potensfunktioner - systime – bedre læring · vi har tidligere set noget lignende for både...

10POTENSFUNKTIONER

492 1 0 . P o t e n s f u n k t i o n e r

PotenSFunktioner

deFinition 1En.funktion.med.forskriften.f x b xa( ) = ⋅ ,.hvor.a ∈ ,.b > 0.og. x > 0,.vil.vi.kalde.en.potensfunktion .

I MAT C kapitel 1 så vi, at hvis a skal være et vilkårligt reelt tal, da må vi forlange, at x > 0 (se side 41 midt).

For at danne os et overblik over disse funktioners grafer ser vi først på funktioner med forskriften f x xa( ) = , dvs. hvor b =1 . I figur 1 er tegnet graferne for nogle udvalgte (og kendte) funk-tioner af denne type:

Figur.1

Ud fra figur 1 konkluderer vi følgende om potensfunktioners monotoniforhold

1) f x xa( ) = er voksende, når a > 02) f x xa( ) = er aftagende, når a < 03) f x xa( ) = er konstant lig med 1, når a = 0

Monotoniforholdene for en funktion med forskriften f x b xa( ) = ⋅ bestemmes ud fra a på samme måde, idet vi jo blot ganger xa med den positive konstant b.

y

x

. . . . . . . .

7

6

5

4

3

2

1

0

–1

1

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

2 3 4 5 6 7 8

. . . . . . . .

y x x= =−1 1

y x x= =0 5,

y x=

y x= 2

y x= =0 1

4931 0 . P o t e n s f u n k t i o n e r

ØVelSe 1I denne øvelse betragter vi potensfunktionerne f x xa( ) = , hvor x > 0 , og a ∈ .

a) Forklar de enkelte trin i denne omskrivning:x e ea x a xa

= = ⋅ln( ) ln( ) .b) Benyt omskrivningen til at forklare, at potensfunktionen

har de monotoniforhold, der er beskrevet på side 492.

ekSemPel 1Vi løser ligningen 2 125x = på denne måde:

2 125x =

x5 6=

x = =6 1 43105 ,

Ligningen 3 121 8 1 2x x, ,= ser lidt anderledes ud, men den kan omskrives til en ligning af samme type som den netop be-tragtede:

3 121 8 1 2x x, ,=

xx

1 8

1 2

123

,

,=

x0 6 4, =

x = =4 10 07940 6, ,

ØVelSe 2Løs ligningerne

a) 3 92 2x , = c) 12 40 45x , = e) 3 7684x =

b) 4 82x− = d) 8 4 12 61 42, ,,x = f) 1 2 0 0754, ,x− =

har.opskrevet.ligningen

har.divideret.begge..sider.med.2

har.taget.den.5’te.rod.på.begge.sider


har.divideret.på.begge.sider.med. 3 1 2x ,

har.på.venstre.side..udnyttet.potensreglen.a

aa

n

mn m= −

har.taget.den.0,6’te.rod.på.begge.sider


ekSemPel 2Vi vil nu løse uligheden 4 51 2x , > , hvor x > 0. Betragter vi udtrykket på venstre side af ulighedstegnet som en funk-tion, f x x( ) ,= 4 1 2 , ser vi, at denne er voksende, da a = >1 2 0,. Hvis ligningen 4 51 2x , = har løsningen x0 , må uligheden derfor have løsningen L x= ∞ 0 ; . Vi løser altså ligningen:

4 51 2x , = x1 2 1 25, ,=

x = =1 25 1 20441 2 , ,,

Da er L = ∞] [1 2044, ; .

ØVelSe 3Idet x > 0 , skal du løse ulighederne:

a) 3 91 4x , > c) 4 81 5x− >,

b) 1 4 102 2, ,x < d) 30 453 2x− <,

ekSemPel 3For x10 502 4 0 6x x− >, ,0 kan uligheden 10 502 4 0 6x x− >, , omskrives således:

10 502 4 0 6x x− >, ,

xx

−

>2 4

0 6

5010

,

,

x− >3 5

Ligningen x− =3 5 har løsningen x = =− 5 0 58483 , , og da x−3 er aftagende (hvorfor?), har den sidste ulighed (og dermed den oprindelige ulighed) løsningsmængden L = ] [0 0 5848; , .I dette tilfælde er den oprindelige ulighed også defineret for x<0 (hvorfor?), så løsningsmængden kan udvides til L = − ∞ ∪] ; [ ] ; . [0 0 0 5848 .


har.divideret.med.4.på.begge.sider

har.taget.den.1,2’te.rod.på.begge.sider

har.opskrevet.ulighe-den

har.divideret.på.begge.sider.med. 10 0 6x ,

har.på.venstre.side.ud-nyttet.potensreglen.

a

aa

n

mn m= −


ØVelSe 4Løs ulighederne

a) 10 204 2x x< b) 5 103 5 1 5x x− >, ,

Følgende sætning viser, hvordan vi ud fra kendskabet til to punkter på grafen for en potensfunktion kan bestemme denne funktions forskrift. Vi har tidligere set noget lignende for både lineære og eksponentielle funktioner.

BeViSDa punkterne ( , )x y1 1 og ( , )x y2 2 ligger på grafen for yf x b xa( ) = ⋅ , passer deres koordinater ind i ligningen, dvs.

y b x y b xa a1 1 2 2= ⋅ = ⋅og

Divideres y2 med y1 fås

b xb x

yy

a

a

⋅⋅

=2

1

2

1

xx

yy

a

a2

1

2

1

=

xx

yy

a

2

1

2

1

=

Sætning 1Hvis.grafen.for.en.potensfunktion.f x b xa( ) = ⋅ .går.gennem.de.to.punkter.( , )x y1 1 ,.og( , )x y2 2 .x x1

2≠ ,.kan.konstanterne.a.og.b.bestemmes.ved

a

yy

xx

=ln

ln

2

1

2

1

...og...by

x a= 1

1

= ⋅ −y x a1 1

har.”divideret”.de.to.ligninger.med.hinanden

har.forkortet.b.ud..på.venstre.side

har.benyttet..potensreglen.

a

b

ab

n

n

n

=


axx

yy

⋅ =ln ln2

1

2

1

a

yy

xx

=ln

ln

2

1

2

1

Af ligningen b x ya⋅ =1 1 fås umiddelbart, at byx a

= 1

1

= ⋅ −y x a1 1 .

Da x =1 giver y f b b ba= = ⋅ = ⋅ =( )1 1 1 , går grafen for en potens-funktion gennem punktet ( , )1 b .

ekSemPel 4Grafen for potensfunktionen f x bxa( ) = går gennem ( , )4 32 og ( , )9 108 , så

a

10832

94

=

ln

ln= 1,5 og b = =32

44

1 5,

Vi har altså, at f x x( ) ,= 4 1 5 .

ØVelSe 5Bestem forskriften for potensfunktionen, hvis graf går gen-nem de angivne punkter:

a) ( , )1 2 og ( , )4 64 c) ( , )4 20 og ( , )9 30b) ( ; , )25 0 04 og ( ; , )54 0 0126 d) ( ; , )5 0 16 og ( ; , )10 0 04

ekSemPel 5Lad der være givet potensfunktionen y f x x= = ⋅( ) ,10 1 5 . Punktet ( , ) ( , )x y1 1 4 80= ligger på grafen for f. Hvis vi gør x1 15% større, får vi x-værdien x x2 1 1 15 4 1 15 4 6= ⋅ = ⋅ =, , , . Den tilhørende y-værdi er da y2

1 510 4 6 98 659= ⋅ =, ,, . Vi kan derfor beregne, at y-værdien er vokset med:

har.anvendt.ln.på.begge.sider.og.udnyttet.reg-len. ln( ) ln( )a x ax =

har.divideret.med..

lnlnx

x2

1

.på.begge.sider

har.divideret.med.x1a

på.begge.sider.og.an-vendt.potensregler.1

aa

n

n= −


98 659 8080

0 2332 23 32, , , %− = =

Denne procentvise vækst af y-værdien kan vi også finde på følgende måde. Hvis x vokser med 15%, finder vi x2 ved at gange x1 med fremskrivningsfaktoren 1 0 15+ , :x x2 1 1 0 15= ⋅ +( , ) . Dermed er

y x2 21 510= ⋅ ,

y x2 11 510 1 0 15= ⋅ ⋅ +( ( , )) ,

y x2 11 5 1 510 1 0 15= ⋅ ⋅ +, ,( , )

y y2 11 51 0 15= ⋅ +( , ) ,

y y2 1 1 2332= ⋅ ,

Heraf aflæses, at fremskrivningsfaktoren for y er1 2332 1 0 2332, ,= + . Altså vokser y med 23,32%.

Resultatet af vores overvejelser kan udtrykkes i følgende sæt-ning.

Den første ligning fremgår af eksempel 5, og den anden lig-ning fås ved at tage den a’te rod på hver side af den første lig-ning.

har.benyttet. efter - førfør

fra.kapitel.1

har.indsat. ( , )x y2 2 .i.y x= ⋅10 1 5,

har.indsat.x x2 1 1 0 15= ⋅ +( , )

har.benyttet.potensregel.4,.sætning.3,.kapitel.1

har.indsat. y x1 11 510= ⋅ ,

har.reduceret

Sætning 2Om.potensfunktionen.y f x b xa= = ⋅( ) .gælder.der,.at.hvis.x.øges.med.procentsatsenrx

,.da.øges.y.med.procentsatsen.ry,.og.der.gælder.følgende.sammenhæng:

1 1+ = +r ry xa( ) ,.der.kan.omskrives.til:. r ry x

a= + −( )1 1

1 1+ = +r rx ya ,.der.kan.omskrives.til:. r rx y

a= + −1 1

Her.skal.procentsatserne.rx .og.ry .skrives.som.decimaltal .


ekSemPel 6Lad y f x x= = ⋅( ) ,5 2 3 . Hvis x vokser med 28%, er rx = 0 28, , og vi har

ry = + − =( , ) ,,1 0 28 1 0 76432 3

Altså vokser y med 76,43%.

Hvis vi ved, at y er vokset med 50%, kan vi finde med hvor mange procent x da er vokset:

rx = + − =1 0 50 1 0 19282 3 , ,,

Altså er x vokset med 19,28%.

ØVelSe 6Vi betragter funktionen y f x x= = ⋅( ) ,20 1 6 .

a) Med hvor mange procent øges y, når x øges med 20%?b) Med hvor mange procent skal x øges, så y øges med

40%?

ØVelSe 7a) Med hvor mange procent forøges funktionen

f x x( ) ,= ⋅100 2 2 , hvis x forøges med 10%?b) Med hvor mange procent aftager f x( ) med, hvis x afta-

ger med 20%?

ØVelSe 8Et trafikselskab har erfaret, at hvis x betegner billetpri-sen i kr., da kan det daglige passagertal bestemmes ved funktionen f x x( ) ,= ⋅ −35400 0 85 .

a) Hvis billetprisen er 10 kr., hvor stort er det daglige pas-sagertal da? Hvor stor er den daglige omsætning?

b) Bestem den billetpris, der ifølge funktionen giver 4001 passagerer.

har.indsat.i.r ry x

a= + −( )1 1

har.indsat.i.r rx y

a= + −1 1


c) Hvor mange procent falder passagertallet med, hvis bil-letprisen vokser med 10%?

d) Opstil udtryk for den daglige billetindtægt før og efter prisstigningen.

e) Med hvor mange procent øges den daglige billetindtægt ved prisstigningen.

ØVelSe 9Om en potensfunktion f x bxa( ) = vides det, at hvis x for-øges med 15%, da forøges f x( ) med 20%. Bestem a.

graF For PotenSFunktion i doBBeltlogaritmiSk koordinatSyStem

Vi har tidligere i kapitel 7 set et enkeltlogaritmisk koordinat-system, hvor y-aksen er logaritmisk inddelt. Hvis vi også ind-deler x-aksen på denne måde, får vi et dobbeltlogaritmisk ko-ordinatsystem, se figur 3.

Det viser sig, at de eneste funktioner, hvis grafer er rette li-nier i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, er potensfunkti-onerne. Vi vil ikke bevise dette, men blot henvise til øvelserne 10 og 11.

ØVelSe 10Lad y f x x= = ⋅( ) ,2 1 5 .a) Udfyld ved hjælp af TI-84 følgende tabel:

x 1 4 9 16 25 36 49

y

log( )x

log( )y


b) Afsæt i et almindeligt koordinatsystem punkterne(log( ), log( ))x y . Hvad får du, hvis du forbinder de 7 punk-ter?

I den næste øvelse skal du vise, at for potensfunktioner y b xa= ⋅ er der altid en lineær sammenhæng mellem log( )y og log( )x .

ØVelSe 11Lad y b xa= ⋅ .

a) Forklar, at ligningen y b xa= ⋅ kan skrives somlog( ) log( ) log( )y b a x= + ⋅ , idet du benytter logaritmereg-nereglerne i sætning 8, kapitel 6.

b) Forklar, at hvis vi ud ad x-aksen afsætter log( )x og ud ad y-aksen afsætter log( )y , da fremkommer en ret linie, hvis hældning er a. Grafen er tegnet i figur 2.

log(y)

∆y

∆x log(b)

0 = log(1) log(x)

Figur.2

c) Forklar, at når x =1 , da er log( ) log( )y b= , og sammen-hold dette med figur 2.

Vi kan udnytte denne egenskab til dels at bestemme forskrif-ten ved grafisk aflæsning, og dels at afgøre om et givet talma-teriale følger en potensudvikling. Det sidste kalder vi for po-tens regression. De to næste eksempler beskæftiger sig med dette.

ayx

= ∆∆


ekSemPel 7Vi skal i dette eksempel se, at vi ud fra en potensfunktions graf i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem kan aflæse funk-tionens forskrift. I figur 3 har vi afsat de to punkter ( , ) ( , )x y1 1 5 38= og ( , ) ( , )x y2 2 40 700= , og den rette linie, der går igennem punkterne, er også tegnet. På figuren er det vist, hvordan metoden fra øvelse 10 giver os mulighed for på en let måde at bestemme forskriften på den potensfunk-tion, hvis graf vi har tegnet. Vi får da: y f x x= = ⋅( ) ,4 1 4 .

1000

y=300

100

y=30

10

b=4

11 x=4,2 10 x=22 100

x

∆y=14.cm

∆x=10.cm

Figur.3

ayx

= = =∆∆

1410

1 4,

502 1 0 . . P o t e n s f u n k t i o n e r

Af figur 3 kan vi også se, at ligningen 4 301 4⋅ =x , kan løses ved aflæsning, og vi får x = 4 2, . Det er også vist, hvordan man aflæser funktionsværdien f ( ) ,22 4 22 3001 4= ⋅ = .

ØVelSe 12Bestem i hvert af følgende tilfælde dels ved hjælp af gra-fisk aflæsning som i eksempel 7 og dels ved hjælp af sæt-ning 1 forskriften for den potensfunktion, hvis graf går gennem de to angivne punkter.

a) ( , )4 56 og ( , )16 448 b) (4,10) og (25,4)

c) (5,50) og (20,800) d) (2,250) og (25;1,6)

ekSemPel 8Vi vil undersøge, om følgende talmateriale kan beskrives ved en potensfunktion.

x 3 8 16 20 28 40

y 7 24 56 73 109 167

Punkterne afsættes i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, og vi ser i figur 4, at de med god tilnærmelse ligger på en ret linie. Vi slutter da, at sammenhængen mellem x og y kan beskrives ved en potensfunktion y f x b xa= = ⋅( ) . Af

figur 4 fremgår det, at a = =12 210

1 22, , og b =1 9, , så funk-

tionen har forskriften y f x x= = ⋅( ) , ,1 9 1 22 .

På figuren er også aflæst to ”pæne” punkter på den rette linie. Beregnes a og b ved hjælp af formlerne i sætning 1, får vi y f x x= = ⋅( ) , ,1 89 1 22 .

Forskriften kan også findes vha. TI-84 på samme måde, som du benyttede ved eksponentiel regression. Blot skal du nu benytte STAT og CALC og A:PotensReg. Herved fås y f x x= = ⋅( ) , ,1 8754 1 2185 ( r = 0 9999, ).


Figur.4

ØVelSe 13Eftervis selv de to sidst nævnte resultater i eksempel 8.

1000

100

10

b=1,9

11 10 100

x

x

∆y=12,2.cm

∆x=10.cm

x

x

x

x

x

(2;4,4)

(30;120)


ØVelSe 14Vis ved hjælp af dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, at følgende to sæt af tal følger en potensudvikling, og bestem i begge tilfælde forskriften.

A:

x 5 7 12 16 20 27 35 50

y 47 68 123 169 216 300 400 590

B:

x 5 8 12 18 21 29 32 66

y 110 76 55 40 35 27 25 14

Idet funktionen i B kaldes y f x= ( ) , skal du løse følgende ligninger og uligheder.

a) f x( ) =100 b) f x( ) = 5

c) f x( ) > 40 d) f x( ) < 30

ØVelSe 15Betegnes antal ansatte med x, har en virksomhed gjort den erfaring, at antal producerede enheder pr. uge, y, er givet ved:

y x= ⋅10 1 1375,

a) Hvor mange enheder pr. uge må virksomheden forvente at producere, når den har 1 ansat?

b) Virksomheden producerer 482 enheder pr. uge. Hvor mange medarbejdere er ansat i virksomheden?

c) På et tidspunkt udvidede virksomheden så meget, at an-tallet af ansatte voksede med 20 %. Med hvor mange procent voksede produktiviteten da?

d) I en periode må virksomheden afskedige 20 % af de ansat-te. Med hvor mange procent mindskes produktionen da?

e) En stor ordre betyder, at virksomheden må øge sin pro-duktion med 30 %. Med hvor mange procent vokser an-tallet af ansatte?

f) Et år faldt produktionen pr. uge med 12 %. Med hvor mange procent kunne man da forvente, at antallet af ansatte faldt med?

504

5051 0 . P o t e n s f u n k t i o n e r 505

emneoPgaVe

a) Bevis med dine egne ord, at der for en potensfunktion y f x b xa= = ⋅( ) , hvis graf går gennem de to punkter ( , )x y1 1 og ( , )x y2 2 , gælder, at

a

yy

xx

=

ln

ln

2

1

2

1

og byx

y xa

a= = ⋅ −1

11 1

b) Bevis med egne ord, at ligninger af formen b x ya⋅ = ( a ≠ 0 ) for x>0 har løsningen

x yb

yb

aa

= =

1

Benyt denne formel til at løse ligningerne, idet x>0:

1) 4 1081 5x , =

2) 100 252x− =

3) 2 540 75x , =

c) Lad y b x a1 1= ⋅ . Øges x1 med faktoren1+ rx , fås den nye x-værdi x x rx2 1 1= ⋅ +( ) .

Vis ved at regne på udtrykket y b x b x rax

a2 2 1 1= ⋅ = ⋅ ⋅ +( ( )) , at den nye y-værdi,

y2 , fremkommer af den gamle y-værdi, y1 , ved ligningen y y ry2 1 1= ⋅ +( ) , hvor1 1+ = +r ry x

a( ) .

d) Benyt sammenhængen 1 1+ = +r ry xa( ) til at løse følgende to opgaver om

funktionen y f x x= = ⋅( ) ,40 1 8

1) Med hvor mange procent øges y, når x øges med 30 %?

2) Med hvor mange procent skal x øges, så y øges med 30 %?

Spørgsmål e) skal kun besvares, hvis du har læst om regnereglerne for loga-ritmefunktioner.

e) Bevis med egne ord, at grafen for en potensfunktion y f x b xa= = ⋅( ) er en ret linie i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, og begrund at de to kon-stanter a og b kan findes ved grafisk aflæsning som a y

x= ∆∆ og b f= ( )1 .

506

f) En virksomhed har igennem en periode noteret sig følgende sammenhæng mellem udviklingen i antal producerede enheder pr. uge, y, og antal an-satte medarbejdere, x:

x 1 4 10 16 37

y 10 48,4 137,25 234,25 607,9

Benyt dobbeltlogaritmisk koordinatsystem til at gøre rede for, at y udvik-ler sig som en potensfunktion af x, dvs. at der gælder en sammenhæng af formen y f x b xa= = ⋅( ) , og bestem konstanterne a og b ved hver af følgende metoder:

1) Grafisk aflæsning som a yx

= ∆∆

og b f= ( )1

2) Grafisk aflæsning af to ”pæne” punkter ( , )x y1 1 og ( , )x y2 2 og brug af formlerne

a

yy

xx

=

ln

ln

2

1

2

1

og byx a

= 1

1

3) Potensregression på TI-84

1 0 . . P o t e n s f u n k t i o n e r

5071 0 . P o t e n s f u n k t i o n e r 507

SammenFatning

En funktion med forskriften f x b xa( ) = ⋅ , hvor a ∈ , b > 0 og x > 0 , vil vi kalde en potensfunktion.

Hvis grafen for en potensfunktion f x b xa( ) = ⋅ går gennem de to punkter ( , )x y1 1 og ( , )x y2 2 , x x1 2≠ , kan konstanterne a og b bestemmes ved

a

yy

xx

=

ln

ln

2

1

2

1

og byx

y xa

a= = ⋅1

11 1

Om potensfunktionen y f x b xa− − ⋅( ) gælder der, at hvis x øges me procensat-sen rx, da øges y med procentsatsen ry, og der gælder følgende sammen-hæng:

1 1+ = +r ry xa( ) , der kan omskrives til: r ry x

a= + −( )1 1

1 1+ = +r rxa

y , der kan omskrives til: r rxa

y= + −1 1

Her skal procentsatserne rx og ry skrives som decimaltal.

potensfunktioner - systime – bedre læring · vi har tidligere set noget lignende for både...

Documents