portfolio models for fixed income securities

Portfolio models for fixed income securities

Financial Optimization and Risk ManagementProfessor Alexei A. Gaivoronski

Agenda

Portfolio dedication Modell for porteføljeimmunisering Modeller for faktorimmunisering

StatsobligasjonerSelskapsobligasjoner

Oppsummering


Risk management for fixed income securities Risk associated with changes in interest rates


Risk management for fixed income securities, cont. Price of a bond which makes predetermined risk free payments


Risk management for fixed income securities, cont. Yield to maturity


Risk management for fixed income securities, cont. Risk measure: sensitivity of price with respect to term stucture


Risk management for fixed income securities, cont. Approximation of price/yield curve


Risk management for fixed income securities, cont. Different concepts of duration


Risk management for fixed income securities, cont. Different concepts of duration, cont.


Risk management for fixed income securities, cont. Convexity: quadratic approximation


Risk management for fixed income securities, cont. Factor analysis of the term structure

Small parallel shifts are not what happen in real markets


Risk management for fixed income securities, cont. Factor models, cont.

Estimate factors Keep only a few first ones


Faktorimmunisering

T

j jt tt 1

jt

Tar eksplisitt høyde for endringer i rentekurvens form.

Lineærfaktormodell: Har en T*T korrelasjonsmatrise over rentenesterminsstruktur.

Prinsipalkomponenter: f r , j=1,2,...k

der (factor l

toading) måler følsomheten til rentesatsen r

for endringer i den j-te faktoren.


Faktorimmunisering (2)

t

k

t jt j tj 1

Tr t

i ti tt 1

Endringer i terminstrukturen som en lineær- kombinasjon av de k uavhengige faktorene:

r f + (3)

Endring i obligasjonspris med endring i terminstrukturen:

P F te r

Setter

t

T kr t

i ti jt jt 1 j 1

inn (3):

P (F te f )


Faktorimmunisering (3)

t

Ti r t

ti jtt 1j

For små endringer i terminsstrukturen er da følsomheten i obligasjonsprisen:

PF t e

f

Faktormodifisert varighet for obligasjon i m.h.t.faktor j er definert som relativ prissensitivitet:

t

Ti r t

ij i ti jtt 1j i

P 1d / P F t e (4)

f P


Statsobligasjoner

n

i i Li 1

n

i ik ki=1 L

j jj=1 j=1j j

Krever at

P x P

holder når faktorene endrer verdi.

Deriverer m.h.p. faktorene:

( P x )P

df df (5)f f


Statsobligasjoner (2)j

n

i ii=1 L

j j

ij i i

Faktorendringene df er pr. def. uavhengige.

Likning(5) vil gjelde for hver enkelt faktor.Får da:

( P x )P

f f

Bruker likning (4) og får førsteordens betingelser for faktorimmunisering:

d P x

n

Lj Li 1

Lj

d P , for all j=1,2,...,k

der d er den faktormodifiserte varigheten av forpliktelsen.


Statsobligasjoner (3)

n

i i Li 1

n

ij i i Lj Li 1

Faktorimmuniseringsmodell:Max F(x)

s.t. P x P ,

d P x d P , for all j=1,2,...,k

x 0.


Selskapsobligasjoner

Avkastningene fra obligasjoner i ulike kreditt-klasser er korrelerte.

Ser først bort fra dette:La C være antall kredittklasser og c angi den c-tekredittvurderingen. Indeksert likning for obligasjonspri

ct

Tr tc c

i tit 1

s:

P F e


Selskapsobligasjoner (2)

kc c ct jt j t

j 1

j

Lineærfaktormodell for endringer i avkastning for en obligasjon med kredittvurdering c:

y df

der vi antar at k uavhengige faktorer forklarer avkastnings-

endringene for hver klasse og

ct

t

t

er den korresponderende

følsomheten til renta r for endringer i den j-te faktoren. er feilestimatet.



ct

c Ti r tc c

ti jtct 1j

c Tic c c

ij i ti jc ct 1j i

Obligasjonsprisenes følsomhet for endringeri faktorene:

PF t e

f

Faktormodifisert varighet m.h.t. den j-te faktoren er relativ prissensitivitet:

P 1d / P F t

f P

ctr tc

te



ci

c ci i

For en obligasjonsportefølje med en beholdning xav obligasjon i med kredittvurdering c, blir den nød-vendige betingelsen for immunisering:

P xC n

Lc 1 i 1

P



cj

nc c c cij i i jL L

i 1

cij

Deriverer m.h.p. faktorene og krever at følsomheten

m.h.t. hver faktor f er lik.

Førsteordens betingelse:

d P x d P

der d er faktormodifisert varighet for obligasjon i

tilhørende kredit

tklasse c m.h.t. faktor j .



C nc ci i L

c 1 i 1

1jL Lc c c

ij i i

Faktorimmuniseringsmodell for selskapsobligasjoner(antar at c=1 for forpliktelsene):

Max F(x)

s.t. P x P ,

d P , for all j=1,2,...,k, c=1 d P x

0, for all j=1,2,...k, c=2,

n

i 1 ...,C x 0



Tar høyde for at avkastningene til selskaps-obligasjoner i ulike kredittklasser er korrelerte.

Faktoranalyse på hele korrelasjonsmatrisa over avkastningene til obligasjoner i ulike kredittklasser.

k fa ktorer har innvirkning på alle obligasjonenesavkastning.


Selskapsobligasjoner (8)cij

Lj

Lar d angi faktormodifisert varighet for obligasjon i

tilhørende kredittklasse c m.h.t. faktor j og d angi

faktormodifisert varighet for forpliktelsene.

Faktorimmuniseringsmodell for selskapsoblig

C nc ci i L

c 1 i 1

nc c cij i i Lj L,

i 1

asjoner med korrelerte kredittklasser:Max F(x)

s.t. P x P ,

d P x d P for alle j=1,2,...,k, c=1,2,...C

x 0.


Oppsummering/konklusjon

”Matching” av kontantstrømmer Modell for porteføljeimmunisering Modeller for faktorimmunisering for stats-

og selskapsobligasjoner Nyttige for problemer med (tilnærmet)

kjente kontantstrømmer

portfolio models for fixed income securities

Documents