Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ana Klisuric

POVIJESNI POCETCI NASTAJANJA IRAZVOJA BROJEVA

Diplomski rad

Osijek, 2014.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Diplomski studij matematike i informatike

Ana Klisuric

POVIJESNI POCETCI NASTAJANJA IRAZVOJA BROJEVA

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Tomislav Marosevic

Osijek, 2014.

Sadrzaj

1. Uvod 1

2. Od crteza do znaka za brojeve 3

2.1. Egipatski brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Rimski brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3. Alfabetski brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Pozicijski brojevni sustavi 14

3.1. Babilonski brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2. Majanski brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.3. Kineski brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4. Indijsko-arapski brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.5. Binarni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4. Prirodni brojevi 21

4.1. Prosti brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2. Kvadratni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3. Trokutasti brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4. Figurativni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5. Savrseni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.6. Prijateljski brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.7. Brojevi blizanci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.8. Fibonaccijevi brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.9. Brojevi i magija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.10. Od jedan do beskonacno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.11. Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5. Razlomci 35

5.1. Egipat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.2. Babilon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.3. Grcka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.4. Indija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.5. Rim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.6. Kina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.7. Arapi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.8. Europa do 16. stoljeca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6. Cijeli brojevi 40

6.1. Pojava negativnih brojeva u Europi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.2. Zapisivanje negativnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7. Iracionalni brojevi 43

LITERATURA 46

SAZETAK 47

SUMMARY 48

ZIVOTOPIS 49

1. Uvod

Kada, kako i kojim redom su nastajali brojevi? Kako su ljudi u proslosti brojali? Kada su

poceli zapisivati brojeve? Kako su ih nazivali u vrijeme njihovog nastanka?

Ovo su pitanja na koja se ne moze lako i jednostavno odgovoriti.

Jedno je sigurno: ljudi nisu oduvijek znali brojati na nacin kako mi to danas cinimo. Put

do danasnjeg nacina zapisivanja brojeva je bio dug, spor i nimalo jednostavan.

U ovom diplomskom radu cemo govoriti o brojevima samo u vrlo ogranicenom i sasvim

jednostavnom smislu, naime kao oznakama za brojanje odvojenih predmeta ili za izrazavanje

rezultata dobivenog usporedivanjem nekog predmeta s podjelcima na skali nekog mjernog

stapa.

U drugom poglavlju govorit cemo o matematici od crteza do znaka za brojeve. Prvi znaci

za brojeve su bili crtezi predmeta ili zivotinja. Neki su se za brojeve sluzili kamencicima,

skoljkama ili nekim drugim predmetima koji su bili skupljeni u gomilu. Spomenit cemo

egipatski nacin zapisivanja brojeva, rimske brojeve i alfabetske brojeve.

U trecem poglavlju govorit cemo o pozicijskom brojevnom sustavu. Spomenit cemo Babi-

lonce koji su koristili pozicijski sustav s osnovom 60, zatim Maje koji su koristili pozicijski

brojevni sustav sa osnovom 20, Kineze koji su do 4. stoljeca prije Krista brojeve oznacavali

hijeroglifima, kada su kasnije presli na prikazivanje brojeva pomocu stapica, indijsko-arapske

brojeve koji su zasluzni za danasnji dekadski brojevni sustav i binarne brojeve koji su nastali

razvojem elektronickih racunala kojima su osnova racunanja broj 2, a znamenke su 0 i 1.

U cetvrtom poglavlju govorit cemo o prirodnim brojevima. Naziv prirodni brojevi prvi put

se spominje u dijelu Uvod u aritmetiku grckog matematicara Nikomaha. Iz skupa prirodnih

brojeva u ovome poglavlju izdvojit cemo i objasniti: proste brojeve, kvadratne brojeve, tro-

kutaste brojeve, figurativne brojeve, savrsene brojeve, prijateljske brojeve, brojevi blizanci,

Fibonaccijeve brojeve,promotrit cemo pitanje brojeva i magije, te posebno broj nula i pojam

beskonacno.

U petom poglavlju govorit cemo o razlomcima. Razlomci se pojavljuju kao posebna kate-

gorija brojeva koja karakterizira kvantitativno svojstvo jednog dijela promatranog realnog

objekta. Obradit cemo Egipat, Babilon, Grcku, Indiju, Rim, Kinu, Arape i Europu do 16.

stoljeca.

U sestom poglavlju govorit cemo o cijelim brojevima. Promotrit cemo negativne brojeve

koji se prvi put javljaju u Kini u osmoj knjizi djela Matematika u devet knjiga ( oko 200.

1

godina prije Krista) . Govorit cemo i o pojavi negativnih brojeva u Europi i o zapisivanju

negativnih brojeva.

U sedmom poglavlju govorit cemo o iracionalnim brojevima za koje je dugo trebalo da

nastanu u matematici.

2

2. Od crteza do znaka za brojeve

Razvoj matematike je usko vezan za opci razvoj ljudskog drustva. U predcivilizacijsko vri-

jeme protekla su tisucljeca dok se u ljudskoj svijesti nisu poceli formirati pocetci pojma

broja. Takoder, dosta vremena je bilo potrebno da bi covjek koji je skupljao plodove i lovio

poceo uzgajati stoku odnosno obradivati zemlju. Obavljajuci ove poslove razlikovao je jednu

od dvije, tri ili vise ubranih vocki odnosno ulovljenih zivotinja. Covjek iz predcivilizacijskog

vremena bio je sposoban, iako nije znao brojati, identificirati elemente nekog skupa. To mu

je, na primjer, omogucavalo procijeniti velicinu svog stada kao i uocavanje da li mu nedostaje

jedna ili vise ovaca. Slicno se moze zapaziti i kod djeteta koje ne zna brojati, a ipak je u

stanju uociti nedostaje li mu neka od igracaka.

Slika 1.

Za matematicara brojanje je stupnjevito navodenje brojeva pri cemu je svaki naredni broj

za jedan veci od prethodnog. Naravno, samo brojanje pocinje sa nekim prirodnim brojem i

nastavlja se dodajuci broj za jedan veci od prethodnog.

3

U hrvatskom jeziku brojanje obavljamo rijecima:

jedan, dva, tri, cetiri, ...

U latinskom jeziku brojeci izgovaramo sljedece rijeci:

unus, duo, tres, quattuor, ...

dok su u engleskom jeziku opet druge rijeci:

one, two, three, four, ... itd.

u francuskom jeziku su:

un, deux, trois, quatre, ...

U nacelu brojanje je moguce izvoditi proizvoljno odabranim rijecima. Prema tome, u pos-

ljednjem slucaju brojevima jedan, dva, tri mozemo redom dodijeliti imena tam, ram, tet...

Sam cin brojanja nastao je istovremeno sa uporabom brojeva. U pocetku ono se svodilo na

usporedivanje elemenata nekog skupa sa elementima poznatog skupa. Vremenom je covjek

pri brojanju sve rjede koristio prste, kamencice, skoljke ili neke druge predmete. Povjesnicari

matematike su, da bi saznali nesto vise o nastanku brojeva, izucavali obicaje i nacin zivota

plemena koja su i danas na niskom stupnju razvoja. Na taj nacin se doslo do spoznaja da

su plemena, kod kojih je pojam broja bio tek u fazi formiranja, u stanju ukazati na kolicinu

pojedinih predmeta. Tako, na primjer, da bi pripadnik plemena priopcio da je ulovio jednu

ribu pokazivao je na Mjesec ili Sunce; ako je zelio reci da se radi o dvije ribe, onda bi spomi-

njao oci, usi ili krila ptice. Ruka je cesto oznacavala broj pet, a obje ruke broj deset. Prvo

se formiraju brojevi jedan i dva; jedan kao odlika jedinke (individue), a dva kao obiljezje

para. U sljedecoj fazi veci brojevi se dobivaju zbrajanjem: broj tri zbrajanjem brojeva 1 i

2, cetiri - zbrajanjem 2 i 2, pet - zbrajanjem 2 i 3 itd.

4

Slika 2.

Naveli smo kako lovac daje do znanja da je ulovio jednu ili dvije ribe. U svakodnevnoj

komunikaciji ljudi su upotrebljavali rijeci kojima su predstavljali odredene brojeve. Te bro-

jeve je trebalo nekako oznaciti. U pocetku su za to sluzili kamencici, skoljke ili neki drugi

predmeti skupljeni u gomilu. Brojevi su oznacavani na razlicite nacine: pomocu zareza na

stapu, cvorova na uzetu i slicno. Prvi znaci za brojeve su bili crtezi predmeta ili zivotinja.

Stari Egipcani broj sto tisuca su predstavljali crtezom zabe, dok je kod Kineza taj isti broj

oznacavan crtezom skorpiona. Put do danasnjeg nacina zapisivanja brojeva je bio dug, spor

i nimalo jednostavan. Na manjim ili vecim prostorima isti brojevi su oznacavani na razlicite

nacine. Vecina tih oznaka su se rijetko prenosile izvan prostora na kojima su nastajale. Za

brojeve su koristeni razliciti simboli: cvorovi uzeta kod Inka i Japanaca (slika 3), horizon-

talne ili vertikalne linije urezane u glinu, u drvetu (slika 4), na jelenovim rogovima (slika 5)

ili na skoljkama kao sto je radeno u podrucju Oceanije.

Slika 3. Cvorovi uzeta kod Inka i Japanaca

5

Slika 4. Horizontalne ili vertikalne linije urezane u drvetu

Slika 5. Zapisi brojeva na jelenskom rogu iz paleolita (15ooo g. prijeKrista )

Oblik i izgled znakova za brojeve ovisili su o vrsti pribora za pisanje kao i od materijala

na kojem se pisalo. U Mezopotamiji se pisalo zasiljenim drvenim stapicem po glinenim

plocicama (slika 6); u Egiptu ostrim predmetom po kamenu (slika 7), a zatim na papirusu i

kozi perom i tintom.

Slika 6. Glinena plocica iz Mezopotamije

6

Slika 7. Zapisi na kamenu iz Egipta

Kinezi su u 2. stoljecu poceli proizvoditi i upotrebljavati papir. Prije toga su pisali ostrim

predmetom po kamenu, a zatim tintom po bambusovim trakama i svili. Stari Grci su koristili

vostane, odnosno drvene i kozne tablice koje su prethodno presvlacili tankim slojem sitnog

pijeska; upotrebljavali su i papirus. Inace, pisanje po pijesku bilo je uobicajeno za narode gdje

su za to dozvoljavali klimatski uvjeti. Prvi znaci za brojeve bili su jednostavni i predstavljali

su skup od onoliko linija ili tocaka koliko je iznosio taj broj. O tocnom vremenu kada su

nastali ovakvi znakovi ne moze se sa sigurnoscu govoriti, ali se zato moze odrediti period iz

kojeg poticu konkretni povijesni izvori.

2.1. Egipatski brojevi

Egipatski nacin zapisivanja brojeva hijeroglifima bio je jednostavan. Smatra se da su Egipcani

oko 5000. godine prije Krista koristili sustav brojeva sa bazom 10. Razlicitim znacima su

oznacavani stupnjevi broja 10.

Slika 8. Egipatski nacin zapisivanja brojeva

7

Vrijednost tako napisanog broja jednaka je zbroju njegovih pojedinacnih vrijednosti bez

obzira na redoslijed znakova. Ovakav nacin zapisivanja brojeva zasniva se na zbrajanju i

naziva se aditivnim.(slika 8 i 9)

Slika 9. Aditivno zapisivanje brojeva

Slika 10. Zbrajanje i oduzimanje brojeva

U ovom aditivnom sustavu zapisivanja brojeva mnozenje se svodi na mnozenje sa 2 i zbrajanje

nekih od tako dobivenih rezultata. Mnozenje i dijeljenje sa 2 su ubrajani u osnovne racunske

operacije koje su imale i svoje nazive: udvajanje (duplikacija) odnosno polovljenje. Aditivan

nacin zapisivanja brojeva bio je u uporabi i u starom Rimu.

2.2. Rimski brojevi

Za rimske brojeve uzeta su latinicna slova te ih ima ukupno sedam:

8

Tablica 1. Rimski brojevi

Brojevi su zapisivani kombiniranjem ovih iznosa. Doprinos koji pojedini iznos u zapisu nekog

broja daje ukupnoj vrijednosti ovisi od njegovom polozaju prema drugim iznosima. Tako, na

primjer, cetiri jedinice su predstavljene jednim simbolom (IV), cetiri desetice drugim (XL),

a cetiri stotine trecim (CD). Oznaka V ima znacenje pet jedinica kako u broju VI tako i u

broju IV. Rimljani nisu razvili jedan opci sustav za zapisivanje velikih brojeva. Na primjer,

Plinije (1. st. poslije Krista ) je broj 12000 pisao XIIM. U jednom rukopisu broj 38784 je

zapisan XXXVIIImDCCLXXXIV.

Slicno je bilo i u srednjem vijeku, u jednom rukopisu iz 1150. godine broj 10000 je napisan

XesM . U prvoj polovici 16. stoljeca broj 9000 je predstavljen kao IXM. Tek mnogo kasnije

formirana su pravila za pisanje rimskim brojevima:

9

Slika 11.

Rimljani nisu brojeve nadvlacili crtama da bi istaknuli da se radi o broju koji je uvecan

tisucu odnosno milijun puta. Takve oznake su koristili kad je trebalo istaknuti razliku izmedu

broja i imenice. Ako je, na primjer, u tekstu trebalo napisati ”2 covjeka” ili ”tri covjeka”

(triumvirat), onda je to ucinjeno na sljedeci nacin: II VIR, odnosno III VIR; vir (lat.) -

covjek. Ovo nije bilo jedinstveno pravilo nego se javljalo kod pojedinih autora kako u starom

tako i u kasnom srednjem vijeku. Rimski brojevi se danas koriste za oznacavanje godina,

poglavlja u knjizi, stranica nekog predgovora i sl. (I. poglavlje, XIX. stoljece, VIII. godina

Republike).

10

Slika 12. Naslovna stranica Descartesove Geometrije iz 1637.

2.3. Alfabetski brojevi

Fenicani su prije 5000 godina uveli novi sustav numeracije brojeva pomocu slova. Zidovi

i Grci su prihvatili takav nacin zapisivanja brojeva i prilagodili ga svom alfabetu. Do 3.

stoljeca prije Krista grcki matematicari su zamijenili svoju numeraciju brojeva sa alfabet-

skom. Novi sustav zapisivanja brojeva koristi prvih devet slova alfabeta za brojeve od 1 do

9, sljedecih devet slova za desetice (10, 20, 30,..., 90) i posljednjih devet slova za stotine

(100, 200, 300,..., 900). Zarez ispred znaka za jedinicu je znacila da je taj broj uvecan tisucu

puta (slika 13). U starom grckom alfabetu su bila 24 slova, a za oznacavanje svih jedinica,

desetica i stotina bilo je potrebno 27 slova. Grci su ovaj problem rijesili tako sto su pored 24

spomenuta slova koristili i tri stara, kojima se inace pri pisanju nisu sluzili. Da bi razlikovali

brojeve od slova oni su iznad znaka za broj stavljali crtu ili apostrof u gornjem desnom kutu,

slika 13.

11

Slika 13. Grcki alfabetski brojevi

Alfabetskom notacijom broj 2045 se zapisivao

Slika 14.

Zapisivanje brojeva pomocu slova koristili su i drugi narodi, na primjer: Sirijci, Armeni, Goti

i Slaveni (slika 15. i 16.)

12

Slika 15. Alfabetski brojevi I-Hebrejski (5. Stoljece prije Krista );II-Sirijski; III-Armenski; IV-Glagoljicki (10. stoljece)

Slika 16. Zapisivanje brojeva u Rusiji (17. stoljece)

13

3. Pozicijski brojevni sustavi

Danas se brojevi najcesce zapisuju u dekadskom pozicijskom sustavu. Smatra se da ovaj

sustav zapisivanja brojeva ima korijene u prirodi mnogih jezika. Tako, na primjer, u nasem

jeziku postoji deset razlicitih naziva za brojeve od 1 do 10: jedan, dva, tri, cetiri, pet, sest,

sedam, osam, devet i deset. Ostali nazivi za prirodne brojeve su izvedeni iz imena prvih

deset brojeva (jedanaest, dvanaest, trideset i pet itd.) Naravno i ovdje postoje iznimke kao

sto su brojevi 100 i 1000. Slicno je i u nekim drugim jezicima. Suglasno izvodenju naziva

brojeva uvodi se deset razlicitih oznaka, znamenki:

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Svaki prirodan broj se moze zapisati pomocu ovih deset simbola. Kod dekadskog brojevnog

sustava svaka znamenka pored svoje brojevne vrijednosti ima i mjesnu (pozicijsku) vrijed-

nost. Tako na primjer, u broju 359 znamenka 5 se nalazi na mjestu desetica i ima mjesnu

vrijednost pedeset. Ista znamenka u broju 5971 je na mjestu tisuca te ima mjesnu vrijednost

pet tisuca. Dekadski sustav zapisivanja brojeva se zasniva na principu mjesnih (pozicijskih)

vrijednosti znamenki koji se upotrebljava u pozicijskom brojevnom sustavu sto predstavlja

osnovu tog sustava. Dakle, osnova dekadskog sustava je broj 10 ( koristi se deset razlicitih

znamenki ) . Pozicijska vrijednost znamenke prirodnog broja u dekadskom sustavu odredena

je potencijom broja 10:

5378 = 5 · 103 + 3 · 102 + 7 · 101 + 8 · 100

Za bazu pozicijskog brojevnog sustava moze se uzeti bilo koji prirodan broj veci od 1. Ako

se umjesto 10 za bazu uzme broj 5, onda se svaki broj zapisuje pomocu nekih od znamenki

0, 1, 2, 3 i 4. U tom slucaju pozicione vrijednosti znamenki su odredene potencijom broja 5.

Broj stotinu devedeset i tri u dekadskom brojevnom sustavu cemo pisati 193(10) , gdje smo

sa (10) oznacili da se radi o zapisu danog broja u pozicijskom sustavu s bazom deset. Isti

broj zapisan u pozicijskom sustavu sa bazom 5 pisati cemo:

1233(5), jer je 1233(5)=1·53+ 2·52+ 3·51+ 3·50 .

3.1. Babilonski brojevi

Babilonci su koristili pozicijski sustav s osnovom 60, takozvani sezdeseticni (seksagezimalni)

brojevni sustav. Brojevi su pisani samo pomocu dvije ”znamenke”: jedna je bila u obliku

klina, a druga horizontalno polozenog klina, kao oznaka za 10. Zapisivanje brojeva vecih

od 59 vec zahtijeva koristenje pozicijskog sustava, pa se znamenka s vecom potencijom pise

14

lijevo od znamenke s manjom potencijom, kao sto danas radimo u dekadskom pozicijskom

sustavu. Primjerice, kako je 207 = 3 · 601 + 27, taj se broj zapisivao kao 3,27, odnosno

Slika 17.

Babilonci nisu poznavali broj nula, pa su mjesto gdje bi bila nula oznacavali velikom praz-

ninom . Primjerice, broj 14423 = 4 · 602 + 0 · 60 + 23 = 4, 23 odnosno:

Slika 18.

Razlog sto su Babilonci koristili sezdeseticni brojevni sustav je najvjerojatnije u tome sto

broj 60 ima vise djelitelja, za razliku od nekih drugih brojeva: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 30.

Pisanje brojeva sa osnovom 60 koristi se i danas: podjela kuta na 360 lucnih stupnjeva,

lucnih stupnjeva na 60 lucnih minuta, lucne minute na 60 lucnih sekundi, kao i kod racunanja

vremena, sata na 60 minuta i minute na 60 sekundi.

15

Slika 19. Babilonski nacin zapisivanja brojeva pomocu klinastog pisma

3.2. Majanski brojevi

U Centralnoj Americi Maje (10-12. stoljece) su koristili pozicijski brojevni sustav sa osnovom

20. Za to su im bila potrebna tri znaka, za 1, 5, 20 redom:

16

Slika 20. Majanski znakovi

Posljedni znak podsjeca na skoljku – neki ga nazivaju i oval. Pomocu tocaka i crtica mogu

se napisati brojevi od 1 do 19 (slika 21).

Slika 21. Oznaka brojeva od 1- 19 kod Maja

Maje su svoj sustav zapisivanja brojeva prilagodili mjerenju vremena. Dodajuci drugi oval

dani broj bi uvecavali 18, a ne 20 puta. Prema tome zapis

Slika 22.

predstavlja broj 360 (1× 20× 18). Godina kod Maja je imala 360 dana; 18 mjeseci s po 20

dana.

17

3.3. Kineski brojevi

Kinezi su do cetvrtog stoljeca prije Krista brojeve oznacavali hijeroglifima, kada su presli

na predstavljanje brojeva pomocu stapica. Hijeroglifski nacin zapisivanja brojeva bio je

kompliciran (slika 23), za razliku od njihovog predstavljanja pomocu stapica (slika 24).

Slika 23. Kineski zapisi brojeva hijeroglifima

Slika 24. Kinesko oznacavanje brojeva znamenkama-stapicima

Stotine i desetine tisuca Kinezi su oznacavali kao i jedinice, a tisuce kao desetice. Na

osnovu ovih pravila broj 5678 se zapisivao

18

Slika 25.

3.4. Indijsko-arapski brojevi

Danasnji dekadski brojevni sustav nastao je u Indiji. Neki povjesnicari matematike su

misljenja da je on inspiriran babilonskim nacinom prikazivanje brojeva. U Indiji je pronadena

kamena ploca iz 595. godine na kojoj je zapisan broj 346; smatra se da je to prva poznata

primjena deseticnog pozicijskog sustava. Ovakav nacin zapisivanja brojeva u Europu su

prenijeli Arapi preko sjeverne Afrike i Spanjolske. Zato se znamenke koje danas koristimo

nazivaju arapskim. Za prihvacanje dekadskog pozicijskog sustava u zapadnoj Europi zasluzan

je arapski matematicar al-Horezmi (oko 780 - oko 850) i njegovo djelo O indijskom broju.

Do tada se u Europi koriste rimski i grcki brojevi.

Slika 26. Evolucija arapskih brojeva

Dekadski brojevni sustav je sporo osvajao Europu. Cesto se nailazilo na dekadsko zapisivanje

brojeva pomijesano sa grckim nacinom oznacavanja brojeva. U Francuskoj su sve do 1789.

godine sluzbeni racuni bili pisani rimskim brojevima.

19

U 15. stoljecu dekadski pozicijski nacin zapisivanja brojeva se prosirio u cijeloj Europi.

Danasnji oblik arapskih znamenki je nastajao dugi niz godina. Pojedine oznake za znamenke

su pretrpjele znatne promjene, slika 26.

3.5. Binarni brojevi

Sa razvojem elektronickih racunalnih strojeva sve vecu primjenu dobija binarni sustav u

kome je osnova racunanja broj 2, a znamenke su 0 i 1. Racunanje u ovom sustavu je dosta

dugo, ali istovremeno i jednostavno; prikazane su tablice zbrajanja i mnozenja:

Tablica 2. Zbrajanje i mnozenje u binarnom brojevnom sustavu

Ovaj binarni brojevni susta dobro opisuje dva stanja elektricnih impulsa, pri cemu prisustvo

elektricnog impulsa oznacava jedinicu, a njegovo odsustvo - nulu.

Na tom principu rade racunala.

Primjer.

a) Pretvaranje zapisa broja iz dekadskog u binarni sustav:

29(10) = 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 11101(2)

b) Prikaz pretvaranja zapisa broja iz binarnog sustava u dekadski:

1001(2) = 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9(10)

c) Zbrajanje u binarnom sustavu se obavlja prema navedenoj tablici 2. za zbrajanje.

20

4. Prirodni brojevi

Brojevi 1,2,3,... koje nazivamo prirodnim, dobro su nam poznati i spadaju u najvaznije

matematicke pojmove. Naziv prirodni broj prvi put se spominje u djelu Uvod u aritmetiku

grckog matematicara Nikomaha (oko 100. godine poslije Krista). Kod Egipcana i Babi-

lonaca prirodni brojevi se javljaju u dva znacenja: kao glavni ili kardinalni i kao redni ili

ordinalni brojevi. Glavni brojevi utvrduju koliko je izbrojano elemenata nekog skupa,

a redni odreduju mjesto po redu pojedinog elementa konkretnog skupa. Vec je starim

Egipcanima bila poznata podjela prirodnih brojeva na parne ili take (2, 4, 6, 8, ...) i ne-

parne ili lihe (1, 3, 5, 7, ...). Oni su pored osnovnih operacija poznavali i koristili operacije:

udvostrucavanje ( mnozenje sa 2) i polovljenje (dijeljenje sa 2). Mada je jos Aristotel (384-

322. p.n.e.) definirao prirodni broj kao ”mnozinu koja se mjeri jedinicom”, bilo je rasprava

treba li i jedinicu smatrati brojem. Neki matematicari 17. stoljeca smatrali su da jedinica

nije broj. Uporiste u toj tvrdnji nalazili su u ucenju pitagorejaca.

Grcki filozof Platon (427-347. prije Krista), koji je definirao aritmetiku kao znanost o svoj-

stvima parnih i neparnih brojeva, tvrdio je da parnih i neparnih brojeva ima jednako mnogo.

Svojstva prirodnih brojeva pocela su se uocavati dosta davno i nezavisno od operacija sa

njima. Mnoga od njih su bila poznata Babiloncima i Egipcanima.

Grcki matematicar Pitagora (6. stoljece prije Krista) kao i njegovi sljedbenici, poznati

pod nazivom pitagorejci, pristupali su predano, sa mnogo zara i misticizma, proucavanju

svojstava prirodnih brojeva. Oni su iz skupa prirodnih brojeva izdvajali i proucavali proste,

slozene, kvadratne, trokutaste, savrsene, prijateljske kao i druge brojeve. Time su nacinili

tzv. pitagorejsku aritmetiku.

4.1. Prosti brojevi

Brojevi razliciti od 1,koji nemaju drugih djelitelja osim broja 1 i samoga sebe nazivaju se

prosti brojevi. Za Euklida (365-300. prije Krista ) prost broj se ne moze mjeriti nijednim

brojem nego samo jedinicom.

Od prvih deset prirodnih brojeva cetiri su prosta; medu 90 dvoznamenkastih brojeva, pros-

tih je 21, a medu 900 troznamenkastih brojeva, 143 su prosta. Ako dalje nastavimo sa

odredivanjem broja prostih brojeva medu cetveroznamenkastim i peteroznamenkastim bro-

jevima vidjet cemo da ih ima sve manje i manje. Stare Grke je zanimalo postoji li takav

prirodan broj da niti jedan od njega veci broj nije prost. Odgovor na ovo pitanje dao je Euklid

dokazavsi da prostih brojeva ima beskonacno mnogo. On je tu tvrdnju iskazao stavom:

21

Prostih brojeva je vise od ma koje naznacene mnozine brojeva.

Grcki matematicar Eratosten (276-194. prije Krista ) pronasao je nacin za odredivanje svih

prostih brojeva koji su manji od nekog danog broja. Ovaj nacin je u matematici poznat pod

imenom Eratostenovo sito.

Primjer.

Primijenimo Eratostenov postupak za odredivanje prostih brojeva manjih od 100, slika 19.

Precrtajmo jedinicu, koja se ne smatra ni prostim ni slozenim brojem. Zatim podvucimo

prost broj 2 i precrtajmo sve brojeve koji su djeljivi sa 2. Sljedeci neprecrtani broj je 3.

Podvucimo ga, a zatim precrtajmo sve brojeve koji su djeljivi sa tri. Sljedeci broj koji nije

ni podvucen ni precrtan je 5. Nastavimo ovaj postupak i u slucaju broja 5.

Slika 27. Eratostenovo sito

22

4.2. Kvadratni brojevi

Grci su brojeve interpretirali pomocu geometrijskih objekata. Brojeve koje su prikazivali

u obliku geometrijskih figura nazivali su figurativni brojevi. Dijelili su ih na trokutaste,

kvadratne, pentagonalne, piramidalne i druge.

Na slici 28. brojevi 1, 4, 9 i 16 su prikazani kao skupovi tocaka u ravnini rasporedeni u

jednak broj redova i stupaca. Od ovih brojeva su ”sagradeni” kvadrati te su ih pitagorejci

nazivali kvadratni brojevi.

Slika 28. Kvadratni brojevi

Slika 29. Intepretacija kvadratnih brojeva

Kako cemo dobiti nove kvadratne brojeve?

Jednostavno, ”konstruirat cemo” sve vece i vece kvadrate (slika 30.). Peti kvadratni broj

25 dobije se kao zbroj pet prvih prirodnih neparnih broja: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. Lako se

mozemo uvjeriti da je sesti kvadratni broj 36 jednak zbroju sest prvih prirodnih neparnih

brojeva:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36.

23

Slika 30. Intepretacija kvadratnih brojeva

Doista, moze se dokazati da je zbroj prvih n neparnih prirodnih brojeva kvadratni broj, tj.

da vrijedi

1 + 3 + 5 + 7 + · · ·+ (2n− 1) = n2.

4.3. Trokutasti brojevi

Brojevi 1, 3, 6 i 10 se mogu rasporediti kao skupovi tocaka u ravnini u obliku trokuta, slika

31. Ovi brojevi se nazivaju trokutasti.

Slika 31. Trokutasti brojevi

Trokutaste brojeve mozemo interpretirati na nacin kako je prikazano na slici 32.

24

Slika 32. Intepretacija trokutastih brojeva

Nove trokutaste brojeve dobit cemo tako da ”gradimo” sve vece i vece trokute, slika 33.

Slika 33. Intepretacija trokutastih brojeva

Peti trokutasti broj 15 se dobije kao zbroj pet prvih prirodnih brojeva:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

Sesti trokutasti broj je 21. On je jednak zbroju sest prvih prirodnih brojeva:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.

Za trokutaste brojeve 1,3,6,10,15,...,n vrijedi:

1 =1 · 2

2

1 + 2 = 3 =2 · 3

2

1 + 2 + 3 = 6 =3 · 4

2

25

1 + 2 + 3 + 4 = 10 =4 · 5

2

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 =5 · 6

2

1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n · (n+ 1)

2.

Dakle, zbroj prvih n prirodnih brojeva je trokutasti broj; svaki broj koji se moze napisati u

oblikun · (n+ 1 )

2

je trokutasti.

Broj 1 je i kvadratni i trokutasti broj. Ima li jos brojeva sa ovim svojstvom?

Da, na primjer takav broj je i broj 36. Na slici 34 je prikazano kako se kvadratni broj 36

moze prikazati kao trokutasti broj.

Slika 34. Broj 36 kao trokutasti broj

4.4. Figurativni brojevi

Utvrdeno je da prva znanja o figurativnim brojevima poticu od Babilonaca. Od njih su

Grci preuzeli ucenje o figurativnim brojevim i usavrsili ga. Grcki matematicar Diofant (3.

stoljece) je napisao knjigu o figurativnim brojevima.

Zbroj dva uzastopna trokutasta broja je kvadratni broj:

26

Slika 35. Kvadratni brojevi

Peterokutni broj je svaki broj koji se moze napisati u obliku

n · (3n− 1 )

2.

Slika 36. Peterokutni brojevi

I jos jedan primjer figurativnih brojeva su tetraedarski brojevi 1,4, 10, 20, 35...

To su brojevi koji se mogu zapisati u obliku

n · (n+ 1 ) · (n+ 2 )

6.

27

Slika 37. Tetraedarski brojevi

4.5. Savrseni brojevi

Svaki djelitelj proizvoljnog broja n, razlicit od samog broja n, naziva se pravi djelitelj broja

n. Pravi djelitelji broja 6 su 1, 2 i 3. Njihov zbroj je 1 + 2 + 3 = 6. Dakle, broj 6 je jednak

zbroju svojih pravih djelitelja. To svojstvo ima i broj 28 (njegovi pravi djelitelji su 1, 2, 4,

7 i 14):

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Ovi brojevi se nazivaju savrsenim. Savrseni broj je onaj broj koji je jednak zbroju svih

svojih pravih djelitelja. Postoji li jos savrsenih brojeva? Da, primjerice sljedeci savrseni

brojevi su 496 i 8128. Za ovaj posljednji savrseni broj znao je Nikomah. Dalje traganje za

novim savrsenim brojevima nije bilo nimalo jednostavno.

Talijanski matematicar Fibonacci (1180. - oko 1250.) je za odredivanje savrsenih brojeva

koristio izraz1

2· 2p ( 2p − 1 )

gdje je 2p − 1 prost broj .

Euler je tvrdio da je

2n−1 ( 2n − 1 )

savrsen broj za n=1,2,3,5,7,13,19, 31, 41 i 47. Kasnije je pokazao da ova tvrdnja nije tocna

za n = 41 i n = 47.

Zatim :

8589056 - sesti savrseni broj

137438691328 - sedmi savrseni broj

28

2305843008139952128 - osmi savrseni broj.

Do sijecnja 2013. godine bilo je poznato 38 savrsenih brojeva i svi su oni parni. Posljednji

i najveci savrseni broj, medu ovih 38, pronaden je 1999. godine; zapisuje se pomocu 4 197

919 znamenki.

4.6. Prijateljski brojevi

Pravi djelitelji broja 220 su: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 22, 44, 55 i 110. Njihov zbroj je 284:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.

Slicno, pravi djelitelji broja 284 su: 1, 2, 4, 71 i 142. Njihov zbroj je 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

Brojevi, kao sto su 220 i 284, kod kojih je zbroj svih pravih djelitelja jednog broja jed-

nak drugom broju, nazivaju se prijateljski brojevi. Pitagorejci su znali samo za jedan par

prijateljskih brojeva: 220 i 284. Euler je u 17. stoljecu pronasao 65 parova prijateljskih

brojeva. Prijateljske brojeve su proucavali Fermat i Descartes. Descartes je 1638. godine

otkrio prijateljske brojeve 9 363 584 i 9 437 056.

Zahvaljujuci racunalima do pocetka 1998. godine bilo je poznato 4316 parova prijateljskih

brojeva. Do danas nije utvrdeno ima li ih konacno ili beskonacno mnogo.

4.7. Brojevi blizanci

Dva prosta broja koji se razlikuju za 2 nazivaju se blizancima. Brojevi blizanci su,

na primjer,

3 i 5;

5 i 7;

11 i 13;

29

41 i 43;

101 i 103;

10999949 i 10999951.

Postoji osam parova brojeva blizanaca koji su manji od 100; 1224 para je manjih od 100000, a

440312 ih je manje od sto milijuna. Ne zna se ima li brojeva blizanaca konacno ili beskonacno

mnogo. Oni se mogu odredivati pomocu Eratostenovog sita.

4.8. Fibonaccijevi brojevi

U nizu brojeva 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... uocimo pravilo po kojem su napisani:

pocevsi od treceg clana svaki od brojeva jednak je zbroju dvaju njemu prethodnih clanova.

Brojevi ovog niza se nazivaju Fibonaccijevi brojevi po matematicaru Fibonacciju. On je u

djelu Knjiga o abaku (1202.) prvi put skrenuo paznju na ovaj niz.

Fibonaccijevi brojevi se dobiju rjesavanjem zadatka:

Koliko se pari zeceva moze dobiti tijekom jedne godine od jednog para ako svaki par koti novi

par, koji je vec od drugog mjeseca u stanju da rada i ako se zna da zecevi ne umiru?

30

Slika 38. Fibonaccijevi brojevi

4.9. Brojevi i magija

Pitagorejci su dijelili brojeve u tri kategorije: muske - neparne; zenske - parne i parnone-

parnu jedinicu. Smatrali su da brojevi imaju magicna svojsta. Tako je, na primjer, broj

jedan predstavljao svemir i savrsenstvo; brojevi 4 i 9 su olicenje pravednosti, jer su nastali

mnozenjem jednakih brojeva. Inzistirajuci na vezi aritmetike i magije pitagorejci su trosili

vrijeme i energiju tragajuci za tom vezom. Za njih je posebno znacenje imala prva desetica.

Prema pitagorejcima brojevi 4, 6, 8, 9, 10 su nastali kao rezultat mnozenja nekim od brojeva

2, 3, 4, 5:

2 · 2 = 4, 2 · 3 = 6, 2 · 4 = 8, 2 · 5 = 10, 3 · 3 = 9.

Mnozenje kao operacija oplodivanja davala je brojevima 2, 3, 4, 5 snagu plodnosti, a broje-

vima 4, 6, 8, 9, 10 snagu ”porodenoga”. Takav pristup proucavanju brojeva s primjesama

magije doveo je poslije Pitagorine smrti do sukoba medu pitagorejcima te se stvaraju dvije

struje. Spor je nastao kada je trebalo odrediti koji je broj rezultat ”bracnog spajanja”. Jedni

su smatrali da je to broj 5, jer je on zbroj najmanjeg zenskog i najmanjeg muskog broja:

5 = 2 + 3;

31

drugi su isticali da je to broj 6, jer je on umnozak najmanjeg zenskog i najmanjeg muskog

broja:

6 = 2 · 3.

4.10. Od jedan do beskonacno

Prva saznanja iz teorije brojeva Pitagorejci su najvjerojatnije preuzeli od sljedbenika Jonske

skole, koju je osnovao Tales (oko 624.-547. prije Krista ). Prva sustavna izlaganja iz teorije

brojeva dao je Euklid u svojim Elementima. U starom vijeku je uoceno da prirodnih brojeva

ima beskonacno mnogo; Platon je govorio da prirodnim brojevima nema kraja. Arhimed

(287.-212. prije Krista ) je u svojoj raspravi Pjescanik dokazivao vladaru Sirakuze da broj

svih zrnaca pijeska sadrzanih u kugli koja obuhvaca cijeli svemir nije beskonacan nego

da se moze izracunati. Stari narodi su nastojali pomocu velikih brojeva izraziti postovanje

i poniznost prema svojim bozanstvima. Tako se kod Indusa u epu Mahabharata govori o

24 · 1015 bogova kao i da je Buda imao 6 · 1016 sinova, dok se u jednoj narodnoj pripovijetci

prica o ratu u kojem je sudjelovalo 1040 majmuna.

Grcki matematicar Anaksagora (oko 500-428. prije Krista ) istice da ”postoji nesto vece od

onoga sto je veliko”.

Pitagorejci su pojam beskonacno vezivali za bozanstva i nisu ga proucavali smatrajuci da to

smiju raditi samo bogovi.

Indijski matematicar Bhaskara (1114-1185) je naslucivao da bi rezultat dijeljenja s nulom

trebao biti beskonacan.

Put do pojma beskonacno vodio je preko velikih brojeva. Tesko se s odredenom tocnoscu

moze reci kako su nastajali pojedini nazivi za velike brojeve. Tijekom vremena oni su mije-

njani dok se nije doslo do danasnjih naziva. Tako se oko 1500. godine u rukopisu francuskog

matematicara Chuqueta javlja rijec milijun kao naziv za 106 , milijarda za 1012 , trilijarda za

1018 . Rijec milijun je prvi put tiskana 1494. godine u jednom radu talijanskog matematicara

Luke Paciolija (1445-1514). Rijec milijarda javlja se pocetkom 16. stoljeca.

Zanimljivo je upoznati se s nacinom zapisivanja velikih brojeva. Engleski matematicar Re-

cord (1510.-1558.) velike brojeve zapisuje grupirajuci ih pomocu okomite crte

|230| 864 |089 |015| 340| ,

dok neki matematicari zapisuju na sljedeci nacin

¯678 ¯935 ¯784 ¯841 .

32

Talijanski matematicar Fibonacci je umjesto crta koristio lukove iznad grupe od po tri broja.

Takoder, upotrebljavaju se i oznake za akcente da bi se grupirale znamenke velikih brojeva.

Oznaku ∞ za beskonacno uveo je engleski matematicar Wallis 1657. godine.

Slika 39.

Euklid je u prvoj knjizi Elemenata izlozio teoriju koja glasi: ”Cjelina je veca od (svog)

dijela”. Ova, na prvi pogled, jednostavna tvrdnja ne vrijedi za beskonacne skupove.

Skup pozitivnih parnih brojeva 2, 4, 6, 8, 10, ... je dio (podskup) skupa prirodnih brojeva

1, 2, 3, 4, 5, ...

Ako bi uvazili navedenu tvrdnju, onda bismo mogli reci da je skup prirodnih brojeva veci od

skupa pozitivnih parnih brojeva.

Ovaj zakljucak je pogresan jer se radi o beskonacnim skupovima.

Slika 40.

Tocan odgovor je: pozitivnih parnih brojeva ima isto toliko koliko i prirodnih brojeva, jer

svakom prirodnom broju n odgovara paran broj 2n, i obrnuto, svakom parnom broju 2n na

ovaj nacin moze se pridruziti prirodan broj n.

33

4.11. Nula

Stari Egipcani su imali znak (hijeroglif) za nulu, ali kako njihov sustav pisanja nije bio

pozicijski to ovaj simbol nije imao znacenje znamenke. Babilonci su u 2. stoljecu prije Krista

prilikom zapisivanja brojeva u sezdeseticnom sustavu imali znak za nulu i koristili su ga

samo na kraju broja.

Vidjeli smo da su Maje imali znak za znamenku nula:

Slika 41.

Taj simbol nije predstavljao nulu kao broj. Slicno je bilo i kod drugih naroda koji su upo-

trebljavali pozicijski sustav zapisivanja brojeva. Tako, na primjer, da bi se zapisao broj tri

stotine pet trebalo je u zapisu naznaciti da taj broj nema desetica te se izmedu stitica

i jedinica stavljao neki znak da bi se ”popunilo prazno mjesto”. Dakle u pocetku nula je

bila samo znak za nista, a oznacavana je tockom (Indija), kruzicem koji podsjeca na slovo

o (Arapi); aleksandrijski astronom Ptolemej (oko 150. godine poslije Krista ) koristi slovo

o (omikron) - prvo slovo grcke rijeci nista. U kineskim rukopisima prazno mjesto je bilo

naznaka za nulu. Danasnji simbol za nulu je indijsko-arapskog porijekla. Najstariji pisani

dokument sa znakom za nulu potice iz 9. stoljeca.

Indijci su nulu nazivali sunja sto znaci prazno. Ovaj naziv Arapi su izgovarali kao sifr da bi

se kasnije ta rijec transformirala u znamenka. Rijec znamenka je bila naziv za nulu sve do

druge polovine 16. stoljeca da bi se od tada upotrebljavala kao naziv za sve znamenke. Pa

ipak neki matematicari 16. i 17. stoljecu rijecju znamenka su nazivali nulu.

Ovo je samo jedan primjer koji ukazuje koliko je vremena bilo potrebno da bi se neki pojam

transformirao od svog nastanka do konacnog (danasnjeg) znacenja. Za grckog matematicara

Nikomaha nula nije broj:

”Broj jedan s jedne strane nema susjeda.”

I grcki matematicar Diofant nije shvacao nulu kao broj. Za njega jednadzba

12x+ 10 = 3x+ 10,

cije je jedinstveno rjesenje 0, nema rjesenja. Ovakvo shvacanje nalazimo sve do 16. stoljeca

kada se nula pocinje interpretirati kao razlika dva jednaka broja. Tek pojavom Descartesove

Geometrije (1637) nula je postala ravnopravna s ostalim brojevima.

34

5. Razlomci

Razlomci nisu nastali kao rezultat racunske operacije dijeljenja nego se pojavljuju kao po-

sebne kategorije brojeva koje karakteriziraju odredeno kvantitativno svojstvo jednog dijela

promatranog realnog objekta. Pojam razlomka je prvo izrazen u pojmu tzv. prirodnih

razlomaka:1

2,1

3,2

3,

1

4i3

4.

Kod starih civilizacija za ove razlomke su postojali i nazivi. U pocetku su oni imali veze sa

simbolima i nazivima prirodnih brojeva.

5.1. Egipat

Egipcani su veoma rano upoznali prirodne razlomke, da bi kasnije upotrebljavali samo je-

dinicne razlomke, tj. razlomke oblika 1/n. Ostale razlomke su prikazivali pomocu osnovnih

razlomaka. Tako u Rhindovom papirusu, pisanom oko 1650. godine prije Krista, nalazimo

tablicu u kojoj su razlomci oblika2

2n+ 1.

Zan = 2, 3, 4, ..., 50, razlozeni su na jedinicne razlomke.

Primjer:2

5=

1

3+

1

15;2

7=

1

4+

1

28;

2

29=

1

24+

1

58+

1

174+

1

232.

Nije nam poznato na koji nacin su obavljana razlaganja obicnih razlomaka na osnovne raz-

lomke, ali je sigurno da su Egipcani imali izgraden postupak za njihovo izracunavanje.

Slika 42.

Jedan od razloga zasto su Egipcani koristili samo jedinicne razlomke vjerojatno je i taj sto

nisu pronasli pogodnu simboliku za zapisivanje razlomaka. Osnovne razlomke su oznacavali

tako sto su pisali samo nazivnik i iznad njega stavljali poseban znak u obliku ovala:

35

Slika 43.

Osnovne razlomke moze se oznacavati tako da se umjesto egipatskog znaka u obliku ovala

stavlja crtica.

Tako, na primjer, razlomke1

10,

1

17,

1

36

se redom oznacava

10 , 17 , 36 .

Jedina iznimka kod ovakvog zapisivanja osnovnih razlomaka je broj 1/2 koji je kao i broj

2/3 imao svoju oznaku.

5.2. Babilon

Babilonci su i pri pisanju razlomaka upotrebljavali sezdeseticni pozicijski sustav. Na primjer,

broj 3/5 bi pisali tako sto bi prvo osnovni razlomak 1/5 prebacili u sezdeseticni razlomak

12/60 i zatim ga povecali 3 puta: 36/60. Kao sto smo ranije izlozili, babilonski zapis broja

11, na primjer, mogao se interpretirati kao 11 ili 11 x 60 ili 11/60 . Po prirodi konkretnog

zadatka odredivalo se o kojem se broju radi. Ovakav nacin zapisivanja brojeva omogucavao

je Babiloncima da ne prave osnovnu razliku izmedu razlomaka i prirodnih brojeva.

5.3. Grcka

Grci razlomke nisu smatrali brojevima, jer u osnovi njihovog shvacanja broja bila je teza

o nedjeljivosti jedinice. Pa ipak, problemi nastali u svakodnevnom zivotu i praksi su ih

upucivali na upotrebu razlomaka. Oni su u prakticnom racunanju primjenjivali egipatske

jedinicne razlomke, a u ostalim slucajevima babilonski sezdeseticni pozicijski sustav. Nije

bio rijedak slucaj da su za oznacavanje razlomaka koristili i oznake koje su bile u skladu

sa njihovim oznakama za prirodne brojeve. Na primjer, razlomak 14

su pisali ∆, dok je 13

imao oznaku Γ. Usavrsavajuci egipatski nacin racunanja s razlomcima, Grci su uocili da se

36

oni mogu jednostavnije zbrajati ako se svi zbrojevi svedu na jednake nazivnike. Operaciju

zbrajanja razlomaka nazivali su spajanje.

Jos su pitagorejci upotrebljavali ne samo jedinicne razlomke pa su za razlomak 4/3 imali

naziv”velika trecina“, a za razlomak 9/8 naziv

”velika osmina“.

5.4. Indija

U Indiji se od 7. stoljeca razlomci oznacavaju na slican nacin kao sto se to i danas cini, ali

bez razlomacke crte. Tri osmine su pisali kao mi danas.

Na ovaj nacin razlomke su pisali Brahmagupta (oko 628.) i Bhaskara (oko 1150.). U Indiji

je pronaden jedan matematicki spis iz 1. stoljeca poslje Krista gdje se razlomci pisu na slican

nacin. Indijci su veoma dobro racunali sa razlomcima. Oni su i cijeli broj, ako bi se pojavio

sa razlomcima, smatrali razlomkom ciji je nazivnik 1.

5.5. Rim

Rimljani, koji su u matematici bili ucenici Grka, zapisivali su razlomke sa osnovom 12.

Izbjegavali su pisanje razlomaka pomocu simbola. Koristili su posebne nazive za sljedece

razlomke:1

24,

1

36,

1

48,

1

72,

1

144,

1

288.

5.6. Kina

Kinezi nisu imali posebne oznake za razlomke nego su ih pisali rijecima. Za neke razlomke

su imali posebne znakove kao i posebne nazive. Tako su broj 1/2 nazivali polovina, 1/3 su

nazivali mala polovina, a 2/3 velika polovina. U cuvenom kineskom djelu Matematika u devet

knjiga izlozene su racunske operacije s razlomcima. Razlomke su zbrajali tako da su ih svodili

na zajednicki nazivnik koji je bio jednak umnosku nazivnika. Takoder, Kinezi su znali dijeliti

cijeli broj razlomkom. Poznavali su i pravila za skracivanje razlomaka. Dekadski razlomci

se prvi put javljaju u Kini kao rezultat dekadskog sustava mjera, koji se u Kini upotrebljava

od 2. stoljeca prije Krista. Zanimljivo je da su europski matematicari prihvatili dekadske

razlomke tek u 16. stoljecu.

37

5.7. Arapi

Arapski matematicar al-Horezmi je u svom djelu Aritmetika sabrao i sredio mnoga znanja

o razlomcima. Za razlomke s brojnikom 1, i to od 1/2 do 1/10. Arapi su usavrsili tehniku

racunanja s razlomcima; zahvaljujuci njima u Europu je dospjelo sustavno ucenje o razlom-

cima. U tom smislu treba spomenuti al-Kashijevu knjigu Kljuc aritmetike (15. stoljece),

koja je bila jedan veoma dobar vodic kroz elementarnu matematiku.

Arapi su uveli razlomacku crtu, koja se u Europi pojavila zahvaljujuci Talijanu Leonardu iz

Pizze, poznatijem kao Fibonacci. On je koristi u svom cuvenom djelu Knjiga o abaku (1202).

U nekim knjigama tiskanim tri stoljeca kasnije razlomacka crta se izostavlja.

5.8. Europa do 16. stoljeca

U periodu od 14. do 16. stoljeca dekadski razlomci se sve cesce pojavljuju u djelima pojedinih

autora. Neki od njih isticu da se do dekadskih razlomaka moze doci ”ako se jedinica podijeli

na deset jednakih dijelova, a svaki taj deseti dio se dalje dijeli na deset jednakih dijelova

itd.”. Europski matematicari su poceli ne samo prihvacati i proucavati arapsko ucenje o

brojevima, nego i doprinositi njegovom daljem razvoju. Iz ovoga perioda posebno treba

istaci flamanskog matematicara i inzenjera Simona Stevina koji je u djelu Deseta (1585)

uveo dekadske razlomke i izlozio koliko su oni u primjenama prakticniji od drugih razlomaka.

Ovaj rad je predstavljao osnovu za unifikaciju cjelokupnog sustava mjera na dekadskoj osnovi.

Zanimljivo je da 150 godina prije Stevinove knjige al-Kashi u djelu Kljuc aritmetike izlaze

ucenje o decimalnim brojevima. Ova knjiga je dugo ostala nepoznata, te Stevin nije mogao

znati za nju.

Pravila za mnozenje razlomaka bila su poznata europskim matematicarima srednjeg vijeka.

Sve do Stifela (oko 1486.-1567.) dijeljenje razlomaka izvodilo se tako sto su prosirivani sve

do dovodenja na jednake nazivnike. Na taj nacin dijeljenje razlomaka se svodilo na dijeljenje

brojnika.

Primjer: 27

: 45

= 2·57·5 : 4·7

5·7 = 1035

: 2835

= 10 : 28 .

Naravno, do novih saznanja se dolazilo sporo i poslije mnogo diskusija, prepirki pa i sukoba.

Neke cinjenice nisu bile odmah prihvacene, jer su se protivile dotadasnjim saznanjima i

iskustvima.

Uvodenje pozicijskog sustava brojeva je doprinijelo daljnjoj izgradnji decimalnih razlomaka.

Vec u 15. stoljecu javljaju se tablice u kojima se koriste decimalni razlomci. U periodu od

38

15. do 16. stoljeca decimalni razlomci su sve prisutniji u matematickim knjigama.

Tek poslije objavljivanja Stevinovog djela Deseta, decimalni razlomci se pocinju u vecoj

mjeri primjenjivati u Europi. Skotski matematicar Napier (1550-1617) je zasluzan za konacno

uoblicavanje nacina pisanja dekadskih razlomaka. Prije toga, na primjer, Stevin dekadski

razlomak 2,856 pise 2856, dok engleski matematicar Rudolf (16. stoljece) za isti broj ima

svoju notaciju: 2 856.

Uvodenjem decimalnih razlomaka zavrsen je proces izgradnje dekadskog pozicijskog brojev-

nog sustava.

39

6. Cijeli brojevi

Negativni brojevi se prvi put javljaju u Kini u osmoj knjizi djela Matematika u devet knjiga

(oko 200. godine prije Krista). Kinezi pozitivne brojeve nazivaju pravilnim, a negativne

dugom, nedostatkom, odnosno laznim brojevima.

Europski matematicari starog vijeka pod brojem podrazumijevaju samo pozitivne cijele bro-

jeve. Za njih negativni brojevi nisu ravnopravni sa prirodnim brojevima te ih nazivaju

nepravi, lazni pa cak i besmisleni brojevi. Ako bi, na primjer, od 5 trebalo oduzeti 8, onda

oni nisu znali izracunati razliku tih brojeva, a intuitivno su osjecali da bi ona trebala biti

broj. U tom slucaju rezultat oduzimanja je prikazivan kao brojevni izraz 5-8.

Grcki matematicar Diofant je u skladu sa tadasnjim razvojem matematike pod pojmom

broj podrazumijevao samo cijele pozitivne brojeve. To mu nije smetalo da u praksi racuna

s pozitivnim razlomcima kao i s negativnim brojevima. Za njega je jednadzba 4x+20=0

besmislena, jer je rjesenje negativan broj. On pozitivne brojeve naziva brojevi za zbrajanje

(zbrajajuci brojevi), a negativne - brojevi za oduzimanje (oduzimajuci brojevi) i navodi

pravila za njihovo mnozenje:

Broj za oduzimanje pomnozen s brojem za oduzimanje daje broj za zbrajanje; broj za oduzi-

manje pomnozen s brojem za zbrajanje daje broj za oduzimanje.

Svakodnevna ljudska djelatnost je dovodila do saznanja da je potrebno istaknuti suprotnosti

izmedu imetka i duga, smjera naprijed i nazad i sl. Tako, na primjer, indijski matematicar

Brahmagupta (7. stoljece) pozitivne brojeve predstavlja kao imetak, a negativne kao dug,

te navodi pravila za zbrajanje:

Zbroj dva imetka je imetak, dva duga - dug, imetka i duga - njihova razlika, a ako su jednaki

- nula. Zbroj nule i duga je dug, imetka i nule - imetak, a dvije nule - nula.

Kod pravila za oduzimanje negativnih brojeva Brahmagupta govori o manjim i vecim nega-

tivnim brojevima misleci, pri tome na njihove apsolutne vrijednosti. Indijski matematicar

Bhaskara (12. stoljece) negativan broj oznacava tako da iznad njega stavlja tocku. On je

dao pravila za mnozenje i dijeljenje negativnih brojeva:

Produkt dva imetka ili dva duga je imetak, produkt imetka i duga je dug, a tako isto je i u

dijeljenju.

Prosirujuci ova pravila i na kvadratne korijene, on istice njihovu dvoznacnost:

”Imetak ima dva korijena: jedan imetak, a drugi dug.”

40

Ako se izuzme Diofant, moze se reci da Grci nisu znali za negativne brojeve. To je jedan od

glavnih razloga sto Arapi, koji su najvecim dijelom slijedili grcku matematiku i grcko ucenje

o brojevima, nisu prihvacali racunanje s pozitivnim i negativnim brojevima. Spominjanje

negativnih velicina u arapskoj matematickoj literaturi se nalazi jedino kod Abu-al-Vafa (10.

st.), koji je do tih saznanja najvjerojatnije dosao proucavajuci indijske matematicke zapise.

Ovo je jedan od razloga sto Arapi ucenje o negativnim brojevima nisu donijeli u Europu kao

sto su to ucinili s mnogim saznanjima grcke matematike. Trebalo je cekati da u srednjem

vijeku dode do razvoja trgovine i pomorstva kao i do otkrivanja novih puteva na Istok, pa

da u Europu dospije ucenje o negativnim brojevima.

6.1. Pojava negativnih brojeva u Europi

U 12. i 13. stoljecu u Italiji nastaju trgovacki gradovi (Genova, Venecija, Firenza, Pizza

i dr.). Dolazi do putovanja na Istok radi trgovine. Istovremeno je prisutna i zelja da se

upozna nauka i umjetnost azijskih civilizacija.

Jedan od prvih talijanskih trgovaca koji je pokazao interes za matematiku bio je Fibonacci.

Putovao je po sredozemnim zemljama gdje je bio pod utjecajem bizantskog i arapskog mate-

matickog nasljeda. Po povratku s tih putovanja objavljuje matematicke radove. Zahvaljujuci

njemu u Europi, u prvoj polovici 13. stoljeca, nailazimo na prve znacajnije tragove o nega-

tivnim brojevima. Fibonacci u Knjizi o abaku rjesava sustav jednadzbi i zakljucuje da je on

nerjesiv, jer je jedno rjesenje dug (negativni broj).

Kako se uporaba negativnih brojeva u konkretnim racunskim problemima nije mogla izbjeci

to oni bivaju sve vise prisutni u djelima europskih matematicara. Sve smjelije se operira s

negativnim brojevima. Javljaju se matematicari koji smatraju da su negativni i pozitivni

brojevi ravnopravni. Francuski matematicar Chuquet (oko 1500. godine) broj 20 rastavlja

na dva zbroja:

273

11i − 7

3

11

naglasavajuci da neki matematicari ovaj drugi broj smatraju nemogucim. Stifel (prva polo-

vina 16. stoljeca) negativne brojeve naziva apsurdnim i istice da su oni manji od nule, te da

se nula nalazi desno od njih.

Drugaciji pristup negativnim brojevima imao je cuveni francuski matematicar Viete (16.

stoljece); on ih ne priznaje za rjesenja jedndzbi. Do afirmacije negativnih brojeva dolazi tek

u 17. stoljecu zahvaljujuci radovima dvojice matematicara: Gerardusa i Descartesa. Oni su

uveli slovo kao oznaku za broj. To je omogucilo lakse usvajanje pojma negativnog broja.

Descartes smjesta negativne brojeve na brojevni pravac lijevo od nule. Na taj nacin ih tretira

41

ravnopravno s pozitivnim brojevima. Do potpune ravnopravnosti negativnih i pozitivnih

brojeva dolazi tek pocetkom 19. stoljeca. Zajedno s nastankom negativnih brojeva mijenjao

se i njihov naziv. Za jedne su bili besmisleni, oduzimajuci, fiktivni, apsurdni brojevi, a za

druge dug, manjak, da bi napokon dobili danasnje ime negativni brojevi.

Nazivi pozitivan i negativan po prvi put se pojavljuju u radu jednog Vieteovog ucenika. Za

ove dvije vrste brojeva upotrebljavale su se i rijeci primitiv i afirmativ. Tek u 19. stoljecu

termini pozitivan i negativan broj su postali opce prihvaceni.

6.2. Zapisivanje negativnih brojeva

Zapisivanja negativnih brojeva kroz povijest bila su razlicita. Mnogi matematicari su ih

prikazivali kao brojevne izraze. Na primjer, Diofant negativan broj -3 predstavlja u obliku

razlike 5-8. Kinezi su pozitivne brojeve oznacavali crvenom bojom, a negativne crnom. Ma-

tematicar Li (13. stoljece) negativne brojeve zapisuje tako sto precrtava posljednje znakove

broja.

Slika 44.

Kod Indijaca su pronadeni zapisi u kojima su negativni brojevi pisani tako sto je iznad

njegove znamenke stavljana tocka. Znaci + i − ne dovode se u vezu s negativnim brojevima

prije 15. stoljeca. Tek sa uvodenjem slova kao simbola za broj stvara se pogodno tlo za

danasnji nacin zapisivanja brojeva. Tome je svakako doprinijela interpretacija pozitivnih

brojeva kao imetka, a negativnih kao duga.

42

7. Iracionalni brojevi

Dugo vremena je trebalo da se iracionalni brojevi nastane u matematici. Za grcke mate-

maticare√

2 nije bio broj, nego geometrijski omjer dijagonale i stranice kvadrata. Takoder,

iracionalni broj, koji danas oznacavamo s π, nije bio nista drugo nego omjer duljine kruznice

i njezinog promjera. U grckoj matematici pojam broj je znacio prirodan broj, iako su Grci

u praksi racunali i s razlomcima i s pribliznim vrijednostima korijena. Takav odnos prema

iracionalnim brojevima bio je prisutan i u srednjem vijeku. Tek mnogo kasnije poceli su se

omjeri shvacati kao brojevi koji su ”priblizno” poznati.

Egipatski matematicari su se veoma rano sreli s iracionalnim brojem; prilikom rjesavanja

prakticnih geometrijskih problema nailazili su, pored ostalog, i na potrebu izracunavanja

povrsine kruga. Umjesto iracionalnih koristili su racionalne brojeve kao njihove priblizne

vrijednosti.

Babilonski matematicari, kao i egipatski, nisu se posebno zanimali za prirodu iracional-

nog broja. Bilo im je vazno da sto tocnije rijese prakticne zadatke. Pri tome su nailazili

na problem kako da odrede pribliznu vrijednost iracionalnih brojeva. Da bi pojednosta-

vili racunanje sastavljali su tablice mnozenja reciprocnih vrijednosti kvadratnih i kubnih

korijena. Za odredivanje pribliznih vrijednosti kvadratnog korijena pronasli su postupak

(algoritam) koji se zasnivao na primjeni formule

√a2 ± b ≈ a ± b

2a.

Primjer:√

1700 =√

1600 + 100 =√

402 + 100 ≈ 40+100

2 · 40= 41

1

4.

Bilo bi pogresno iz unaprijed izlozenog zakljuciti da su Egipcani i Babilonci znali za pojam

iracionalnog broja. Oni su uslijed nepoznavanja iracionalnih brojeva nailazili na teskoce pri

rjesavanju problema iz prakse. Istovremeno, iskustva iz dotadasnje prakse upucivala su ih da

se i novi slicni problemi mogu rijesiti pomocu racionalnih brojeva cija je vrijednost priblizno

jednaka vrijednosti konkretnog iracionalnog broja.

43

Slika 45.

Grci su brojeve interpretirali koristeci geometrijske velicine. Ako, na primjer, duzina AB

sadrzi cetiri puta duzinu CD, onda je odnos izmedu duzina AB i CD izrazen brojem 4. Ako

duzinu CD smatramo jedinicom, onda je duzina AB jednaka 4. Na slican nacin mogu se

odrediti duzine ciji je omjer izrazen razlomkom. Na primjer, broj 2/3 se moze prikazati

pomocu sustava cije se duzine odnose kao 2:3. Ovakav nacin razmatranja naveo je grcke

matematicare na pogresan zakljucak da se omjer bilo koje dvije duzine moze prikazati raz-

lomkom. Kasnije su otkrili da se omjer duzine dijagonale kvadrata i duzine njegove stranice

ne moze izraziti razlomkom ili, drugacije receno, duzina dijagonale kvadrata se ne moze

izmjeriti njenom stranicom. U ovom slucaju omjer se ne moze izraziti pomocu dva pri-

rodna broja nego pomocu beskonacnog niza omjera prirodnih brojeva, ciji je limes zapravo

iracionalan broj.

Broj√

2 je iracionalan broj koji se moze prikazati kao beskonacan razlomak:√

2 = 1 +1

2 + 12+ 1

2+···

Uobicajeno je, narocito u nastavi matematike, da se iracionalni brojevi predstavljaju raci-

onalnim brojevima cija je vrijednost priblizno jednaka vrijednosti tog iracionalnog broja.

Talijan Pietro Cataldi (17. stoljece) je ovako zapisivao:

√2 = 1.&

1

2.&

1

2.&

1

2.&

1

2

a pribliznu vrijednost je racunao ovako:

√2 ≈ 1 +

1

2 + 12

= 1 +1

4+12

= 1 +2

5= 1, 4.

Grci su se u rjesavanju prakticnih zadataka rano susreli s iracionalnim brojevima. Zanimljivo

je da su za njihovo otkrice najvise zasluzni upravo oni, odnosno, tocnije receno, pitagorejci.

44

Oni su naslutili prirodu iracionalnog broja rjesavanjem zadataka iz teorije glazbe kao i pri-

likom odredivanja omjera stranice i dijagonale kvadrata. Zapazili su da se omjer duzine

dijagonale i stranice kvadrata ne moze izraziti prirodnim brojevima; ove duzine su nazivali

nesumjerljivim. Na taj nacin su dosli do omjera√

2 : 1, dnosno broja√

2 . Radovi grckih

matematicara Eudoksa (408.-355. prije Krista ) i Euklida (365.-300. prije Krista ) su bili

od velikog znacaja za izgradnju teorije iracionalnih brojeva. Euklid je u Elementima izlozio

sve dotadasnje spoznaje o iracionalnim brojevima.

Kineski i indijski matematicari su nailazili na probleme vezane za iracionalne brojeve rjesavajuci

prakticne i teorijske zadatke. I oni su tragali za algoritmima pomocu kojih ce dobiti sto

tocnije priblizne vrijednosti iracionalnih brojeva. Indijci su na primjer, odredivali vrijednost

broja π pomocu beskonacnih brojevnih redova.

Arapski matematicari su se susretali s iracionalnim brojevima rjesavajuci mnogobrojne pro-

bleme iz trigonometrije i geometrije. Takoder, upoznajuci se s Euklidovim Elementima,

prihvatili su Eudoksovu teoriju razmjera kao intepretaciju iracionalnih duljina i pravokut-

nika.

Europski matematicari srednjeg vijeka iracionalne brojeve nazivaju zamisljenim, nijemim ili

neizrazivim brojevima zeleci i na ovaj nacin istaci razliku izmedu njih i racionalnih brojeva.

U 12. stoljecu za ove brojeve se koristi naziv numeri irationales. Stifel 1544. godine u svom

djelu Arithmetica integra upotrebljava izraz iracionalni brojevi, ali i on tvrdi da to nisu pravi

brojevi.

U 15. stoljecu za iracionalne brojeve se zanima talijanski matematicar Luka Pacioli. Descar-

tes je prvi ispravno shvatio sustinu iracionalnog broja. On istice da je broj ”sve sto se odnosi

prema jedinici kao jedna duzina prema drugoj ”. Zanimljivo da i on ove brojeve naziva

neizrazivim. Kasnije ce engleski matematicar i fizicar Newton (1707) razraditi Descartesovu

definiciju iracionalnog broja.

Bilo je matematicara ciji se pristup pojmu iracionalnog broja razlikovao od drugih. Tako, na

primjer, francuski matematicar d’Alembert (18. stoljece) istice da se√

2 moze interpretirati

samo geometrijski. Suvremena teorija iracionalnih brojeva, odnosno realnih brojeva, dobija

svoju konacnu formu tek u 19. stoljecu u djelima Weierstrassa, Cantora i Dedekinda.

45

Literatura

[1] F. M. Bruckler: Povijest matematike I, Odjel za matematiku, Osijek, 2007.

[2] L. Hogben: Brojevi i stvarnost, Novo poglavlje, Beograd, 1953.

[3] L. Hogben: Sve o matematici, Mladinska knjiga, Zagreb 1970.

[4] F. Hrabak: U svijetu matematickih pojmova i simbola, Skolska knjiga, Zagreb, 1960.

[5] M. Radojcic: Opsta matematika, Naucna knjiga, Beograd, 1950.

[6] David Eugene Smith: H istory of mathematics I, New York, 1958.

[7] David Eugene Smith: H istory of mathematics II, New York, 1958.

[8] Wikipedia, H istory of Mathematics,

http://en.wikipedia.org/wiki/History of mathematics

[9] The MacTutor History of Mathematics archive

http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/˜history

46

Sazetak

U ovom diplomskom radu smo prikazali kada, kako i kojim redom su nastajali brojevi, kako

su ljudi u proslosti brojali, kada su poceli zapisivati brojeve, kako su ih razvijali u vrijeme

njihovog nastanka. Obuhvatili smo razdoblje od najstarije proslosti do (uglavnom) kraja

srednjeg vjeka.

Ljudi nisu oduvijek znali brojati na nacin kako mi to danas cinimo. Razvoj matematike je

usko vezan za opci razvoj ljudskog drustva. Put do danasnjeg nacina zapisivanja brojeva je

bio dug , polagan i nimalo jednostavan.

U drugom poglavlju smo pokazali kako se u matematici od pocetnih crteza nastali brojevi. U

trecem poglavlju smo dali pregled kako su nastali pozicijski brojevi kod razlicitih naroda. U

skupu prirodnih brojeva smo pojasnili pojmove: prosti brojevi, kvadratni brojevi, trokutasti

brojevi, figurativni brojevi, savrseni brojevi, prijateljski brojevi, brojevi blizanci, Fibonac-

cijevi brojevi, brojevi i magija, zatim pitanja u vezi beskonacno i nula. Kod razlomaka

smo pokazali da se pojavljuju kao posebne kategorije brojeva koje karakteriziraju odredeno

kvantitativno svojstvo jednog dijela promatranog objekta.

U sestom poglavlju smo obradili cijele brojeve, gdje smo razmotrili pojavu negativnih brojeva

u Europi i kako su odredene civilizacije zapisivale negativne brojeve. U zadnjem poglavlju

smo obradili iracionalne brojeve.

47

Summary

In this diploma thesis we have demonstrated when, how and in which order the numbers

were created, the way how did the people in the past count, when did they start to write

down the numbers and how they developed the numbers in the time of their creation. We

covered the period from the earliest past (mostly) till the end of Middle Ages.

People did not know how to count in the way that that it is done today. The development

of mathematics is closely related with the general development of human society.

The path to today’s way of writing numbers was long, slow and not at all easy. In the second

chapter we have demonstrated the path in mathematics that lead from early drawings to

numbers. In the third chapter we have given an overview on how different nations created

positional numbers. In a set of natural numbers we have clarified the concepts of: prime

numbers, square numbers, triangular numbers, figurative numbers, perfect numbers, amica-

ble numbers, twins, Fibonacci numbers, numbers and magic, and issues related to infinity

and the number zero.

When dealing with fractions, we have shown that they appear as special categories of numbers

that characterise a specific quantitatively trait of one part of the observed object. In the

chapter six we have covered the whole numbers, where we discuss the emergence of negative

numbers in Europe and how did specific civilization write down the negative numbers. In

the last chapter irrational numbers were covered.

48

Zivotopis

Moje ime je Ana Klisuric i rodena sam 26. listopada 1979. godine u Osijeku. Nakon zavrsene

Osnovne skole Ljudevit Gaj u Osijeku, upisala sam 1. Gimnaziju u Osijeku . Nakon srednje

skole, upisala sam studij na Sveucilistu Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku, na odjelu

za matematiku, smjer: matematika-informatika. Godinu dana sam radila kao apsolvent u

srednjoj skoli trgovackoj u Vukovaru i godinu dana u srednjoj ekonomskoj skoli u Vukovaru.

49