POTENCIAL Y CAMPO ELÉCTRICO. CONCEPTO, ANÁLISIS Y SIMULACIÓN EN UN ENTORNO DIDÁCTICO.

J.S. Artal; J. Letosa; A. Usón; M. Samplón y F.J. Arcega Departamento Ingeniería Eléctrica. Escuela de Ingeniería Técnica Industrial. Universidad de Zaragoza. María de Luna nº3-5. Edificio C ‘Torres Quevedo’. 50018. Zaragoza. Tlfno.:976 762152. Fax.: 976 762226. jsartal@posta.unizar.es. Palabras clave: Potencial y campo eléctrico, simulación y análisis, Método de Elementos Finitos.

Resumen. La asignatura de Electricidad y Magnetismo se ubica, en los nuevos planes de estudio de las Ingenierías Técnicas Industriales, como asignatura anual de primer curso. La disyuntiva entre impartirla con una orientación fundamentada y teórica en espera de que otras asignaturas posteriores desarrollen su aplicabilidad o realizar la conexión con la práctica en la misma asignatura ha sido un dilema habitual agravado por la limitación temporal para su impartición. En este sentido unos de los fenómenos más atractivos para las estudiantes entre los contenidos de la materia que nos ocupa es el campo eléctrico, líneas o superficies equipotenciales y la ruptura dieléctrica, [1]. A su vez, son unos conceptos que por su dificultad en la experimentación y complejidad de la explicación teórica que conllevan, resultan difíciles de asimilar. Por todo ello, proponemos en este documento una simulación y demostración de los mismos, para su exhibición en clase o laboratorio. Nuestra experiencia docente en una materia fundamental para la ingeniería eléctrica como es el electromagnetismo, nos pone en evidencia la importancia de potenciar algunos recursos complementarios a las clases de pizarra para mejorar el proceso enseñanza-aprendizaje. El contenido conceptual y la herramienta matemática necesaria para desarrollarlo hace que los estudiantes pierdan motivación e interés en la materia, si no se conecta con cuestiones que evidencien su relevancia industrial [2], [3], aplicaciones tecnológicas [4], [5] y su utilidad práctica [6]. En el presente documento se desarrolla una simulación numérica que ilustra los diferentes teoremas y magnitudes eléctricas analizadas, así como familiariza al estudiante con algunos de los conceptos que se exponen en un curso básico de electromagnetismo [7], [8]. El objetivo de estos ejemplos es el análisis cualitativo y posterior estudio cuantitativo mediante el uso del Método de Elementos Finitos (MEF) [9], [10] como entorno didáctico, de algunas propiedades y características de los campos eléctricos alrededor de los conductores. De esta manera, se efectuará la simulación del potencial, campo eléctrico, y superficies equipotenciales alrededor de un conductor de forma predeterminada (esférico, cilíndrico, plano, puntiagudo,...).

1. INTRODUCCIÓN. Tanto en los nuevos planes de estudio de las Ingeniería Técnicas Industriales (dentro de sus especialidades de electrónica y especialmente de electricidad) como en los antiguos, el cuerpo de teoría asociado al campo eléctrico y magnético adquiere relevancia propia bien como asignatura independiente o bien enmarcada dentro de una asignatura de carácter más amplio como Fundamentos Físicos de la Ingeniería. La impartición de este bloque de materia a los estudiantes tiene como uno de sus objetivos básicos introducir los conceptos y leyes básicas sobre las que se apoyará gran parte de los contenidos técnicos que vendrán después. Esto, junto con el agravante del factor tiempo, invariablemente más escaso que lo que se desearía, ha colocado tradicionalmente al profesor encargado de la asignatura frente a la disyuntiva de orientar su asignatura a una exposición rigurosa y fundamentada de conceptos (dejando la aplicabilidad para asignaturas posteriores como máquinas eléctricas, electrónica, instalaciones eléctricas...), o bien sacrificar parte del rigor en beneficio de una mayor conexión con usos prácticos de los conceptos que se están exponiendo. Por otra parte, el hecho de que la mayor parte del contenido teórico de la asignatura quedase concluido en el siglo pasado y que la estructura expositiva también esté bastante establecida en sus pocas variantes, tal y como evidencian el gran número de libros que con carácter docente se han editado sobre el tema y que presentan en líneas generales una organización bastante similar, hace que la praxis de la asignatura de Electricidad y Magnetismo pueda caer en un inmovilismo docente, recogiendo los modelos establecidos y repitiéndolos sin mayores cambios año tras año. La difusión generalizada de la informática, básicamente a través de los ordenadores personales, ha supuesto una revolución que, lógicamente, también está alcanzando al ámbito educativo al que se están incorporando a través del la triple vertiente muchas veces interdependiente de potencia multimedia, potencia de comunicación y finalmente materialización, mediante adecuados programas de simulación, del mundo virtual como eslabón intermedio entre el mundo real, orgánico y físico, y el mundo imaginario. La aplicación del método de elementos finitos (MEF) a la resolución de problemas de electromagnetismo ha quedado hasta ahora circunscrita al ámbito de la investigación [9], [10], [11], fundamentalmente debido al precio del software. Esta tendencia está comenzando a cambiar y es predecible que en el transcurso de unos años su uso quede completamente generalizado. El MEF, desde un punto de vista docente, aporta la posibilidad de poder abordar situaciones que tradicionalmente no eran posibles dada la complejidad o imposibilidad práctica de su solución analítica, como son los efectos de borde en los condensadores o el efecto de las burbujas en los medios dieléctricos. Un uso adecuado en el ámbito docente del MEF ha de pasar por dos condicionantes:

Demostración al estudiante de la fiabilidad del método. Si bien la experiencia indica que el estudiante medio va a confiar en cualquier resultado que provenga de un programa de ordenador mínimamente avalado por un profesor o simplemente por una interface vistosa, conviene implantar en él una cierta desconfianza sistemática hacia los resultados obtenidos por ordenador hasta que no vengan refrendados por algún método en el que pueda confiar. En este sentido, la simulación previa de casos conocidos y solubles analíticamente va a permitir por un lado la introducción expositiva del método y, por otro, la comparación de los resultados teóricos y los obtenidos por simulación así como la acotación del error cometido en las simulaciones.

Uso de un adecuado sistema de postprocesado. Al hilo de lo apuntado por F. Sáez Vacas “No hay conocimiento sin información y sin trabajo para procesarla” (F. Sáez Vacas “La sociedad informatizada: Apuntes para una patología de la técnica” Claves de Razón Práctica, 10 de marzo de 1991.), la presentación al estudiante de un conjunto mas o menos grande de simulaciones (información) no va a aportarle gran cosa si no se le invita a realizar un trabajo de análisis, reflexión y comprensión de los mismos (trabajo de procesado). De aquí se sigue que un buen sistema de postprocesado tiene, desde el punto de vista didáctico, casi mayor importancia que el propio motor de simulación. El MEF simplemente aporta matrices de números, el postprocesador mapas gráficos de vectores, líneas de campos vectoriales, campos escalares como campos de color, etc., con los que el estudiante puede captar cualitativamente lo que está sucediendo realmente en el sistema bajo estudio.

El presente documento pretende mostrar un posible conjunto de simulaciones mediante el MEF para ilustrar los conceptos de campo y potencial eléctrico dentro de un curso de electricidad y magnetismo de un primer curso de una titulación de ingeniería. Se han estructurado en orden ascendente de complejidad, siguiendo una línea coincidente con la trayectoria expositiva tradicional de esta materia y revisando, en las últimas simulaciones,

algunos efectos que si bien se suelen mencionar brevemente por su complejidad analítica, resultan de importancia en su aplicación en el mundo real y alejado de las idealizaciones de pizarra. Así, se comienza con una revisión de la interacción entre cargas estáticas y generalización a superficies cargadas: planos infinitos y conductores cilíndricos. A partir de ahí, mediante la superposición de dos de estos planos se alcanza el concepto de condensador, analizado de forma ideal en un principio y posteriormente haciendo hincapié en los efectos de borde, y los fenómenos de ruptura del dieléctrico de su interior, así como el efecto de discontinuidades del material (burbujas). 2. OBJETIVOS. Los objetivos educativos que se pretenden conseguir con estas simulaciones son los siguientes:

Fundamentar al estudiante los conceptos de campo eléctrico y potencial eléctrico. No sólo mediante su introducción teórica sino a través de su aplicación en diversas situaciones en las cuales pueda visualizar y, por tanto, atrapar intuitivamente estos conceptos.

Familiarizar al estudiante con programas de simulación. El uso de programas de simulación empieza a ser práctica habitual en otras asignaturas (matemáticas, teoría de circuitos, regulación automática...) y constituirá en el futuro una opción generalizada.

Exponer y analizar en clase problemas de importancia práctica no solubles analíticamente. Situaciones como el efecto de las burbujas en un dieléctrico con la importancia práctica que conlleva (aceite de transformadores, etc.) han sido en ocasiones desatendidas debido a la gran cantidad de tiempo necesario para tratarlas adecuadamente.

Motivar al estudiante mostrándole la posibilidad de modelar, comprender y manejar sistemas electromagnéticos cuya solución queda fuera de la capacidad de sus herramientas matemáticas.

A partir del conocimiento de los conceptos (campo y potencial eléctrico) así como de las leyes básicas del electromagnetismo (rotacional del campo eléctrico, teorema de Gauss) mostrar al estudiante que es capaz de interpretar los resultados obtenidos por las simulaciones de situaciones más complejas y que esa capacidad podrá emplearla en otras situaciones que se le presenten y que no estén recogidas entre las mostradas en clase.

3. CARGAS ESTÁTICAS. Todos los fenómenos electrostáticos con los que generalmente se comienza un curso elemental de electromagnetismo tienen su origen en un desequilibrio en el número de cargas positivas y negativas en la materia de estudio [1], [7]. Así como el concepto de sumas y restas de cargas de distintos signos es muy elemental, los fenómenos a los que da lugar (ley de Coulomb, ley de Gauss, …) acaban siendo abstractos y de difícil comprensión por los alumnos. Una de las mayores dificultades procede de que son magnitudes vectoriales con las que los alumnos todavía no se encuentran familiarizados. Problemas clásicos de resolución teórica son los dipolos –con cargas puntuales, distribuciones lineales de cargas, …- distribuciones planas y uniformes de carga, distribuciones cilíndricas y esféricas, etc. Todos estos ejemplos pueden ser resueltos de forma simbólica pero el gran número de operaciones matemáticas que exigen provocan la pérdida de una visión más global del sistema y, como consecuencia, una desmotivación del alumno. Con objeto de tener accesible en tiempo real una herramienta que permita una adecuada visualización espacial del problema que acaba de ser resuelto teóricamente en pizarra, se propone la resolución del mismo haciendo uso del método de elementos finitos (MEF) del que se ha hablado con anterioridad. Se han escogido para ilustrar estas ideas, dos ejemplos de sencilla resolución. Uno de ellos se refiere a la aplicación directa de la Ley en Gauss en una distribución volumétrica de carga. El otro no puede resolverse directamente mediante la aplicación de esta ley sino mediante el concepto de cargas imagen [8]. 3.1. DISTRIBUCIÓN VOLUMÉTRICA DE CARGA, PLANA E INFINITA. Este ejemplo práctico simula un sólido de permitividad 0ε cuyo espesor es despreciable respecto a las otras dos dimensiones y que se encuentra con una carga neta positiva distribuida uniformemente en su volumen. Esta

carga origina en los puntos del sólido y los que rodean a ese sólido un campo electrostático que puede calcularse fácilmente por medio de la ley de Gauss (y apoyándose en las condiciones de simetría que aparecen). Conocido el vector intensidad de campo eléctrico E y aplicando la definición de la diferencia de potencial VΔ podemos calcular el potencial en cualquier punto del espacio respecto a una determinada referencia.

Figura 1. Diagrama y Datos del ejemplo de análisis.

Como datos de partida se conocerán el espesor de la distribución d y la densidad volumétrica de carga Vρ . Mediante el desarrollo teórico y tomando la referencia de potencial en una de las paredes del sólido se calculará el campo y potencial eléctrico.

2 ;

00

dzzEQ

SdE VZ

ENC

S

±≤∀⋅=⇒=∫∫ ερ

ε

2 ;

42 )( 2

2

02/

2/ dzzdVldEq

WzV V

Z

Z

d

Zd ±≤∀⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

⋅=⇒−== ∫→

ερ

Para la comprobación numérica de los resultados se introducen en el programa de elementos finitos los parámetros de estudio anteriores. Los resultados, figura 2, permiten validar las expresiones simbólicas obtenidas en la pizarra, y observar en 3 dimensiones la geometría del campo eléctrico.

Figura 2. Distribución del módulo del campo eléctrico (izquierda) y potencial eléctrico (derecha) entre la superficie del

sólido y un punto interior. Desde el punto de vista docente, la distribución cuadrática de potenciales puntuales nos permiten hacer el símil con la energía potencial gravitatoria. Al avanzar hacia el interior del sólido el proceso físico de trabajo es similar al realizado cuando se sube por una ladera de una montaña. En el punto de máxima altura se consigue el punto

z

y

x

d

z=0z=+d/2z=-d/2

ρV

V(z=+d/2)=0V

QENC=ρV×S×dV(z=-d/2)=0V

S

x

z

DATOS: ρV=3×10-12 C/m3 d=10 mm V(Z=+d/2)=0 V V(Z=-d/2)=0 V

de máxima energía gravitatoria. El descenso por la ladera da lugar a una disminución de la energía potencial gravitatoria equivalente a la disminución en el potencial puntual obtenido al alejarnos del centro de la distribución infinita de carga, figura 3.

Figura 3. Gráficas que representan la variación del módulo del campo eléctrico (izquierda) y el potencial eléctrico

(derecha) con la distancia a una de las superficies del sólido. 3.2. CONDUCTORES CILÍNDRICOS INFINITOS A POTENCIAL CONSTANTE. Si en lugar de trabajar con dieléctricos y cargas reales fijas en el espacio se estudian conductores, las cargas dejan de estar fijas en las superficies y ya no pueden aplicarse los principios elementales de resolución anteriormente utilizados. Un procedimiento que permite el cálculo analítico de ciertos problemas electrostáticos donde intervienen conductores es el método de las imágenes, figura 4. Para aplicar este sistema y validarlo mediante el MEF se escogió el problema de dos cables conductores paralelos de radio R separados una distancia d y sometidos a una diferencia de potencial V+ y V-. La imposición de una superficie equipotencial para cada uno de los conductores provoca la aparición de una distribución superficial de carga no uniforme.

Figura 4. Diagrama y Datos del ejemplo de análisis.

Este problema puede ser tratado como dos distribuciones lineales infinitas de carga, que se encuentran ligeramente desplazadas con respecto a los ejes de los cables conductores (método de las imágenes). Los nuevos parámetros del modelo vienen determinados por las ecuaciones; [8].

( ) ( )ηπελλ

πεη senh ;2cosh

12 ;2 00 ⋅=⋅⋅=⋅= ++ RaV

RD/arc V

Las expresiones que se obtienen para el potencial puntual y el módulo del campo electrostático mediante este método son las siguientes: [8].

-Q +Q

+λ-λ

a a

D

R

ϕ

r- r+r

PB

- +

ErEϕ

E

-V +V

DATOS: V+=+100 V V-=-100 V R=2,5 mm D=15 mm

( ) ( )

ϕ⋅πε

+⋅λ=ϕ⋅

πε−⋅λ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

πελ

=−+

ϕ−+−

+ senrr

araE;cosrr

araE;rr

lnV rP 220

22

220

22

02

Para la comprobación numérica de los resultados anteriores se escogieron dos puntos en el espacio PA(x,y)=(0,10) y PB(x,y)=(5,5). Los resultados obtenidos fueron los mostrados a continuación:

( ) ( )

( ) ( ) VVmVEyx

VVmVEyx

PAPBB

PAPAA

9,49 ; 75,113465,5,P Punto

0 ; 65,401110,0,P Punto

−==⇒=

==⇒=

Como se hizo en el caso anterior, el problema se puede resolver numéricamente mediante el programa de elementos finitos obteniéndose las siguientes distribuciones de potenciales y módulos de campo electrostático, figura 5.

Figura 5. Distribución del módulo del campo eléctrico (izquierda) y potencial eléctrico (derecha) en el espacio que separa

los cables conductores.

Figura 6. Gráficas que representan la variación del potencial eléctrico (izquierda) y módulo del campo eléctrico (derecha) a

lo largo de la línea que une los cables y es perpendicular a los ejes. Los resultados numéricos para los puntos de análisis, obtenidos mediante el MEF son:

( ) ( )

( ) ( ) VVmVEyx

VVmVEyx

PAPBB

PAPAA

03,48 ; 425,115445,5,P Punto

11,0 ; 308,401910,0,P Punto

−==⇒=

+==⇒=

También podemos observar fácilmente mediante este programa, como se modifican estas magnitudes a lo largo de una línea de estudio. Para ello tomamos como ejemplo el eje que separa a ambos conductores, figura 6. Un ejemplo que, siendo geométricamente similar al anterior, no posee una fácil resolución analítica es cuando ambos cables conductores se encuentran sometidos al mismo potencial V+. El potencial del plano equidistante de ambos conductores es distinto de cero, con lo cual no puede aplicarse el método de las imágenes. En este caso, utilizar una herramienta de simulación como el programa del MEF nos permite conocer tanto la distribución del campo eléctrico como el potencial en cualquier punto del espacio, figura 7.

Figura 7. Distribución del campo eléctrico (izquierda) y potencial eléctrico (derecha) en el espacio que separa los

conductores que se encuentran a V+. El valor del módulo de E y del potencial puntual V en los puntos PA y PB, calculados para la nueva situación electrostática mediante el MEF,

( ) ( )

( ) ( ) VVmVEyx

VVmVEyx

PAPBB

PAPAA

20,70 ; 541,72985,5,P Punto

89,38 ; 521,546410,0,P Punto

+==⇒=

+==⇒=

Figura 8. Potencial (izquierda) y campo eléctrico (derecha) a lo largo de la línea que une los conductores.

Las gráficas anteriores, figura 8, representan la nueva distribución del campo eléctrico y potencial puntual en el espacio a lo largo de la línea que une los cables y es perpendicular a los conductores. Resulta interesante comparar las líneas de campo eléctrico que se producen entre los conductores cuando se encuentran sometidos a distinto potencial V+=+100V, V-=-100V –caso A- y cuando se hayan conectados al mismo potencial V+=+100V –caso B-, figura 9.

Figura 9. Distribución de las líneas de campo eléctrico entre los conductores para las 2 situaciones analizadas.

4. CONDENSADORES. El estudio de los condensadores reúne y emplea en un problema aplicado todos los conceptos electrostáticos. El cálculo de la capacidad del condensador en función de su geometría, la carga de sus placas, la energía electrostática almacenada, etc. justifica a los alumnos la necesidad de introducir los conceptos electrostáticos previamente expuestos. Por ello presentamos una serie de ejemplos sencillos de condensadores que ilustran los conceptos básicos tales como líneas equipotenciales, campos eléctricos, efecto de borde, densidades de carga y energía. La representación espacial de las líneas de campo y superficies equipotenciales obtenidas mediante el MEF es un documento de gran valor didáctico por su claridad y descriptibilidad. 4.1. CONDENSADOR PLANO. En este ejemplo analizaremos el caso de un condensador plano de placas circulares y paralelas, figura 10. Primero mostraremos la solución despreciando efectos de borde, que puede resolverse tanto con el programa de elementos finitos como analíticamente. Con ello se pretende que el alumno verifique la fiabilidad de los resultados obtenidos con este tipo de programas. Después se simularán los efectos de borde en las placas del condensador, en cuanto a distribución de cargas en la placa conductora y la deformación de las líneas de campo eléctrico.

Figura 10. Diagrama y Datos del ejemplo de análisis.

+V

-V

xy

z

+σ S

-σ S

+V

-V

+ + ++

- - --

d

R

ε0 ED

2RS ⋅π=

ΔV

DATOS: V+=+100 V V-=0 V d=6 mm R=10 mm ε0=8,85×10-12 F/m

Tomamos dos placas circulares de radio R separadas una distancia d con una diferencia de potencial entre las placas VΔ y un medio de permitividad 0ε tal y como se nos muestra en la figura anterior. La solución analítica viene dada por las expresiones.

mC

mkV

dVVE AB 7

0 10475,1ED ; 66,16 −⋅=⋅==−

= ε

siendo la capacidad C asociada a este condensador plano y la energía almacenada:

JVCEnergíapFd

SC 920 10315.2

21 ; 463,0 −⋅=Δ⋅==

⋅=ε

Los resultados obtenidos mediante el MEF permiten validar las expresiones anteriores, fácilmente calculadas, y observar en tres dimensiones la geometría del potencial eléctrico, figuras 11 y 12.

Figura 11. Distribución del módulo del campo eléctrico (izquierda) y potencial eléctrico (derecha) en un condensador

plano.

Figura 12. Variación del módulo del campo eléctrico (izquierda) y potencial eléctrico (derecha) en el interior de un

condensador plano. Los resultados del análisis por medio de la simulación mediante el MEF son,

mC

mkVE 7104756,1D ; 666,16 −⋅==

JdVDEEnergíapFV

SD

VQC

V

3169,221 ; 463,0 =⋅⋅==

⋅== ∫

En el problema se han supuesto condiciones ideales para su cálculo, es decir, se ha considerado despreciable el efecto de los bordes en las placas del condensador. El programa de resolución numérica nos permite apreciar la variación del potencial y campo eléctrico en los extremos y trazar, del mismo modo, la trayectoria que describirán las líneas de campo al considerar un condensador real. En la gráfica de la figura 13 se muestra la densidad de carga real superficial en la placa del condensador. Como puede apreciarse se produce un incremento considerable cuando nos aproximamos al extremo de la placa conductora ocasionado por el efecto de borde.

Figura 13. Efecto de deformación de líneas de E y acumulación de cargas en las superficies de radio de curvatura pequeño. 4.2. CONDENSADOR CILÍNDRICO FINITO. Otro caso interesante de analizar es el condensador cilíndrico, observando los cambios que se producen en las magnitudes de estudio en función de su geometría y con respecto al condensador plano, figura 14. En este tipo de condensador las líneas de campo eléctrico describen trayectorias perpendiculares a las placas conductoras, como sucede en el condensador plano. Su nueva geometría es radial, deformándose las líneas en las superficies planas que limitan el condensador.

Figura 14. Diagrama y Datos del ejemplo de análisis.

Partimos de dos conductores cilíndricos de radios 1R y 2R con una diferencia de potencial entre las placas VΔ y un medio lineal, homogéneo e isótropo de permitividad 05 ε⋅ , tal y como se nos muestra en la figura anterior. De esta manera la resolución analítica será,

x

y

z

R1

L

ε

R2

Pr

±ΔV

E

E

E

E

05 ε⋅=ε

+++

+++

-

-

-

-

-

- +σS

−σS

DATOS: ΔV=1 kV R1=2 mm R2=4 mm ε=5×ε0 S=2πR×L

1

2

0

1

20

ln10

;110 R

RL

QVldEVrL

QEQSdER

RS ⋅=Δ⇒⋅−=Δ⋅

⋅=⇒=⋅ ∫∫∫ πεπεε

2

8

2

1

1038396714421mC

r,ED;

mV

r,

rRR

ln

VE ⋅⋅

=⋅ε=⋅=⋅Δ

=−

siendo la carga Q y la capacidad C por unidad de longitud en el condensador cilíndrico:

mpF

VQC

mC

RRVLQ 4,0 ;10011,4

ln10 7

2

10 =

Δ=⋅=

Δ⋅= −πε

Una vez aplicado el MEF, y para no dificultar el visionado de las líneas equipotenciales junto con la distribución de las magnitudes en el objeto simulado, se tomará ¼ del condensador cilíndrico haciendo uso de su simetría radial, figuras 15 y 16.

Figura 15. Distribución del módulo (izquierda) y líneas del campo eléctrico en el interior de un condensador cilíndrico.

Figura 16. Variación radial del módulo del campo eléctrico (izquierda) y potencial eléctrico (derecha) en el interior de un

conductor cilíndrico.

A continuación se efectúa una comprobación numérica de los resultados obtenidos mediante el método analítico y los mostrados en el MEF. Para ello calcularemos las variables en un punto situado sobre el radio, R=3mm. Igualmente se compara la carga acumulada Q , la capacidad asociada C y la energía por unidad de longitud en el condensador de estudio, tabla 1.

MAGNITUD UNIDAD TEÓRICO MEF |E|R=3mm kV/m 480,9 482,36 |D|R=3mm C/m2 2,12×10-5 2,135×10-5 VR=3mm V 415,03 415,196

Q C/m 4,011×10-7 4,013×10-7 C pF/m 401,113 401,293

Energía J/m 200,557×10-6 200,646×10-6

Tabla 1. Relación de las magnitudes obtenidas analíticamente y por el método de elementos finitos. 4.3. CONDENSADOR PLANO CON DIELÉCTRICOS DIFERENTES. Un ejemplo clásico que se puede encontrar en cualquier libro de electromagnetismo es el basado en un condensador plano con dos o más dieléctricos diferentes [1], [7], [8]. A este tipo de estructura geométrica se le denomina tipo sándwich, figura 17. Este caso puede resolverse de una forma sencilla por el método de superposición o, en su defecto, mediante los conceptos de asociación de condensadores. De la misma manera que en los ejemplos expuestos anteriormente, se resolverá el condensador analíticamente para posteriormente y de una forma resumida efectuar una comparación con el método numérico.

Figura 17. Diagrama y Datos del ejemplo de análisis.

Tomamos dos superficies conductoras paralelas de dimensiones ll 2× separadas una distancia d con una diferencia de potencial entre las placas VΔ y con dos medios dieléctricos en su interior de permitividad 01 εε = y 02 200 εε ⋅= tal y como se muestra en el dibujo anterior,

25

227

121 1095,2D ;1047,1D D ; 66,16mC

mCE

mkV

dVEEE −− ⋅=⋅=⇒⋅==

Δ=== ε

siendo ahora la carga TQ y la capacidad total TC asociada al condensador:

( ) ( ) pFdSCCDDSQQQ TT 411,7 ;10411,7 21

102121 =+=⋅=+⋅=+= − εε

La energía total almacenada por el condensador y el módulo de la fuerza F que ejerce el dieléctrico 2ε sobre la

superficie de la placa vendrán dadas por:

NdSFJVCEnergíaS

STT

6

2

282 10174,6

2 ;10706,3

21 −− ⋅=⋅

⋅=⋅=Δ⋅= ∫ ε

σ

x

y

z

+V

-V

+ + ++

- - --

ΔV

+V

-V

+σ S1

-σ S1

+σ S2

-σ S2

l

d

l l

ε12Dε2

1D

DATOS: V+=+100 V V-=0 V d=6 mm l=5 mm ε 1=ε0 ε 2=200×ε0

Ahora se introduce el modelo en el programa de elementos finitos para su comprobación numérica, figuras 18 y 19. Los resultados nos permiten observar mediante un proyector de transparencias la geometría y distribuciones en el espacio de los campos eléctricos en el interior de los dieléctricos. Los resultados del MEF son.

pFCCQmC

mkVE TT 378,7 ;10378,7 ;109514,2D ; 666,16 105 =⋅=⋅== −−

∫∫ −− ⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅=S

ZZV

T NdSDEFJdVDEEnergía 68 10147,621 ;10704,3

21

Figura 18. Distribución del potencial eléctrico (izquierda) y vector desplazamiento (derecha) entre las placas del

condensador.

Figura 19. Variación del módulo del campo eléctrico (izquierda) y vector desplazamiento (derecha) en el interior de los

medios dieléctricos del condensador. 5. RUPTURA DIELÉCTRICA. Los fenómenos de ruptura dieléctrica son fáciles de estudiar cuando se plantean como sistemas aislados que trabajan a carga constante, siempre y cuando su geometría sea sencilla. Mucho más complicado de entender y analizar son los problemas reales de conductores con geometría compleja que se encuentran a una diferencia de potencial constante, siendo sus cargas las que varían al modificarse las condiciones en los conductores. El método de elementos finitos lo utilizaremos aquí para simular el incremento en los valores de campo eléctrico en el entorno de un conductor con un radio de curvatura que tiende a cero cuando la diferencia de potencial respecto a un plano conductor aumenta. Constituye una primera aproximación a lo que sucede en la punta de un pararrayos durante una tormenta.

Figura 20. Distribución del módulo del campo eléctrico (izquierda) y potencial eléctrico (derecha) entre el plano conductor+

y la superficie puntiaguda-. El plano conductor se supondrá a un potencial kVV 1=+ constante y el objeto puntiagudo puesto a tierra. En la figura 20 se observa el ‘efecto llamarada’ (alta intensidad del campo eléctrico) que produce el elemento con un radio de curvatura despreciable. Cualitativamente, la razón de este fenómeno es que las cargas negativas se acumulan en la superficie del conductor que se encuentra más cerca a la placa positiva. Una cantidad relativamente pequeña de carga en el extremo de la punta da lugar a una densidad superficial grande; y una alta densidad de carga significa un elevado campo eléctrico justo en el exterior. Del mismo modo, puede apreciarse con claridad las distintas superficies equipotenciales que existen entre los dos elementos que componen nuestro ejemplo de estudio. 6. DISCONTINUIDADES EN LA MATERIA. Un ejemplo utilizado comúnmente en las explicaciones teóricas de la asignatura consiste en el estudio de las perturbaciones del campo eléctrico que en un medio dieléctrico provocan pequeñas burbujas de aire. Inicialmente se pueden llegar a considerar inofensivas pero, estudiadas con detalle, dan lugar a la aparición de campos eléctricos muy intensos en su interior que pueden llegar a provocar fenómenos de ruptura dieléctrica, figura 21. Estos fenómenos dan lugar a degradaciones de aceites dieléctricos en transformadores, averías en cadenas de aisladores en líneas de alta tensión, etc. En la gráfica de la figura 22 podemos observar la variación del módulo del campo eléctrico en el interior del dieléctrico que contiene la burbuja, observando el máximo que alcanza en las paredes de la misma.

Figura 21. Distribución del módulo del campo eléctrico en el conjunto dieléctrico-burbuja (izquierda) y solamente en el

medio dieléctrico (derecha).

Figura 22. Distribución del módulo del campo eléctrico en la burbuja de aire (izquierda) y variación del módulo del campo

eléctrico en el conjunto dieléctrico-burbuja-dieléctrico (derecha). 7. CONCLUSIONES. Es común a las asignaturas que introducen los fundamentos teóricos en las enseñanzas técnicas la conveniencia de adaptar aplicaciones tecnológicas o con relevancia industrial al nivel de iniciación. Pese a que la tarea no resulta fácil habitualmente, ayuda a una mejor comprensión de la materia lo que permite que el estudiante advierta la utilidad y la necesidad de su estudio incrementando su motivación e interés. A lo largo del presente documento se han presentado diversos sistemas electromagnéticos, así como su análisis mediante el método de elementos finitos. Se ha realizado una conexión entre los métodos tradicionales de análisis de estas situaciones, restringidos a los casos ideales, y su generalización a casos más cercanos a la realidad. Se ha analizado la viabilidad del uso de un programa de MEF como complemento docente en una asignatura de Electricidad y Magnetismo y se ha señalado la importancia de contar con un sistema de postprocesado como herramienta docente de análisis de resultados. Referencias. [1]. John D. Kraus, “Electromagnetics.” Fourth Edition, 1992. McGraw-Hill International Edition. [2]. Read-F.H., Bowring-N.J., Bullivant-P.D. and Ward-R.A., “Penetration of Electrostatic Fields and Potentials through Meshes, Grids or Gauzes.” Review of Scientific Instruments, 1998. Vol. 69, issue 5. Pp 2000 to 2006. [3]. Baranov-Y.V., “Effect of Electrostatic Fields on Mechanical Characteristics and Structure of metals and Alloys.” Materials Science and Engineering a structural Materials properties microstructure and processing, 2000. Vol. 287, issue 2. Pp 288 to 300. [4]. Valavanis-K.P., Hebert-T., Kollun-R., Tsourueloudis-N., “Mobile Robot Navigation in 2-D Dynamic Environments using an Electrostatic Potential-Field.” IEEE Transactions on systems man and cybernetics part a-systems and humans, 2000. Vol. 30, issue 2. Pp 187 to 196. [5]. Tsourveloudis-N.C., Valavanis-K.P., Hebert-T., “Autonomous Vehicle Navigation utilizing Electrostatic Potential Fields and Fuzzy-Logic.” IEEE Transactions on Robotics and Automation, 2001. Vol. 17, issue 4. Pp 490 to 497. [6]. Swenson-D.E., “The Effect of Resistance to Ground on human-body ESD.” Institute of Physics Conference series, 1999.Vol. 163. Pp351 to 356. [7]. Stanley V. Marshall, Richard E. DuBroff and Gabriel G. Skitek, “Electromagnetismo. Conceptos y Aplicaciones.” Cuarta Edición, 1997. Prentice-Hall HispanoAmericana, S.A. ISBN 968-880-954-3. [8]. Roald K. Wangsness. “Electromagnetic Fields.” 9th Edition, 1994. John Wiley&Sons, Inc. [9]. Gunnar Backstrom, “Fields of Physics by Finite Elements Analysis. An Introduction.” Student Litteratur. British Library Cataloging in Publication Data. 1998. ISBN 91-44-00655-1. [10]. Peter P. Silvester and Ronald L. Ferrari, “Finite Elements for Electrical Engineers.” Third Edition, 1996. Cambridge University Press, ISBN 0-521-44953-7. [11]. Oftosen, Niels Saabye and Petersson, Hans, “Introduction to the Finite Elements Method.” Prentice Hall, 1992. New York. ISBN 0-13-473877-2.