ LP) là bài toán tối ưu hoá, trong đó hàm mục tiêu (objective function) và các ràng buộc đều là hàm tuyến tính.

Nhận dang:- Biển quyết định - Hàm mục tiêu

Thiết lập:- Hàm mục tiêu- Các ràng buộc

Tìm mô hình phi tuyến thích hợp để

giải quyếtCác quan hệ

tuyến tính

Có vùng khả thi không ?

Vùng khả thi có hữu hạn

không ?

Tìm lời giải

Kết quả cuối cùng

Nới lỏng ràng buộc

Cấu trúc lại mô hình

Có cực trị không Không

Có

Sai

Đúng

Có

Có

Cách thức giải toánBước 1: Biểu diễn các điều kiện của bài toán lên mặt phẳng tọa độ x1Ox2. Xác định miền rang buộc D.

Bước 2: Vẽ đồ thị đường mức c1x1+c2x2 =α với α giá trị

Bước 3: Xác định vecto pháp tuyến và dịch chuyển song song các đường mức theo hướng vecto cho tới vị trí tới hạn.

Bước 4: Điểm (hoặc nhiều điểm) của D nằm trên giao điểm của đường mức ở vị trí tới hạn với miền D là lời giải của bài toán.

Bài toán mẫuMột nhà quản lý trại gà dự định mua 2 loại thức ăn để trộn ra khẩu phần tốt và giá rẻ.

Mỗi đơn vị thức ăn loại 1 giá 2 đồng có chứa 5g thành phần A

4g thành phần B

0,5g thành phần C

Mỗi đơn vị thức ăn loại 2 giá 3 đồng có chứa 10g thành phần A

3g thành phần B

không có chứa thành phần C.

Trong 1 tháng, 1 con gà cần tối thiểu 90g thành phần A, 48g thành phần B và 1,5g thành phần C.

Hãy tìm số lượng mỗi loại thức ăn cần mua để có đảm bảo đủ nhu cầu tối thiểu về dinh dưỡng cho 1 con gà với giá rẻ nhất.

Cách giải bài toánBước 1 : Xác định biến quyết địnhGọi x, y lần lượt là số lượng đơn vị thực phẩm loại 1 và loại 2 cần cho 1 con gà trong 1 tháng.

Bước 2 : Xác định hàm mục tiêuHàm mục tiêu của bài toán này là cực tiểu giá mua Min Z = 2x + 3y

Bước 3 : Xác định các ràng buộc• Thành phần A : 5x + 10y > 90

• Thành phần B : 4x + 3y > 48

• Thành phần C : 0.5x > 1,5

• Các biến dương : x, y > 0

Trong mặt phẳng tọa độ xOy , ta vẽ các đường thẳng:

(D1) : 5x + 10y = 90

(D2) : 4x + 3y = 48

(D3) : 0.5 x = 1.5

(D4) : x = 0

(D5) : y = 0

Cách giải bài toán

• Thành phần A : 5x + 10y > 90• Thành phần B : 4x + 3y > 48• Thành phần C : 0.5x > 1,5• Các biến dương : x, y > 0

Dùng đường thẳng phí để xác định Zmin.

Đường đẳng phí càng gần gốc O, Z càng nhỏ.

Đường thẳng phí qua điểm B cho ta Zmin. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình

5x + 10y = 90

4x + 3y = 48

suy ra x = 8,4

y = 4,8

Z = Zmin = 2×1 + 3×2 = 2 × 8,4 + 3,48 = 31,2

Vậy lời giải tối ưu là : x = 8,4

y = 4,8

Cách giải bài toán

PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH TRỰC GIAO CẤP 2

. - Để mô tả tương thích miền phi tuyến người ta thường dùng những đa thức bậc hai có dạng như sau.

Giới thiệu chung

Số hệ số b trong đa thức bậc hai được xác định theo công thức sau:

Xác định tâm phương án:

Với Zj

max – mức trên Zj

min – mức dưới Zj

0 – mức cơ sở

Biến mã xj

Để ma trận có thể trực giao ta đổi biến xj2 thành biến x’

j

theo công thức sau:

Giá trị mã hóa:Để tiện tính các hệ số thực nghiệm của mô hình hồi quy toán học, trong kế hoạch thực nghiệm người ta sử dụng các mức yếu tố theo giá trị mã hóa. Đây là đại lượng không thứ nguyên quy đổi chuẩn hóa từ các giá trị thực của yếu tố nhờ quan hệ:

Thực hiện N thí nghiệm

Trong QHTN số thí nghiệm N tăng theo số yếu tố ảnh hưởng k (N = nk), số thí nghiệm tăng nhanh so với số hệ số cần xác định khi k lớn.

Để đơn giản Box và Wilson đưa ra phương án cấu trúc có tâm bằng cách đưa thêm vào nhân phương án một số thí nghiệm. Bằng cách làm như vậy sẽ nhận được những ước lượng không lẫn lộn giữa hiệu ứng tuyến tính và hiệu ứng tương tác đôi.

Thực hiện N thí nghiệm:

Trong đó: 2k – số thí nghiệm của quy hoạch toàn phần 2k-p – số thí nghiệm của quy hoạch từng phần 2k – thí nghiệm bổ sung tại các điểm “sao” .Các điểm sao nằm trên các trục toạ độ của không gian yếu tố. Tọa độ các điểm sao: ( ±α;0;0), (0;±α;0),(0;0;±α).Với α – là khoảng cách từ tâm của phương án đến các điểm sao được gọi là cánh tay đòn sao, được xác định theo biểu thức: α4 + 2kα2 – 2k-1 (k + 0,5n0) = 0 (với k < 5) α4 + 2k-1α2 – 2k-2 (k + 0,5n0) = 0 (với k ≥ 5)n0 – số thí nghiệm tại tâm phương án.

Trong thực tế người ta đã chứng minh được α phụ thuộc vào số yếu tố (k) và số thí nghiệm ở tâm (no). Giá trị α2 được t ính theo k và no được cho ở bảng:

Nếu sự trực giao của phưong án được xem là là tiêu chuẩn tối ưu hóa , thì số thí nghiệm ở tâm không chịu ràng buộc và thường no = 1.

Đối với bê tông thường (CVC), quy trình thiết kế cấp phối bê tông tương đối đơn giản, thông thuờng chỉ cần thử nghiệm 3-4 cấp phối với tỷ lệ xi măng khác nhau, chi phí một đợt thí nghiệm chỉ cần vài triệu đồng. Trong khi đó để thiết kế cấp phối bê tông đầm lăn (RCC), do phải xác định cấp phối sao cho thỏa mãn đồng thời các yêu cầu kỹ thuật, trong đó quan trọng nhất với các đập RCC là yêu cầu về cường độ, chống thấm và nhiệt trong RCC để khống chế nứt nẻ. Các nhà Tư vấn Việt Nam hiện thường đang phải tốn rất nhiều công sức, kinh phí để làm thí nghiệm (thường thử nghiệm đến vài ba trăm cấp phối, kinh phí lên đến vài ba tỷ đồng – chưa kể thí nghiệm hiện trường) Bài viết này, tác giả đã sử dụng bài toán quy hoạch thực nghiệm để tìm ra cấp phối BTĐL ban đầu cho 2 mác bê tông thiết kế khác nhau, thỏa mãn 3 yêu cầu kể trên mà số thí nghiệm phải làm ít nhất. Kết quả có thể tham khảo trong quy trình thiết kế cấp phối BTĐL nhằm giảm kinh phí làm thí nghiệm.

ĐẶT BÀI TOÁN MÔI TRƯỜNG

ĐẶT BÀI TOÁN MÔI TRƯỜNG

B1: Lựa chọn hàm mục tiêu: Đề tài áp dụng bài toán quy hoạch thực nghiệm để tính toán dựa trên kế hoạch thực nghiệm có khoa học để lựa chọn thành phần BTĐL tối ưu nhằm thỏa mãn 2 hàm mục tiêu là: Cường độ chịu nén và Hệ số thấm của BTĐL sao cho nhiệt thủy hóa của BTĐL là nhỏ nhất.

Lựa chọn các yếu tố ảnh hưởng

Z1: Lượng dùng xi măng trong 1 m3 bê tông (kg)Z2: Hàm lượng Phụ gia khoáng (tro bay) so với tổng lượng CKD (%) .

B2: ta chuyển hệ trục tự nhiên Z1, Z2 sang hệ trụckhông thứ nguyên (hệ mã hoá):

Phương trình hồi quy có dạng:

y= b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2 + b11x12 + b22x2

2

B3: Thực hiện N thí nghiệm: N = 2k + 2k + n0 (k< 5) = 2^2+2*2+1 = 9

Trường hợp có 2 yếu tố ảnh hưởng (k = 2)

Thay k = 2, α2= 1

Biến mã:

B4: lập bảng ma trận thực nghiệm

B5: Căn cứ vào các số liệu ở ma trận thực nghiệm ta tính được các hệ số b theo các công thức sau đây

Kết quả là: b’0 = 13,84; b1 = 9,95 ; b2 = -1,20 ; b12 = -0,40 ; b11 = -1,983 ; b22 = 0,567 Giá trị của b0 = b’0 + (-b11 - b22).2/3 = 13,84 + (1,983 -0,567).2/3 = 14,78

B6 :Để kiểm tra tính có nghĩa của các tham số, chúng ta cần làm các thí nghiệm lặp tại tâm kế hoạch:

Kế hoạch thực nghiệm tại tâm

Và các phương sai của các hệ số được tính :

Kiểm định sự có nghĩa của hệ số hồi quy theo Tiêu chuẩn Student

Bj: hệ số thứ I trong PTHQSbj: độ lệch quân phương của hệ số thứ I

tb0 = 104,82 tb1 = 33,17 tb2= 4 tb12= 2,13 tb11= 6,61 tb22= 1,89

Theo Tiêu chuẩn Student nếu Thì hệ số bj có ý nghĩa :Chuẩn số Student: tpf2 , p =0,05 , f2 = 1 là: 12,71b0 và b1 là có nghĩa,

Mô tả thống kê có thể biểu diễn được là:

                   y  = 14,78 + 9,95x1                  

Từ phương trình trên ta tính được: y1 = 4,83; y2 = 24,73;

y3 = 4,83; y4 = 24,73;

y5 = 4,83; y6 = 24,73;

y7 = 14,78; y8 = 14,78;

y9 = 14,78.

B7 : Kiểm định sự có nghĩa của phương trình hồi quyvới tiêu chuẩn Fisher:Để kiểm tra tính tương hợp của mô hình ta cần tính giá trị của phương sai dư :

Giá trị của chuẩn số Fisher:

Chuẩn số Fisher , p = 0,05; f1 = N – L = 7 và f2 =m – 1 = 1 nhận giá trị: F0,05;7;1 = 240;Rõ ràng F = 224,72 < F0,05;7;1 = 240 Tương thích với thực nghiệm

Thay:

Nhìn vào 2 phương trình trên, ta thấy x2 = 0 với cả 2 mô hình , có nghĩa là Z2 = 50%

là tốt nhất, Z1 càng tăng, thì cường độ BTĐL càng tăng , hệ số thấm càng giảm (theo quy luật tuyến tính).

Nhận xét: