Potentialstufen

Gebiet zerfallt in Regionen, in denen Potential ≈ konstant ist.

Betrachten nun Idealisierung: Bewegung in Potentialstufen.

Stetigkeit von ψ(x),ψ′(x) fur stuckweise stetiges Potential

betrachte

d2

dx2ψ(x) = −2m

!2 (E−V (x))ψ(x)

aI II

V (x)

Angenommen, ψ(x) ware unstetig ⇒ ψ(x) ∼ θ(x − a) , ψ′(x) = δ(x − a) , ψ′′(x) = δ′(x − a)

Angenommen, ψ′(x) ware unstetig ⇒ ψ′(x) = θ(x − a) , ψ′′(x)(x) = δ(x − a)

⇒ Widerspruch mit der rechten Seite der Schrodingergleichung

⇒ ψ(x), ψ′(x) mussen stetig sein

⇒ ψI (a) = ψII (a), ψ′I (a) = ψ′

II (a)

gilt nicht mehr, wenn V die Form einer δ-Distribution aufweist.

Beispiel: Potentialstufe

V (x) = V0Θ(x) , Θ(x) =

{1 x ≥ 0

0 x < 0

3.2 Potentialstufen 59

V (x) = V0Θ(x); Θ(x) =

{1; x > 00; x < 0

(3.45)

mit der Konstanten V0 ≥ 0. Betrachten wir dazu die Schrodinger-Gleichunggesondert in den Gebieten I (x < 0) und II (x > 0):

d2ψ

dx2= −2mE

!2ψ ;

d2ψ

dx2= −2m(E − V0)

!2ψ . (3.46a,b)

Abb. 3.5a. Potentialstufe Abb. 3.5b. Potentialstufe, E > V0

Die Stetigkeitsforderungen fur ψ und ψ′ werden uns Relationen zwischen denfreien Konstanten der Losungen in den Gebieten I und II liefern. Wir unter-scheiden die Falle E > V0 und E < V0, da sie unterschiedlichen physikalischenSituationen entsprechen.

3.2.2.1 Teilchenenergie oberhalb der Potentialstufe(E > V0, Abb. 3.5b)

Durch Definition der beiden Wellenzahlen k und q gehen (3.46a) und (3.46b)uber in:

I:d2ψ

dx2= −k2ψ ; k =

√2mE/! (3.47a)

II:d2ψ

dx2= −q2ψ ; q =

√2m(E − V0)/! . (3.47b)

Dies sind Schwingungsgleichungen mit den Fundamentallosungen

eiKx , e−iKx ; K =

{k; x < 0q; x > 0

Setzen wir voraus, daß das Teilchen von links einfallt, dann ist die Wellen-funktion im Gebiet I die Uberlagerung einer von links einfallenden Welle,deren Amplitude wir ohne Einschrankung der Allgemeinheit als 1 setzen,und einer reflektierten Welle, sowie im Gebiet II eine durchgehende Welle:

ψI(x) = eikx + Re−ikx (3.48a)

ψII(x) = T eiqx (3.48b)ψ(x) = Θ(−x)ψI(x) + Θ(x)ψII(x) . (3.48c)

I:d2

dx2ψ(x) = −2mE

!2 ψ(x) II:d2

dx2ψ(x) = −2m(E − V0)

!2 ψ(x)

Betrachte die Falle fur E > V0 und E < V0 getrennt.

Teilchenenergien oberhalb der Potentialstufe E > V0

I:d2

dx2ψ(x) = −k2ψ(x) mit k =

√2mE

!2

II:d2

dx2ψ(x) = −q2ψ(x) mit q = sqrt

2m(E − V0)

!2

Fundamentallosungen:

e iKx , e−iKx , K =

{k x ≥ 0

q x < 0

Wir machen den folgenden Ansatz:

ψI (x) = e ikx + Re−ikx , ψII (x) = Te iqx , ψ(x) = Θ(−x)ψI (x) +Θ(x)ψII (x)

einfallendeWelle

reflektierteWelle

durchgehendeWelle

Stetigkeit von ψ(x) bei x = 0: 1 + R = T

Stetigkeit von ψ′(x) bei x = 0: ik(1− R) = iqT=⇒ R =

k − q

k + q, T =

2k

k + q

Bemerkungen:

i) Teilchen wird mit Wahrscheinlichkeit r = |R |2 reflektiert.klassisch keine Reflektion, Teilchen wird nur langsamer

ii) E → ∞ =⇒ q → k : R → 0 , T → 1

3.2 Potentialstufen 61

Wurde der Ubergang von 0 auf V0 kontinuierlich uber eine Strecke derfolgen, dann wurden Teilchen mit k ! 1/d vollstandig durchlaufen. Mankann dies explizit am Potential V (x) = V0(1+tanh(x/2d))/2 nachprufen,das auf hypergeometrische Funktionen fuhrt.

3. Teilchenzahlerhaltung: Aus (3.49) folgt

!k

m(1 − |R|2) =

!q

m|T |2 , und somit

jI = jII , also jein = jrefl + jtrans ;

d. h. der einfallende Teilchenfluß ist gleich der Summe von transmittier-tem und reflektiertem Teilchenfluß. Dieses Resultat folgt auch aus derKontinuitatsgleichung (2.60) (Teilchenzahlerhaltung), die ∂j(x)/∂x = 0liefert, weil "(x) zeitunabhangig ist.

4. Nach (3.49) ist R > 0, d. h. reflektierte und einfallende Welle sind inPhase. Wenn andererseits die Potentialstufe nach rechts hin abfallend ist,d. h. V0 < 0, dann ist in (3.48) und (3.49) q =

√2m(E + |V0|)/! und

folglich R < 0; die reflektierte Welle erleidet einen ”Phasensprung“ um π.

Wir stellen noch den Real- und Imaginarteil von ψ(x) und die Wahr-scheinlichkeitsdichte |ψ(x)|2 in Abb. 3.6 dar. Fur die Einfallsenergie wahlenwir E = 4V0/3; dann ist das Verhaltnis der Wellenzahlen q/k = 1/2.

Abb. 3.6. Der Realteil und der Imaginarteil von ψ(x) und die Wahrscheinlichkeits-dichte |ψ(x)|2 gegen xk/2π, fur Einfallsenergie E = 4V0/3, d. h. q/k = 1/2

E = 4/3V0 , q/k = 1/2

Teilchenenergie unterhalb der Potentialstufe E < V0

I:d2ψ

dx2= −k2ψ, k =

√2mE/!

II:d2ψ

dx2= −2m(E − V0)

!2 ψ = κ2ψ, κ =√2m(V0 − E )/!

ψI = e ikx + Re−ikx ψII = Te−κx

1 + R = T , ik(1− R) = −κT

i2k = ikT − κT ⇒ T =i2k

ik − κ=

2k

k + iκ

R =k − iκ

k + iκ, T =

2k

k + iκ

Bemerkungen:

i) |R |2 = 1

ii) V0 → ∞ : κ → ∞, T = 0, R = −1

⇒ ψI = e ikx − e−ikx ⇒ ψI (0) = 0

⇒ allgemeine Randbedingung an unendlich hoher Schwelle:

ψSchwelle = 0

V0

Eindringtiefe ∼ κ−1

−a 0 a

V0

Tunneleffekt

Potentialbarriere V (x) = V0θ(a− |x |)

Betrachte nur E < V0

ψ(x) =

Ae ikx + Be−ikx x < −a

Ce−κx + De+κx −a < x < a

Fe ikx + Ge−ikx x > a

k =

√2mE

! , κ =

√2m(V0 − E )

!

Stetigkeit fur ψ, ψ′ bei x = a, x = −a

x = −a : Ae−ika + Be ika = Ceκa + De−κa

ik(Ae−ika − Be ika

)= −κ

(Ceκa − De−κa

)

In Matrixschreibweise:(e−ika e ika

e−ika −e ika

)(AB

)=

(eκa e−κa

iκk e

κa − iκk e

−κa

)(CD

)

⇒(AB

)=

1

2

(e ika e ika

e−ika −e−ika

)(eκa e−κa

iκk e

κa − iκk e

−κa

)(CD

)

⇒(AB

)= M(a)

(CD

)mit

M(a) =1

2

(1 + iκ

k

)eκa+ika

(1− iκ

k

)e−κa+ika

(1− iκ

k

)eκa−ika

(1 + iκ

k

)e−κa−ika

x = a :(FG

)= M(−a)

(CD

)

Zusammenhang zwischen

(AB

)und

(FG

):

(AB

)= M(a)M(−a)−1

(FG

)

Mit

M(−a)−1 =1

2

(1− ik

κ

)eκa+ika

(1 + ik

κ

)eκa−ika

(1 + ik

κ

)e−κa−ika

(1− ik

κ

)e−κa−ika

folgt

A

B

=

(cosh(2κa) + iε

2 sinh(2κa))e2ika iη

2 sinh(2κa)

− iη2 sinh(2κa)

(cosh(2κa)− iε

2 sinh(2κa))e−2ika

F

G

ε =κ

k− k

κ, η =

κ

k+

k

κ

Betrachte von links einlaufendes Teilchen, also G = 0 ⇒

A = F

(cosh(2κa) +

iε

2sinh(2κa)

)e2ika

B = F

(− iη

2

)sinh(2κa)

Transmissionsamplitude

S(E ) :=F

A=

e−2ika

cosh(2κa) +(iε2

)sinh(2κa)

Durchlassigkeitskoeffizient

|S(E )|2 = 1

1 + ( ε2

4 sinh2(2κa))

= Wahrscheinlichkeit fur das Durchdringen der Potentialschwelle

betrachte hohe und breite Barriere: κa ! 1

=⇒ sinh(2κa) ≈ 1

2e2κa ! 1

⇒ |S(E )|2 = 1

1 + (1 + ε2

4 )14e

4κa≈ 4e−4κa

1 + ε2

4

=16(κk)2

(κ2 + k2)2e−4κa

=16E (V0 − E )

V 20

exp{−4

√2m(V0 − E )

a

!

}

= exp

{−4

√2m(V0 − E )

a

! + log

(16E (V0 − E )

V 20

)}

⇒ |S(E )|2 ≈ exp{−4

√2m(V0 − E )

a

!

}

Klassisches Teilchen wurde reflektiertQM: endliche Durchgangswahrscheinlichkeit

TunneleffektBeispiel: α-Zerfall, Josephson-Effekt, Kernfusion

3.3 Tunneleffekt, Potentialschwelle 67

3.3.2 Kontinuierliche Potentialberge

In realistischen Tunnelvorgangen hat das Potential einen kontinuierlichenVerlauf, etwa wie in Abb. 3.9a dargestellt. Die Tunnelwahrscheinlichkeitdurch diesen Potentialberg laßt sich mit Hilfe von (3.72) naherungsweise be-rechnen, indem man V (x) zwischen a und b durch N Teilschwellen der Breitedx approximiert. Die Stufenbreite 2a ist jetzt durch dx zu ersetzen (Abb.3.9b). Die Gesamttransmissionswahrscheinlichkeit ist dann das Produkt

|S(E)|2 =N∏

i=1

exp

{−

√2m(V (xi) − E)

! 2dx

}

= exp

{−2

N∑

i=1

√2m(V (xi) − E)

! dx

},

welches im Limes N → ∞ in

|S(E)|2 = exp

−2b∫

a

√2m(V (x) − E)

! dx

(3.73)

ubergeht. Dieses Resultat kann mit der WKB-Methode genauer begrundetwerden (siehe Abschn. 11.3).

Abb. 3.9. (a) Kontinuierlicher Potentialberg und (b) seine Zerlegung in Stufen

3.3.3 Anwendungsbeispiel: Der α-Zerfall

Das Potential eines α-Teilchens in einem Kern hat naherungsweise den inAbb. 3.10 dargestellten Verlauf. Dabei ist die Reichweite der KernkrafteR ≈ 10−12 cm, die Ladungszahl eines α-Teilchens Z2 = 2, und die Kernla-dungszahl des Tochterkerns Z1. Im klassischen Fall mußte dem Teilchen erstEnergie zugefuhrt werden, damit es die Coulomb-Barriere uberwinden undden Kern verlassen kann. Quantenmechanisch erhalt man eine endliche Tun-nelwahrscheinlichkeit, die sich unter Verwendung von (3.73) berechnen laßt,wenn man zwischen den inneren und außeren klassischen UmkehrpunktenV (x) ∼= Z1Z2e2/x setzt. Die Integrationsgrenzen sind a = R, b = Z1Z2e2/Eund es folgt

Kontinuierliche Potentialberge

Diskretisieren: dx ←→ Stufenbreite 2a

|S(E )|2 =N∏

i=1

exp

{−√

2m(V (xi )− E )

! 2dx

}= exp

{−2

N∑

i=1

√2m(V (xi )− E )

! dx

}

N → ∞ :

|S(E )|2 = exp

{−2

∫ b

a

√2m(V (x)− E )

! dx

}

Potentialtopf

gebundene Zustande im Potentialtopf

V (x) = −V0θ(a− |x |)

Modell fur kurzreichweitige Krafte (Kernphysik, abgeschirmte Storstellen in Festkorpern)Bindungszustande: −V0 ≤ E ≤ 0

ψ′′ = κ2ψ , κ =

√2m(−E )

! fur |x | > a

ψ′′ = −q2ψ , q =

√2m(E + V0)

! fur |x | < a

|x | > a: Fundamentallosungen e+κx ,e−κx

Normierung: Wahle nach außen abfallende Losung

|x | < a: cos qx , sin qx

3.4 Potentialtopf 71

Abb. 3.12. Potentialtopf

Wie in den vorausgegangenen Abschnitten betrachtet man die Schrodinger-Gleichung fur Gebiete verschiedener Potentialstarke getrennt. Da die Ener-gien der Bindungszustande im Intervall

−V0 ≤ E ≤ 0 (3.79)

liegen, haben wir

ψ′′ = κ2ψ mit κ =√

2m(−E)/! fur |x| > a (3.80a)

und

ψ′′ = −q2ψ mit q =√

2m(E + V0)/! fur |x| < a . (3.80b)

Um die Normierbarkeit der Wellenfunktion zu gewahrleisten, ist fur |x| > aaus den beiden Fundamentallosungen e±κx jeweils diejenige auszuwahlen,die exponentiell abfallt. Innerhalb des Topfes sind die Losungen oszillierend:cos qx, sin qx – und eventuell auch Linearkombinationen dieser beiden Funda-mentallosungen. Wegen der Spiegelungssymmetrie des Potentials (3.77) liegtes jedoch nahe, nach rein geraden

ψ(x) =

{A cos qx |x| < a

e∓κx x >< ±a(3.81)

und ungeraden

ψ(x) =

{A sin qx |x| < a

±e∓κx x >< ±a(3.82)

Losungen zu suchen. Wir werden spater, in Abschn. 3.5 und 3.6, allgemeinzeigen, daß die Bindungszustande fur ein spiegelsymmetrisches Potential ge-rade oder ungerade sind. Aus den Stetigkeitsbedingungen (3.44a–c) fur dieWellenfunktion und deren Ableitung erhalten wir transzendente Gleichungenfur die Energieeigenwerte E und die Amplituden A in (3.81) und (3.82). Wirbetrachten gerade und ungerade Losungen nacheinander.

Spiegelungssymmetrie des Potentials ⇒ gerade oder ungerade

ψ(x) =

{A cos qx |x | < a

e∓κx x >< ± a

ψ(x) =

{A sin qx |x | < a

±e∓κx x >< ± a

gerade Symmetrie

A cos qa = e−κa , Aq sin qa = κe−κa

⇒ (nach Division)

tan (qa) =κ

q=

|ζ2 − (qa)2| 12qa

mit ζ =√2mV0a/! (dimensionsloser Parameter)

Aus −V0 ≤ E ≤ 0 folgt:

0 < qa =√

2m(E + V0)a/! ≤ ζ

transzendente Gleichung: graphische Losung.Physik steckt in ζ: ζ vorgegeben.

72 3. Eindimensionale Probleme

3.4.1 Gerade Symmetrie

Hier lauten die Stetigkeitsbedingungen

A cos qa = e−κa , Aq sin qa = κe−κa , (3.83)

die nach Division

tg qa =κ

q(3.84)

ergeben oder ausgeschrieben

tg qa =[ζ2 − (qa)2]1/2

qa, (3.84′)

wo der in (3.78) eingefuhrte dimensionslose Parameter ζ auftritt. Wegen(3.79) liegen die Wellenzahlen q im Intervall

0 ≤ qa ≤ ζ . (3.85)

Gleichung (3.84′) ist die angekundigte transzendente Gleichung fur die Wel-lenzahl q oder wegen (3.80b) fur die Bindungsenergie E. Sie laßt sich leichtgraphisch losen (Abb. 3.13). Hier sind tg z und (ζ2 − z2)1/2/z fur drei Wertevon ζ gegen z ≡ qa aufgetragen. Die zulassigen Werte von z ergeben sich ausden Schnittpunkten dieser beiden Kurven. Fur diese Werte qa sind dann dieEnergieeigenwerte nach (3.80b)

E = −V0 +(q!)2

2m= −V0

(1 − (qa)2

ζ2

). (3.86)

Abb. 3.13. Graphische Losung der transzendenten Gleichung (3.84′);(—) tg z, (– · –) (ζ2 − z2)1/2/z fur verschiedene Werte von ζ(ζ1 < ζ2 < ζ3)

Man liest aus Abb. 3.13 folgende charakteristische Eigenschaften der Eigen-werte ab:

Schnittpunkte ⇒ z = qa

⇒ E = −V0 +q!2m

= −V0

(1− (qa)2

ζ2

)

Eigenschaften:

i)(ζ2 − z2

) 12 bei z = ζ ⇒ Anzahl der Schnittpunkte ng = [ζ/!]

([α] nachst großere naturliche Zahl zu α)

ii) Es gibt mindestens einen geraden gebundenen Zustand.

ungerade Symmetrie

Stetigkeitbedingungen

A sin(qa) = e−κa , Aq cos(qa) = −κe−κa

⇒ −ctg(qa) =κ

q=

(ζ2 − (qa)2)12

qa

3.4 Potentialtopf 73

i) Da (ζ2 − z2)1/2/z bei z = ζ verschwindet, kann die Zahl der Schnitt-punkte ng aus dem Wert von ζ abgelesen werden und ist

ng = [ζ/π] , (3.87)

wobei [α] die nachstgroßere naturliche Zahl zu α ist.ii) Somit gibt es fur ζ > 0 auf jeden Fall einen geraden gebundenen Zu-

stand; mit wachsenden ζ wachst die Zahl der geraden Bindungszustandeentsprechend (3.87).

3.4.2 Ungerade Symmetrie

Die Stetigkeitsbedingungen lauten nun:

A sin qa = e−κa , Aq cos qa = −κe−κa (3.88)

und nach Division

− ctg qa =κ

q≡ (ζ2 − (qa)2)1/2

qa. (3.89)

Die graphische Losung von (3.89) ist in Abb. 3.14 illustriert.

Abb. 3.14. Graphische Losung der transzendenten Gleichung (3.89);(—) − ctg z, (– · – ·) (ζ2 − z2)1/2/z

Wenn ζ im Intervall

π

2(2nu − 1) < ζ <

π

2(2nu + 1) (3.90)

liegt, hat (3.89) genau nu Losungen. Insbesondere ersehen wir daraus, daß esungerade Losungen nur dann gibt, wenn

2mV0a2/!2 > π2/4 (3.91)

ζ ∈ ]π

2(2nu − 1),

π

2(2nu + 1)[ ⇒ nk Losungen

⇒ es gibt ungerade Losungen, wenn 2mV0a2/!2︸ ︷︷ ︸

ζ2

>π2

4

Zustand qa Symmetrie KnotenzahlGrundzustand [0, π2 ] gerade 01. angeregter Zustand [π2 ,π] ungerade 12. angeregter Zustand [π, 3

2π] gerade 2...

......

...

unendlich tiefer Potentialtopf: V0 → ∞

ψq = Θ(a− |x |) cos(qx) qa =

(k +

1

2

)π k = 0, 1, ...

ψq = Θ(a− |x |) sin(qx) qa = kπ k = 0, 1, ...

Symmetrie

Paritat (Spiegelung)

Pf (x) = f (−x)

gerade Funktion Pfg = fg , EW 1ungerade Funktion Pfu = −fu, EW −1

betrachte spiegelsymmetrische Potentiale: PV = Vkinetische Energie: Ableitung zweiter Ordnung =⇒

⇒ PHf (x) = Hf (−x) = HPf (x)

⇒ [H,P] = 0 fur symmetrische Potentiale

zeitunabhangige Schrodingergleichung:

Hψ (x) = Eψ (x) und Hψ (−x) = Eψ (−x)

⇒ mit ψ (x) ist auch ψ (−x) Eigenfunktion zum Eigenwert E .

⇒ Summe und Differenz sind EF zum EW E .

ψg (x) = ψ (x) + ψ (−x) Pψg = ψg

ψu (x) = ψ (x)− ψ (−x) Pψu = −ψu

⇒ kann Basissystem wahlen, das nur aus geradenund ungeraden stationaren Zustanden besteht

V symmetrisch:Wenn EW nicht entartet ist ⇒ Eigenfunktion gerade oder ungerade!